4. Algoritmer för samplande reglering
|
|
|
- Hans Ivarsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Smlnd rglrng 4. Algormr för smlnd rglrng Prnn för smlnd rglrng Blo Smlng r mo onnrlg sgnlr o r sm dsrsrr dm ll lföljdr o r,,, I rn är d n A/D-omvndlr. Blo Håll r mo lföljdn,,,, från rglrlgormn o sr vdr n svs dsonnrlg sgnl,. I rn är d n D/A-omvndlr. Rglrn II llsåndsmodr 493 4
2 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Smlnd rglrng 4. dsdsr PID-rglorr 4.. dsonnrlg formr v PID-rglorr Idl PID-rglor d K d d PID 4.. d Idl PID-rglor som n drvrr örvärd d K d d PID 4.. d PID-rglor som drvrr flrrd sgnl dx K d d, d f x x PIDx 4..3 I ss vonn så n ävn rsäs md. Anm: fnns md för möjlggör sonärllsånd md o sm mnll rglrng K md ; lämns do of från rglorv. Rglrn II llsåndsmodr 493 4
3 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. dsonnrlg PID-rglorr Blosmn för PID-rglorr En PID-rglor n nl rlsrs,.x. Smln, md jäl v losm. dn gs losmn för vrnrn PID o PID. PID PID Vrnn PIDx v n PID-rglor rålls gnom ddon v : ordnngns flr frmför drvrngslo. Rn drvrng rävr Drvv o Gn lo. Smlng dsrsrng v n rglor dfnrd gnom losm n of rålls dr md jäl v frågvrnd rogrmvr.x. Smln. 4. dsdsr PID-rglorr 4 3
4 4. dsdsr PID-rglorr 4. Algormr för smlnd rglrng 4 4 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Dsrsrng v onnrlg PID-rglorr V r ndl r dsonnrlg ssm md svs onsn nsgnlr n smls. En rglor r do n svs onsn nsgnl om d rglrd ssms sgnl är n onnrlg vrl. Ovnnämnd smlngsmod är därför rn norr för n rglor. E sä sämm n dsdsr vrson v n PID-rglor är rsä d nls rn för ngron o drvrng md nmrs mosvrgr. För n dl PID-rglor som n drvrr örvärd PID n v srv d d d d d d d d K K 4..4 där o.
5 4.. Dsrsrng v PID-rglorr 4. dsdsr PID-rglorr 4 5 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Rnglroxmon v ngrln Om är onsn smlngsnrvll fås md roxmonrn d o d d 4..5 dn dsdsr PID-rglorn d K 4..6 llr md dn förnlnd nngn f f d K PID Efrsom n ror v,, lls dnn form v PID-rglorn för n osonsform. Mär är n onsn.
6 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Dsrsrng v PID-rglorr I ngrlroxmonn nogs rglrvvlsn vr onsn = l smlngsnrvll,. Efrsom smlngsnrvll själv vr är ö ll ögr, dvs nrvll är,, vor d rn nrlgr nvänd roxmonn Dnn roxmon gr dn dsdsr PID-rglorn d 4..8 d K PID som vvr från dn dgr rglorn PID- nds sållvd smmrngn sr från ll säll för från ll. 4. dsdsr PID-rglorr 4 6
7 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Dsrsrng v PID-rglorr Aroxmon v ngrln md rsmodn Båd roxmonrn ovn r dn ndln rglrvvlsn ns vr svs onsn smlngsnrvlln, vl n är fll rn. Mr movr är n rglrvvlsn förändrs lnjär från smlngsnrvll. Ingrlroxmonn lr då, D gr dn dsdsr PID-rglorn ll d 4.. K d PID dsdsr PID-rglorr 4 7
8 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. dsdsr PID-rglorr 4..3 Ingrorvrdnng I d fls fsls rossr fnns gränsnngr.x. rörnd srsgnlrns sorl. Ang n ross säs för n så rfg sörnng, dn n n lmnrs från sgnln md srsgnln g fsls gränsnngr.x. n ön rglrvnl. Flsmmn n dsdsr PID-rglor ommr väx så läng sörnngn vrr ngs, lså rglorns sgnl, mn ngn rglrng v rossns sgnl sr frsom srsgnln n n rlsrs g gränsnngn områd A fgrn. Om är sörnngn sådn rossns sgnl mns. 4. Algormr för smlnd rglrng 4 8
9 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..3 Ingrorvrdnng Ang sörnngn ör. Efrsom srsgnln g dn dgr vrnd sörnngn, som gv r, är sådn rlgsläg som mxmrr, lr dvs r när sörnngn o dss ff å ör. Efrsom flsmmn rglorn lv m sor mdn sörnngn vrd, ommr dn forfrnd vr sor g ll gml ros n. ommr då oså forsänngsvs vr sor o åll srsgnln områd B fgrn. Usgnln vr vd s rlgsläg, ros r ll sl lr smmn rglorn ll fll så ln mnsr ll n nvå som mosvrr n rlsrr srsgnl o rglrngn örjr fngr gn. Rglrngn r do vr m dålg. Dn onödg ngrln mlln rvn B o örvärd är ngfär l sor som ngrln mlln örvärd o rvn A. Dnn ff lls ngrorvrdnng, llr vnlgr, rs wnd. Mn n förndr ngrorvrdnng gnom ol rglorn å mnll rglrng, llr gnom någon mnsm som förndrr fors smmrng när srsgnln är vd n gränsnng. 4. dsdsr PID-rglorr 4 9
10 4. dsdsr PID-rglorr 4. Algormr för smlnd rglrng 4 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..4 PID-rglorns nrmnform Ingrorvrdnng n rn förndrs rlv nl om mn säll för PIDrglorns osonsform nvändr n s.. nrmnform, där sgnln räns som llägg ll förgånd sgnl. Om mn rr osonsformn vd vå å vrndr följnd dnr o sm srrr från fås för PID-rglorn PID- K d llr d K PID- 4..
