Portföljanalys för ränteinvesteringar

Transkript

1 Portföljanalys för räntenvesterngar -En tllämpad stude av Black-Lttermans modell applcerad på oblgatonsmarknaden. Examensarbete Industrell ekonom och organsaton Handledare KTH: Brger Ljung, Professor Industrell Ekonom och organsaton Harald Lang, Unverstetslektor Matematsk statstk Handledare SEB: Jonas Ahlander, Chef Portfolo Strategst på SEB Merchant Bankng

2 INNEHÅLL: BAKGRUND TILL PROJEKTET... 4 UPPDRAGET METOD BESLUTSMODELLER SIMULERING... 5 KVANTITATIVA MODELLER INOM DEN FINANSIELLA SEKTORN 5. FINANSIELLA RESPEKTIVE FYSIKALISKA MODELLER FINANSIELLA MODELLER MODELLERS SVAGHETER PORTFÖLJTEORI MARKOWITZ MODELL Den uppnåelga mängden CAPM Antaganden nom CAPM PROBLEM MED KVANTITATIVA MODELLER INOM PORTFÖLJTEORI... 7 BLACK-LITTERMANS MODELL BLACK-LITTERMANS ANGREPPSSÄTT NEUTRALA PORTFÖLJJÄMVIKTER ATT UTTRYCKA ÅSIKTER ATT KOMBINERA OSÄKRA ÅSIKTER τ OCH Ω, DE TVÅ MYSTISKA ELEMENTEN THE UNCONSTRAINED MAXIMATION PROBLEM OPTIMERING MED RESTRIKTIONER RÄNTEPAPPER OCH OBLIGATIONER RÄNTEBILDNING STATSOBLIGATIONER BOSTADSOBLIGATIONER AVKASTNINGSKURVAN RÄNTERISK Duraton (Hässel, Norman; 994) Modferad duraton (Hässel, Norman; 994)... 33

3 8.5.3 Standardavvkelse (Hässel, Norman; 994) PROGRAMUTVECKLING VAL AV UTVECKLINGSMILJÖ VAL AV JÄMFÖRELSEINDEX SVENSKA STATS- OCH BOSTADSOBLIGATIONER BEGREPP START BERÄKNING AV KOVARIANSMATRISEN INLÄGGNING AV PROGNOSER BLACK-LITTERMAN DELEN BERÄKNING AV BLACK-LITTERMANS AVKASTNINGSVEKTOR OPTIMERING ANALYS OCH SLUTSATSER INLÄSNING BLACK-LITTERMANS MODELL PROGRAMUTVECKLING SAMARBETET MED SEB FORTSATT UTVECKLING NÄSTA STEG FÖR SEB FORTSATTA AKADEMISKA STUDIER

4 Bakgrund tll projektet Intresset krng kvanttatva modeller nom de fnansella marknaderna har ökat under de senaste åren. Besluten tll många värdepappersaffärer baseras ofta på resultat från kvanttatva modeller, skapade av forskare. Dessa modeller baseras emellertd på en mängd antaganden gjorda om den värd som modellen hanterar. Att mplementera en sofstkerad modell ett faktskt sammanhang nnebär en mängd problem och frågeställnngar. På 7-talet utvecklades den teoretska ramen för räntebärande papper starkt. Rsk- och känslghetsmått som duraton, konvextet med flera blev mer sofstkerade och mer populära. Den ökade räntevolatlteten ledde tll att en starkt modelldrven dervatmarknad med oblgatoner som underlggande papper utvecklades. Optonshandeln med oblgatoner växte mycket beroende på Black-Sholes modell och dess förlängnngar. (Derman, 996) En av de vktgaste faktorerna för den ökade fokuserngen på kvanttatva modeller nom fnanssektorn har att göra med den ökade datorkraften. Datorkraft och modellutvecklng har agerat språngbräda för varandra. Ökad datorkraft har möjlggjort mer avancerade modeller som efterhand att de vdareutvecklats krävt ännu större datorkapactet. Inom den fnansella sektorn talas det mycket om kvanttatva modeller för porföljallokerng. Utvecklngen av kvanttatva portföljmodeller tog sn början då Henry Markowtz, 95, lade grunden för den moderna portföljteorn. Markowtz kvantferade målen för all nvesterng, det vll säga att maxmera förväntad avkastnng vd en gven rsknvå. Trots att detta ramverk för nvesterngsteor har stått sg ett halvt sekel nom den akademska världen, har det haft förvånansvärt lte praktskt nflytande över fnansella beslut (Zmmermann, Drobetz, Oertmann; ). Med vetskap om de kvanttatva modellernas genomslagskraft nom den akademska världen, hur kommer det sg då, att kvanttatv analys enlgt Markowtz modell nte fått större genomslagskraft den fnansella sektorn? Enlgt Black och Ltterman (Global Portfolo Optmzaton, 99) beror detta främst på att användare anser att resultaten från kvanttatva optmerngsmodeller är orealstska. Om användaren utför en vllkorslös optmerng, rekommenderar 4

5 modellen ofta blanknng flera tllgångar. Om användaren lägger n vllkor som nte tllåter negatva postoner, resulterar detta ofta hörnlösnngar som rekommenderar nollvkter flera postoner samt orealstskt stora postoner papper med låg kaptalserngsgrad. Detta känns nte rmlgt för en rådgvare och är omöjlgt för denne att motvera för kunden. De orealstska allokerngsförslagen härrör från välkända problem. Först och främst är det väldgt svårt att estmera förväntade avkastnngar. Portföljförvaltare tenderar att fokusera på ett begränsat antal tllgångsslag och/eller värdepapper, medan Markowtz modell kräver att användaren specfcerar en förväntad avkastnng för varje papper stt jämförelsendex (benchmark). För det andra, är modellen ofta nstabl. Detta nnebär att den är extremt känslg för de antagande om förväntad avkastnng som görs. Vd en lten modfkaton av de, av användaren nlagda förväntade avkastnngarna, ändras de rekommenderade portföljvkterna drastskt. Alltså om användaren gör en lten ändrng den förväntade avkastnngen för ett ngående papper, kan detta nnebära radkala förändrngar för alla portföljen ngående papper (Lummer, Repe, Segel; 994). Dessa egenskaper bdrar antaglgen tll att användare ofta upplever att modellen nte lyckas med att fånga den komplexa verklgheten på ett rmlgt sätt. På senare td har olka alternatv för att modfera och komma tll rätta med problemen nom Markowtz modell presenterats. En av dessa är den så kallade Black- Lttermans modell som är utvecklad av Fscher Black och Robert Ltterman. Avdelnngen Tradng Strategy på SEB Merchant Bankng har under en td ntresserat sg för denna modell och huruvda den skulle kunna vara användbar deras arbete. Projektet är ntressant då det fnns få vetenskaplga artklar som behandlar Black och Lttermans modell.! " # $ $! % & ' % ( # $) * % $ # +-,. / $ $ $ ) $ $ # &! % (! / 6 # %7 7 7 # %( $ 3 #! ) # %,-:4 & / $ % ; < = >? =@ A A ; B5A = C =@ A AD < = ; E A F G F F = E AH J J H K B L N=G A E = I? F H F = O H E APL < =; BI? F E =-A O J J R S R R T U VPW X Y T U5X Z[ \ T ] X W ^ Z _ Z Y ] R T _ ] U V `_ Z a W b ] _ c Ua d ] V Z S e U T ` ] f g S Te by ^ d T VU Z5c _ Z ] V h Z j W S Z a Z _ Z Y X TS W W V ] f T S a S k5d V ] S V ] U Z^ X k[ \ T V ku eu V Vc S Z W _ Y VS a V _ U a \ R ` e X Te ba \ R U TU V VPR S R R U T _ g d R R5d k S V Vla b T ] U Z] a S W W ] V _ Y S h 5

6 Uppdraget Avdelnngen Tradng Strategy på SEB Merchant Bankng, arbetar med analys och rådgvnng nom ränte- och valutanvesterngar och har stora företag och nsttutoner som kunder. De tampas med flera problem sn kvanttatva ränteportföljmodell. Det största problemet är att modellen, väljer hörnlösnngar, vlket nnebär att den rekommenderar allokerngar en mycket lten andel av de tllgänglga oblgatonerna. Detta är ett vanlgt problem med kvanttatva portföljallokerngsmodeller. Programmet har utvecklats utan en tydlg struktur och rktnng. Detta har bdragt tll att programmet dag är svårt att förstå och att använda. Dessutom hanterar programmet för tllfället endast statsoblgatoner. För att avhjälpa problemet med att modellen väljer hörnlösnngar och för att göra modellen mndre känslg för ndata har Tradng Strategy under en td ntresserat sg för Fscher Blacks och Robert Lttermans kvanttatva portföljallokerngsmodell som brukar kallas Black-Ltterman modellen. Mtt uppdrag nnebär att jag skall utveckla ett program som, utfrån Black-Ltterman modellen, allokerar oblgatoner en portfölj med räntepapper. Inom ramen för uppdraget ngår att jag skall: Läsa n mg på modellen och blda mg en uppfattnng huruvda modellen är användbar för SEB:s arbetsstuaton. Komma fram tll vlka modfkatoner som bör göras för att den skall bl användbar. Implementera modellen ett program. Utvdga programmet så att det hanterar fler oblgatoner. Välja ndex för de nya oblgatonerna. Utveckla programmet så att användaren stället för att fundera över varje oblgaton den ngående modellen, kan lägga n prognoser och få vktrekomendatoner för olka segment. Skrva ett kaptel om Black-Lttermans modell som ger ett bdrag tll förståelsen för modellen. Summera arbetet, dra slutsatser, samt ge rekommendatoner om det fortsatta arbetet med programmet. 6

