Autokorrelationens inverkan på signifikansnivån för Jarque-Beras normalitetstest för regressionsresidualer en Monte Carlo-studie

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Isiuioe för iformaiosveeskap Avdelige för saisik Saisik C Arkivversio Pol. Mag.-programme VT 999 Auokorrelaioes iverka på sigifikasivå för Jarque-Beras ormalieses för regressiosresidualer e Moe Carlo-sudie C-uppsas, poäg Tredje upplaga Förfaare: Adreas Karlsso E-pos: adreas973@homail.com Hadledare: Aders Ågre

2

3 Dea uppsas behadlar fråga om hur posiiv auokorrelerade sörigsermer påverkar sigifikasivå för Jarque-Beras ormalieses för regressiosresidualer. Därvid geomförs omfaade Moe Carlo-simulerigar med olika α-, -, β-, X- och -värde. De fakisk observerade sigifikasivåera frå dessa simulerigar jämförs seda med de eoreiska sigifikasivåera frå Jarque-Beras ormalieses för observaioer, för a se vilke påverka auokorrelaioe har. Äve iverka på de asympoisk kriiska χ -värdea behadlas. Slusase frå dea uppsas är a auokorrelaioes iverka varierar krafig, och är beroede av såväl sorleke på α, och som useede på β- och X-värdea. För låga - och -värde ederar de fakisk observerade sigifikasivåera a vara ugefär lika sora som de eoreiska sigifikasivåera frå Jarque-Beras ormalieses för observaioer, meda de för högre - och -värde ederar a vara sörre.

4

5 Iehållsföreckig Iledig. Syfe och frågesällig. Meod, maerial och avgräsigar 3 Bakgrud om ormalieses för regressiosresidualer 5. Normalieses baserade på skevhe och/eller kurosis 6. Normalieses baserade på ordigssaisikor 8.3 Jarque-Beras ormalieses.4 Jämförelse mella JB N -ese och övriga ormalieses för regressiosresidualer 4 3 Auokorrelaioes iverka på JB N -eses sigifikasivå 6 3. Iverka på e våvariabels regressiosmodell Sorleke på JB N -eses fakisk observerade sigifikasivå Sorleke på variaioe i de fakisk observerade sigifikasivåera Orsake ill variaioe i de fakisk observerade sigifikasivåera Geomsilig absolu proceuell avvikelse 8 3. Iverka av ökade aal regressorer och aorluda X-värde på variaioe i de fakisk observerade sigifikasivåera Geerella slusaser om de prakiska beydelse av auokorrelaioes iverka E prakisk exempel 35 4 Sammafaade diskussio 36 Bilagor 38 Bilaga Bevis för formel i foo 3 38 Bilaga Kriiska värde för Jarque-Beras ormalieses för observaioer 39 Bilaga 3 Variaiosvidde för desig -4 4 Bilaga 4 Medelvärde för desig -4 4 Bilaga 5 Variaiosvidd för daase -3 4 Bilaga 6 Miiabmakro 43 B6. Makro för desig 43 B6. Makro för desig 43 B6.3 Makro för desig 3 44 B6.4 Makro för desig 4 44 B6.5 Makro för daase B6.6 Makro för aalys av rådaa frå desig B6.7 Makro för aalys av rådaa frå daase Bilaga 7 Daase Bilaga 8 Rådaa för desig Bilaga 9 Rådaa för daase Käll- och lieraurföreckig 58

6

7 Iledig Iom saisisk eori och meodik spelar ormalfördelige e ceral roll. Vid beräkade av kofidesiervall och avädade av olika es och modeller sälls aagade om a värdea kommer frå e ormalfördelad populaio ofas upp som e förusäig för a de slusaser som dras skall vara illförliliga. E såda modell som har ormalfördeligsaagade som e grudförusäig är de klassiska lijära regressiosmodelle (.) Y = β + βx + β X L + βk X k + u där sörigserme u aags vara ormalfördelad. Uder förusäige om ormalfördelig är OLS-esimaor de bäsa förväigsrikiga esimaor (BUE) för dea modell, och de klassiska - och F-ese ka avädas vid hypoesprövigar. Uppfylls ie dea förusäig ka kosekvese bli a opimala esimaorer ie aväds och a felakiga slusaser dras. Dea pekar på vike av a esa rikighee i aagade om ormalfördelade sörigsermer. 3 De fis e fleral olika es som ka avädas för a esa dea aagade. 4 E mycke populär es är de så kallade Jarque-Beras ormalieses för regressiosresidualer 5 (JB N -ese). De är e mycke ekel och läavä es, vilke har medför a de har blivi de ormalieses som är mes avä vid prakisk illämpig. Särskil sor spridig har de vui blad ekoomer. 6 Jarque och Bera visar a för e lijär regressiosmodell med e kosaerm är essaisika Bes ubiased esimaor, d.v.s. de är de bäsa esimaor blad samliga såväl lijära som ickelijära förväigsrikiga ( ubiased ) esimaorer. Whie, H. MacDoald, G. M., Some Large-Sample Tess for Noormaliy i he Liear Regressio model, Joural of he America Saisical Associaio, March 98, Vol. 75, Nr. 369, s. 6 3 Jarque, C. M. Bera, A. K., A Tes for Normaliy of Observaios ad Regressio Residuals, Ieraioal Saisical Review, 987, Vol. 55, Nr., s Se.ex. Whie, H. MacDoald, G. M., op. ci., s. 7f och Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 69. Vi redogör för e del av dessa es i avsi. och.. 5 Adra am på dea es är Lagrage muliplier (LM) es for ormaliy (Deb, P., - Sefo, M., The disribuio of a Lagrage muliplier es of ormaliy, Ecoomics Leers, Nr. 5, 996, s. 3) och Bowma- Sheo es for ormaliy (Newbold, P., Saisics for Busiess ad Ecoomics, s Newbold skriver Bowma-Shelo, me de är e felsavig). Jarque och Bera kallar själva ese för Lagrage Muliplier-es (Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 65ff). 6 Deb, P., - Sefo, M., op. ci., s. 3f och Urzúa, C. M., O he correc use of omibus ess for ormaliy, Ecoomics Leers, Nr. 53, 996, s. 47f. Urzúa hävdar dock samidig (s. 48) a Jarque-Beras es sälla aväds i saisisk lieraur, och pekar på lågsam koverges mo ormalie som e orsak.

8 (.) 7 + = = = = = 4 3 û û 6 û û JB N där û är OLS-residualer, uder ollhypoese om ormalfördelig asympoisk χ -fördelad med frihesgrader. Nollhypoese förkasas är de observerade värde för essaisika är sörre ä e lämplig sigifikaspuk. Förusäigara för dea es är dock a sörigsermera u,,u är oberoede och lika fördelade med populaiosmedelvärde lika med oll. 8 Dea förusäig om oberoede sörigsermer är dock ofa ie uppfylld är daa kommer frå idsserier, efersom de för sådaa daa ofa föreligger e beroede auokorrelaio mella på varadra följade observaioer. 9 Då regressio med idsseriedaa är valig förekommade är de vikig a vea hur Jarque-Bera-ese påverkas är de föreligger e beroede mella sörigsermera. Vilke slusas som skall dras av e observera värde på essaisika (.) är beroede av de illgägliga sigifikaspuker som dea värde jämförs med. Me dessa sigifikaspuker är i si ur beroede av a förusäige om oberoede sörigsermer är uppfylld. Om sigifikaspukeras värde förädras är sörigsermera är beroede kommer också eses sigifikasivå a påverkas, vilke ka leda ill a felakiga slusaser dras. De är såluda vikig a vea hur eses sigifikasivå påverkas är förusäige om oberoede sörigsermer ie är uppfylld.. Syfe och frågesällig Syfe med dea uppsas är a udersöka hur saolikhee a vid avädade av Jarque- Beras ormalieses för regressiosresidualer begå fel av yp I, de vill säga saolikhee a förkasa H är H är sa, påverkas är förusäige om oberoede sörigsermer ie är 7 Om û =, vilke är falle vid.ex. regressio geom origo, blir dock essaisika (.) µ µ µ µ µ + µ µ + µ µ = N ˆ ˆ ˆ ˆ 3ˆ 4 3 ˆ ˆ 6ˆ ˆ JB, där = µ = µ j j i j ˆ ˆ (Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 66). Diebold, F. X., Eleme of forecasig, s. 3, hävdar a de försa :e i formel (. ) skall ersäas med (-k), där k är aale paramerar som skaas. 8 Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 65ff.