11 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..4 PID-rglorns nrmnform Inrmnformn för PID- rsv PID-3 lr nlog d K PID d K 4. dsdsr PID-rglorr 4 PID Inrmnformrn förndrr ngrorvrdnng om mn för nvändr dn srsgnl som sns vrlgn nd rlsrs, dvs n nödvändgvs sns ränd. Inrmnformrn möjlggör oså söfr övrgång från n rglrlgorm.x. mnll srnng ll n nnn om dn sns rlsrd rglrsgnln är änd. Dss fördlg gnsr rävr vnlgvs mn mär llr smrr, llr mn v gränsnngrn å o ållr nom dss.
12 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..5 Egnsr os osonso nrmnformrn Illsron v lmnrd ngrorvrdnng md nrmnformn Posonsformn Inrmnformn ndrs fgrn ss I, n I 4. dsdsr PID-rglorr 4
13 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. dsdsr PID-rglorr 4..5 Egnsr os osons- o nrmnformrn Posonsformn d K PID Om I-vrn mds dvs PI- llr PID-rglor: Sonärllsånd rävr smmn lgormn n växr, vl rävr, dvs v r ngn rglrvvls vd sonärllsånd. Om I-vrn n mds dvs P- llr PD-rglor, : Sonärllsånd rävr nds om D-vrn mds sm s onsn, dvs s rävs n o rglrvvls fås llmän som vän. Rglrfl vd sonärllsånd md lr s s / s K 4..5 Ends vd d sonärllsånd som mosvrr s lr rglrvvlsn noll. 4. Algormr för smlnd rglrng 4 3
14 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..5 Egnsr os osonso nrmnformrn Inrmnformn d K Sonärllsånd rävr PID- 4.. s o. Då gällr K s 4..6 Om I-vrn mds dvs PI- llr PID-rglor: Vd sonärllsånd gällr, dvs, o rglrvvls sns. s Om I-vrn n mds dvs P- llr PD-rglor, : Vd sonärllsånd gällr då lld orond v s, dvs sonärllsånd n l l godlg. Prolm n ndvs gnom nlsr, nnrs n n nrmnformn nvänds n ngrrnd vrn. 4. dsdsr PID-rglorr 4 4
15 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. dsdsr PI-rglorr 4..6 Dsrsrng gnom orormm dsonnrlg o smld ssm sm smnd mlln dm n rs md jäl v drvrngsororn o försjnngsororn, dvs d/d o Bådffrnsroxmon f f f f 4..7 Dn vd rglordssrngn nvänd roxmonn d 4..8 d n md ororformlsm rs dvs Algormr för smlnd rglrng 4 5
16 4..6 Dsrsrng gnom orormm 4. dsdsr PID-rglorr 4 6 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Dn dsonnrlg PID-rglorn som n drvrr örvärd PID n md jäl v drvrngsororn srvs os. nr smm ls som Llvrln s d K PID 4.. sm srvlngn gr d d K K 4.. dvs då,, o då rgmn d K PID- PID- 4..
17 4..6 Dsrsrng gnom orormm 4. dsdsr PID-rglorr 4 7 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Alrnv n v lå orr å dn onnrlg rglorns sgnl för få d d K K 4..3 är onsn vrfr gr d d K K 4..4 dvs d K PID- 4..
18 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..6 Dsrsrng gnom orormm Blnjär roxmon Aroxmonn d 4..8 d är smmrs sållvd ögr ld vor n är roxmon ll drvn någonsns mlln o,.x. vd, 5, än vd. En är roxmon d änsnd är dn lnjär roxmonn d d 4..5 d d ävn lld sns roxmonsforml. Md orormm fås 4..6 dvs dsdsr PID-rglorr 4 8
19 4..6 Dsrsrng gnom orormm 4. dsdsr PID-rglorr 4 9 Loror för rglrn Rglrn II / KEH llämnng v dn lnjär roxmonn å PID-rglorn d K PID 4.. gr för osonsformn md lljäl v srvlngr d K PID För nrmnformn fås d K PID Mär dn gml sgnlrmn är, n, om mn som är vll lmnr smmn nnållnd gml sgnlr.