7 3 Metod Arbetet har på ett överskådlgt sätt gått tll på följande sätt: Ltteratursöknng Inläsnng av tllgänglg ltteratur nom området, främst om Black-Lttermans modell, räntemarknaden och kvanttatva modeller nom portföljteor Genomgång av befntlg portföljallokerngsmodell. Dskustoner med SEB om modellens funktoner och användnng. Utvecklng av modell för programmet Implementerng Korrgerngar gällande funktoner och användnng, modell mplementerngssätt Summera erfarenheterna en rapport Ge rekommendatoner tll SEB om hur de kan gå vdare användandet och utvecklngen av programmet. Bld XXX. Överblck över arbetets gång Projektet startade med en ltteratursöknng. Det fnns nte någon bok som beskrver modellen och nte heller särsklt många vetenskaplga artklar. Därför kan man säga att huvuddelen av nformatonen om Black och Lttermans modell är hämtade ur sju artklar (artkel 3 artkel 7, artkel och artkel referenslstan). Att få förståelse för Black-Ltterman modellen var tdskrävande då artklarna varken är 7

8 särsklt utförlga eller bra och nläsnngen har fortsatt under hela projektets gång. Ambtonen är bland annat att denna rapport skall ge ett bdrag tll brsten på ltteratur om modellen När förståelse för modellens grundläggande delar nhämtats, studerades det nuvarande systemet och detta dskuterades med SEB. Både postva och negatva sdor av programmet framkom. Dessutom dskuterades krav och önskemål på den nya modellen och det nya programmet. Utvecklngsprocessen har vart teratv, som blden ovan antyder. Det har ofta vart så att jag och mn handledare från SEB haft ett möte där v dskuterat olka problem och lösnngar. Efter detta har jag funderat vdare och utvecklat ett förslag på lösnng. När detta gjorts har v återgen träffats och gått genom lösnngen. Ofta har en del mssförstånd uppenbarat sg, men en slutlg lösnng på problemet har oftast vart uppenbar och jag har kunnat modfera mn prmära lösnng tll en korrekt dto. Programmet mplementerades Excel med programmerng Vsual Basc. Denna plattform gynnade den teratva process som kännetecknat utvecklngen av programmet, genom att det är relatvt lätt att göra modfkatoner. 8

9 4 Beslutsmodeller Många beslut som fattas nom företag är så pass komplcerade att det är näst ntll omöjlgt för beslutsfattaren att strukturera problemet, överblcka alternatva lösnngar och förstå utfallet av dessa. För att öka chanserna tll att det mest gynnsamma beslutet fattas, har det länge utvecklats metoder och modeller för olka former av beslutsfattande. Svårgheten med att fatta beslut och olka tllvägagångssätt förstås genom att beslutsfattandet relateras tll begreppet osäkerhet. Edlund och Högberg (993) skljer mellan tre typer av osäkerhet :. Osäkerhet beträffande utfall Framtda händelser kan sällan förutsägas med säkerhet, vlket gör att det är svårt att förväg veta konsekvenserna av en vss handlng.. Osäkerhet beträffande värderngar Ofta är menngarna om vad som är önskvärt/vktgast sklda. Det kan dessutom råda konflkt mellan dessa mål. Föreställnngar om vad som är önskvärt/vktgt kan även förändras över tden. 3. Osäkerhet beträffande samband Det råder ofta osäkerhet om hur ett beslut påverkar andra beslutsområden och ofta fattas beslut med rnga hänsyn tll detta eller med en stereotyp, ofullständg bld av sambanden. V anpassar vårt arbetssätt och vår beslutsmodell beroende på vlken osäkerhet som är mest utmärkande. I vetenskaplga sammanhang har man ofta utgått från den tradtonella synen på problemlösnng som bygger på den ratonella beslutsprocessen. Den kan beskrvas följande steg (Edlund, Högberg 993):. Problemet dentferas verklgheten. Problemet dentferas begreppsmässga termer 3. En mer precserad modell över problemet byggs upp 4. En lösnng av modellen tas fram 5. Lösnngen tllämpas den verklga stuatonen Edlund och Högberg (993) skljer mellan normatva och deskrptva modeller. En normatv modell bygger på deala föreställnngar om hur beslut bör fattas för att åstadkomma bästa resultat. Då modellerna ofta bygger på orealstska antaganden blr de ganska teoretska. Modellen för ratonellt beslutsfattande är en sådan modell. Ett 9

10 övergrpande antagande bakom denna modell är att beslutsprocessen har ett systematskt och sekventellt förlopp. Identferng av konsekvenser antas ske före kvantferngsfasen som sn tur antas ske före värderngsfasen. Mål, medel, värderngar och fakta antas gå att hålla sär. I en verklg stuaton är varje steg den ratonella beslutsmodellen förenat med stora problem och denna modell är därför en dålg avbldnng av hur beslutsfattande faktskt går tll. Deskrptva modeller tar stället hänsyn tll de komplkatoner som uppstår en faktsk beslutsstuaton och hur de hanteras. Det är tll exempel oftast orealstskt att ha högsta måluppfyllelse som mål för beslut. Istället nöjer sg de flesta med en acceptabel nvå. Ofta talar man om satsferngsmål kontra optmerngsmål. Modeller är ofullständga avbldnngar av något. Man skljer bland annat mellan fyskalska (schematska) modeller som är konkreta och matematska (symbolska) modeller som är abstrakta. De fnansella modeller som tas upp denna uppsats är matematska. För att en matematsk modell ska ha något värde för beslutsfattaren måste den, något ntressant avseende, ge en god avbldnng av den verklghet som modellen skall avblda. Förenklngen av verklgheten är både den matematska modellens svaghet och dess styrka. Det fnns en rsk att modellens egenskaper bestäms av de matematska möjlgheterna stället för själva beslutsproblemets egenskaper. Detta ökar rsken för att modellen avbldar verklgheten dålgt. En matematsk modell kan dessutom vagga n användaren en tro om att den är exakt och säker. Det är därför vktgt att poängtera att modeller endast är hjälpmedel vd beslutsfattande. 4. Smulerng Sällan uppfylls alla krav som ställs för att en analytsk, optmal lösnng skall kunna beräknas och dessutom ge ett användbart resultat. En analytsk modell kan dock ge andra bdrag tll beslutsfattandet genom expermenterande med modellen. Ofta används modeller som ett verktyg för att analysera en beslutsstuaton. Genom att systematskt varera varablernas ngångsvärden och studera resultatet, får man kunskaper som kan användas beslutsstuatonen. Detta kallas smulerng och används ofta då problemet är så komplex att det nte är mjölgt att lösa det analytskt. Det är på detta sätt som Tradng Strategy använder sn kvanttatva räntemodell. Smulerngsmodeller är nte begränsade tll matematska modeller som går att lösa på analytsk väg, vlket möjlggör mer realstska avbldnngar. Detta gör att ngångsvärden på de opåverkbara varablerna får följa stokastska förlopp, att

11 sambanden får vara cke-lnjära och dskontnuerlga och att v kan arbeta med flera beslutsvarabler stället för med en enda.

12 5 Kvanttatva modeller nom den fnansella sektorn Ordet modell har åtmnstone tre olka nnebörder nom den fnansella världen (Derman 996):. Fundamental modell ett system av antaganden och data, tllsammans med ett behov av att dra logska slutsatser från dem. Fenomenologsk modell en beskrvnng eller analog för att hjälpa tll att vsualsera något som nte kan observeras drekt och 3. Statstsk modell en regresson eller best-ft mellan olka mängder data. De flesta fnansella modeller hamnar någon av dessa kategorer. Fundamentala modeller nnebär modeller som tll exempel Black-Sholes teor, där en mängd antagande om akteprsets utvecklng, data om yeld och volatltet och teor om dynamsk hedgng tllsammans ger möjlghet att härleda en dfferentalekvaton för att beräkna värdet av en opton. Fundamentala modeller är alltså modeller som försöker bygga en fundamental beskrvnng av något nstrument eller fenomen. Fenomenologska modeller är mndre fundamentala, men kan vara lka användbara. Tll exempel så behandlar vssa enkla modeller för optoner på oblgatoner yelden som normalfördelad. Detta är vssa fall användbart, men tll en vss gräns. De fenomenologska modellerna är alltså nte så djupt nsktsfulla som de fundamentala dto. Den ssta av de tre modellkategorerna, statstska modeller, saknar formen av orsak och verkan som de båda andra kategorerna tll vss del är ett uttryck för. De statstska modellerna förltar sg stället på korrelaton mellan vssa dynamska storheter, vlkas exakta egenskaper åsdosätts. 5. Fnansella respektve fyskalska modeller Vd utvecklandet av värderngsmodeller av alla slag, antas mplct att objekten som hanteras har ett orsak/verkan samband och att sambandet, åtmnstone v tden då modellen skall tllämpas, är stablt. Inom den fyskalska vetenskapen, varfrån det kvanttatva modellbyggandet nsprerats, är de varabler som används, unversella kvantteter som tll exempel td, poston och massa (Derman 996). Dessa storheter skulle även exstera frånvaro av männskan.