9 uppfylld. Vi kommer också a som bakgrud ill dea, och för a kua göra jämförelser med JB N -ese, göra e översiklig geomgåg av adra ormalieses för regressiosresidualer sam e lieraurgeomgåg med graskig av idigare resula agåede Jarque-Beras ormalieses för regressiosresidualer och hur dea sår sig vid e jämförelse med de adra ormaliesese. Slulige kommer vi i e prakisk umerisk exempel med auokorrelerade sörigsermer aväda de resula vi har kommi fram ill i dea uppsas för a se hur de påverkar e prakisk fall.. Meod, maerial och avgräsigar Vi kommer för udersökigara i dea uppsas a i försa had aväda oss av Moe Carlo-simulerigar i Miiab av e lijär våvariabels regressiosmodell med e kosaerm och e regressor, de vill säga (.3) Y = β + β X + u,,,...,. = För a skapa e beroede mella sörigsermera i modell (.3) aväder vi oss av e modell med försa ordiges posiiv auokorrelaio elig (.4) u = u + ε, där ε ~NID(,), u är sörigserme i modell (.3) och är e kosa såda a. Såluda får vi a sörigsermera u blir 3 (, ) N σ. Därmed är samliga förusäigar för Jarque-Beras ormalieses uppfyllda, föruom de som påverkas av beroede mella sörigsermera. Efer a ha agi fram de saa Y-värdea frå modell (.3 ) låer vi Miiab beräka OLS-regressioe av Y på X, och ar fram OLS-residualera 9 Gujarai, D. N., Basic Ecoomerics, 3 rd ed., s. 43ff De makro som aväds för a i Miiab göra dessa simulerigar åerfis i bilaga 6. Vi aväder oss av versio. av Miiab. Aledige ill a vi begräsar oss ill a edas aväda posiiv auokorrelaio är dels illgäglig daorkraf, dels a de flesa ekoomiska idsserier uppvisar e posiiv auokorrelaio (Gujarai, D. N., op. ci., s. 4f). Vi låer Miiab simulera + värde för ε, låer seda u =ε, varefer vi låer de åersåede värdea u =,3,(+) beräkas elig formel (4). Därefer raderar vi u -värde, så a samliga värde u =,,, är auokorrelerade elig formel (4). De är dessa u -värde som vi seda aväder i modell (.3). 3 E ( u ) E ( u + ε ) = E ( u ) + E ( ε ) = +, och efersom u - och ε är oberoede får vi a V = = ( u ) = V( u + ε ) = V( u ) + V( ε ) = V( u ) + = k= k, (e bevis för de sisa sege här åerfis i bilaga ). Vidare blir e lijär fukio av ormalfördelade variabler själv ormalfördelad (Gujarai, D. N., op. ci., s. 3), och såluda kommer u a vara ormalfördelad. 3

10 û = Y βˆ βˆ X, =,,...,, vilka vi seda aväder för beräkige av essaisika (.). Efersom Jarque-Beras ormalieses edas är asympoisk χ -fördelad behöver vi aväda oss av olika värde på, för a se hur essaisika uvecklas är ökar. Vi aväder oss därvid av samma -värde som Jarque och Bera 4 aväde sig av vid sia Moe Carlo-simulerigar av JB-ese, sam dessuom av värde =. Dessa värde är =()5(5)5(5)3()5(3)8. När residualera û aväds vid beräkige av e ormaliesessaisika, i sälle för de saa sörigsermera u, blir resulae käslig för hur regressorera ser u. Resulae ka variera beroede på olika värde för, aale regressorer och hur de olika X-värdea geereras. Dea gäller särskil för små värde på, efersom residualera för små sickprov er sig mer ormalfördelade ä sörigsermera. 5 För a få e ågo mer allmägilig resula aväder vi oss därför av fyra olika desiger för a simulera bea- och X-värdea i modell (.3). Dessa fyra desiger 6 är:. β, β = och X =,,,. β, β ~NID(,) och X =,,, 3. β, β = och X ~NID(,) 4. β, β ~NID(,) och X ~NID(,). Vi geomför för varje -värde, för var och e av dessa fyra olika desiger, Moe Carlosimulerigar med N= replikaioer 7 (vi kommer i dea uppsas låa N beecka aale replikaioer i e Moe Carlo-simulerig) på e såda sä a alla simulerigar blir oberoede av varadra 8. För var och e av dessa fyra olika simulerigsmodeller aväder vi oss som auokovariaskoefficie i modell (.4) av värdea.,.,.,,.. Såluda kommer vi för varje -värde som aväds i var och e av dessa fyra modeller a få elva 4 Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci.., s. 69. Äve Deb, P., - Sefo, M., op. ci.., s. 5, aväde sig av dessa -värde vid sia simulerigar av Jarque-Beras ormalieses. 5 Weisberg, S., Comme, Joural of he America Saisical Associaio, March 98, Vol. 75, Nr. 369, s. 8-3 och Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 7f. Weisbergs arikel är e kommear ill Whie, H. MacDoald, G. M., op. ci., publicerad i asluig ill de arikel. 6 Aledige ill a jus dessa fyra desiger har vals är a de ka ses som e slags grudläggade regressiosmodeller, sam a de ger oss möjligheer a bedöma hur variaioe i β- och X-värdea påverkar simulerigsresulae (se avsi 3..3). Vad gäller de slumpmässiga värdea för β, β och X i desigera vå, re och fyra as ya värde fram för varje y replikaio. 7 A vi har val a aväda oss av N= replikaioer beror dels på a de ger e illräcklig lie felmargial, dels på a de är lämplig med häsy age ill illgäglig daorkraf. 8 För a göra de möjlig a exak upprepa varje simulerig aväds e uik BASE-värde för varje simulerig. Dea BASE-värde låer vi Miiab dra slumpmässig frå helal mella och. På så sä försäkrar vi oss om a alla simulerigar blir oberoede, ros avädade av BASE-värde. 4

11 resula för -värde i modell (.4). Efersom vi dessuom aväder oss av samma β -, β -, X - och u -värde för dessa elva -värde kommer vi a så låg de är möjlig göra skillade mella de olika resulae beroede av sorleke på -värde. På så sä filrerar vi, så låg de är möjlig, bor slumpes iverka på skillade mella de elva olika resulae. Föruom dea sudie av modell (.3) geomför vi också e midre sudie för a se hur sor variaioe i essaisika (.) blir är aale regressorer (k) varierar och X-värdea är kosruerade på e aa sä ä vid sudie av modell (.3). Vi aväder oss därvid av modelle (.5) Y = β + β X + β X + L + β X + u, =,,...,; k,,..., 9, k k = d.v.s. vi begräsar oss ill a ebar udersöka =, med aale regressorer varierade mella e och io sycke. Som X-värde aväder vi oss av kolumera frå re olika daase med 9-mariser, vilka preseeras i e arikel av Weisberg 9 och är skapade jus för dea ädamål. För varje ökig av k lägger vi såluda ill ärmas följade kolum med X- värde. Weisbergs re daase avädes också av Jarque och Bera vid deras Moe Carlosimulerigar av essaisika (.). β-värdea i modell (.5) simuleras så a β i ~NID(,), i=,,9. I övrig geomförs dea sudie på samma sä som sudie av modell (.3). Bakgrud om ormalieses för regressiosresidualer Som påpekades i iledige () fis de e fleral olika es som ka avädas för a esa rikighee i aagade om a sörigserme u i de klassiska lijära regressiosmodelle (.) är ormalfördelad. Om u vore observerbar skulle ormalfördeligsaagade kua esas direk geom avädade av ågo av flera välkäda essaisikor. Då dea ie är möjlig får isälle OLS-residualera û k k û, där = Y βˆ βˆ X βˆ X L βˆ X, avädas, och essaisikora modifieras så a dessa ka avädas. A dea går bra visas av Whie och MacDoald. Av de sora aal ormalieses som fis skall vi här edas behadla es illhörade vå grupper: de som baseras på skevhe och/eller kurosis och de som baseras på ordigssaisikor. Liksom 9 Weisberg, S., op. ci., s Dessa re daase åerfis i bilaga 7. Daase är geerera så a varje värde represeerar e oberoede dragig frå e rekagulärfördelig med iervalle (,), meda daase och 3 är delar av vå 4 - respekive 5-desiger (ibid. s. 8). Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 7 Vi aväder oss här av samma β-värde för samliga replikaioer. 5