20 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..6 Dsrsrng gnom orormm ros lnjär rnsform norml är äs å dsrsr rglorr, så är PID-4 onvändr. Rglorns nämnr z lr vd sfrvnsn /, vl gr ov ll oändlg försärnng v dnn frvns. D ror å dn lnjär roxmonn lrr d onnrlg ssms försärnng vd oändlg frvns ll d dsrsrd ssms försärnng vd sfrvnsn. O för n dl PID r v oändlg försärnng vd oändlg frvns! Mn n vjäl d gnom lågssflrr rglorn llr drvrngn nnn mn gör lnjär roxmon. För förs ordnngns flr md donsnn f som flrrr l PID-rglorn så fås följnd lnjär roxmon: K d f 4f f PID-4f 4..9 f f Drvrnd vrn å örvärd =o g flrrng rålls gnom rsä md. 4. dsdsr PID-rglorr 4
21 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..6 Dsrsrng gnom orormm I Bod-dgrmm jämförs n dl PID md 4d 6 o d fm ol dsrsrngrn. PID-...3 övrlr vrndr vd ög frvnsr, o PID-4f är f d / GPID /,378, som gr dn smm försärnng vd s-frvnsn som dn dl PID:n. PID PID- PID- PID-3 PID-4 PID-4f dsdsr PID-rglorr 4
22 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4..6 Dsrsrng gnom orormm Slsområd för orordsrsrd rglorr D smld rglorrn är dsdsr ssm o drs slsområd är områd nnnför nsrln d omlx lln, dvs z, när d rs md jäl v Z-rnsformn. är onnrlg ssm dsrsrs gnom roxmon vrs d onnrlg ssms slsgnsr n nödvändgvs. Fgrn ll vänsr llsrrr d onnrlg ssms slsområd R s årförs å rlformg områd z,5, 5 d omlx lln när ådffrnsroxmon nvänds. Vss nsl ssm n sålds l sl z mn z,5,5 gnom dnn roxmon. ll ögr vss dn lnjär roxmonn rs vrr slsgnsrn. 4. dsdsr PID-rglorr 4
23 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Smlnd rglrng 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor Om d vld smlngsnrvll är l jämförls md ssms dsonsnr, o n v. dödd är ln, n mn sämm rmrrn för n onnrlg rglor nlg någon sndrdrodr.x. Zglr-ols o dr nj dss någon v d smld rglorformrn. Efrsom mäd är ll smlngsnrvll gml vd rglrng md n smlnd rglor, är d movr vd rglordsgnn md llr ö n fnlg dödd md n dödd l md lv smlngsnrvll rossmodlln. Zglr-ols rommndonr gr llmän ggrssv rglrng, o rs för nsl förlggr. Bsr å smm rossnformon som Zglr-ols rommndonr, rommndrr rs o Ln för PI-rglrng K K,, P 4.., 3,mx där P är rodn för sånd svängnngr o K, mx P-rglorns försärnng. E lllnd lrnv är gör någon form v dr sns såsom IMC-dsgn gånd från n dsdsr smld modll. 4.. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 3
24 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Insällnng v dsr PID-rglor Sndrdlosm för årold rglrng Fgrn vsr losm för årold rglrng md nonvnonr o d vgs vrlrn mär. Vd modr srd å dr sns nvändr mn sg v dn sln slngns övrförngsfnon från r ll, som är är G r s Y s G s G s R s G s G s 4.. För d dsdsr fll fås l nlog r md lsövrförngsororr llr -fnonr. 4. Algormr för smlnd rglrng 4 4
25 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Insällnng v dsr PID-rglor 4.. Smlng v ssm md dödd E llmän ssm md dödd E onnrlg ssm md n dödd för ll nsgnlr r llsåndsvonn Ax B x 4..3 Om ssm smls md smlngsnrvll n lösnngn nlog md dgr srvs A A A x x B d 4..4 där o är vå närlggnd smlngsnr så. Ang nldnngsvs döddn är mndr än smlngsnrvll, dvs. Ävn om nsgnln är svs onsn övr smlngsnrvlln, är n onsn övr smlngsnrvll frsom dss värd ändrs från ll nn. 3. Algormr för smlnd rglrng 3 5
26 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Smlng v ssm md dödd En svs onsn nsgnl övr ngronsområd fås om ngrln dls så A A d A A A x x B d B 4..5 Lösnngn n srvs x Fx G G 4..6 llr md o lämnng v onsnn från rgmnn x Fx G G 4..7 där fr v ngronsvrl, do forfrnd lld A A F, G B A A d, G B d 4..8 Om v r n dödd L så L, där är ll, rsäs md o md. Om L, dvs, så lr G, o 4..8 lr då smm som.3.7, o F o G n nls räns nlg.3. o.3.. Döddn nnär då nr fördröjs md smlngsdr. 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 6
27 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Smlng v ssm md dödd Plsövrförngsororn för ssm md dödd Br ssm x Fx G G Cx D D 4..9 där D nds om ssm n är sr ror. Md jäl v sfororn fås x o sålds llr där I F G G I F G G C I F G G D D 4.. H 4.. H C I F G G D D Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 7
28 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Smlng v ssm md dödd Smlng v ndr ordnngns ssm md dödd E ndr ordnngns ssm md vå ol sor dsonsnr o, äljrdonsnn 3, döddn L o försärnngn K r övrförngsfnonn där G s Y s U s Ls K 3s s s s /, / K 3, s Ls K Ssm n srvs å dgonlformn x Λx x L Λ,, Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 8