13 I den fnansella världen däremot, representerar varablerna stället männskors förväntnngar. Dessa är gömda varabler och kan nte observeras drekt. Detta nnebär att modeller som hanterar gömda varabler, som tll exempel volatltet och avkastnng, oftast antar ett tllfällgt stablt samband mellan de gömda varablerna och de säkra varablerna. 5. Fnansella modeller Ofta används nte modeller så att användaren kör modellen och därefter agerar efter dess rekommendatoner utan att tänka själv och dra egna slutsatser. Istället gör modellen den säkra varabeln tll en beroende dto och kräver att användaren tänker genom och estmerar värden på andra oberoende varabler som är lättare att hantera och kvantfera. Den fnansella domänen är ofta mycket komplcerad. Varje modell måste därför anpassas tll stt sammanhang. Detta gör att den eller de som utvecklar modellen måste ha ngående kunskap om de regler och egenskaper som kännetecknar sammanhanget för modellen. 5.3 Modellers svagheter Den verklga världen är ofta ett svårgrpbart vrrvarr av handlngar, händelser, fakta och sffror. Detta gör att hur sofstkerad en modell än är, så är den endast en modell av verklgheten och modeller är alltd förenklngar av verklgheten. En bra vetenskaplg modell kan nte göra allt och skall nte kunna det heller. Modellen skall vara så verklghetstrogen som möjlgt gällande de vktgaste varablerna och relatonerna mellan dessa. Den skall även tllåta undersöknng av orsak och verkan. En bra modell skall dock nte återskapa alla egenskaperna hos det verklga objektet. Bra modeller gör ett ltet antal saker mycket bra. 3

14 6 Portföljteor Den moderna portföljteorn utvecklades av Markowtz som 95 lade fram sn artkel Portfolo Selecton. Innan dess fanns det mycket lte forsknng krng de matematska sambanden nom portföljvalsteor. Markowtz utgck från John Burr Wllams Theory of Investment Value. Denne hävdade att värdet av ett papper skulle vara lka med nuvärdet av dess framtda utdelnngar. Då framtda utdelnngar, alla fall nom akter, är osäkra hävdade Markowtz att man stället skulle använda förväntade framtda avkastnngar. Om nvesteraren emellertd endast funderar på sn portföljs förväntade avkastnngar, borde det dock räcka om portföljen bestod av ett enda papper. Det var dock redan på 5-talet en vedertagen strateg att man nte ska lägga alla ägg samma korg. Markowtz vsade detta matematskt. Investerare dversferar för att de bryr sg om både förväntad avkastnng och rsk. Utfrån detta kom Markowts fram tll att nvesterare väljer mellan en mängd av pareto-optmala rskförväntade avkastnngskombnatoner (Nobelprsets hemsda). 6. Markowtz modell Paul D. Kaplan; Asset Allocaton Models Usng the Markowtz Approach; Jan 998; proach.pdf (-7-3 ) Markowtz vsade att nvesterare kan skapa portföljer som ger högst förväntad avkastnng gvet en vss rsk. Ett grundläggande antagande Markowtz teor är att nvesterare gör trade-offs mellan rsk och förväntad avkastnng. I artkeln, Portfolo Selecton (95) och även efterföljande arbeten, förfnar Markowtz den lnjära programmerngsteknken och utvecklar en krtsk lnje. Denna lnje dentferar alla uppnåelga portföljer som mnmerar rsken (mätt som standardavvkelse) för en vss nvå av förväntad avkastnng eller maxmerar den förväntade avkastnngen för en gven rsknvå. I en graf med axlarna standardavvkelse/förväntad avkastnng formar dessa portföljer den så kallade effektva fronten. De flesta portföljer som representeras av den effektva fronten är väldversferade då dversferng är ett effektvt sätt att reducera en portföljs rsk. Denna metod kallas mean-varance analys och ger en matematsk menng tll talesättet: Lägga nte alla ägg samma korg. Antag att v har n olka tllgångar. Då kan v forma en portfölj av dessa. Den förväntade avkastnngen för portföljen är en lnjärkombnaton av de ngående tllgångarnas förväntade avkastnngar: n = w r = r där w = vkten av tllgång, portföljen 4

15 r = tllgång :s förväntade avkastnng r = portföljens förväntade avkastnng Låt oss nu undersöka varansen av avkastnngen på portföljen: σ = E = E = = E n, j= [( r r ) ], j= = = n n w r j w w σ j j n w r w w ( r r )( r j r j ) där σ =Portföljens varans σ =kovaransen mellan tllgång och j j Detta vsar att en portföljs varans kan beräknas utfrån de parvsa kovaranserna mellan de tllgångar som ngår portföljen. 6.. Den uppnåelga mängden Antag att v rtar ut alla tllgångar ett dagram med standardavvkelsen på x-axeln och förväntad avkastnng på y-axeln. V kan då forma portföljer av dessa tllgångar genom att använda alla möjlga vktnngar. Den regon som då formas kallas den uppnåelga mängden. Så länge det fnns mnst tre tllgångar, kommer mängden att vara en tvådmensonell regon. Mängden kommer även att vara konvex åt vänster. Den vänstra gränsen på den uppnåelga mängden kallas mn-varans mängden. För varje förväntad avkastnng, mnmeras rsken d.v.s. standardavvkelsen. Den uppnåelga mängden är formad som en patron och punkten längst tll vänster hela den uppnåelga mängden, kallas mn-varans punkten och utgör alltså den punkt den uppnåelga mängden som har lägst varans. r Mn-varans mängden Den uppnåelga mängden Mn-varans Bld XXX. Den uppnåelga punkten mängden σ 5

16 Antag att en nvesterare vll nvestera en portfölj som lgger punkt A, som bld XXX. Portföljen har då den förväntade avkastnngen r och standardavvkelsen σ. V kan emellertd se på blden att det är möjlgt att förbättra portföljen på två olka sätt. Antngen genom att nvesteraren väljer portfölj B som har samma rsk men den högre förväntade avkastnngen r eller genom att välja portfölj C som har samma förväntade avkastnng, men den lägre rsken σ. Portfölj A är alltså neffektv medan portfölj B och C är effektva då de ger maxmal avkastnng för en vss rsk eller mnmal rsk för en vss avkastnng. De lgger som blden vsar på vad v tdgare kallat för mn-varansmängden. Den övre delen av kurvan kalls den effektva fronten och utgör alltså samtlga portföljer som för en vss rsk, maxmerar avkastnngen. V kan därför vår fortsatta stude koncentrera oss på denna lnje, alltså den effektva fronten. Den nedre delen av mn-varansmängden mnmerar stället avkastnngen för en gven rsk och är därför nte ntressant. r r r Effektva fronten C B A σ σ σ Bld XXX. Den effektva fronten Markowtz vsar att trots att det fnns oändlgt många effektva portföljer, behöver endast ett begränsat antal hörnportföljer väljas ut för att dentfera alla de effektva portföljerna. Alla effektva portföljer är lnjärkombnatoner av de två angränsande hörnportföljerna. Genom att lokalsera alla hörnlösnngar genererar den krtska lnjen hela effektva fronten. Markowtz modell utgår från en en-perodsnvesterng och att nvesterares nyttofunkton är ökande och konkav. Ökande då nvesterare föredrar hög konsumton framför låg, och konkav då nvesterare är rskaversva. Från de uppnåelga portföljerna skall nvesteraren alltså antngen välja den portfölj som mnmerar rsken vd en gven avkastnng eller den portfölj som maxmerar avkastnngen vd en gven rsknvå. 6

17 (Luenberger) Antag att det fnns n st tllgångar. Säg att en nvesterare vll ha en portfölj som ger en förväntad avkastnng, r. Då nvesteraren är rskaversv kommer denne att välja den portfölj som mnmerar varansen. Mnmera σ = n, j = σ w w j j under bvllkoren n = n = w r = r w = Målfunktonen representerar hela portföljens varans. Det första bvllkoret nnebär att den förväntade avkastnngen på portföljen är lka med summan av de ngående pappernas förväntade avkastnng multplceras med deras respektve vkter av den totala portföljen. Problemet löses genom kvadratsk programmerng och lösnngen ger den effektva fronten (se bld XXX). Ett vanlgt sätt att härleda Markowtz är genom att maxmera avkastnngen. Då ser problemet ut på följande sätt: Maxmera n r = = r w under bvllkoren n = n, j = σ w w j w = j = σ 6. CAPM CAPM, Captal Asset Prcng Model, är en av de fnansella modeller som har fått störst genomslagskraft.(elton, Gruber). Standardformen för CAPM är ett generellt jämvktssamband för tllgångar och utvecklades oberoende av Sharpe, Lntner och Mossn, under 6-talet. Utgående från effektva fronten vd möjlghet tll nlånng och utlånng tll rskfr ränta kan v, utan vetskap om en nvesterares rskpreferens, 7

18 dentfera den enda portfölj av rskfyllda tllgångar denne bör nvestera. V drar en rak lnje från den rskfra räntan och låter lnjen tangera den effektva fronten. Denna lnje kallas för kaptalmarknadslnjen och utgör en ny effektv front. Tangentpunkten utgör den så kallade marknadsportföljen och är en portfölj bestående av alla världens rskfyllda tllgångar vktade efter kaptalserngsgrad. Detta är den enda rskfyllda portfölj som nvesterare behöver nvestera enlgt CAPM. Investerarna väljer rskprofl genom att vkta mellan marknadsportföljen och den rskfra räntan. Ju högre andel marknadsportfölj, desto högre rsk. Ju högre andel rskfr ränta desto lägre rsk. Kaptalmarknadslnjens ekvaton är (Elton, Gruber; kap 3; sd 36): r e = r f rm rf + σ m σ e där r e = Förväntad avkastnng på en portfölj placerad på effektva fronten σ e = Standard avvkelsen för den effektva portföljen r f = Rskf ränta r m = Förväntade avkastnng för marknadsportföljen σ m = Standardavvkelsen för marknadsportföljen Se fgur XXX: r Kaptalmarknadslnjenjen r m r f Marknadsportföljen Bld XXX. Kaptlamarknadslnjen, den nya effektva fronten vd möjlghet tll nlånng och utlånng tll rskfr ränta. r m r f σ m σ m brukar kallas marknadsprset för rsk och är den extra avkastnng som fås genom att öka rsken (standardavvkelsen) en enhet. Denna varabel multplcerad σ 8

