Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Smlnd rglrng 3. Algormr för smlnd rglrng Prnn för smlnd rglrng Blo Smlng r mo onnrlg sgnlr o r sm dsrsrr dm ll lföljdr o r,,, I rn är d n A/D-omvndlr. Blo Håll r mo lföljdn,,,, från rglrlgormn o sr vdr n svs dsonnrlg sgnl, <. I rn är d n D/A-omvndlr. Rglrn II llsåndsmodr 493 3
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Smlnd rglrng 3. dsdsr PID-rglorr 3.. dsonnrlg formr v PID-rglorr Idl PID-rglor d K d d τ τ PID 3.. d Idl PID-rglor som n drvrr börvärd d K d d τ τ PID 3.. d PID-rglor som drvrr flrrd sgnl dx K d d τ τ, d f x x PIDx 3..3 Anm: fnns md för möjlggör sonärllsånd md o sm mnll rglrng K md ; lämns do of från rglorv. Rglrn II llsåndsmodr 493 3
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. dsonnrlg PID-rglorr Blosmn för PID-rglorr En PID-rglor n nl rlsrs,.x. Smln, md jäl v blosm. dn gs blosmn för vrnrn PID o PID. r / s s d K r / s s d K PID PID Vrnn PIDx v n PID-rglor rålls gnom ddon v : ordnngns flr frmför drvrngsblo. Smlng dsrsrng v n rglor dfnrd gnom blosm n of rålls dr md jäl v frågvrnd rogrmvr.x. Smln. 3. dsdsr PID-rglorr 3 3
3. dsdsr PID-rglorr 3. Algormr för smlnd rglrng 3 4 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Dsrsrng v onnrlg PID-rglorr V r bndl r dsonnrlg ssm md svs onsn nsgnlr n smls. En rglor r do n svs onsn nsgnl om d rglrd ssms sgnl är n onnrlg vrbl. Ovnnämnd smlngsmod är därför rn norr för n rglor. E sä bsämm n dsdsr vrson v n PID-rglor är rsä d nls rn för ngron o drvrng md nmrs mosvrgr. För n dl PID-rglor som n drvrr börvärd PID n v srv d d d d d d d d K K τ τ τ τ 3..4 där o.
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Dsrsrng v PID-rglorr Rnglroxmon v ngrln Om är onsn smlngsnrvll fås md roxmonrn dτ τ o dn dsdsr PID-rglorn d 3..5 d K llr md dn förnlnd bnngn f f d 3..6 d K n bror v, PID- 3..7 Efrsom <, lls dnn form v PID-rglorn för n osonsform. Mär är n onsn. 3. dsdsr PID-rglorr 3 5
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Dsrsrng v PID-rglorr I ngrlroxmonn nogs rglrvvlsn vr onsn l., smlngsnrvll [ ],, Efrsom smlngsnrvll själv vr är ö ll ögr, dvs nrvll är [ vor d rn nrlgr nvänd roxmonn Dnn roxmon gr dn dsdsr PID-rglorn τ dτ 3..8 d K PID- 3..9 som vvr från dn dgr rglorn PID- nds sållvd smmrngn sr från ll säll för från ll. 3. dsdsr PID-rglorr 3 6
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Dsrsrng v PID-rglorr Aroxmon v ngrln md rsmodn Båd roxmonrn ovn r dn ndln rglrvvlsn ns vr svs onsn smlngsnrvlln, vl n är fll rn. Mr movr är n rglrvvlsn förändrs lnjär från. Ingrlroxmonn blr då smlngsnrvll [, D gr dn dsdsr PID-rglorn ll τ dτ 3.. K d PID-3 3.. 3. dsdsr PID-rglorr 3 7
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. dsdsr PID-rglorr 3..3 Ingrorvrdnng I d fls fsls rossr fnns bgränsnngr.x. rörnd srsgnlrns sorl. Ang n ross säs för n så rfg sörnng, dn n n lmnrs från sgnln md srsgnln g fsls bgränsnngr.x. n ön rglrvnl. Flsmmn n dsdsr PID-rglor ommr väx så läng sörnngn vrr ngs >, lså rglorns sgnl, mn ngn rglrng v rossns sgnl sr frsom srsgnln n n rlsrs g bgränsnngn områd A fgrn. Om > är sörnngn sådn rossns sgnl mns. 3. Algormr för smlnd rglrng 3 8