29 4.. Smlng v ssm md dödd 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 9 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Efrsom Λ är dgonl n smlng nl förs. Md L får v x G G Fx x 4..7 där Λ F 4..8 d G Λ d Λ Λ G
30 4.. Smlng v ssm md dödd 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 3 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Md jäl v lsövrförngsororn n ssm srvs H 4..9 där H G G F I 4.. Insänng v mrsr o vor gr fr fsnng 3 3 H 4.. där,,,,,, 4..,,,,,,, 3,,,,
31 4.. Smlng v ssm md dödd 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 3 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Om döddn är n jämn mll v smlngsnrvll, dvs, förnls rn vsvär. V får H 4..3 där 4..4, För förs ordnngns ssm, mn n nödvändgvs, fås H 4..5 /, / K, / K 4..6
32 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Smlng v ssm md dödd Övnng 4.. Bsäm lsövrförngsororn H för ssm G s Ls K s s då K, L mn, mn,, 5 mn o smlngsnrvll, mn. 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 3
33 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Insällnng v dsr PID-rglor 4.. Sns v dsdsr PID-rglor Inrmnformn v n dl dsdsr PID-rglor r formn 4..7 där r. Md jäl v åsfororn fås 4..8 som gr rglorns lsövrförngsoror H 4..9 Om ssm md lsövrförngsororn H / rglrs md dnn rglor gs d rglrd ssms lsövrförngsoror v H H H r 4..3 r H H Idén är välj rglorns rmrr 4. Algormr för smlnd rglrng 4 33 H så H r får önsd form.
34 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Sns v dsdsr PID-rglor Förs ordnngns ssm md dödd E förs ordnngns ssm md n dödd L, där är smlngsnrvll, r lsövrförngsororn H 4..3 V får H H 4..3 Om v väljr dvs ngn D-vrn o fås H H o H r där rglorns försärnng är n vrsånd dsgnrmr. Vl / gr sgsvr md mnml övrsväng 4 % o n sgd å 3 ll 4 döddr. 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 34
35 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Sns v dsdsr PID-rglor Sgsvr för. ordnngns ssm rglrd md rglorr nsälld md 4% rgln.,,8,6,4, =L =L/ =L/3 =L/5 =L/7 =L/ döddr 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 35
36 4.. Sns v dsdsr PID-rglor 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 36 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Andr ordnngns ssm md dödd Dsgnmodn ovn är väldg ändg mn n nl rän d övlg rglorrmrrn o då ssmrmrrn, o är änd. Kn smm mod, llr någon lnnd som nl n ärlds, nvänds för ssm v ndr ordnngn md dödd? Om v nr döddn är n jämn mll v smlngsnrvll r ndr ordnngns ssm lsövrförngsororn H Md n dsr PID-rglor H får v H H V n välj rglorns rmrr så nämnrn för H lmnrs, mn äljrn lr vr o därmd får v n smm form å H H o dsgnmodn gällr n.
37 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.. Sns v dsdsr PID-rglor V n do välj n nnn v rglor. En rglor md lsövrförngsororn gr md vln H d, H Dn n själv vr ols som n PID-rglor + flr som flrrr, som mosvrr von 4..3, som llds PIDx. 4. Insällnng v dsdsr PID-rglor 4 37, d / H o smm vl v n görs som ovn för förs ordnngns ssm, dvs / Dnn rglor är n n rn PID-rglor, n dn r dffrnsformn d 4..4
38 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Smlnd rglrng 4.3 Dr sns md döddsomnson 4.3. Dln-Hgms lgorm Dln o Hgm r förslg n mod srd å dr sns som gr n rglor md ngrrnd vrn o x omnson för dödd. En godlg rglor md lsövrförngsororn H gr för ssm H sl ssm H H H r 4.3. r H H Om mn lösr H fås där mn n sfr som rlsrr d. Prossrglrng H H r 4.3. H H r H r å öns sä o rän dn rglor H
39 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3. Dln-Hgms lgorm E sl ssm md mndr dödd än döddn d orglrd ssm n gvvs n rålls. Om ssms dödd är L, där är smlngsnrvll, är r H dvs förs ordnngns ssm md försärnngn, nl sl ssm. Om d / sln ssms önsd dsonsn är r, så är r. Os. d dsr ssms försärnng fås när mn rsär ororn md, llr för vln som ls frvns / så fås frvnssvr för n j lsövrförngsfnon gnom rsä md. D vl v H gr r H r H r Dr sns md döddsomnson 3 39
40 4.3. Dln-Hgms lgorm 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 4 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Rglrng v : ordnngns ssm md dödd För H fås H dvs n rglor md dffrnsformn D n ols som n PI-rglor md xl döddsomnson. Efrsom rglorn o md rmn nvändr nformon som n vr m gmml n dn förväns vr änslg för modllfl, sll rörnd döddn.
