Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers fouriertrasform. I det första fallet är avsikte att miska läckaget mella olka frekveskompoeter, upplösige kommer dock att avta då föster iförs. I filterdimesioerigsfallet är avsikte att miska filterkurvas rippel i pass- och spärrbad, vi får dock också e förädrig av filtrets gräsfrekves(er) och övergåge frå pass- till sapärrbad blir midre brat (mera flack) Vi skall här se på utseedet hos ett atal fösterfuktioer samt på deras frekvesgåg (beloppskurva) i lijär skala och med db-skala. Vi ser på föster med och termer, dvs N= och N=. Alla föster har i frekvesplaet ett huvudpassbad, e så kallad huvudloob av viss bredd som kommer att vara det frekvesbad som främst släpps igeom, dessutom har vi svägigar (rippel) i spärrbadet som gör att vi äve där får bad (sidoloober) där e del av sigale släpps igeom, dock mer dämpad ä i huvudloobe. Det är beräkigsmässigt eklast att studera föster om vi betraktar dom som symmetriska, dvs om de beskrivs av e fuktio [] w M M M = N 2 Förutsättige för detta är då att totalt atal termer är udda, vilket i allmähet ite behöver gälla, me det föreklar som sagt beräkigara och medför ige begräsig i aalyse. Vid frekvesaalys har vi ormalt sampelserie x [] N där varje term då skall viktas med si fösterterm w [] ( w[] x[] ). Här har vi alltså ite symmetriska termer me skillade mella dessa icke-symmetriska termer och symmetriska termer är bara e lijär fasvridig i frekvesplaet (se stecil om lijär fas)och vi ka öja oss med att betrakta det symmetriska fallet. I filtersammahag däremot är det aturligt att behadla symmetriska termer, se stecil om filterdimesioerig via ivers fouriertrasform. CHALMERS LINDHOLMEN Sida Istitutioe för data- och elektrotekik Sve Kutsso Box 8873 42 72 Göteborg Besöksdress: Hörselgåge 4 Telefo: 3-772 57 27 Fax: 3-772 57 3 E-mail: svek@chl.chalmers.se Web: www.chl.chalmers.se/ svek
Valiga fösterfuktioer Rektagulärt föster Det eklaste föstret tar med alla N sampel precis som de är, dvs w[] = M i övrigt M M = N 2 Eftersom vi tar med sample precis som de är så säger ma också ofta lite slarvigt att ma ite aväder ågot föster. Rektagulärt N=.8.6.4.2 - -5 5 Figur Spektra rektagulärt N= Spektra rektagulärt N= db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur 2 -..2.3.4.5 Figur 3 Digital sigalbehadlig kurspla sida 2
Rektagulärt N=.8.6.4.2-5 5 Figur 4 Spektra rektagulärt N= Spektra rektagulärt N= db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur 5 -..2.3.4.5 Figur 6 Vi ser att huvudloobe blir smalare då atalet termer ökar. Huvudloobe har bredde 2 f s f meda sidoloobera har bredde s. De relativa höjde hos varje idividuell loob N N förädras ite med atalet termer, dvs första sidoloobe har alltid samma höjd i förhållade till huvudloobe etc. Detta gäller för alla föstertyper. Ett idealt föster som är oädligt brett och tar med alla termer skulle ge e oädligt smal huvudloob. Triagulärt föster Vi har fuktioe [] w k = 2 k N + k = N + k 2 Digital sigalbehadlig kurspla sida 3
Och spektrat W M ( Ω) = M + + 2 [ M + k] cos( k Ω) k = Maxvärdet iträffar då M = och är W M max = W k = [] = M + + 2 ( M + k) = ( M + ) 2 Tragulärt N=.8.6.4.2 - -5 5 Figur 7 Spektra tragulärt N= Spektra triagulärt N= db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur 8 -..2.3.4.5 Figur 9 Digital sigalbehadlig kurspla sida 4
Tragulärt N=.8.6.4.2-5 5 Figur Spektra tragulärt N= Spektra triagulärt N= db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur -..2.3.4.5 Figur 2 Bartlettföstret Bartlettföstret är sarlikt det triagulära föstret och beskrivs av fuktioe [] = 2 ( k ) w k N k = k N + 2 Digital sigalbehadlig kurspla sida 5