19 med σ e är då marknadsprset för rsk multplcerad med rsken portföljen. Beta anses enlgt Sharp vara det korrekta rskmåttet (Elton, Gruber kap 7): σ β = σ m m Om v stället för standardavvkelsen väljer att sätta beta på x-axeln, kan man vsa att alla portföljer lgger på en rak lnje som går från den rskfra räntan och genom marknadsportföljen. Om en portfölj skulle lgga ovanför denna, exsterar rskfrtt arbtrage som skulle konvergera mot lnjen. Lnjen kallas för the Securty Market Lne. Det fnns ngen vedertagen svensk översättnng för denna. Då v tdgare konstaterat att under antagandet om CAPM, kommer alla nvestera marknadsportföljen (M). Marknadsportföljens beta är och den rskfra räntans beta är noll. Alla portföljer på the Securty Market Lne kommer att kunna dentferas med hjälp av formeln: r = r + β f r r ( m f ) Detta är den så kallade standardformen av CAPM som är ett av de vktgaste begreppen nom fnansell teor. 6.. Antaganden nom CAPM CAPM utgår från ett antal fundamentala antaganden:. Det fnns nga transaktonskostnader.. Tllgångar är oändlgt delbara. 3. Det fnns nga skatter på nkomst. 4. Indvder kan nte påverka prset på en tllgång genom köp eller försäljnng. 5. Investerare tar beslut endast utfrån förväntad avkastnng och standardavvkelse på sna portföljer. 6. Obegränsad blanknng är tllåten. 7. Obegränsad n- och utlånng tll rskfr ränta är möjlg. 8. Alla nvesterare analyserar förväntad avkastnng och standardavvkelse gällande en och samma perod. 9. Alla nvesterare har samma förväntnngar gällande förväntad avkastnng och standardavvkelse.. Alla tllgångar, nklusve humankaptal kan köpas och säljas på marknaden. Detta är alltså antaganden som nte håller verklgheten precs som antagande om frktonsfrhet nom fysken nte heller stämmer med verklgheten. Vad som dock är relevant att fråga sg är dock vad dessa antaganden nnebär för modellen. Kan v trots 9

20 dessa antaganden få användnng av modellen? Hur mycket av verklgheten tas bort och med dessa antaganden? Här skljer sg nte CAPM från andra modeller. Syftet med modeller är ju, som jag skrvt tdgare, att förenkla verklgheten. 6.3 Problem med kvanttatva modeller nom portföljteor Som nämns tdgare denna uppsats, ger ofta kvanttatva modeller för portföljoptmerng dålga allokerngsförslag. Om användaren nte anger restrktoner om krav på cke-negatva allokerngsvkter, föreslår modellen korta postoner. Att gå kort är ofta otllåtet för förvaltare. Om användaren stället anger restrktonen väljer modellen hörnlösnngar, med ormlgt stora vkter papper med låg kaptalserngsgrad och nollvkter många andra papper (Black och Ltterman; 999). Mchaud(989,998 (kap 7...)) anser att resultaten ofta nnebär felmaxmerng då tllgångar med postva fel I sna förväntade avkastnngar får sgnfkanta övervkter. De flesta kvanttatva allokerngsmodeller kräver att en förväntad avkastnng anges för alla de tllgångar som modellen hanterar (He och Ltterman 99). Detta är en svaghet modellen. Markowtz modell kräver alltså att användaren lägger n förväntade avkastnngar på alla papper modellen oavsett om denne har någon uppfattnng om dessa eller ej. Portföljallokerngsmodeller är dessutom nästan alltd mycket känslga för vlka avkastnngsantaganden som görs. Dessa egenskaper tllsammans har bdragt tll att kvanttatva modeller nom portföljallokerng nte fått det genomslag praktsk tllämpnng som de fått den akademska världen och som många andra kvanttatva modeller nom sektorn fått. Ytterlgare ett problemen nom tradtonell portföljallokerng är försöken att ntegrera kvanttatv och kvaltatv, tradtonell analys. De portföljförvaltare som arbetar med en kvaltatv, cke-matematsk metod, är starkt emot de kvanttatva metoderna och anser att teknker som mean-varance analys och lknande nte har förmåga att fånga upp deras faktska kunskaper. Kvanttatva förvaltare anser å andra sdan att deras kvaltatva kollegor är okunnga och osmarta. Enlgt Satchell och Scowcroft () har Black-Lttermans modell en förmåga att ntegrera den kvaltatva sdan med den kvanttatva.

21 7 Black-Lttermans modell Fscher Black och Robert Ltterman presenterade 99 ett förslag på en lösnng tll problemen nom kvanttatva portföljallokerngsmodeller. Problemen den moderna portföljteorn hade motverat Black och Ltterman att omforma den och därgenom göra portföljteorn mer användbar för nvesterare. Lösnng har som ansats att sammanföra den akademska fnansteorn med den praktska dto. Trots att de, tll vss del, lyckats med detta, verkar antalet professonella användarna vara få. Under senare år verkar dock popularteten ha ökat, men den allmänna förståelsen för modellen fortsätter att vara låg (Lee ). Orsaken tll att antalet professonella användarna verkar vara begränsad och att få tycks förstå modellen, beror antaglgen på brsten av ltteratur som på ett förståelgt sätt beskrver Black-Ltterman modellen. Det fnns ett antal artklar som ngående beskrver hur ett program med Black-Lttermans modell mplementerad ska bete sg. Dessa artklar är dock undermålga gällande hur en användare skall få programmet att bete sg på detta sätt. Ett fåtal artklar har som ambton att ngående gå genom modellen steg för steg och vsa de matematska sambanden. Satchells och Scowcrofts artkel A demystfcaton of the Black-Ltterman model: Managng quanttatve and tradtonal portfolo constructon () har som syfte att fylla behovet av serös beskrvnng av de matematska sambanden I Black-Ltterman modellen. Trots det, är artkeln nte tydlg och lämnar flera frågor obesvarade. Black och Lttermans modell utgår från den baysanska metodken och kombnerar nuvarande åskter med data för att forma nya åskter. Modellen ger de kvaltatva förespråkarna möjlghet att uttrycka sna åskter om marknaden och kombnerar dessa med en kvanttatv modell som sn tur genererar prognoser som reflekterar båda sdorna (Satchell och Scocroft, ). Ansatsen går ut på att marknadsjämvkten kombneras med nvesterarens egen uppfattnng. Eftersom modellen utgår från neutrala portföljvkter som överrensstämmer med marknadsjämvkten, tenderar vktrekommendatonerna att bl mndre extrema och mer realstska jämförelse med tradtonell Markowtzoptmerng. Black och Ltterman väljer att kombnera Markowtz klassska optmerngsmodell med CAPM (Captal Asset Prcng Model) utvecklad av Sharp och Lntner. Black och Ltterman (99) utgår nte från att världen alltd befnner sg jämvkt. I stället utgår de från att obalanser marknaden kommer att trycka tllbaks förväntade avkastnngar när de rör sg från sna jämvktslägen. Därför anser de att det är rmlgt att anta att förväntade avkastnngar nte kommer att avvka för mycket från jämvktsläget. Avvkelserna kommer dock att bero av användarens åskter. Ju lägre osäkerhet användaren anger, desto säkrare är denna på sn åskt och då tllåter modellen större

22 avvkelser från jämvktsläget. En vktg del av Black och Lttermans modell är att den nte kräver att användaren specfcerar förväntade avkastnngar på alla papper. Istället kan denne välja att ange förväntade avkastnngar för hur få eller hur många papper som helst. Modellen gör det dessutom möjlgt för användaren att ange grad av osäkerhet om varje åskt. För de tllgångar där nvesteraren nte har någon åskt, utgår modellen från jämvktslägen och ansätter förväntade avkastnngar utfrån detta antagande. Fördelen är därgenom att om en nvesterare nte har någon åskt om en vss marknad eller något vsst papper, måste denne nte, som tdgare portföljallokerngsmodeller, ange en. Om nvesteraren dessutom har starkare åskter om vssa papper än andra fnns det, Black och Lttermans modell, utrymme att uttrycka detta. Exakt hur detta går tll kommer att framgå längre fram uppsatsen. 7. Black-Lttermans angreppssätt Innan v går n på djupet Black-Lttermans modell kan det vara bra att ge en snabb och förenklad beskrvnng av modellens huvudsteg.. Marknadsjämvkter/strategska vkter beräknas 3. Investeraren anger subjektva åskter om förväntade avkastnngar på kort skt.. Implcta jämvktsavkastnngar beräknas 4. Investeraren anger grad av osäkerhet om varje subjektv uppfattnng 5. Revderade förväntade avkastnngar 6. Revderade portföljvkter Bld XXX. Black-Lttermans huvudsteg Black-Ltterman utgår ju som sagt var från en mängd marknadsvkter, alternatvt en mängd strategska vkter (ndexvkter). Dessa skall representera det normala nvesterngsbeteendet hos den typska nvesteraren. Utfrån dessa vkter beräknas vektorn med förväntade jämvktsavkastnngar för hela nvesterngsunversumet. Utfrån den rådande ekonomska stuatonen är det trolgt att nvesteraren har