41 4.3. Dln-Hgms lgorm 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 4 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Rglrng v : ordnngns ssm md dödd Ävn om ssm som sll rglrs är v ndr ordnngn, n mn sfr d sln ssm vr v förs ordnngn. För H fås då fr fsnng d H där / d. D är n rglor md dffrnsformn d d d 4.3. Rglorn n förväns vr änn änslgr för modllfl än dn förgånd.
42 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3 Sns md döddsomnson 4.3. E llämnngsxml I övnng 4.. vr gfn sämm lsövrförngsororn H för ssm G md smlngsnrvll, Rsl lv H s K s s 4. Algormr för smlnd rglrng 4 4 Ls mn då K, L mn, mn o, 5,956,736 Här sll fr ol rglordsgnr llsrrs o jämförs:,894,748 Dsrsrd PID-rglor nsälld nlg Zglr-ols rommndonr Dsr PID-rglor nsälld för 4 % övrsläng Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o fl modll förs ordnngn + dödd d Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o orr modll mn.
43 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3. E llämnngsxml Dsrsrd PID nsälld nlg Zglr-ols Dn onnrlg rossmodlln gr rs frvnsn,5 rd/mn sm G, 44 K, 7, mx Enlg Zglr-ols rommndonr fås K,6K,36, /, 8 mn, d / 4, 5 mn, mx Inrmnformn för n dl PID-rglor smld gnom ådffrnsroxmon är d d d K som är gr 8,5 5,5 7,8 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 43
44 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3. E llämnngsxml Dsr PID nsälld för 4 % övrsläng För ssm H gr rglorn d md /,,, d / 4 % övrsläng. Här är. D smld ssms rmrr gr 5,6, 9, 6, 3, 9, d, 95 llr 5,6 9,6 3,9, Dr sns md döddsomnson 4 44
45 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3. E llämnngsxml Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o fl modll Angs flg rossmodll Ls K G s s md K, L mn,, 5 mn. Smlng md, mn gr / H 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 45 md, 9355 o K K, / Dln-Hgms rglor för förs ordnngns ssm md är / Md r, 887 fås,8,63,8
46 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3. E llämnngsxml d Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o orr modll Dln-Hgms rglor för ndr ordnngns ssm md är d d d där d, 948. Md r, 887 fås / Smlrngr, 34,5,8 / 4,8,64 Zglr-ols PID PID md 4 % övrsläng Dln-Hgm md fl modll Dln-Hgm md orr modll,86, Dr sns md döddsomnson 4 46
47 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.3 Sns md döddsomnson Rngnng I rglorsnsr v n dr sns sfrs d önsd sln ssm. är snsn görs för sml ssm, gällr sfonn nds smlngsnrn vd som sr mlln smlngsnrn r mn ngn dr onroll övr. Sonn n s som fgrn ndn, där smlngsnrvll är dsn. I smlngsnrn är sgnln ll vänsr l md örvärd, mn därmlln svängr dn. Bnd ror å nsgnln ll ögr svängr rfg rng läg fnomn lls rngnng. 4. Algormr för smlnd rglrng 4 47
48 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Rngnng Om v r l närmr å rsln förgånd xml så sr v ävn rngnng: Z- 4-% D-H fl D-H rä Z- 4-% D-H fl D-H rä Dr sns md döddsomnson 4 48
49 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Rngnng Orsn ll rngnng Rngnng sår när dn dsdsr rglorn r n ngv ol z, sll om dn lggr när slsgränsn z. D lr of fll om rglorn nnållr nvrsn v modllns lsövrförngsfnon H z, såsom.x. Dln-Hgms rglor [s 4.3.]. Orsn är n smld modll of nnållr ngv nollsäll när z, som då ldr ll n mosvrnd ol rglorn. Vd x smlng v onnrlg ssm fås lld llr flr nollsälln om ssm är mns v : ordnngn förom v. dödd. Orond v v. nollsälln dn onnrlg modlln fås, ävn om döddn är n jämn mll v smlngsnrvll, för ndr ordnngns ssm n lsövrförngsfnon v formn z z z H z z Dr sns md döddsomnson 4 49