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..3 Ingrorvrdnng Ang sörnngn ör. Efrsom srsgnln g dn dgr vrnd sörnngn, som gv r >, är sådn rlgsläg som mxmrr, blr < dvs > r när sörnngn o dss ff å ör. Efrsom flsmmn rglorn blv m sor mdn sörnngn vrd, ommr dn forfrnd vr sor g ll gml > ros n <. ommr då oså forsänngsvs vr sor o åll srsgnln > områd B fgrn. Usgnln vr vd s rlgsläg, ros r ll sl blr smmn rglorn ll fll så ln mnsr ll n nvå som mosvrr n rlsrbr srsgnl o rglrngn börjr fngr gn. Rglrngn r do vr m dålg. Dn onödg ngrln mlln rvn B o börvärd är ngfär l sor som ngrln mlln börvärd o rvn A. Dnn ff lls ngrorvrdnng, llr vnlgr, rs wnd. Mn n förndr ngrorvrdnng gnom ol rglorn å mnll rglrng, llr gnom någon mnsm som förndrr fors smmrng när srsgnln är vd n bgränsnng. 3. dsdsr PID-rglorr 3 9
3. dsdsr PID-rglorr 3. Algormr för smlnd rglrng 3 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..4 PID-rglorns nrmnform Ingrorvrdnng n rn förndrs rlv nl om mn säll för PIDrglorns osonsform nvändr n s.. nrmnform, där sgnln bräns som llägg ll förgånd sgnl. Om mn brr osonsformn vd vå å vrndr följnd dnr o sm sbrrr från fås för PID-rglorn PID- K d llr d K PID- 3..
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..4 PID-rglorns nrmnform Inrmnformn mosvrnd PID-rglorn PID- blr nlog d K Mosvrgn ll rglorn PID-3 blr PID- 3..3 d K PID-3 3..4 Inrmnformrn förndrr ngrorvrdnng om mn för nvändr dn srsgnl som sns vrlgn nd rlsrs, dvs n nödvändgvs sns bränd. Inrmnformrn möjlggör oså söfr övrgång från n rglrlgorm.x. mnll srnng ll n nnn om dn sns rlsrd rglrsgnln är änd. Dss fördlg gnsr rävr vnlgvs mn mär llr smrr. 3. dsdsr PID-rglorr 3
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. dsdsr PID-rglorr 3..5 Egnsr os osons- o nrmnformrn Posonsformn d K PID- 3..7 Om I-vrn mds dvs PI- llr PID-rglor: Sonärllsånd rävr smmn lgormn n växr, vl rävr, dvs v r ngn rglrvvls vd sonärllsånd. Om I-vrn n mds dvs P- llr PD-rglor, : Sonärllsånd rävr nds om D-vrn mds sm s onsn, dvs s rävs n o rglrvvls fås llmän som vän. Rglrfl vd sonärllsånd md blr s s / s K 3..5 Ends vd d sonärllsånd som mosvrr s blr rglrvvlsn noll. 3. Algormr för smlnd rglrng 3
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..5 Egnsr os osons- o nrmnformrn Inrmnformn d K PID- 3.. Sonärllsånd rävr s o. Då gällr K s 3..6 Om I-vrn mds dvs PI- llr PID-rglor: Vd sonärllsånd gällr, dvs, o rglrvvls sns. Om I-vrn n mds dvs P- llr PD-rglor, : Vd sonärllsånd gällr då lld obrond v s, dvs sonärllsånd n bl l godlg ; d fnns ng n sonärllsånd där rglrfl lld sll vr noll som för osonsformn. Inrmnformn sll sålds nds nvänds md ngrrnd vrn. s 3. dsdsr PID-rglorr 3 3
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..5 Egnsr os osons- o nrmnformrn Illsron v lmnrd ngrorvrdnng md nrmnformn Posonsformn Inrmnformn 3. dsdsr PID-rglorr 3 4
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. dsdsr PI-rglorr 3..6 Dsrsrng gnom orormm dsonnrlg o smld ssm sm smbnd mlln dm n rs md jäl v drvrngsororn o försjnngsororn, dvs d/d o Bådffrnsroxmon f f f f 3..7 Dn vd rglordssrngn nvänd roxmonn d 3..8 d n md ororformlsm rs dvs 3..9 3.. 3. Algormr för smlnd rglrng 3 5
3..6 Dsrsrng gnom orormm 3. dsdsr PID-rglorr 3 6 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Dn dsonnrlg PID-rglorn som n drvrr börvärd PID n md jäl v drvrngsororn srvs obs. nr smm ls som Llvrbln s d K PID 3.. sm srvlngn gr d d K K 3.. dvs då τ, < τ, o då rgmn d K PID- PID- 3..