12 Whie-MacDoald kommer vi a beecka de essaisikor θ som baseras på OLS-residualer med θˆ, för a skilja dessa frå de essaisikor som är baserade på observaioer eller de saa sörigsermera u, vilka vi beeckar med θ. För JB-ese mosvaras dessa beeckigar av JB N respekive JB.. Normalieses baserade på skevhe och/eller kurosis Normalieses baserade på skevhe ( skewess ) och kurosis mäer hur symmeriska respekive oppiga OLS-residualeras fördelig är. E må på skevhe ( β ) respekive kurosis (β ) för populaioe av e slumpvariabel X ges av de redje och fjärde sadardiserade momee geom formlera (.) (.) β = E( X µ ) ( X µ ) 3 ( E ) ( X µ ) ( X µ ) 4 ( E ) 3 / E = ( X µ ) σ 3 ( X µ ) E E β = =. 4 σ Sickprovsesimaorera för β och β blir då, respekive, 4 3 (.3) b = i= i= ( x x) ( x x) i i 3 3 (.4) b = i= i= ( x x) ( x x) i i 4. För e ormalfördelad populaio är värdea för β och β lika med respekive 3. E populaios avvikelse frå ormalfördelige ka såluda beskrivas geom dess cerala momes avvikelse frå respekive 3. Påpekas bör också a ros roecke ka värdea för Whie, H. MacDoald, G. M., op. ci., s. 6ff och Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 69 6

13 β och b ka vara egaiva, sam a b och b är okorrelerade me ie oberoede i ädliga sickprov. 3 Vid avädade av OLS-residualer för a esa ollhypoese om ormalfördelade sörigsermer mosvaras formlera (.3) och (.4) av essaisikora 3 û = (.5) bˆ = 3 / û = 4 û = (.6) bˆ = û = där û är OLS-residualer, bˆ mäer skevhee och bˆ mäer oppighee. Sigifikaspuker för dessa båda essaisikor fis illgägliga. 4 E svaghe med essaisikora (.5) och (.6) är a är dessa aväds separa är möjligheera a förkasa ollhypoese om ormalfördelig beroede av om avvikelsera frå ormalfördelige beror på skevhee respekive oppighee. Vi ka dock ie allid i förväg ha kuskap om vilke slagas ickeormalie vi kommer a söa på. Därför behövs de så kallade omibuses, de vill säga es som är käsliga för såväl ickeormalie på grud av skevhe som ickeormalie på grud av oppighe. 5 De fis e fleral omibuses för ickeormalie som baseras på e samidig avädade av b och b. Av dessa skall vi här edas behadla de så kallade R-ese, vilke är kosruera på följade sä: lå α *, b α * och L b α*, U b α* beecka de L b U edre och övre α*% sigifikaspukera för b respekive b, där (.7) α * = α ( ) (.8) α = 4 α * ( α *) 3 D Agosio, R. B. - Belager, A., - D Agosio Jr, R. B., A Suggesio for Usig Powerful ad Iformaive Tess of Normaliy, The America Saisicia, ov. 99, Vol. 44, Nr. 4, s. 37, Mardia, K. V., Tess of Uivariae ad Mulivariae Normaliy i Krishaiah, P. R. (red.), Hadbook of Saisics, Volume Aalysis of Variace, s. 8 och 85 sam Urzúa, C. M., O he correc use of omibus ess for ormaliy, Ecoomics Leers, Nr. 53, 996, s Whie, H. MacDoald, G. M., op. ci., s. 7f, där de också fis hävisigar ill var de går a hia abeller med sigifikaspuker för de båda essaisikora. 5 Whie, H. MacDoald, G. M., op. ci., s. 7 7

14 b -plae kosruera e rekagel med höre i ( b *, U b α *) L ( bα *, U b α *), ( b *, b *) U α L L α och ( bα *, L b α *). Om u b U och b vore oberoede skulle saolikhee vara lika med α a e bivaria observaio (, ) De går då a i, b α, b hamar uaför dea rekagel vid sickprovsdragig frå e ormalfördelad populaio. Då dea ie är falle får α*-värdea juseras för a a häsy ill dea bris på oberoede. Tabeller för vissa av dessa α*-värde fis illgägliga 6. Om u de ea eller båda av b och b hamar uaför si α*% sigifikaspuk förkasar R-ese ollhypoese om ormalfördelig med saolikhee α. Vid avädade av OLS-residualer för a esa ollhypoese om ormalfördelade sörigsermer ( Rˆ ese) ersäs b och b med bˆ och bˆ, defiierade som i formlera (.5) och (.6). 7 b. Normalieses baserade på ordigssaisikor Av de ormalieses för regressiosresidualer som baseras på ordigssaisikor skall vi här edas a upp de så kallade W-, W -, D- och Fillibeese. Då W - och D-ese är modifierigar av W-ese, 8 vilke förelogs i e arikel 9 av Shapiro och Wilk 965, ka de vara lämplig a behadla dea förs. Lå m =(m,m,,m ) beecka vekor av förväade värde för e sadardiserad ormalfördeligs ordigssaisikor och V=v ij (i,j=,,) mosvarade kovariasmaris. Om vi seda låer û = ( û, û,..., ) û beecka e vekor av ordade OLSresidualer så blir W-ese för ormalfördelade regressiosresidualer 6 Se Pearso, E. S. D Agosio, R. B. Bowma, K. O., Tess for deparure from ormaliy: Compariso of powers, Biomerika, 977, Vol. 64, Nr., s Whie, H. MacDoald, G. M., op. ci., s. 7f, Marida, K. V., s. 86 och Pearso, E. S. D Agosio, R. B. Bowma, K. O., op. ci., s Mardia, K. V., op. ci., s. 86ff. De fis yerligare e aal förslag ill modifierig av W-ese (se.ex. Mahibbur Rahma, M. Govidarajulu, Z., A modificaio of he es of Shapiro ad Wilk for ormaliy, Joural of Applied saisics, Vol. 4, Nr., 997 s. 9-35, Royso, J. P., A Exesio of Shapiro ad Wilk s W Tes for Normaliy o Large Samples, Applied Saisics, Vol. 3, Nr., 98, s. 5-4 och Mardia, K. V., op. ci., s. 89f). Aledige ill a vi här edas har val a a upp W - och D-ese är a de är dessa som i illgäglig lieraur har aväs vid jämförelser med JB-ese. 9 Shapiro, S. S. Wilk, M. B., A aalysis of variace es for ormaliy (complee samples), Biomerika, 965, Vol. 5, Nr. 3-4, s