50 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Rngnng Elmnrng v rngnng Dlns modfrd rglrlg För lmnr rngnng, r Dln förslg mn gör ssonn z dn for som förorsr rngnngn. För ndr ordnngns ssm dr d rn mn gör snsn å sn v modlln H z z 4.3. z z Rsl för smm xml som ovn vss fgrn ndn. Rngnngn r lmnrs, mn säll r n ln övrsläng så. 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 5
51 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Rngnng Vogl-Edgrs modfon I Dlns modfrd sns r mn ngn onroll övr r sor övrslängn lr. Vogl o Edgr r därför förslg mn n snsrr för få sr ror sl ssm v förs ordnngn md dödd, n för sl ssm v formn z Hr z z z där z är dn for som förorsr rngnng dvs /. För smm ssm som ovn fås då rglrrsl ndn, dvs ngn rngnng o ngn övrsläng å osnd v någo långsmmr rsons. 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 5
52 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Rngnng Övnng 4.3. Vs rglrlgn nlg Vogl-Edgrs modfon v Dln-Hgms rglor för sml ndr ordnngns ssm är följnd: H md Vln lr rglrlgn nmrs för ssm som smls Övnng 4..? 4.3 Dr sns md döddsomnson 4 5
53 Loror för rglrn Rglrn II / KEH Rngnng Smlrng v rglorrn för Övnng or sgnln för D-H nog r sg vr vd smlngsdnrn..4 5 D-H rä modll D-H rä modll. V-E rä modll V-E rä modll Dr sns md döddsomnson 4 53
54 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Smlnd rglrng 4.4 Dd- rglrng Vd dr sns v n dsr rglor nlg Dln-Hgms mod önsds sl ssm som r sg som förs ordnngns ssm md dödd. Sll d vr möjlg dsgn för änn snr rsons så r H r 4.4. där r mndr r n n vr rlsrr? Lösnng v H r r för d sln ssms lsövrförngsoror s Dln-Hgm gr r H r H 4.4. r H H r H D ör g n rlsrr rglrlg för r frsom r äljrn då n förors or mo äljrn ll H. Vrför mås d gå föror or döddn H? En rglrsrg md dsgnrr H r r lls för dd- rglrng. D fnns ngn mosvrg ll dd- rglrng vd onnrlg rglrng. Dd- rglrng 4 54
55 4.4 Dd- rglrng 4. Algormr för smlnd rglrng 4 55 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.4. Förs ordnngns ssm För förs ordnngns ssm md dödd H fås md r H llr som är n rlsrr rglrlg. r.x. sll g H o som n är rlsrr g.
56 4.4 Dd- rglrng 4. Algormr för smlnd rglrng 4 56 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.4. Dd- rglrng v llsåndsvorn Br dsr ssm md llsåndsvonn G Fx x där mosvrr n gmnsm dödd för l nsgnlvorn. Urd nvändnng v vonn för n smlngsdnr gr 3 3 G FG G F G F x F x G FG G F x F G FG x F G Fx x G FG x F G Fx x Dn ss vonn n oså srvs G F FG G x F x 4.4.8
57 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.4. Dd- rglrng v llsåndsvorn V njr nngn Γ G FG F G Om nl llsånd är n r mrsn Γ n sn rdr. Ifll ssm är srr ommr mrsn rngn n för llrälg sor. För n är mrsn Γ n l md ssms srrsmrs som dgr lls Γ. Dnn mrs r lld rngn n om ssm är srr. Om ssm är srr fnns d sålds lld n mrs Γ, n, som r rngn n. D är då möjlg lös vorn v nsgnlr r r för x md jäl v dn s.. sdonvrsn v Γ, som n rävr Γ är vdrs. Efrsom r gällr för godlg, n smlngsögonln dssom fls frmå md sg. Då fås Γ x F x Dd- rglrng 4 57
58 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.4. Dd- rglrng v llsåndsvorn där d fll, då Γ r mns l mång olonnr som rdr, gällr Γ Γ Γ Γ 4.4. Mär Γ Γ om Γ är vdrs, vl lld är fll om nl nsgnlr =, då oså n rävs. Vd smlngsögonl mlmnrs nds srsgnln, n frmd srsgnlr. Dnn srsgnl rålls från r ovn nlg I Γ x F x 4.4. där x nr d önsd llsånd fr smlngr. D är do n n rlsrr srlg dnn form, frsom dn nnållr frmd llsånd x. För dss gällr do x Fx G FFx G G F x FG G x F x F G FG G vl dr x gs som fnon v x o gml srsgnlr. 4.4 Dd- rglrng 4 58