3..6 Dsrsrng gnom orormm 3. dsdsr PID-rglorr 3 7 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Alrnv n v lå orr å dn onnrlg rglorns sgnl för få d d K K 3..3 är onsn vrfr gr d d K K 3..4 dvs d K PID- 3..
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..6 Dsrsrng gnom orormm Blnjär roxmon Aroxmonn d 3..8 d är smmrs sållvd ögr ld vor n bär roxmon ll drvn någonsns mlln o,.x. vd, 5, än vd. En bär roxmon d änsnd är dn blnjär roxmonn d d 3..5 d d ävn lld sns roxmonsforml. Md orormm fås 3..6 dvs 3..7 3. dsdsr PID-rglorr 3 8
3..6 Dsrsrng gnom orormm 3. dsdsr PID-rglorr 3 9 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH llämnng v dn blnjär roxmonn å PID-rglorn d K PID 3.. gr för osonsformn md lljäl v srvlngr d K PID-4 3..8 För nrmnformn fås d K PID-4 3..9 Mär dn gml sgnlrmn är, n, om mn som är vll lmnr smmn nnållnd gml sgnlr.
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..6 Dsrsrng gnom orormm Sblsområd för orordsrsrd rglorr D smld rglorrn är dsdsr ssm o drs sblsområd är områd nnnför nsrln d omlx lln, dvs z <, när d rs md jäl v Z-rnsformn. är onnrlg ssm dsrsrs gnom roxmon bvrs d onnrlg ssms sblsgnsr n nödvändgvs. Fgrn ll vänsr llsrrr d onnrlg ssms sblsområd R s < årförs å rlformg områd z,5 <, 5 d omlx lln när bådffrnsroxmon nvänds. Vss nsbl ssm n sålds bl sbl z < mn z,5,5 gnom dnn roxmon. ll ögr vss dn blnjär roxmonn rs bvrr sblsgnsrn. 3. dsdsr PID-rglorr 3
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Smlnd rglrng 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor Om d vld smlngsnrvll är l jämförls md ssms dsonsnr, o n v. dödd är ln, n mn bsämm rmrrn för n onnrlg rglor nlg någon sndrdrodr.x. Zglr-ols o dr nj dss någon v d smld rglorformrn. Efrsom mäd är ll smlngsnrvll gml vd rglrng md n smlnd rglor, är d movr vd rglordsgnn md llr ö n bfnlg dödd md n dödd l md lv smlngsnrvll rossmodlln. Zglr-ols rommndonr gr llmän ggrssv rglrng, o rs för nsbl förlggr. Bsr å smm rossnformon som Zglr-ols rommndonr, rommndrr rs o Lbn för PI-rglrng K K,, P 3.., 3,mx där P är rodn för sånd svängnngr o K, mx P-rglorns försärnng. E lllnd lrnv är gör någon form v dr sns såsom IMC-dsgn gånd från n dsdsr smld modll. Prossrglrng 385 3
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Insällnng v dsr PID-rglor Sndrdblosm för årold rglrng r G G Fgrn vsr blosm för årold rglrng md nonvnonr o d vgs vrblrn mär. Vd modr bsrd å dr sns nvändr mn sg v dn sln slngns övrförngsfnon från r ll, som är är G r s Y s G s G s R s G s G s 3.. För d dsdsr fll fås l nlog r md lsövrförngsororr llr -fnonr. 3. Algormr för smlnd rglrng 3
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Insällnng v dsr PID-rglor 3.. Smlng v ssm md dödd E llmän ssm md dödd E onnrlg ssm md n dödd θ för ll nsgnlr r llsåndsvonn Ax B θ x 3..3 Om ssm smls md smlngsnrvll n lösnngn nlog md dgr srvs A A τ A x x B τ θ dτ 3..4 där o är vå närlggnd smlngsnr så. Ang nldnngsvs döddn är mndr än smlngsnrvll, dvs θ <. Ävn om nsgnln är svs onsn övr smlngsnrvlln, är τ θ n onsn övr smlngsnrvll τ < frsom dss värd ändrs från ll nn τ θ. 3. Algormr för smlnd rglrng 3 3