15 (.9) ( ) a û a û Ŵ, û = = = û = = där m V =. m V m (.) a = ( a,a,...,a ) Nollhypoese om ormalfördelade sörigsermer förkasas om de observerade värde för Ŵ är midre ä e kriisk värde W L. De bör dock påpekas a W-ese är begräsad ill värde för 5. Shapiro-Wilk publicerar i si arikel 3 abeller med värde för a och W L. 3 Som e modifierig av Shapiro-Wilks W-es föreslog Shapiro och Fracia a kovariasmarise V i (.) skulle ersäas med ehesmarise E, efersom de ordade observaioera för sora sickprov kude behadlas som om de vore oberoede. Dea W - es som är asympoisk ekvivale med W-ese ersäer såluda, med avädade av OLS-residualer, essaisika (.9) med (.) ( b û) = Ŵ = =, û û = = b û där m =. m m (.) b = ( b, b,...,b ) Om de observerade värde för Ŵ är midre ä e sigifikaspuk W L förkasas ollhypoese om ormalfördelade sörigsermer. Också abeller med värde för b och W L fis illgägliga. 3 E ackdel med W- och W -ese är a de kräver e avädade av abeller med viker för a respekive b. E modifierig av W-ese som udviker dea preseeras i e arikel 33 3 Shapiro, S. S. Wilk, M. B., op. ci., s. 63ff 3 Whie, H. MacDoald, G. M., op. ci., s. 7f, Royso, J. P., op. ci., s. 6, Mahibbur Rahma, M. Govidarajulu, Z., s., Shapiro, S. S. Wilk, M. B., op. ci., s. 59f, Mardia, K. V., op. ci., s. 86f och Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s Mardia, K. V., op. ci., s. 88, Mahibbur Rahma, M. Govidarajulu, Z., s., Whie, H. MacDoald, G. M., op. ci., s. 7f och Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 67. Dessa ager också var abeller med värde för b och W L fis illgägliga. 33 D Agosio, R. B., A omibus es of ormaliy for moderae ad large size samples, Biomerika, 97, Vol. 58, Nr., s

16 av D Agosio. Ha kallar dea modifierade W-es för D-ese, vilke med avädade av OLS-residualer ges av 34 (.3) där Dˆ Dˆ * = E( D) ( D) = = = + û + û, = û = û π 4π π ( ) Γ[ ( ) ] Γ( ) π û < û <... < û beeckar ordigssaisikora för OLS-residualera û och (D) beeckar de asympoiska sadardavvikelse för D-saisika. D-ese är e dubbelsidig es, vilke gör a ollhypoese om ormalfördelig förkasas om de observerade Dˆ * - värde är midre eller sörre ä de udre och övre kriiska värdea D* L respekive D* U. 35 Fillibeese äve kä som The Probabiliy Plo Correlaio Coefficie Tes är också ära relaera ill W-ese. De har de fördele a de äve är lä a illusrera grafisk. Grude för dea es är e ormalsaolikhesplo, vilke för regressiosmodeller kosrueras geom a skaa mediae för de :e ordigssaisika frå e sadardiserad ormalfördelig, och seda ploa dea värde mo de :e ordigssaisika för de sadardiserade residualera frå de apassade regressiosmodelle. Om u residualera kommer frå e ormalfördelad populaio av sörigsermer så kommer ploe a vara approximaiv lijär. E umerisk må på grade av lijärie och därmed på avvikelse frå ormalie ges av e beräkig av de lijära korrelaioskoefficiee r för korrelaioe mella mediaera (M ) och de sadardiserade residualera (e ). Dea är också precis vad Fillibeese gör. Formel för dea blir då (.4) rˆ = Corr( e, M) = ( e e)( M M) = ( e e) ( M M) = = 34 I D Agosios arikel aväd beeckige Y för D*-saisika. 35 D Agosio, R. B., op. ci., s. 34f, Mardia, K. V., op. ci., s. 87f, Whie, H. MacDoald, G. M., op. ci., s. 7f och Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 67. Dessa ager också var abeller med kriiska värde för D* L och D* U fis illgägliga.

17 varefer ollhypoese om ormalfördelade sörigsermer förkasas om de observerade rˆ - värde är midre ä de abellerade kriiska värde för e lämplig sigifikasivå. 36 Beräkige av M -värdea sker eklas geom e rasformerig av mediavärdea (m ) för ordigssaisikora frå e rekagulärfördelig iom iervalle (,), efersom M är relaerad ill m geom M =Φ - (m ), där Φ är de kumulaiva fördeligsfukioe för e sadardiserad ormalfördelig. Fillibe föreslår a värdea för m i si ur beräkas med m,,5, (.5) m = (,375) ( +,365 ), = =,3,...,( -) = Adra förfaare föreslår aleraiva sä a skaa mediaera. De går äve a i essaisika (.4) bya u mediavärdea mo mosvarade medelvärde. 37 De sadardiserade residualera i essaisika (.4) ka se u på olika sä. E ekel form av sadardiserig är (.6) där e = = û û ( ) û är OLS-residualer, me måga adra aleraiva sadardiserigar ka också avädas. De går äve a aväda de osadardiserade OLS-residualera û direk Jarque-Beras ormalieses Liksom R-ese är Jarque-Beras ormalieses e omibuses basera på e samidig avädade av b och b. Vid JB-ese för ormalfördelade observaioer aväds formel JB = ( ) ( ) (.7) 39 b b = b 6 b Fillibe, J. J., The Probabiliy Plo Correlaio Coefficie Tes for Normaliy, Techomerics, Vol. 7, Nr., February 975, s. f, 6 och Pfaffeberger, R. C. Dielma, T. E., Tesig ormaliy of regressio disurbaces A Moe Carlo sudy of he Fillibe es, Compuaioal Saisics & Daa Aalysis, Vol., 99, s. 65ff. 37 Fillibe, J. J., op. ci., s. 5f och Pfaffeberger, R. C. Dielma, T. E., op. ci., s. 66f 38 R. C. Dielma, T. E., op. ci., s. 67f 39 Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 65

18 där b och b är som defiierade i (.3) och (.4). Ersäer vi seda b och b i (.7) med bˆ respekive bˆ frå formlera (.5) och (.6), så ser vi a vi får essaisika (.). De är vidare e kä fakum a, vid ormalfördelade variabler, medelvärde och varias för b och b ges av följade formler: (.8) E( b ) = 6 (.9) ( ) ( ) b = Var (.) ( b ) ( + )( + 3) ( ) 3 E = + (.) ( b ) 4( )( 3) ( + ) ( + 3)( + 5) Var =. Som framgår av formlera (.8-) är de asympoiska värdea för b och b, om dessa är ormalfördelade, respekive 3, meda deras asympoiska variaser är 6/ respekive 4/. Då vi också ve a deras asympoiska kovarias är, får essaisika (.7) e aurlig olkig. De är hel ekel kvadrasumma av vå asympoisk oberoede sadardiserade ormalfördelade variabler. 4 Efersom u kvadrasumma av sycke oberoede sadardiserade ormalfördelade variabler är essaisika (.7) är asympoisk χ -fördelad, 4 iser vi a χ -fördelad. Dea påpekades reda 975 i e arikel av Bowma och Sheo 4, me de framhöll a gaska sora sickprov skulle behövas för a χ - approximaioe skulle hålla, efersom särskil b är låg ifrå ormalfördelad es i målig sora sickprov. 43 Föruom a vara asympoisk χ -fördelad är essaisika (.7) uder ollhypoese om ormalfördelade sörigsermer äve asympoisk ekvivale med e likelihood raio - 4 Urzúa, C. M., O he correc use of omibus ess for ormaliy, Ecoomics Leers, Nr. 53, 996, s Wackerly, D. D. Medehall III, W. Scheaffer, R. L., Mahemaical Saisics wih Applicaios, 5 h ed., s. 74f 4 Bowma, K. O. Sheo, L. R., Omibus es coours for deparues from ormaliy based o b och b, Biomerika, 975, Vol. 6, Nr., s Tessaisika (.7) ka äve härledas som e Lagrage muliplier -es för ollhypoese a e sickprov är drage frå e ormalfördelig med mohypoese a sickprove kommer frå ågo aa medlem av Pearsofamilje (.ex. ormal-, bea-, gamma, sudes - och F-fördeligara), eller Gram-Charlier (yp A)- familje. De var också dea som Jarque och Bera gjorde. Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 63ff