59 Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4.4. Dd- rglrng v llsåndsvorn Gnom nj dfnonn å Γ n dd- srgn ävn rs som F G ΓΓ x F x Kommnrr Vnlgn rävs n, där n är nl llsåndsvrlr. D är möjlg n rlsrr rglrlg n rålls för n, mn rglrrsl är of ollfrdssällnd. D är änr d sln ssm lr nsl llr llsåndn d onnrlg ssm svängr rfg mlln smlngsögonln g rngnng. Dd- srgn r nds n dsgnrmr smlngsnrvll. Smlngsnrvll sämmr r sn d önsd llsånd nås å dn n llr snr. Rglrsgnlrns sorl ör do drss md mnsnd smlngsnrvll, vl rn är n gränsnd for. Of är d önsd llsånd x. Om Γ är vdrs gällr Γ Γ. 4.4 Dd- rglrng 4 59
3. Algoritmer för samplande reglering
Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Smlnd rglrng 3. Algormr för smlnd rglrng Prnn för smlnd rglrng Blo Smlng r mo onnrlg sgnlr o r sm dsrsrr dm ll lföljdr o r,,, I rn är d n A/D-omvndlr. Blo Håll r mo lföljdn,,,,
Svar: a) i) Typ: linjär DE med konstanta koefficienter i homogena delen dy men också separabel ( y = 10 4y
Diffrnilkvionr, lndd ml DIFFERENTIALEKVATIONER, BLANDADE EXEMPEL Ugif i Bsäm y [srl DE, linjr DE, homogn konsn llr ickkonsn kofficinr ] för ndnsånd diffrnilkvionr ii Bsäm dn llmänn lösningn ill vrj DE
F5: Vektorer (Appendix B) och Vektormodulation (Kap PE 2)
F5: korr Appnd B oh kormodlon Kp PE g välrkr - Norml nl n nrlldrn g välrkr -S-p g välrkr -PWM Modlon v omvndlr - + R L C d + d Fgr.8: Dn ndrök omvndlrn yrd lkrkr nln ll nä Fgr.9: Bärvågmodlon md nformg
TENTAMEN Datum: 19 aug 08 TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel Kurskod HF1000, HF1003, 6H3011, 6H3000, 6L3000
TENTAMEN Dum: 9 ug 08 TEN: Dffrnlkvonr, kompl l och Tlors forml Kurskod HF000, HF00, H0, H000, L000 Skrvd: 8:-: Hjälpmdl: Bfog formlld och mnräknr v vlkn p som hls Lärr: Armn Hllovc Dnn nmnslpp får j hålls
HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Vi brr sysm v lijär omog DE (v förs ordig) md os offiir dx x x d dx x x d dx x x d där x ), x ( ),, x ( ) är ob fuior v vribl ( Ovsåd sysm
Vilka varor och tjänster samt länder handlar svenska företag med? - och varför?
Emj www.mf.smj Smällsm fö u Emf uvcl d slml sm mlm ll läudvs smällsus. Syf ä lv övd fösåls fö u smällsm fu. Ml båd s c s fösåls fö u d s u Sv. Ml bså v fy s övd uf sm bdl usdl, bsmd, fsmd c ffl m. Uf bsvs
TENTAMEN. HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor
ENAMEN HF9 Mmik EN Skrivid : 7: Frdgn jnuri nmn bsår v sidor Hjälpmdl: Udl ormlbld Räkndos j illån nmn bsår v uppgir som ol kn g poäng F är undrkän bg mn md möjligh ill komplring Komplringn kn nds görs
Vill veta kvaliteten hos våra vattenföringsdata?
Vll vt kvlttn hos vår vttnförngsdt? Bnt Görnsson, G Bo Toms Lndlus, FoU //9 Bkgrund - gnomförd v n stud för tt tst någr xmpl på noggrnnhtskrv på Bo:s Q-dt En v Bo:s huvuduppgftr är tt t frm kvlttskontrollrd
F8: Asynkronmaskinen. Sammanfattning
F8: Aynkonmknn Smmnfnng Allmän om ynkonmknn (I) Lgköld Uglåd Kylflän Kllg Mool Solndnng Fläk Roo Soplåpk Fg 0.. Aynkonmkn Lnd nv / Lnd knk högkol / Indll Elkoknk / PK Allmän om ynkonmknn (II) A ynkonmoon
ICKE-HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM ( MED KONSTANTA KOEFFICIENTER I HOMOGENA DELEN)
Armi Hlilovi: ETRA ÖVNINGAR, S676 Ik-omog sysm Mrismod Sid v 0 ICKE-HOMOGENA DIERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEICIENTER I HOMOGENA DELEN Vi brkr sysm v lijär ik-omog DE v örs ordig md kos koiir
Sångerna är lämpliga att framföra vid bröllop, speciella fester och romantiska tillfällen för Kärlekens skull... GE 11176
FÖROR So en sträng å gtrren och so tonern dn vs..., så börjr texten Ulrk Neuns underbr Kärleksvls. Vd kn vr ljuvlgre än gtrrens sröd och nnerlg ton so tllsns ed sången kn sk sådn stänng och rontsk tosfär.