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Smlng v ssm md dödd En svs onsn nsgnl övr ngronsområd fås do om ngrln dls så θ A A d A A A x x τ B τ d B τ τ 3..5 θ Lösnngn n srvs x Fx G G 3..6 llr md o lämnng v onsnn från rgmnn x Fx G G 3..7 där fr b v ngronsvrbl, do forfrnd lld τ θ A A F, G B τ θ A θ A dτ, G τ B dτ Om v r n dödd L > så L θ, där är ll, rsäs md o md. 3..8 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 4
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Smlng v ssm md dödd Plsövrförngsororn för ssm md dödd Br ssm x Fx G G Cx D D 3..9 där D nds om ssm n är sr ror. Md jäl v sfororn fås x o sålds llr där I F G G I F G G C I F G G D D 3.. H 3.. H C I F G G D D 3.. 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 5
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Smlng v ssm md dödd Smlng v ndr ordnngns ssm md dödd E ndr ordnngns ssm md vå ol sor dsonsnr o, äljrdonsnn 3, döddn L o försärnngn K r övrförngsfnonn där G s Ls Y s K 3s U s s s s λ s λ K 3, λ /, / Ls 3..3 λ 3..4 K 3 3..5 Ssm n srvs å dgonlformn x Λx b x L λ Λ, λ b, 3..6 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 6
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Smlng v ssm md dödd Efrsom Λ är dgonl n smlng nl förs. Md där G G θ Λτ dτ b x Fx G x λ G L θ får v 3..7 λ Λ F λ 3..8 λ θ λ λ θ λ λ λ θ λ θ λ θ λθ λ λ θ λθ θ Λ θ Λτ dτ b λ λ λθ λ λ λθ λ 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 7
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Smlng v ssm md dödd Md jäl v lsövrförngsororn n ssm srvs där H H 3..9 I F G G Insänng v mrsr o vor gr fr fsnng där H b 3.. b b 3 3 λ, θ λ b λ,, θ b λ λ λ θ λ b, λ, λ θ, λ λ b, b, λ, b b b, b, b, λ λ 3, λ b b b,, λ λ, λ 3.. b 3.. b, 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 8
3.. Smlng v ssm md dödd 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 9 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Om döddn är n jämn mll v smlngsnrvll, dvs θ, förnls rn vsvär. V får b b H 3..3 där b λ λ λ λ b λ λ λ λ λ λ 3..4 λ λ, λ λ För förs ordnngns ssm, mn n nödvändgvs θ, fås b b H 3..5 /, / K b θ, / b K θ 3..6
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Smlng v ssm md dödd Övnng 3.. Bsäm lsövrförngsororn H för ssm G s Ls K s s då K, L mn, mn,, 5 mn o smlngsnrvll, mn. 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 3
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Insällnng v dsr PID-rglor 3.. Sns v dsdsr PID-rglor Inrmnformn v n dl dsdsr PID-rglor r formn 3..7 där r. Md jäl v båsfororn fås 3..8 som gr rglorns lsövrförngsoror H 3..9 Om ssm md lsövrförngsororn H / rglrs md dnn rglor gs d rglrd ssms lsövrförngsoror v H H H r 3..3 r H H Idén är välj rglorns rmrr 3. Algormr för smlnd rglrng 3 3 H så H r får önsd form.