23 uppfattnngar, om kortsktga avkastnngar, som skljer sg från avkastnngarna beräknade utfrån marknadsjämvkt. Det Black-Lttermans modell erbjuder är ett sätt att kombnera nvesterarens specfka åskter med marknadsjämvkten. Som komplement tll varje subjektv uppfattnng måste nvesteraren specfcera en grad av osäkerhet, det vll säga hur säker han eller hon känner sg på varje uppfattnng som anges. Dessa översätts sedan tll symetrska gränser runt normalfördelade avkastnngar. Black och Lttermans modell tllhandahåller därefter ett konsekvent sätt att vkta de subjektva åskterna med jämvktsavkastnngarna. Vektorn med revderade förväntade avkastnngar överlämnas sedan tll en optmerare och vkterna för de tllgångar där nvesteraren har angett specfka åskter förändras. För de tllgångar där nvesteraren nte angett någon uppfattnng kommer jämvktsvkterna att användas. 7. Neutrala portföljjämvkter Black-Lttermans modell utgår från förväntade jämvktsavkastnngar. Enlgt Black och Ltterman (99) har nvesterare ofta en känsla för huruvda ett värdepapper är under- eller övervärderat och deras modell har som syfte att hjälpa dem att använda dessa åskter sna allokerngsbeslut. Det är däremot orealstskt att tro att någon skall kunna ange exakta förväntade avkastnngar för varje papper stt jämförelsendex, varför en jämvktsavkastnng fungerar som referenspunkt. Enlgt CAPM, kommer prserna att justeras tll dess att de förväntade avkastnngarna på alla tllgångar jämvktsportföljen är sådana att om alla nvesterare har samma åskter så kommer efterfrågan på dessa att exakt motsvara utbudet (He, Ltterman, 999). Detta är den neutrala referenspunkten Π Black och Lttermans modell. Black och Ltterman argumenterar för en rmlg defnton av neutrala väntevärden där en mängden förväntade avkastnngar utgörs av att alla nvesterare har samma uppfattnngar om marknaden och därmed endast vll nvestera marknadsportföljen. Följaktlgen är det naturlgt att använda de neutrala, förväntade avkastnngarna som kan härledas från omvänd optmerng. Black-Lttermans modell dras mot en neutral marknadskaptalserngsvktad portfölj som lutar mot de tllgångar som föredras av nvesterarens åskter. Avvkelsen från marknadsjämvkterna beror av hur säker nvesteraren är på respektve åskt. Det fnns ett uppenbart problem vd användandet av marknadsjämvkter: De är nte observerbara. Bevan och Wnkelman (998) presenterar emellertd ett sätt på vlket v kan hantera detta. Bevan och Wnkelman utgår från att om marknaden är jämvkt så kommer en representatv nvesterare att nneha en del av den globala kaptalserngsvktade portföljen. Detta antagande tllhandahåller observerbar nformaton. V kan arbeta oss 3

24 från de observerbara kaptalserngsvkterna fram tll jämvktsavkastnngarna genom att beräkna portföljens volatltet och sedan htta de avkastnngar som stämmer. Den kaptalserngsvktade portföljen nnebär för nvesteraren, dennes jämförelsendex vkter. Det är välkänt att gvet en relatv rskaverson δ, den n-dmentonella vektorn av förväntade avkastnngar Π, och kovaransmatrsen Σ, så blr maxmerngsproblemet, utan bvllkor som en nvesterare med kvadratsk nyttofunkton har eller med antagandet om normalfördelade avkastnngar: max w' Σw w' Π δ som har lösnngen: w* = δ ( Σ) Π Den omvända optmerngsteknken rekommenderar oss att arbeta bakåt. Antag att en mängd portföljvkter w är optmala och löser ekvatonen för en vektor med mplcta avkastnngar Π = δσw Detta angreppssätt påmnner om CAPM-modellen då den förutsätter att prserna på marknaden kommer att justeras tlls marknadsjämvkt råder. Black och Ltterman antar att kovaransmatrsen för förväntade avkastnngar är proportonell mot den hstorska dto, skalad med en förmnsknngsfaktor τ. I orgnalpappret säger Black och Ltterman (99) att eftersom osäkerheten gällande de förväntade avkastnngarna är mndre än osäkerheten gällande själva avkastnngen, bör τ vara nära noll. Om detta råder det dock tvstade menngar, vlket v skall återkomma tll senare. Följaktlgen är specfkatonen för jämvktsfördelnngarna ( E( R) = Π + ε ε ( e) ~ N(, τσ) e) E( R) ~ N( Π, τσ) där Σ är en nxn matrs av verklga hstorska avkastnngar och E(R) är en nx vektor med förväntade avkastnngar. Om nvesteraren nte har någon specfk åskt om kortsktga förväntade avkastnngar, som skljer sg från jämvktsavkastnngarna, skall han eller hon helt enkelt nvestera marknadsportföljen. När denne har åskter som skljer sg från marknadsavkastnngarna kombneras dessa med marknadsjämvkten. Både jämvktsavkastnngarna och de specfka åskterna uttrycks som sannolkhetsfördelnngar och ju lägre grad av osäkerhet som nvesteraren har om sna 4

25 åskter, desto mer kommer den resulterande portföljen att lkna jämvktsportföljen och tvärt om. 7.3 Att uttrycka åskter I Black- Lttermans modell erbjuds nvesteraren olka sätt på vlket denne kan uttrycka sna åskter. En nvesterares specfka åskter uttrycks som sannolkhetsfördelnngar form av Jag tror att papper A kommer att gå bättre än papper B eller Jag tror att papper C har en förväntad avkastnng på % kommande perod. Antag att nvesteraren har k specfka åskter. Dessa skrvs på formen ( P E( R) = Q + ε ε ( v) ~ N(, Ω) v) där P är en kxn matrs, Q är en kx vektor, och (e) ε är en, enlgt Black och Ltterman (99) oobserverbar kx matrs med åskternas feltermer som är normalfördelade med väntevärdet noll och varansen Ω. Den första åskten representeras som en lnjärkombnaton av tllgångarnas förväntade avkastnngar. Värdet av denna åskt representeras av det första elementet vektorn Q och osäkerheten beskrvs av det (e) första elementet vektorn ε. Låt därefter kovaransmatrsen av osäkerheten representeras av Ω. Black och Ltterman antar att nvesterarnas åskter kommer från oberoende uppfattnngar om framtda avkastnng vlket mplcerar att Ω bör vara en dagonalmatrs. Modellen antar alltså att det fnns en slumpmässg, oberoende, normalfördelad (e) felterm ε, med medelvärdet noll assocerad tll varje åskt. Feltermen kommer ω kommer emellertd nte vara drekt ndata modellen. Varansen för varje felterm ( ) dock att tas med beräknngarna. Tllsammans, bldar alla varanserna av feltermer, matrsen Ω, vars dagonal utgörs av varanserna och övrga element är noll. ω Ω = ω 7.4 Att kombnera osäkra åskter (e) Då en nvesterare nte är helt säker på sna åskter är feltermerna ε nte noll. Den modferade förväntade avkastnngsvektorn som Black och Lttermans modell använder, härleds genom Bayes lag och skrvs oftast på formen: 5

26 [( τσ) + P Ω P] ( Σ) E( R) = τ [ Π + P ΩQ] E (R) = Nya kombnerade vektorn med förväntade avkastnngar τ = Skalär Σ = Kovaransmatrs av avkastnngarna P = Matrs som representerar nvesterarens specfka åskter Ω = Dagonalmatrsen som representerar kovaransmatrsen av feltermerna baserade på nvesterarens grad av osäkerhet Π = Implcta marknadsavkastnngar Q = Vektorn med åskternas värde På grund av regler för matrsmultplkaton kan nte antalet åskter överskrda antalet tllgångar. För att underlätta förståelsen för de ngående elementen följer här ett exempel. Antag att det ngår fyra papper en nvesterares ndex: A, B, C och D. Indexvkterna w är 5 % varje papper. Antag även att papperna har en kovaransmatrs Σ, approxmerad med hstorska data. Gå gäller följande gäller: w,5,5 =,5,5,, Σ =,3,4,,,3,4,3,3,4,5,4,4,5,8,, Π =,5,3,4,,,3,4,3,3,4,5,4,5,65,4,5,36875 =,5,5,575,8,5,99375 Antag nu att nvesteraren har åskter om marknadens avkastnngar som skljer sg från jämvktsavkastnngarna, Π. Antag att denne tror att papper A kommer att ha en avkastnng på 8 % under nvesterngsperoden och att papper C kommer att ha en avkastnng på 4 % under samma perod. Om de övrga papperna har nvesteraren nga åskter. För åskten gällande papper A är nvesteraren någorlunda säker och anger osäkerhetsgraden 5 %. Åskten gällande papper C är nvesteraren emellertd 6

27 nte alls säker på varför denna får en högre osäkerhetsgrad, säg 6%. De övrga ngående termerna blr då: P =,8 Q =,4 Nu har v alla ngående element förutom τ och Ω. Dessa två beror av varandra och är de svåraste varablerna att förstå Black-Lttermans modell. Därför får de ett eget avsntt och slutet av det presenteras deras nnehåll. 7.5 τ och Ω, de två mystska elementen τ och Ω är två element Black-Lttermans modell som är starkt knutna tll varandra. Det är dock mycket svårt att få en uppfattnng om hur dessa faktskt skall sättas. I de flesta artklarna beskrvs endast τ som en konstant och Ω som en dagonalmatrs som skall representera användaren osäkerheter form av: ω Ω = ω n Vad varje ω är, beskrvs dock nte artklarna. He och Ltterman (999) hävdar att τ nte behöver specfceras då endast τ ω ngår modellen. De förklarar dock nte detta närmare och vad det nnebär för en användare. Detta förstås emellertd genom att v skrver om formeln för Black-Lttermans avkastnngsvektor tll: [ Σ + P ( τω ) P] [ Σ Π + P ( Ω Q] E ( R) = τ ) Här kan v se att om v multplcerar n τ den nverterade Ω får v en dagonal matrs med kvoten som dagonalelement. Om v, som Satchell och Scowcroft föreslår, ansätter τ =, behöver v endast bry oss om ω. I artkeln påstår författarna att det exemplena som de presenterar ansatt denna kvot lka med varansen för åsktsportföljen, P ΣP. Detta verkar dock nte rmlgt då man 7