19 es. Dea medför a de äve har samma asympoiska karakerisika som e likelihood raio -es, såsom maximal lokal asympoisk syrka ( power ). 44 Då de kriiska värdea för χ bara är avädbara vid sora sickprov behöver särskilda sigifikaspuker as fram för midre sickprov. För ädliga värde på, uder ollhypoese om ormalfördelig, är dock fördeligara för b och b okäda, samidig som dessa, som påpekas ova (.), ie är oberoede 45. Dea har medför a daorsimulerigar har mås avädas för a a fram sigifikaspuker för ädliga -värde. Jarque och Bera 46 og med hjälp av Moe Carlo-simulerigar besåede av N= replikaioer fram sigifikaspuker för små sickprov. Deb och Sefo 47 fa dock seare a Jarque-Beras sigifikaspuker var felakiga, efersom de förkasade ollhypoese om ormalfördelig allför ofa, och geomförde därför ega Moe Carlo-simulerigar med N=6 replikaioer för a a fram ya sigifikaspuker för små sickprov. Såväl Jarque och Bera som Deb och Sefo beräkade sigifikaspukera uifrå JB-ese för ormalfördelade observaioer, varvid allså essaisika (.7) avädes. De aväde - värdea = ()5(5)5(5)3()5(3)8, med sigifikasivåera α=,5 och α=,. Dessa sigifikaspuker preseeras i abell B. (se bilaga ). Seare geomförde också Urzúa 48 Moe Carlo-simulerigar, besåede av N= replikaioer, för a beräka sigifikaspuker för essaisika (.7). Ha aväde sig därvid av -värdea =()(5)5(5)(5)()3(5)8 och sigifikasivåera α=,, α=,5, α=,, α=,5 sam α=,. Urzúas kriiska värde skilde sig bara margiell (som mes 5 hudradelar) frå Deb-Sefos sigifikaspuker, och redovisas äve dessa i abell B.. För a jämföra de eoreiska sigifikasivåera (α) i abell B. med de fakisk observerade sigifikasivåera ( α ˆ ) vid ormalieses för regressiosresidualer geomförde Deb och Sefo 49 Moe Carlo-simulerigar med N= replikaioer, med avädade av fyra olika daase. Resulae redovisas i abell eda. Som framgår av dea är såväl Jarque-Beras sigifikaspuker som de kriiska värdea för χ biased geom a 44 Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 64f. Tessaisika (.7) har också för sora sickprov opimala syrkekarakersika för fördeligar som illhör Pearso- eller Gram-Charlier (yp A)-familjera (ibid.). Se foo Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 68f 47 Deb, P., - Sefo, M., op. ci., s. 4f 48 Urzúa, C. M., O he correc use of omibus ess for ormaliy, Ecoomics Leers, Nr. 53, 996, s Deb, P., - Sefo, M., op. ci., s. 7 3

20 de förkasar H allför ofa respekive allför sälla. Deb-Sefos sigifikaspuker är däremo ej biased, efersom de äcker de eoreiska sigifikasivåera. Tabell : Variaio i fakisk observerad sigifikasivå Kriiska värde frå α=, α=,5 Deb-Sefo,99< α ˆ <,7,45< α ˆ <,549 Jarque-Bera,7< α ˆ <,346,559< α ˆ <,789 χ,39< α ˆ <,87,5< α ˆ <,48 Källa: Deb, P. - Sefo, M., The disribuio of a Lagrage muliplier es of ormaliy, Ecoomics Leers, 996, Nr. 5, s. 7 Som e vidareuvecklig av JB-ese föreslår Urzúa 5 e jusera JB-es, som vi här kallar AJB. Ha låer hel ekel värdea i (.8-) ersäa mosvarade asympoiska värde i essaisika (.7) så a vi, med avädade av OLS-residualer, får följade formel 5 : bˆ bˆ [ bˆ E( bˆ )] (.) AJB N + = Var( bˆ ) 6( ) ( + )( + 3) ( ) 3 bˆ + = +. Var bˆ 4( )( 3) ( + ) ( + 3)( + 5).4 Jämförelse mella JB N -ese och övriga ormalieses för regressiosresidualer Om vi u jämför JB N -ese med de övriga ormalieses för regressiosresidualer som har preseeras i avsi (.) och (.) så är de klar a JB N -ese har e aal fördelar. Jämför med bˆ - och bˆ -ese är de e omibuses, vilke gör a de i mosas ill dessa är käslig för såväl ormaliesavvikelser som beror på skevhe som sådaa som beror på oppighe. Vad gäller de övriga ese så är dessa beydlig oympligare ä JB N -ese. Tessaisikora är krågligare och vissa kräver dessuom illgåg ill abeller med vägigskoefficieer. För a aväda JB N -ese krävs de däremo edas illgåg ill OLSresidualera, och essaisika är ekel och läaväd. För a udersöka hur bra e ormalieses är jämför med adra kokurrerade es görs valige e jämförelse mella de olika eses syrka ( power ). Jarque och Bera 5 Urzúa, C. M., O he correc use of omibus ess for ormaliy, Ecoomics Leers, Nr. 53, 996, s. 48f och Urzúa, C. M., Erraum o O he correc use of omibus ess for ormaliy [Ecoomics Leers 53 (996) 47], Ecoomcs Leers, Nr. 54, 997, s Kriiska värde för dea es redovisas i Urzúa, C. M., O he correc use of omibus ess for ormaliy, Ecoomics Leers, Nr. 53, 996, s

21 udersöke hur JB N -eses syrka sår sig i jämförelse med bˆ -, bˆ -, Dˆ * -, Rˆ -, Ŵ - och Ŵ -eses. De geomförde därvid Moe Carlo-simulerigar med N=5 replikaioer, där de saa sörigserme u geererades frå fyra aleraiva fördeligar 5, och beräkade seda dessa sju ormaliesess syrka med α=, och = respekive =5. Resulae blev a JB N -, Ŵ - och Ŵ -ese var de es som klarade sig bäs. 53 E beräkig av medelvärdea över de fyra aleraiva fördeligara visar också a JB N -ese hade sörs geomsilig syrka för såväl = som =5. Hur JB N -eses syrka sår sig vid e jämförelse med Fillibeese udersökes av Pfaffeberger och Dielma. 54 De aväde sig av Moe Carlo-simulerigar med N=5 replikaioer och geererade sörigserme u frå sex aleraiva fördeligar 55. Resulae blev a se ill medelvärde över de sex fördeligara var JB N -eses syrka aige sörre ä Fillibeeses. E jämförelse mella JB N - och AJB N -eses syrka, som geomfördes av Urzúa, uföll dock ill JB N -eses ackdel. Urzúa aväde sig av Moe Carlo-simulerigar med N= replikaioer för =, 35, 5 och. Som sigifikasivå aväde ha sig av α=, och som sigifikaspuker av såväl de asympoiska χ -värdea som de med daorsimulerigar framaga exaka sigifikaspukera. AJB N -ese uppvisade därvid de bäsa resulae i båda falle. I sju av de åa falle var medelvärde för AJB N -eses syrka över de fem aleraiva fördeligara 56 sörre ä JB N -eses De fördeligar som avädes var gamma (,), bea (3,), Sudes (5 frihesgrader) och logormal. 53 Jarque, C. M. Bera, A. K., op. ci., s. 69ff 54 Pfaffeberger, R. C. Dielma, T. E., op. ci., s. 7f. Mediavärdea i essaisika (.6) ersae de med mosvarade medelvärde. 55 Som aleraiva fördeligar avädes Laplace, Sudes med, 5 respekive frihesgrader, rekagulärfördelig på iervalle (-,) sam e fördelig där 85% av u -värdea drogs frå e N(,)- fördelig och 5% frå e N(,5)-fördelig. 56 Sörigserme u geererades frå Sudes - (5 frihesgrader), heeroskedasisk ormal-, χ -, Laplace- och logormalfördeligara. 57 Urzúa, C. M., O he correc use of omibus ess for ormaliy, Ecoomics Leers, Nr. 53, 996, s. 49ff 5