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Sns v dsdsr PID-rglor Förs ordnngns ssm md dödd E förs ordnngns ssm md n dödd L, där är smlngsnrvll, r lsövrförngsororn b H 3..3 V får b H H 3..3 Om v väljr dvs ngn D-vrn o fås b b H H o H r 3..33 b där rglorns försärnng är n vrsånd dsgnrmr. Vl b / 3..34 gr sgsvr md mnml övrsväng 4 % o n sgd å 3 ll 4 döddr. 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 3
3.. Sns v dsdsr PID-rglor 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 33 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Andr ordnngns ssm md dödd Dsgnmodn ovn är väldg bändg mn n nl brän d bövlg rglorrmrrn o då ssmrmrrn, b o är änd. Kn smm mod, llr någon lnnd som nl n ärlds, nvänds för ssm v ndr ordnngn md dödd? Om v nr döddn är n jämn mll v smlngsnrvll r ndr ordnngns ssm lsövrförngsororn b b b b H 3..35 Md n dsr PID-rglor H får v b b H H 3..36 V n välj rglorns rmrr så nämnrn för H lmnrs, mn äljrn blr vr o därmd får v n smm form å H H o dsgnmodn gällr n.
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Sns v dsdsr PID-rglor V n do välj n nnn v rglor. En rglor md lsövrförngsororn gr md vln H 3..37 d, H, d b / b 3..38 b H 3..39 o smm vl v n görs som ovn för förs ordnngns ssm, dvs b / 3..34 Dnn rglor är n n rn PID-rglor, n dn r dffrnsformn 3..4 d Dn n själv vr ols som n PID-rglor flr som flrrr, dvs rn om börvärd ns vr brsfr. 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 34
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Smlnd rglrng 3.3 Dr sns md döddsomnson 3.3. Dln-Hgms lgorm Dln o Hgm r förslg n mod bsrd å dr sns som gr n rglor md ngrrnd vrn o x omnson för dödd. En godlg rglor md lsövrförngsororn H gr för ssm H sl ssm H H H r 3.3. r H H Om mn lösr H fås där mn n sfr som rlsrr d. Prossrglrng 385 3 35 H H r 3.3. H H r H r å öns sä o brän dn rglor H
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3. Dln-Hgms lgorm E sl ssm md mndr dödd än döddn d orglrd ssm n gvvs n rålls. Om ssms dödd är L, där är smlngsnrvll, är r α α H 3.3.3 dvs förs ordnngns ssm md försärnngn, nl sl ssm. Om d / sln ssms önsd dsonsn är r, så är α r. Obs. d dsr ssms försärnng fås när mn rsär ororn md. D vl v H gr r H r H r α α α 3.3.4 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 36
3.3. Dln-Hgms lgorm 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 37 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Rglrng v : ordnngns ssm md dödd För b H 3.3.5 fås b b H α α α α α α 3.3.6 dvs n rglor md dffrnsformn b α α 3.3.7 D n ols som n PI-rglor md xl döddsomnson. Efrsom rglorn o md rmn nvändr nformon som n vr m gmml n dn förväns vr änslg för modllfl, sll rörnd döddn.
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3. Dln-Hgms lgorm Rglrng v : ordnngns ssm md dödd Ävn om ssm som sll rglrs är v ndr ordnngn, n mn sfr d sln ssm vr v förs ordnngn. För fås då fr fsnng d b b H H b α b d b α α där /. D är n rglor md dffrnsformn α α d αd b α d Rglorn n förväns vr änn änslgr för modllfl än dn förgånd. 3.3.8 3.3.9 3.3. 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 38
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3 Sns md döddsomnson 3.3. E llämnngsxml I övnng 3.. vr gfn bsämm lsövrförngsororn H för ssm G md smlngsnrvll, Rsl blv H b b s K s s 3. Algormr för smlnd rglrng 3 39 Ls mn då K, L mn, mn o, 5 b,956,736 Här sll fr ol rglordsgnr llsrrs o jämförs: b,894,748 Dsrsrd PID-rglor nsälld nlg Zglr-ols rommndonr b Dsr PID-rglor nsälld för 4 % övrsläng Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o fl modll förs ordnngn dödd d Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o orr modll mn.