28 då förlorar möjlgheten att ta hänsyn tll användarens, för respektve åskt, angvna säkerhet. (v) Ω representerar en kovaransmatrs för feltermerna ε. Då feltermerna är helt oberoende blr Ω en dagonalmatrs där dagonalelementen representerar respektve felterms varans Då Ω är en matrs som skall representera användarens osäkerhet varje åskt och varje element matrsen representerar en varans ger detta att en hög osäkerhet representerar en hög varans och därmed en högre rsk därför kommer aggressvteten åskten att vara lägre. Om v använder denna metoden och sätter τ =, nnebär det för exemplet ovan att:,5 Ω =,6 τ = 7.6 The Unconstraned Maxmaton Problem Enlgt He och Ltterman (999) gäller det för en nvesterare utan restrktoner att han eller hon först nvesterar marknadsportföljen och därefter en separat portfölj som representerar de nlagda åskterna. I de fall som användare nte har någon åskt, skall han eller hon alltd nvestera marknadsportföljen Denna portfölj fås genom att användaren utför the Unconstraned Maxmaton Problem (He-Ltterman 999, appendx c) enlgt formeln: δ max w E( R) w Σw w som har lösnngen: w* = ( δσ) E( R) 7.7 Optmerng med restrktoner Att ta fram en optmal portfölj då det fnns restrktoner är mer komplext (He och Ltterman 999). Det bästa sättet är då att med hjälp av Black-Lttermans modell ta fram en vektor med förväntade avkastnngar och därefter använde en meanvarance optmerare för att löse det vllkorlga optmerngsproblemet. Oavsett hur v gör, försvnner stora delar av rmlgheten modellen då v lägger tll restrktoner (He och Ltterman 999). 8

29 8 Räntepapper och oblgatoner Programmet som utvecklats för detta examensarbete hanterar oblgatoner. Den del som utvecklats hanterar svenska statsoblgatoner och svenska bostadsoblgatoner. Tanken är att programmet framtden skall kunna utvdgas för amerkanska och europeska oblgatoner. För att förstå programmet krävs en vss kunskap om räntemarknaden, varför denna del ngår. De läsare som känner sg hemma begreppen kan skumma denna del eller hoppa över den helt. 8. Räntebldnng Oblgatonsmarknaden fungerar som andra marknader och prssättnngen styrs av utbud och efterfrågan. Oblgatonsmarknaden har som syfte att flytta pengar från överskotts- tll underskottssektorer samhällsekonomn. Placerngar oblgatoner konkurrerar med övrga placerngsnstrument. Varför prognoser gällande avkastnng och rsk kan resultera kaptalströmnngar tll eller från den räntebärande marknaden, vlket sn tur påverkar räntorna. 8. Statsoblgatoner Statsoblgatoner emtteras av staten och fnanserar statens medelfrstga och långfrstga lånebehov. I Sverge emtteras statsoblgatoner av Rksgäldskontoret enlgt gällande emssonsschema. Emssoner sker genom anbudsauktoner där anbuden lämnas genom de av Rksgälden auktorserade återförsäljarna. Löptden för statsoblgatoner varerar från ett år tll 3 år (Valdez [997, s -). Det prmära utbudet av oblgatoner utgörs av emttenternas upplånngsbehov medan utbudet och efterfrågan på andrahandsmarknaden bestäms av marknadsaktörernas sälj- respektve köpbeslut. Oblgatoner är ett av de skuldebrev som domnerar de fnansella marknaderna. Alla oblgatonerna på marknaden, förutom nollkupongsoblgatoner ger ett antal perodskt återkommande betalnngar under lånets löptd form av kupong- eller räntebetalnngar. Avkastnngen på en kupongoblgaton består av kupongutbetalnngar och värdestegrng. Kupongräntan är den ränta procent av oblgatonens nomnella värde som utbetalas tll nnehavaren av en kupongoblgaton. Marknadsräntan (yelden) utgör den ränta tll vlken oblgatonen för tllfället kan köpas/säljas. Den svenska marknaden använder effektva årsräntor för statsoblgatoner som ränta. Denna beräknas enlgt formeln (Hässel och Norman;994): 9

30 r eff r d = / d Då statsoblgatoner är ett dskonterngsnstrument, betalar köparen kursvärdet på oblgatonen samt upplupen kupong sedan föregående ränteförfallodag ( -8- ). Eftersom statsoblgatoner nnehåller kupongutbetalnngar som skall dskonteras med olka räntor, är det nte helt enkelt att prssätta statsoblgatoner form av räntor. Dessa marknadsräntor bör således tolkas med en vss försktghet. Anlednngen är att det är svårt att veta tll vlken ränta kupongutbetalnngarna kan åternvesteras. Den marknadsnoterade räntan på statsoblgatoner är egentlgen ett avkastnngskrav där nuvärdet på alla betalnngsflöden är lka med prset (Hässel & Norman 997, s 7). Prset för en nollkupongoblgaton beräknas enlgt (Hässel & Norman 997): N P = ( + R n ) n Prssättnngen av en kupongoblgaton sker genom att oblgatonen betraktas som ett paket av nollkupongare. Varje kupongbetalnng motsvaras då av en nollkupongoblgatonmed motsvarande löptd och nlösenbelopp (Svensson 993, s 3). Enlgt (Hässel & Norman 997, s 7) beräknas prset av en kupongoblgaton på följande sätt: N P = ( + R ) n n + n C R t t= ( + t ) C = kupongbetalnng (kupongränta) som betalas ut varje år r = marknadsränta N = nomnellt belopp som utfaller tll betalnng om n år t = td år tll förfall för respektve kassaflöde. t = n R t = enkel årsränta med t års löptd 8.3 Bostadsoblgatoner Bostadsoblgatoner emtteras av de så kallade mellanhandsnsttuten på bostadskredtmarknaden t.ex. Statshypotekskassan (Casse), AB Spntab, Statens Bolånensttut (SBAB), SEB Bolån och Handelsbanken Hypotek AB. Dessa nsttut 3

31 emtterar oblgatoner regelbundet för att fnansera sn kredtgvnng. Oftast betalar bostadsoblgatoner årsvs eller halvårsvs kupong. Bostadsoblgatoner har en relatvt god lkvdtet, särsklt de större bostadsnsttutens oblgatoner. Andrahandsmarknaden består dels av en telefonmarknad där vssa banker och värdepappersbolag agerar market-makers. Bostadsoblgatoner kan även handlas på SOX, en elektronsk börs nom OM Räntebörsen AB. Även bostadsoblgatoner prssätts som effektv årsränta och prset som köparen betalar beräknas på samma sätt som för statsoblgatoner. 8.4 Avkastnngskurvan Avkastnngskurvan beskrver relatonen mellan räntebärande papper som har samma kredtrsk, men olka löptder. Oblgatoner marknadsnoteras form av oblgatonens så kallade nternränta eller yeld to maturty (avkastnngskrav). Yelden är härledd från oblgatonens prs genom (Den korta räntebldnngen Pennngmarknadens fundamentala samband; -8-8): DP = N ( + Y) n + n C Y t t = ( + ) där Y är oblgatonens yeld to maturty. En oblgatons yeld to maturty eller marknadsränta, kan således tolkas som den effektva årsränta tll vlken samtlga kupongutbetalnngar och nomnellt belopp kan åternvesteras och dskonteras tll, gvet oblgatonens prs dag. Det fnns begränsnngar användandet av begreppet yeld to maturty. Tll exempel så är yeld to maturty nte en säker avkastnng då det fnns en åternvesterngsrsk varje kupongutbetalnng. Dessutom antyder olka yeld to maturty för olka oblgatoner att det skulle gå att åternvestera olka oblgatoners framtda kuponger tll olka räntor. Detta är nte sant då kupongerna åternvesteras tll den gällande räntan varje år. Räntornas löptdsstruktur brukar beskrvas med avkastnngskurvan. Denna kurva beskrver relatonen mellan avkastnngarna för olka räntebärande tllgångar med samma kredtrsk men med olka löptder. Avkastnngskurvan kan sägas avspegla förväntnngar om framtda räntor där löptden anges på x-axeln och räntan på y-axeln (Henrekson 994, s 4). 3