22 3 Auokorrelaioes iverka på JB N -eses sigifikasivå U dersökige av hur auokorrelaioe iverkar på JB N -eses sigifikasivå kommer a ha som huvudlije a jämföra de fakisk observerade sigifikasivå ( α ˆ ) med de eoreiska sigifikasivå (α). Vid prakisk avädig av Jarque-Beras ormalieses för regressiosresidualer aväds som kriiska värde aige de asympoiska rikiga χ -värdea eller de sigifikaspuker för ädliga - värde som agis fram för Jarque-Beras ormalieses för observaioer geom Moe Carlo-simulerigar av essaisika (.7) 58. Dea udersökig kommer därför a kocereras på a udersöka hur sigifikasivå frå dessa kriiska värde påverkas av auokorrelaioe. 59 För dea ädamål beräkar vi, med hjälp av Moe Carlo-simulerigar 6 med e miljo replikaioer av essaisika (.7), ega sigifikaspuker för Jarque-Beras ormalieses för observaioer. För a få så exaka sigifikaspuker som möjlig beräkar vi här e kriisk värde (K α ) med formel (3.) K = m + (( N + )( α) F)( m m ) där α F C F, (3.) F = ( N + )( α) (3.3) C = ( N + )( α) där N är de oala aale replikaioer för e viss -värde, F och C är leas ieger fucio respekive greaes ieger fucio och m i, i=,, är värde för de i:e ordigssaisika för de simulerade auokorrelerade värde. Vi beräkar dessa kriiska värde för samliga -värde som vi har avä vid våra Moe Carlo-simulerigar av essaisika (.). Dessa framräkade sigifikaspuker, som bara skiljer sig margiell (som mes fyra hudradelar) frå Deb-Sefos sigifikaspuker, preseeras i abell B. (se bilaga ). Då de baseras på beydlig fler replikaioer ä såväl Deb-Sefos som Urzúas sigifikaspuker bör de också vara de mes korreka. De eoreiska sigifikasivå (α) som dessa kriiska 58 Deb, P., - Sefo, M., op. ci., s. 3, 6, 8 59 Vi beräkar äve vad α ˆ blir för de simulerade auokorrelerade värdea för essaisika (.) är kriiska värde som baseras på a sörigsermera u,,u är oberoede aväds. Dessa kriiska värde beräkas för varje -värde uifrå de replikaioer där vi sa =. Då de α ˆ -värde som baseras på dessa sigifikaspuker för de mesa bara skiljer sig margiell frå de α ˆ -värde som är baserade på abell B. kommer dessa ie a behadlas i huvudexe, ua edas as upp i fooer är de fis ågo iressa skillad. 6

23 värde sår för jämför vi seda med de fakisk observerade sigifikasivå ( α ˆ ) som dessa ger för våra simulerade auokorrelerade värdea. De fakisk observerade sigifikasivå beräkar vi med formel (3.4) α ˆ = P( y > K ) α L + α = L + N + ( K m ) ( m m ) ( M + ) L N +, L+ L, om M = om M där y är de observerade värde för e replikaio, K α är de kriiska värde för e viss eoreisk sigifikasivå α, L är aale replikaioer vars värde är midre ä K α, M är aale replikaioer vars värde är lika med K α och m i är värde för de i:e ordigssaisika för de simulerade auokorrelerade värdea, i=,,. Dea gör a om vi beräkar K α -värde i (3.) och α ˆ -värde i (3.4) på samma simulerig så kommer vi få a α = α ˆ. Som eoreiska sigifikasivåer aväds i dea udersökig α=,, α=,5, α=,5 och α=,. Efersom Jarque-Beras felakiga sigifikaspuker i abell A är de mes spridda 6 kriiska värdea för JB-ese kommer vi äve a göra e midre graskig av hur bra dessa geomsilig se sår sig vid e jämförelse med de asympoiska de sigifikaspuker i abell B. som vi själva har agi fram. χ -värdea och De fis allid e viss osäkerhe i α ˆ -värdea, efersom simulerigara är sickprov ur e oädlig populaio. De saa fakiska värde, som skaas med α ˆ, beeckas här α. Låer vi seda Y beecka replikaioera frå Moe Carlo-simulerigara ser vi a slumpvariabel Y är biomialfördelad med saolikhee för success lika med α. E (-α)% kofidesiervall 6 för α ges då av (3.5) ( α ˆ ) α ˆ ( α ˆ ) α ˆ α ˆ Z ˆ α < α < α + Zα N N där Z α/ är e värde ur de sadardiserade ormalfördelige. För a förekla aalyse iför vi följade beeckigar för källora ill de kriiska värde som aväds: B sår för värdea i abell B., sår för de asympoiska värdea (vilka också åerfis i abell B.) och JB för Jarque-Beras sigifikaspuker i χ - 6 Vi aväder äve här BASE-värde som vi låer Miiab dra slumpmässig frå helal mella och (se foo 8). 6 Dessa värde publicerades försa gåge 98 meda Deb-Sefos och Urzúas kriiska värde publicerades förs 996. Jarque-Beras kriiska värde åerfis också i.ex. Newbold, P., op. ci., s Dea gäller uder förusäige om OSU sam a N α ˆ ( - α ˆ ) > 9. 7

24 abell B.. 63 Noaioe α ˆ, beeckar α ˆ -värde för e viss - och -värde meda beeckigara α ˆ, och α ˆ, beyder a α ˆ -värde gäller för samliga - respekive - värde. De daamaerial som har simuleras fram för dea udersökig är mycke omfaade. De besår av oal 56 sycke 5-mariser och 36 sycke 9-mariser. Tabeller med samliga dessa mariser med rådaa åerfis i bilaga 8 respekive Me för a kua dra ågra geerella slusaser måse daamaeriale reduceras så a de blir mer överskådlig. Därför preseeras här i huvudexe edas de reducerade daamaeriale. Påpekas bör också a geomgåede kommer värdea i uppsase a preseeras på forme α ˆ och α, så a värdea direk ka olkas som proce och proceeheer. 3. Iverka på e våvariabels regressiosmodell Vi kommer i dea avsi a kocerera oss på a sudera resulae frå Moe Carlosimulerigara av de våvariabels regressiosmodelle (.3), för a i äsa avsi (3.) behadla resulae frå de Moe Carlo-simulerigar av modell (.5) som vi geomför med hjälp av daasee Sorleke på JB N -eses fakisk observerade sigifikasivå När de gäller sorleke på JB N -eses fakisk observerade sigifikasivå α ˆ är de svår a dra ågra låggåede geerella slusaser, efersom dea varierar mycke beroede på vilka β-, X-, α-, - och -värde som aväds (abeller med rådaa frå Moe Carlosimulerigara åerfis i bilaga 8). De fis dock vissa gemesamma drag, som vi här skall aalysera. Då uvecklige för de olika α-, - och -värdea är likarad för samliga fyra olika desiger väljer vi a i dea avsi kocerera oss på uvecklige för dessa geom a se på 63 Beeckige sår för de sigifikaspuker vi få frå de replikaioer där vi sa = (se foo 59). 64 Vi har i dessa abeller äve markere med * om e α ˆ -värde ie är sigifika skild frå α på sigifikasivå 95%, d.v.s. om α α ˆ α <,96. ( α) 8