Bartlett N=.8.6.4.2 - -5 5 Figur 3 Spektra Bartlett N= Spektra Bartlett N= db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur 4 -..2.3.4.5 Figur 5 Bartlett N=.8.6.4.2-5 5 Figur 6 Digital sigalbehadlig kurspla sida 6
Spektra Bartlett N= Spektra Bartlett N= db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur 7 -..2.3.4.5 Figur 8 Om vi jämför det triagulära föstret (eller Bartlettföstret) med det rektagulära föstret så ger det triagulära föstret ugefär dubbelt så stor dämpig av de första sidoloobe. Samtidigt blir huvudloobe ugefär dubbelt så bred vilket ger sämre upplösig vid frekvesaalys respektive flackare övergåg mella pass- och spärrbad vid filterdimesioerig. vo Haföster (Haig, raised cosie) w π M + [] =,5 +,5 cos M M Haig N=.8.6.4.2 - -5 5 Figur 9 Digital sigalbehadlig kurspla sida 7
Spektra Haig N= Spektra Haig N= db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur 2 -..2.3.4.5 Figur 2 Haig N=.8.6.4.2-5 5 Figur 22 Spektra Haig N= Spektra Haig N= db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur 23 -..2.3.4.5 Figur 24 Digital sigalbehadlig kurspla sida 8
Hammigföster w π M [] =,54 +,46 cos M M Hammig N=.8.6.4.2 - -5 5 Figur 25.8.6.4.2 Spektra Hammig N=..2.3.4.5 Figur 26-2 -4-6 -8 Spektra Hammig N= db-skala -..2.3.4.5 Figur 27 Hammig N=.8.6.4.2-5 5 Figur 28 Digital sigalbehadlig kurspla sida 9
Spektra Hammig N= Spektra Hammig N= db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur 29 -..2.3.4.5 Figur 3 E jämförelse ger att Hammigföstret har ågot bredare huvudloob ä det triagulära föstret och Haigföstrets huvudloob är ytterligare ågot bredare. Haigföstret har få sidoloober som är ågot mer dämpade ä motsvarade loober hos det triagulära föstret. Hammigföstret har fler sidoloober me de första sidoloobera är väl dämpade, speciellt de första sidoloobe. Blackmaföster π 2 π w[] =,42 +,5 cos +,8 cos N N Blackma N=.8.6.4.2 - -5 5 Figur 3 Digital sigalbehadlig kurspla sida
Spektra Blackma N= Spektra Blackma N= db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur 32 -..2.3.4.5 Figur 33 Blackma N=.8.6.4.2-5 5 Figur 34 Spektra Blackma N= Spektra Blackma N= db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur 35 -..2.3.4.5 Figur 36 Digital sigalbehadlig kurspla sida
Kaiserföster Med ett Kaiserföster, har vi fler frihetsgrader så att vi ka välja att optimera filtret för brat övergåg mella pass- och spärrbad eller litet rippel i pass- och sidbad, dvs vi byter lite badbredd mot små sidoloober. Vi ka ite få båda samtidigt uta vi byter i pricip det ea mot det adra. +δ -δ δ Ω δ Figur 37 Kaiserföster N= alfa=8.8.6.4.2 - -5 5 Figur 38 Spektra Kaiserföster N= alfa=8 Spektra Kaiserföster N= alfa=8 db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur 39 -..2.3.4.5 Figur 4 Digital sigalbehadlig kurspla sida 2
Kaiserföster N= alfa=8.8.6.4.2-5 5 Figur 4 Spektra Kaiserföster N= alfa=8 Spektra Kaiserföster N= alfa=8 db-skala.8-2.6.4-4 -6.2-8..2.3.4.5 Figur 42 -..2.3.4.5 Figur 43 Slutkommetar Om vi ser på de olika fösterfuktioera i frekvesplaet så ser vi att ökat atal termer alltid ger smalare huvudloob, me rektagulärt föster ger alltid de smalaste huvudloobe. Vi ser att olika fösterfuktioer ger lite olika breda huvudloober och dessutom är det olika delar av sidoloobera som dämpas mest av olika föster. Ma ka ite geerellt säga att ågo fösterfuktio är bättre ä de adra. Vid frekvesaalys framhäver de olika delar av sigales spektra och det ka vara lämpligt att göra aalys av samma sampelmägd med flera olika föster. Vid filterdimesioerig får ma låta applikatioe avgöra vilket föster som ka vara lämpligt. Digital sigalbehadlig kurspla sida 3