32 I teoren bör endast effektva räntor för nollkupongare ngå avkastnngskurvan då de ger en garanterad rskfr avkastnng tll förfall. Detta är dock nte nödvändgt om nvesterngshorsonten är ca tre månade och mndre (Srchander Ramaswamy; Global Asset Allocaton n Fxed Income Markets; sd 3). Räntorna för olka löptder bestäms av utbud och efterfrågan på olka löptder eller tllgångar. Är utbudet gvet, kan efterfrågan och prserna bestämmas av placerarnas: rskbenägenhet, placerngshorsonter och bedömnng av framtda räntor. Hypotesen utgår från att alla aktörer är rskneutrala och att de nte bryr sg om löptder, dvs alla rätebärande papper är perfekta substtut, att aktörerna har ratonella förväntnngar om framtda räntor, att marknaden är effektv och att aktörerna genom arbtrage mellan olka löptder etablera en avkastnngskurva som är konsstent med den förväntade ränteutvecklngen. Enlgt förväntnngshypotesen bestäms räntan på en lång oblgaton av förväntade räntor under tden fram tll oblgatonens förfall Lkvdtetteorn är ännu en av de vanlga teorerna bakom avkastnngskurvan. Den kompletterar förväntnngshypotesen förklarngen om avkastnngskurvans utseende. Lkvdtetspreferensteorn säger att placerare föredrar oblgatoner med korta löptder framför långa, dvs de föredrar konsumton dag framför konsumton framtden. Detta beror på att oblgatoner med längre löptder är mer känslga för ränteförändrngar. Lkvdtets preferensteorn utgår från att placerare är rskaversva och kräver därför en rskpreme för att placera långa tllgångar. 8.5 Räntersk Rsken som är förenad med nvesterng oblgatoner beror tll stor del av skllnaden mellan nvesterarens placerngshorsont och oblgatonernas återstående löptd. Räntersken är därmed nte dentsk för alla aktörer. Defntonen av räntersk brukar dock betecknas som hur prset på ett räntevärande värdepapper omedelbart påverkas av en förändrng av marknadsräntan. Prs % Marknadsränta 3

33 Bld XXX. Prs/ränta och räntersk. Antag att marknadsräntan är % och kupongränta också är %, då är prset kr Duraton (Hässel, Norman; 994) Prsfunktonens förstadervata beskrver väl hur prset förändras vd relatvt små förändrngar marknadsräntan (se bld XXX) och förstadervatan av prsfunktonen är ett vanlgt mått på räntersken som kallas duraton. ( C + N ) ( ) + r = t C t C Duraton n t t p ( + r) ( + r) n N = Nomnelt belopp P = Oblgatonens prs C = Kupongutbetalnng R = Marknadsräntan, YTM. Vd beräknng av duraton antas en horsontell avkastnngskurva. T = n Ju högre dervata, desto större räntersk. Observera att duratonen defneras som ett negatvt tal. Duratonen är dessutom ett mått på nvesterngens återbetalnngstd, Pay- Off td. Duratonen för en oblgaton med kupong, kan även förklaras som den tdpunkt där åternvesterngsrsken för framtda kupongutbetalnngar balanserar prsrsken. Detta kan förklaras genom att då räntan faller, uppkommer en kapttalvnst, men det medför samtdgt att framtda kupongutbetalnngar förutsätts kunna åternvesteras tll en lägre ränta. Detta nnebär att oblgatonen stger prs, men framtda kuponger kan åternvesteras tll en lägre ränta Modferad duraton (Hässel, Norman; 994) Modferad duraton är ett mer lätthanterlgt rskmått. Det anger förändrngen prs för en oblgaton vd en procentenhets förändrng marknadsräntan. MOD = Duraton + r r = marknadsräntan, YTM Både modferad duraton och duraton ger en god approxmaton av prsförändrngar vd små marknadsränteförändrngar. Om ränteförändrngen är högre än 4 räntepunkter är approxmatonen nte längre särsklt bra. Detta nnebär att om marknadsräntorna fluktuerar mycket så är nte duraton ett tllräcklgt bra rskmått (Hässel, Norman; 994). 33

34 8.5.3 Standardavvkelse (Hässel, Norman; 994) Standardavvkelse för räntenoterngar används ofta som ett mått på räntersk. Detta mått måste dock användas med stor försktghet. Då räntefluktuatonerna för långa räntor ofta är lägre än för korta räntor trots att detta nte behöver gälla för prserna på räntebärande papper, är standardavvkelsen för oblgatonens prs ett bättre mått på räntersken. 34

35 9 Programutvecklng Uppdraget från SEB gck ut på att jag skulle utveckla ett program som ger rekommendatoner om allokerngar för oblgatoner och som utgår från Black- Lttermans modell. Innan utvecklngen av det nya programmet kunde starta krävdes flera överväganden. I vlket språk skall programmet skrvas, hur skall utvecklngsarbetet gå tll väga mm? Att det är oblgatoner som programmet skall hantera komplcerar programmet extra. När oblgatoner analyseras är det nte förväntade avkastnngar som nvesteraren funderar över. Istället är det förväntade räntenvåer. Utfrån en förväntad räntenvå ska sedan en förväntad avkastnng beräknas. Det är vktgt att poängtera att modellen nte förväntas vara statsk. Den skall nte användas så att användaren stoppar n data, trycker på en knapp och den optmala portföljen kommer ut. Användaren kommer att laborera med programmet. 9. Val av utvecklngsmljö Innan själva programutvecklngen kunde starta krävdes det att jag valde vlken programmerngsmljö och vlket språk programmet skulle utvecklas. Jag kom relatvt snabbt fram tll att jag skulle utveckla programmet Excel och programmera Vsual Basc. Detta är en mljö som används relatvt mycket nom fnansbranschen. Det är även relatvt sett enklare att göra avancerade funktoner en jämförelse med Java och C++. Excell gör det även möjlgt att utan avancerad programmerng presentera programmet grafskt, vlket detta fall var nödvändgt då utvecklng skedde utan nära kontakt med uppdragsgvaren. Dessutom var projektet så stort att det skulle vara möjlgt att utföra alla moment nklusve programmerng nom ramen för ett examensarbete. Programmet Excell ger dock en användbar prototyp som enkelt kan modferas och vdareutvecklas tll en slutgltg produkt. 9. Val av jämförelsendex Vd val av jämförelsendex fnns det flera faktorer att ta hänsyn tll. Ett av de svåra ställnngstaganden som måste göras vd val av jämförelsendex är huruvda det skall nnehålla många eller få papper. Ett jämförelsendex som nnehåller många papper avspeglar trolgtvs marknaden mer exakt. Problemet med ett stort jämförelsendex är att det kan vara svårt att hantera. Det kan vara svårt att få tag den nformaton som krävs för att kunna replkera portföljen. Ett ndex som nnehåller färre antal papper blr mer lätthanterlgt och lättare att replkera. Här fnns problemet dock att ndexet kanske nte följer den marknad som skall avspeglas. 35

36 När jämförelsendex skulle väljas för SEB:s program var valet av ndex för statsoblgatonerna gvet. För detta valdes OMRX-TBOND. Indexet består av no olka statsoblgatoner med olka kupongränta och löptd. Det är lätt att få nformaton om förändrngar av detta ndex då de ständgt uppdateras på Stockholmsbörsens hemsda. Valet av jämförelsendex för statsoblgatoner var mer komplext. Det stod mellan två olka ndex. Det ena var OMRX-MORT, ett ndex bestående av fem bostadsoblgatoner med olka kupongränta och löptd, men med samma emttent: Stadshypotek. Det andra ndexet, som hanteras av Svenska Handelsbanken, består av ett större antal oblgatoner och dessutom oblgatoner emtterade av flera olka nsttut. Fördelen med detta ndex är att det trolgtvs speglar den värld som skall avbldas väl. Problemet är dock att det ngår så många papper att de kan bl svåra att replkera. För att undersöka om OMRX-MORT var användbart, valde jag att utföra ett grafskt test för att få en uppfattnng om hur väl de följer varandra. Om OMRX-MORT vsade sg följa SHB:s ndex väl skulle v kunna använda oss av detta. Testet genomfördes på följande sätt. Tdsserer över de båda ndexen studerades och modferades så att de hade samma startdatum. Därefter producerades en graf över de båda ndexen Excel, se nedan. Som v ser, följer ndexen varandras rörelser mycket väl och utfrån detta togs beslut om att det var rmlgt att använda OMRX-MORT som det slutgltga jämförelsendexet för bostadsoblgatoner Handelsbank en (HMNI) OMRX- MORT OMRX-MORT och HMNI 9.3 Svenska stats- och bostadsoblgatoner Från bankens sda fanns det önskemål om att presentera oblgatonerna segment. De segment som önskades nom svenska statsoblgatoner och svenska bostadsoblgatoner var: 36

37 . Statsoblgatoner med förfallodag nom -3 år.. Statsoblgatoner med förfallodag nom 3-5 år. 3. Statsoblgatoner med förfallodag nom 5-7 år. 4. Statsoblgatoner med förfallodag nom 7- år. 5. Statsoblgatoner med förfallodag nom + år. 6. Bostadsoblgatoner med förfallodag nom -3 år. 7. Bostadsoblgatoner med förfallodag nom 3-5 år. 8. Bostadsoblgatoner med förfallodag nom 5-7 år. 9. Bostadsoblgatoner med förfallodag nom 7- år.. Bostadsoblgatoner med förfallodag nom + år. Detta gör att programmet nte kommer att ge rekommendatoner om hur man skall vkta respektve oblgaton, utan stället ger den rekommendatoner om hur man skall allokera mellan de olka segmenten. 9.4 Begrepp Clean Prce är prset på en oblgaton utan hänsyn tagen tll upplupen ränta. I programmet beräknas Clean Prce med hjälp av Vsual Bascs funkton Prce. Accrued Interest är ett belopp som måste betalas av den nya ägaren av en oblgaton tll den förre, om oblgatonen köps/säljs mellan två kupongutbetalnngsdatum. Belopet är den del av den nuvarande kupongen som är upplupen och som därmed hör tll den tdgare ägaren. Upplupen ränta beräknas programmet av en specalskrven funkton. Dry Prce är det nettobelopp som en ny ägare av en oblgaton faktskt måste betala tll den tdgare. Det är Clean Prce plus upplupen ränta. Modferad duraton är den genomsnttlga löptden för en oblgaton. Den anges år och ju längre löptd, desto högre rsk. Duratonen mäter hur många år det tar nnan man får tllbaka nvesterat kaptal (Hässel & Norman [997, s 8]). Om en statsoblgaton med kupong jämförs med en nollkupongoblgaton, blr nollkupongarens genomsnttlga löptd kortare än kupongoblgatonens löptd då kupongerna betalas ut nnan löptden är slut. Duratonen för en nollkupongsoblgaton är lka med dess återstående löptd medan duratonen för en kupongoblgaton är kortare än återstående löptd (Hässel & Norman [997, s 7 ]). 37