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3. E llämnngsxml Dsrsrd PID nsälld nlg Zglr-ols Dn onnrlg rossmodlln gr rs frvnsn ω,5 rd/mn sm G ω, 44 K, 7, mx Enlg Zglr-ols rommndonr fås K,6K,36, π / ω, 8 mn, d π / 4ω, 5 mn, mx Inrmnformn för n dl PID-rglor smld gnom bådffrnsroxmon är d d d K som är gr 8,5 5,5 7,8 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 4
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3. E llämnngsxml b Dsr PID nsälld för 4 % övrsläng För ssm b b H gr rglorn d md b /,,, d b / b 4 % övrsläng. Här är. D smld ssms rmrr gr 5,6, 9, 6, 3, 9, d, 95 llr 5,6 9,6 3,9,95 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 4
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3. E llämnngsxml Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o fl modll Angs flg rossmodll Ls K G s s md K, L mn,, 5 mn. Smlng md, mn gr / H 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 4 b md, 9355 o b K K, 6449. θ / Dln-Hgms rglor för förs ordnngns ssm md är α α b / Md α r, 887 fås,8,63,8
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3. E llämnngsxml d Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o orr modll Dln-Hgms rglor för ndr ordnngns ssm md är α α d αd b d där d b b, 948. Md α r, 887 fås / Smlrngr, 34,5,8 / 4,8,64 Zglr-ols PID PID md 4 % övrsläng Dln-Hgm md fl modll Dln-Hgm md orr modll α,86,74 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 43
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3 Sns md döddsomnson 3.3.3 Rngnng I rglorsnsr v n dr sns sfrs d önsd sln ssm. är snsn görs för sml ssm, gällr sfonn nds smlngsnrn vd som sr mlln smlngsnrn r mn ngn dr onroll övr. Sonn n s som fgrn ndn, där smlngsnrvll är dsn. I smlngsnrn är sgnln ll vänsr l md börvärd, mn därmlln svängr dn. Bnd bror å nsgnln ll ögr svängr rfg rng läg fnomn lls rngnng. 3. Algormr för smlnd rglrng 3 44
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3.3 Rngnng Orsn ll rngnng Rngnng sår när dn dsdsr rglorn r n ngv ol z, sll om dn lggr när sblsgränsn z. D blr of fll om rglorn nnållr nvrsn v modllns lsövrförngsfnon H z, såsom.x. Dln-Hgms rglor [s 3.3.]. Orsn är n smld modll of nnållr ngv nollsäll när z, som då ldr ll n mosvrnd ol rglorn. Vd x smlng v onnrlg ssm fås lld llr flr nollsälln om ssm är mns v : ordnngn förom v. dödd. Obrond v v. nollsälln dn onnrlg modlln fås, ävn om döddn är n jämn mll v smlngsnrvll, för ndr ordnngns ssm n lsövrförngsfnon v formn b b z z z H z z 3.3. 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 45
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3.3 Rngnng Elmnrng v rngnng Dlns modfrd rglrlg För lmnr rngnng, r Dln förslg mn gör sbsonn z dn for som förorsr rngnngn. För ndr ordnngns ssm bdr d rn mn gör snsn å bsn v modlln b b H z z 3.3. z z Rsl för smm xml som ovn vss fgrn ndn. Rngnngn r lmnrs, mn säll r n ln övrsläng så. 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 46
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3.3 Rngnng Vogl-Edgrs modfon I Dlns modfrd sns r mn ngn onroll övr r sor övrslängn blr. Vogl o Edgr r därför förslg mn n snsrr för få sr ror sl ssm v förs ordnngn md dödd, n för sl ssm v formn b b z α Hr z z 3.3.3 b b α z där b b z är dn for som förorsr rngnng dvs b / b. För smm ssm som ovn fås då rglrrsl ndn, dvs ngn rngnng o ngn övrsläng å bosnd v någo långsmmr rsons. 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 47
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3.3 Rngnng Övnng 3.3. Härld rglrlgn nlg Vogl-Edgrs modfon v Dln-Hgms rglor för sml ndr ordnngns ssm. Vln blr rglrlgn nmrs för ssm som smls Övnng 3..? 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 48
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Smlnd rglrng 3.4 Dd-b rglrng Vd dr sns v n dsr rglor nlg Dln-Hgms mod önsds sl ssm som br sg som förs ordnngns ssm md dödd. Sll d vr möjlg dsgn för änn snbbr rsons så r H r 3.4. där r mndr r n n vr rlsrbr? Lösnng v H r r för d sln ssms lsövrförngsoror s Dln-Hgm gr r H r H 3.4. r H H r H D bör g n rlsrbr rglrlg för r frsom r äljrn då n förors bor mo äljrn ll H. Vrför mås d gå föror bor döddn H? En rglrsrg md dsgnrr H r r lls för dd-b rglrng. D fnns ngn mosvrg ll dd-b rglrng vd onnrlg rglrng. Prossrglrng 385 3 49
3.4 Dd-b rglrng 3. Algormr för smlnd rglrng 3 5 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.4. Förs ordnngns ssm För förs ordnngns ssm md dödd b H 3.4.3 fås md r b b H 3.4.4 llr b 3.4.5 som är n rlsrbr rglrlg. r.x. sll g b H o b 3.4.6 som n är rlsrbr g.