25 medelvärdea för α ˆ, -värdea frå de fyra desigera, och behadlar i äsa avsi de skillad i α ˆ, -värdea som beror på olika β- och X-värde. E mycke bra bild av uvecklige för α ˆ, -värdea vid avädade av olika α-, - och -värde framkommer i diagram -8 i slue av dea avsi, vars umeriska värde redovisas i abellera i bilaga Frå diagramme och abellera ser vi a vad gäller α B ligger samliga ˆα, -värde på ugefärlige samma ivå som mosvarade α-värde. För α ˆ -värdea ser dock bilde ågo aorluda u. Vid = ligger samliga ˆα, -värde på e låg ivå 5-35% av si α-ivå me siger seda är ökar. För α=, och α=,5 ligger ˆα, fr.o.m. =3 respekive =75 sadig över sia respekive α-ivåer. Dea i mosas ill α=,5 och α=,, där ˆα, hela ide ligger sadig uder sia respekive α-ivåer. När seda siger är dock de övergripade uvecklige i sor se likada för samligas ˆα B - och α ˆ -värdea. För de allra lägsa -värdea ( 75) och för -värde upp ill,4-,5 är α ˆ ämlige sabila, och i vissa fall.o.m. sjukade, me siger seda krafig. För.ex. ˆα 8,. ligger såluda samliga värde på ivå 9-95%, meda låga -värde som ˆα,. geomgåede uppvisar värde som klar är lägre ä såväl mosvarade α-ivå som mosvarade ˆα, -ivå. Me efersom de specifika uvecklige för varje α ˆ, -värde allså beror på de re fakorera α, och går de ie a säga ågo om e specifik α ˆ, -puk ua a a häsy ill alla dessa re fakorer. När vi seda går vidare frå a sudera medelvärdea ill a ia lie ärmare på de fyra olika desigera, för a se iom vilka gräser α ˆ håller sig, är edese desamma. Tabell och 3 eda visar miimi- och maximivärdea för α ˆ, respekive α ˆ,. Frå abell framgår a för -värde upp ill,3-,4 håller sig miimi- och maximivärdea för samliga α B - och α -värde på e ämlige sabil ivå, me a de övergripade rede vid sigade -värde aars är sjukade för miimivärdea och sigade för maximivärdea. De sigade rede är dock beydlig sarkare ä de sjukade rede. Såluda är de sörsa absoluvärde på, där defiieras som förädrige i proce frå = ill =, hela 7674% för de förra me edas 57% för de seare. Vidare ser vi frå abell a med udaag för 65 I dessa abeller har vi äve markera de värde där iga av desigera -4 är sigifika skilda frå α på 95% sigifikasivå med * (se foo 64). 9

26 ,3 för α =, ligger alla α-värde, för samliga -värde, iaför de gräser som säs av miimi- och maximivärdea. Tabell : Miimala och maximala α ˆ, -värde för desig -4 \α,,5,5,, B,5 B,5 B, B Mi Max Mi Max Mi Max Mi Max Mi Max Mi Max Mi Max Mi Max,,55,8,366 3,39,74 5,88,36 9,464,8,,7,977 4,6 5,63 8,583,63,,85,58,3 3,368,74 5,6,34 9,37,86,39,966,8 4,86 5,54 8,6,56,,66,8,3 3,33,67 5,4,76 9,355,67,6,876,88 4,7 5,478 8,36,87,3,94,49,336 3,65,568 5,393,73 9,9,66,59,89,965 4, 5,67 8,8,58,4,56,,78 3,76,53 6,79,5,64,68,69,756 3,387 3,639 6,4 8,46,67,5,5,748,5 4,787,5 7,876,73 3,3,564,979,693 4,44 3,385 8,54 7,996 4,83,6, 4,9,5 6,94,449,39,887 7,,56 3,54,43 6,57 3,35,67 7,33 8,8,7,93 7,5,,935,47 5,56,84 3,894,43 5,46,38,33 3, 5,85 6,868 5,67,8,89 3,37,8 9,35,4 6,4,744 36,4,43,76,8 8,74,638 6,6 6,585 37,58,9,76 3,7, 39,93,344 48,586,76 58,767,337 7,4,6 38,74,67 49,94 6,49 6,3,,9 94,39, 95,774,37 96,77,66 97,73,346 93,365,77 95,6,66 96,85 6,4 97,857-4,3 448,5-4,6 777, -48,6 8, -5,4 93,4-57,4 7673,9-46,9 3, -37,8 69,4-5, 8, Am: =förädrig i proce frå = ill =. De lägsa värde för varje kolum har markeras med fe sil. Frå abell 3 eda framgår a är ökar siger maximivärdea krafig, för a i samliga fall å upp ill värde på proce för =8. För miimivärdea ser de dock ågo aorluda u. Ser vi ill α B sam α =, och α =,5 så siger miimivärdea är ökar, upp ill -värde på 4-5, me håller sig seda ämlige sabila. För α =,5 och α =, är däremo rede sadig sigade för ökade -värde, och de år sia högsa miimivärde förs för =8. Noeras ka också a miimivärdea för =8 ligger över mosvarade α-värde för α ˆ =, och α ˆ =,5, meda de för α ˆ =,5 och α ˆ =, ligger uder mosvarade α-värde. För α B ser vi vidare a samliga α-värde, för alla - värde, ligger iaför de gräser som säs av miimi- och maximivärdea. Tabell 3: Miimala och maximala α ˆ, -värde för desig -4. α\ , Mi,76,37,739,34,37,57,638,67,75,597,397,597,4,433,43 Max,34,5,748,66 4,53 9,8,36 34,54 46,5 6,63 7,5 78,938 85,694 89,36 94,39,5 Mi,5,6,8,889,79,457,599,67,799,656,545,857,464,69,544 Max,595,83,533 3,947 6,599 7,8 34,55 47,86 58,95 7,87 79,59 84,366 89,483 9,85 95,774,5 Mi,344,4,4,884 3,57 3,384 3,8 4,87 4,46 4,4 4,53 4,53 4,93 4,574 4,59 Max,3,557 3,66 6,7,4 8,56 47,9 59,543 68,945 78,369 84,483 88,6 9,88 94,63 96,77, Mi,66,99 3,36 4,74 4,86 5,6 6,69 6,78 7,5 7,59 7,4 8,75 7,999 8,46 8,84 Max,698 3,783 6,63,779,47 44,835 6,6 7,354 77,886 85,58 89,4 9,7 94,9 95,76 97,73, B Mi,386,337,43,568,65,848,788,793,947,8,787,88,89,87,936 Max,4,9,,57,433 5,3 9,6 7,34 8,535 48,79 6,56 7,749 8,5 86,738 93,365,5 B Mi,8,77,4,94,83,7,37,85,353,66,78,435,35,8,33 Max,66,637,958 4, 6,8 4,3 3,99 43,3 54,73 68,44 77,583 8,993 88,79 9,644 95,6,5 B Mi,66,94 3,68 4,435 4,98 4,373 4,66 4,849 4,75 4,549 4,69 4,9 4,63 4,89 4,763 Max 5,4 5,6 6,59 9,93 6,79 36,44 5,76 63,4 7,39 79,96 85,464 88,75 9,43 94,33 96,85, B Mi 6,49 7,8 9,7 9,399 9, 9,38 9,49 9,463 9,657 9,88 9,335 9,89 9,43 9,664 9,63 Max,3,64,398 3,8 43,79 6,594 7,699 77,794 8,43 87,69 9,987 9,73 94,558 96,33 97,857 Am: De högsa värde för varje rad har markeras med fe sil

27 Diagram : Medelvärde för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α =, Diagram 3: Medelvärde för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α B=, fakisk observerad sigifikasivå fakisk observerad sigifikasivå värde 5 4 3,,,,3,4,5,6,7,8,9, 3 auokovariaskoefficie värde ,,, 3,4,5,6,7,8,9,,3 auokovariaskoefficie Diagram : Medelvärde för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α =,5 Diagram 4: Medelvärde för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α B=, fakisk observerad sigifikasivå fakisk observerad sigifikasivå värde ,, 3,3,4,5,6,7,8,9,, auokovariaskoefficie värde 5 4 3,,,,3,4,5,6,7,8,9, 3 auokovariaskoefficie

28 Diagram 5: Medelvärde för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α =,5 Diagram 7: Medelvärde för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α B=, fakisk observerad sigifikasivå 5 fakisk observerad sigifikasivå värde ,,,4,5,6,7,8,9,,,3 auokovariaskoefficie -värde ,,,,3,4,5,6,7,8,9, auokovariaskoefficie Diagram 6: Medelvärde för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α =, Diagram 8: Medelvärde för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α B=, fakisk observerad sigifikasivå 5 4 fakisk observerad sigifikasivå värde ,, 3,3,4,5,6,7,8,9,, auokovariaskoefficie värde 5 4 3,,,,3,4,5,6,7,8,9, 3 auokovariaskoefficie