38 9.5 Start Varje gång programmet startas, utförs ett antal grundberäknngar. Detta stycke går genom dessa. De två översta delarna beräknas när programmet startas Tll att börja med så läses dagens datum och tanken är att även dagens ndexvkter och yelder skall läsas n (detta är nte gjort då jag nte haft tllgång tll Bloomberg varfrån uppgfterna skall hämtas). Därefter ndelas oblgatonerna respektve segment, genom att antalet dagar från och med dagens datum tll och med oblgatonernas förfallodatum beräknas. När detta gjorts, räknas ett nytt ndex fram som anger respektve segments vkt jämförelsendex, genom att respektve segments ngående oblgatoners ndexvkter summeras. Dessutom måste varje oblgatons relatva vkt förhållande tll stt segment beräknas för att det skall vara möjlgt att beräkna kovaransmatrsen. Dagens marknadsränta läses också n och med hjälp av denna beräknas varje oblgatons clean prce, accrued nterest, drty prce och modferad duraton. En kovaransmatrs beräknas när programmet startas. För varje oblgaton fnns en tdssere med yelder. För varje tdpunkt respektve tdssere, beräknas drty prce fram genom att clean prce och accrued nterest summeras. För att kunna approxmera en kovaransmatrs, behövs emellertd en tdssere för respektve segment. Genom att 38

39 för varje segment multplcera de ngående oblgatonernas tdssere med sn vkt nom segmentet och därefter summera dessa. För varje segment beräknas alltså dess tdssere som följer: S S S k = n = ( v P P P k ) S = Dead prce för ett segment P = Dead prce för en vss oblgaton som ngår segmentet, v = Den vkt oblgatonen har nom segmentet n = Antal oblgatoner som ngår segmentet k = Antal tdpunkter som ngår tdsseren Utfrån dessa tdsserer beräknas kovaransmatrsen. När dessa beräknngar är utförda, presenteras användaren för ett formulär där denne skall ange sna åskter eller prognoser. 9.6 Beräknng av kovaransmatrsen Vd beräknng av en kovaransmatrs används oftast hstorska data. Man kan fråga sg mycket hstoren egentlgen har att bdra med för framtda prognoser. Då denna metod trots allt är den vanlgaste, så används denna programmet. En vktg fråga som uppkom var dock hur täta tdsntervall som skulle användas. Om v använder för korta tdsntervall rskerar v att få ett numerskt problem med cancellaton. Om avkastnngen ena dagen är och nästa dag.45679, blr skllnaden., men den första yelden kan vara avrundad från och den andra från Detta skulle nnebära att den verklga dfferensen är.8. 8 är 8% mer än., och så stora fel kan v nte tllåta oss. För att kontrollera detta har jag gjort ett test som presenteras nedan. Först ska v dock ttta på en matematsk härlednng av problemet med cancellaton. P (t) =prset ln( P ( t)) =prset logartmerat σ =varansen av den logartmerade prsförändrngen under ett år 39

40 Antag att väntevärdet av prsförändngen ett kort ntervall är noll (Hull, kap 5, not ). Detta leder tll att varansen av den logartmerade prsförändrngen under t blr: σ t = V kan skatta denna med: [( P( t + t) P( t) ) ] + σˆ t = N σˆ, N = t = N (ln p N = (ln p( t ) ln p( t ln p )) = ln P + t)) Men säg att v observerar ln p ( t) + ε () ln p ( t t) + ε () Vad jag observerar: ln p + ( ε ε ) =()-() Mn skattnng: δ = ε ε ln p med ett fel ε. Vad jag ser är då: σˆ t = N N = ( ln p + δ ) = Okorrelerade { Kvad. regel} = = N N = ( ln p ) Då N är stort, går denna produkt mot σ t, alltså det v söker. + δ N N = ln p + N Antogs ovan som = N = δ = var( δ ) 4

41 σˆ ( t) σ t + var( δ ) σˆ = σ var( δ ) + t Detta vsar att om v väljer ett ltet tdssteg, t, så blr kvoten uttrycket väldgt stor, vlket nnebär att felet blr större desto mndre tdssteg som väljs. Jag valde att undersöka huruvda detta skulle ha effekt på vlka tdssteg som väljs programmet. Detta gjordes genom att jag valde n ngående oblgatonen och beräknade varansen för denna med tre olka tdssteg: dag, dagar, 5 dagar och 7 dagar. Resultatet presenteras tabellen nedan. t Varans dag,68 dagar,964 5 dagar,9 7 dagar,684 Tabell XXX. Varansen förhållande tll olka t Resultaten av testen stämde nte rktgt överrens med förväntnngarna. Förväntnngen var att varansen skulle vara större ju kortare tdsntervallet var, men då detta nte var fallet, verkar det rmlgt att använda data med t = dag, vlket är mplementerat programmet. Det är vedertaget att sätta den förväntade förändrngen av prset på marknadsvarabeln över tdsperoden tll noll (Hull; kap 5; not ). Detta är nte exakt sant, men ett rmlgt antagande då den förväntade förändrngen prset på marknadsvarabeln över en kort tdsperod vanlgtvs är lten jämfört med standardavvkelsen av förändrngen. Det är alltså vanlgt att man vd beräknngar av kovaranser mellan avkastnngar på fnansella papper slopar den ssta delen. Den har vsat sg omöjlg att skatta. För att kunna skatta den krävs det stora tdsntervall medan det krävs små tdsntervall för att få övrga användbara data. Om man skattar delen och stoppar n modellen för man endast n mer fel modellen. Den är dessutom väldgt lten. Prsets (den logartmerade prsförändrngen under tdsntervallet) varans σ blr då, under antagandet om v kan ansätta den förväntade förändrngen av prset på marknadsvarabeln över tdsperoden tll noll. 4

42 σ σ j = E = E [( P( t + t) P( t) ) ] + [( P ( t + t) P ( t) )( P ( t + t) P ( t) )] + j j och varansen under prsförändrngen under t blr därmed t = σ t. V antar att den förväntade o. V skattar då σˆ t = n n [ (ln p + ln p ) ] = 9.7 Inläggnng av prognoser Följande formulär vsas för användaren när alla startberäknngar är färdga. Den skärmbld där användaren förväntas ange ränteprognoser. Tabellen längst tll vänster, blden ovan, presenterar dels nuläget med de ngående oblgatonerna, deras förfallodatum och dagens yelder, dels vsas de framräknade yelderna som gäller för nlagda prognoser. 4

43 Första delen av den högra tabellen prognoser för statsoblgatoner. I det första fältet anger användaren tdpunkterna för sna prognoser. Därefter skall en nvå för yelden för tdpunkten anges. Detta sker antngen genom att användaren anger en spread mot dagen yeldkurva för statsoblgatoner, eller en absolut yeld. I kolumnen S/A väljer användaren om spreaden eller den absoluta yelden skall användas. Att ange prognoser för bostadsoblgatoner fungerar ungefär på samma sätt. Spreaden gäller dock dagens yeldkurva för bostadsoblgatoner, utan stället den prognostserade yeldkurvan för statsoblgatoner. Användaren måste även ange en åternvesterngsränta och ett horsontdatum. När användaren angett sna prognoser trycker denne på knappen Beräkna yeldkurva. Då beräknas yeldkurvor för prognoserna och rtas upp tllsammans med dagens yeldkurva ett dagram. I den vänstra tabellen vsas även vad yeldprognoserna ger för beräknade yelder för respektve oblgatons antal år tll förfall. I denna mljö arbetar användaren tlls denne känner sg nöjd med sna prognoser och sna yeldkurvor. Därefter klckar han/hon på knappen: Beräkna avkastnng. Då beräknas avkastnngen för varje oblgaton utfrån dessa beräknas ett vägt medelvärde för respektve segment. 9.8 Black-Ltterman delen Den beräknade avkastnngen för respektve segment används sedan som ndata för beräknng av Black-Lttermans avkastnngsvektor. Användaren presenteras för följande formulär 43

44 Skärmblden där Black-Lttermans avkastnngsvektor beräknas och där själva optmerngen görs. I fälten under rubrken Åskt kan användaren välja om den beräknade förväntade avkastnngen skall användas som ndata Black-Ltterman eller ej. En etta betyder att åskten tas med beräknngarna medan en nolla nnebär att användaren nte har någon åskt om segmentet fråga. Under rubrken Osäkerhet får användaren möjlghet att gradera hur säker han/hon är på respektve åskt. Ju lägre osäkerhet, desto mer kommer den rekommenderade vkten att sklja sg från ndex. Jämvktsavkastnngarna beräknas enlgt Black- Lttermans formel och fnns endast med för att användaren skall kunna se dem. De två parametrarna Tau och Rskaverson är satta tll ursprungsvärdena respektve,5. Det är nte tänkt att användaren skall ändra dessa, men däremot fnns den möjlgheten. 9.9 Beräknng av Black-Lttermans avkastnngsvektor När avkastnngarna beräknats öppnas ett nytt fönster för användaren. Här presenteras de beräknade avkastnngarna för respektve grupp. Användaren har här möjlghet att välja om denne anser att åskten för respektve grupp verklgen skall tas med beräknngen. Detta görs genom att en etta eller nolla läggs n fältet Åskt. Därefter läggs en säkerhetsgrad n för respektve åskt. Säkerhetsgraden kommer att påverka 44