3.4 Dd-b rglrng 3. Algormr för smlnd rglrng 3 5 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.4. Dd-b rglrng v llsåndsvorn Br dsr ssm md llsåndsvonn G Fx x 3.4.7 där > mosvrr n gmnsm dödd för l nsgnlvorn. Urd nvändnng v vonn för n smlngsdnr gr 3 3 G FG G F G F x F x G FG G F x F G FG x F G Fx x G FG x F G Fx x Dn ss vonn n oså srvs [ ] G F FG G x F x 3.4.8
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.4. Dd-b rglrng v llsåndsvorn V njr bnngn Γ [ ] G FG F G 3.4.9 Om nl llsånd är n r mrsn Γ n sn rdr. Ifll ssm är srbr ommr mrsn rngn n för llrälg sor. För n är mrsn Γ n l md ssms srbrsmrs som dgr lls Γ. Dnn mrs r lld rngn n om ssm är srbr. Om ssm är srbr fnns d sålds lld n mrs Γ, n, som r rngn n. D är då möjlg lös vorn v nsgnlr r r för x md jäl v dn s.. sdonvrsn v Γ, som n rävr Γ är vdrs. Efrsom r gällr för godlg, n smlngsögonbln dssom fls frmå md sg. Då fås Γ x F x 3.4. 3.4 Dd-b rglrng 3 5
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.4. Dd-b rglrng v llsåndsvorn där d fll, då Γ r mns l mång olonnr som rdr, gällr Γ Γ Γ Γ 3.4. Mär Γ Γ om Γ är vdrs, vl lld är fll om nl nsgnlr, då oså n rävs. Vd smlngsögonbl mlmnrs nds srsgnln, n frmd srsgnlr. Dnn srsgnl rålls från r ovn nlg [ ] I Γ x F x 3.4. där x bnr d önsd llsånd fr smlngr. D är do n n rlsrbr srlg dnn form, frsom dn nnållr frmd llsånd x. För dss gällr do x Fx G F Fx G G F x FG G 3.4.3 x F x F G FG G vl bdr x gs som fnon v x o gml srsgnlr. 3.4 Dd-b rglrng 3 53
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.4. Dd-b rglrng v llsåndsvorn Gnom nj dfnonn å Γ n dd-b srgn ävn rs som F G ΓΓ x F x 3.4.4 Kommnrr Vnlgn rävs n, där n är nl llsåndsvrblr. D är möjlg n rlsrbr rglrlg n rålls för < n, mn rglrrsl är of ollfrdssällnd. D är änbr d sln ssm blr nsbl llr llsåndn d onnrlg ssm svängr rfg mlln smlngsögonbln g rngnng. Dd-b srgn r nds n dsgnrmr smlngsnrvll. Smlngsnrvll bsämmr r snbb d önsd llsånd nås å dn n llr snbbr. Rglrsgnlrns sorl ör do drss md mnsnd smlngsnrvll, vl rn är n bgränsnd for. Of är d önsd llsånd x. Om Γ är vdrs gällr Γ Γ. 3.4 Dd-b rglrng 3 54