29 3.. Sorleke på variaioe i de fakisk observerade sigifikasivåera När de gäller a se hur sor iverka variaioe i β- och X-värdea har på variaioe i α ˆ, -värdea udersöker vi hur mycke de seare skiljer sig å mella de fyra olika desigera. A därvid göra ågo mer formell saisisk es såsom.ex. e ANOVA-es är svår, efersom dessa es kräver oberoede mella observaioera eller error -ermera, och dea ie är uppfyll för daamaeriale i dea udersökig. Isälle aväder vi oss av re beskrivade må. När de gäller hur auokorrelaioe iverkar på JB N -eses sigifikasivå är de också vikig a vea iom vilka gräser α ˆ håller sig. Dea för a kua vara säker på a ie avvikelse skear iväg allför mycke. Vår iresse kocererar sig därför ill a se hur omfaade variaioe är, och för dea ädamål beräkar vi variaiosvidde, d.v.s. skillade mella de högsa och de lägsa av de olika α ˆ, - värdea. För variaiosvidde är de övergripade mösre desamma för samliga sigifikasivåer och sigifikaspuker: variaiosvidde är lie (- proceeheer) upp ill -värde på,7 och siger seda ågo för -värde på,8-,9. När vi säer ill, skjuer variaiosvidde krafig i höjde för medelsora -värde, där de som mes ligger på 4-7 proceeheer, meda ökige är midre för de små och sora -värdea. 66 Dessa möser framgår ydlig frå diagram 9-6 i slue av dea avsi 67 sam abell 4 och 5 eda, där vi redovisar medelvärdea respekive de högsa observerade variaiosvidde för α ˆ, -värdea. Som ses frå abell 4 ökar också hela ide de geomsiliga variaiosvidde är α ökar, med udaag för =,-värdea frå α. Tabell 4: Medelvärde för variaiosvidde för α ˆ, -värdea \α,,5,5,, B,5 B,5 B, B Medel Medel B Medelσ Medel σ B,,7,346,49,539,98,357,5,79,385,45,3,63,,3,349,394,53,94,358,484,685,376,43,54,83,,76,33,339,43,4,33,44,676,34,45,67,4,3,59,3,378,5,,3,499,658,367,45,67,5,4,4,333,49,5,6,36,57,658,38,47,68,88,5,46,344,455,534,5,365,57,63,395,446,67,9,6,57,378,466,645,5,393,585,839,437,5,,8,7,389,48,536,755,35,449,67,993,54,594,88,89,8,4,57,846,9,34,534,7,79,757,98,477,45,9,94,368,786,336,788,378,47 3,384,646,899,9,49,,99,34,97,5,845,,5,939,95,4 9,34 8,954 Am: De lägsa värde för varje kolum har markeras med fe sil. 66 När =, får vi a u =u - +ε, där ε ~NID(,). Dea är e s.k. radom walk -serie, vilke är ickesaioär (Gujarai, D. N., op. ci., s. 78). De sora variaioer som vi observerar här ka ha si förklarig i dea fakum. 67 De umeriska värdea för dessa diagram åerfis i bilaga 3. 3

30 Tabell 5: De högsa observerade variaiosvidde för α ˆ, -värdea \α,,5,5,, B,5 B,5 B, B Medel Medel B,,4,558,774,835,34,589,89,5,64,85,,47,67,75,848,35,66,8,5,647,874,,473,5,68,8,454,63,858,79,6,93,3,448,48,87,863,479,639,997,687,655,95,4,476,67,74,954,437,584,44,36,695,85,5,47,566,84,94,58,55,57,,696,87,6,489,699,98,544,43,74,,95,9,9,7,777,939,,589,78,848,5,75,6,,8,936,4,,394,69,43,6,976,646,73,9,6,69 3,57 4,663,494,6 3,664 6,583 3,3 3,59, 5,7 6,664 5,64 5,676 6,439 6,476 5,7 4,48 5,94 5,543 -max * * Am: De lägsa värde för varje kolum har markeras med fe sil. Rade -max ager -värde för =,-rade. Uifrå dessa resula ka vi dra slusase a för värde upp ill =,7 har vi e så pass begräsad variaiosvidd hos α ˆ -värdea a de fakiska sigifikasivå α baserade på dessa ie påverkas ämvär av variaioe i β- och X-värdea. För -värde på,8-,9 blir påverka mer påaglig för de flesa -värde, vilke gör a viss häsy måse as ill useede hos β- och X-värdea. Och är säs ill, blir påverka i flerale fall så sor a slusaser om värde på α hel är avhägig av useede på β- och X-värdea. 4

31 Diagram 9: Variaiosvidd för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α =, Diagram : Variaiosvidd för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α B=, variaiosvidd 5 variaiosvidd värde 5 4 3,,,,3,4,5,6,7,8,9, 5 auokovariaskoefficie värde 5 4 3,,,,3,4,5,6,7,8,9, auokovariaskoefficie 5 Diagram : Variaiosvidd för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α =,5 Diagram : Variaiosvidd för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α B=, variaiosvidd 5 variaiosvidd värde ,,,,3 5,4,5,6,7,8,9, auokovariaskoefficie värde 5 4 3,,,,3,4,5,6,7,8,9, 5 auokovariaskoefficie 5

32 Diagram 3: Variaiosvidd för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α =,5 Diagram 5: Variaiosvidd för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α B=, variaiosvidd 5 variaiosvidd värde värde ,,,4,5,6,7,8,9,,,3 auokovariaskoefficie 5 4 3,,,4,5,6,7,8,9,,,3 auokovariaskoefficie Diagram 4: Variaiosvidd för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α =, Diagram 6: Variaiosvidd för α ˆ frå desig -4. Kriiska värde: α B=, variaiosvidd 5 variaiosvidd värde ,, 5,4,5,6,7,8,9,,,3 auokovariaskoefficie värde ,, 5,4,5,6,7,8,9,,,3 auokovariaskoefficie 6

33 3..3 Orsake ill variaioe i de fakisk observerade sigifikasivåera Vad är de då som ger upphov ill de observerade variaioe i α ˆ -värde mella de fyra olika desigera? Efersom geererige av β- och X-värdea är de eda skillade mella desigera så måse orsake ill de observerade variaioe bero på β-värdea, X-värdea eller e kombiaio av dessa. Vi försöker därför skilja u de del av variaioe som beror på β-värdea (V β ) och de del som beror på X-värdea (V X ). Nu har β-värdea för desigera och 3 respekive och 4 geereras på samma sä, meda X-värdea är olika. För desigera och respekive 3 och 4 är de värom X-värdea är gemesamma me β-värdea är olika. Såluda måse de observerade skillade mella α ˆ, -värdea för desigera och 3 bero på skillade i X-värde, och samma sak gäller för skillade mella α ˆ, -värdea för desigera och 4. På samma sä ka vi också kosaera a de observerade skillade i α ˆ, -värde mella desigera och ka härledas ill skillade i β-värde, vilke aurligvis också gäller för skillade mella α ˆ, -värdea frå desigera 3 och 4. Därmed ka vi beräka X- och β-värdeas respekive proceuella iverka på variaioe för e viss α ˆ, -värde geom formlera α ˆ ˆ ˆ ˆ 4,, α,, + α 3,, α,, (3.6) V X,, = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4,,,, 3,,,, 4,, 3,,,,,, α α + α α + α α + α α α ˆ ˆ ˆ ˆ 4,, α 3,, + α,, α,, (3.7) V β,, = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4,,,, 3,,,, 4,, 3,,,,,, α α + α α + α α + α α där α ˆ i,, är α ˆ, -värdea för de fyra olika desigera i=,,4 i avsi.. Dea iebär allså a V och V Vβ. β,, = VX,, X,, =,, De geomsiliga 68 V X -värdea för olika -värde (V X,, ), beräkade med formel (3.6), preseeras i abell 6 eda. E i på dea abell ger vid hade a upp ill -värde på,7-,8 håller sig V X,, -värdea ru 5 proce, och såluda är β- och X-värdeas respekive iverka på variaioe i α ˆ, -värdea ugefär lika sor på dessa ivåer. Me är seda -värdea siger så ökar påverka frå X-värdea avsevär, för a å upp ill geomsiliga värde på 9-96 proce för =,. Som framgår av abell 6 är också 7