Laboration 1a: En Trie-modul
Lbortion 1: En Tri-modul 1 Syft Progrmmring md rfrnsr, vlusning, tstning, kt m.m. Vi hr trolign int hunnit gå ignom llt, viss skr får ni br cctr så läng. S ävn kodxml å kurssidn. 2 Bkgrund Vi skll undr
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN 0 jan 0 HF00 och HF008 Momn: TEN Analys, hp, skrflg namn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF008, lärar: Frdrk Brgholm och Ing Jovk, Lnjär algbra och analys, HF00, lärar: Armn Hallovc Eamnaor: Armn
Den stabila människan
Dn sbl männskn Igå v jg på ylg n kus på Klvgnn, dnn gång om kokv änng och sblsngsänng. Effkv änng fö smä, spännng, nsbl och nds syk. Vd kn v gö fö höfn skll ö sg opml, fö skuldon skll må b och fö knän
Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning. A=kB. A= k (för ett tal k)
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följand uryck används ofa olka problm som ldr ll dffrnalkvaonr: Tx A är proporonll mo B A är omvän proporonll
Föreläsning 11: Grafer, isomorfi, konnektivitet
Förläsning 11: Grfr, isomorfi, konnktivitt En orikt nkl grf (V, E) står v hörn, V, oh kntr, E, vilk förinr istinkt nor: ing pilr, ing öglor, int multipl kntr mlln hörn. Två hörn u,v V är grnnr om t finns
Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2017, kl. 9:00-13:00
Tnamn i Mamaik, H9 sp 7, kl. 9:-: Eaminaor: rmin Halilovic Undrvisand lärar: Nils Dalarsson, Jonas Snholm, Elias Said ör godkän bg krävs av ma poäng. gsgränsr: ör bg,,, D, E krävs, 9, 6, rspkiv poäng.
går genom AX + B = C,
Tnmn i Mmik HF9 lödg fui kl Hjälpmdl: End fmlld miniäkn ä in illån Fö gdkän kä päng möjlig päng gkl ä ä D EFXF Dn m uppnå 9 päng få g FX ch h ä kmpl dnn nmn Fulländig löning kll pn ill ll uppgif Emin:
Hvor tilfreds er du med din togrejse?
Hvor tlrs r u m n tors? V r ov or n ælp tl t svr tt spørskm. Dn svr skl ælp os tl t skr n o kvltt totrkkn på Kystnn o ovr Ørsun. Spørskmrn nsmls mrr tot. På orån tk o ortst o rs! Inormtonsrkn k l m n o
1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Tillståndsmaskiner. Moore-automat. Mealy-automat. William Sandqvist
Tllstånsmsknr Moor-utomt Mly-utomt Wllm Snvst wllm@kth.s ÖH. Bstäm tllstånsrm oh tllstånstll ör skvnskrtsn. Vlkn v mollrn Mly llr Moor pssr n på krtsn? Wllm Snvst wllm@kth.s . Ur krtsshmt kn öljn smn ställs
Skydda dricksvattnet. Att bo och verka i ett vattenskyddsområde
Skydd dcksv A bo och vk vyddsoåd R v ä vå vkgs ullgåg V äo k vså d s, v kl oss u v Vyddsoåd fs ydd vå dcksv D g oss llgåg ll dcksv v god kvl också fd E vyddsoåd bä oåd ä vspä ll bjud vss M ll vksh so ugö
Jag vill inte vara ensam
Jg ill ine r ensm Krl-Gunnr Sensson G =132 f l m n o u s s s z f l l u z mp n s s n s s n s s n s s s s n s s n s s mps s n s s n s s n s s n s s n s s n ff s s s s s s s s s s s s mp s s s s s s s s s
Opp, Amaryllis (Fredmans sång nr 31)
Opp, marylls (Fredmans sång nr 1) Text musk: Carl Mchael Bellman rr: Eva Toller 05 Tenor 1 1Opp, Tag - ma - ryl - ls, vak - na mn ll -! äd - ret stl -, d re - var dra-gen; bör - jar -gen, Tenor 2 Basso
V Ä G E N T I L L V A T T E N w w w. a v a n t i s y s t e m. s e
VÄGEN TILL VATTEN v n i y m Vn vi in kn J ordn vnillgångr är norm, mn Grundvn är n dl v vn räknr mn bor nö, i och lvn blir vig krlopp d br 3% kvr för vår vnförörjning När yvn rängr nd i mrkn rn d och blir
1. lösa differentialekvationer (DE) och system av DE med konstanta koefficienter
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr APACETRANSFORMER plcrnormr nvän bl nn ör lö irnilkvionr DE och ym v DE m konn koicinr lö någr ypr v ingrlkvionr bämm bili ho linjär ym Diniion å vr inir ör plcrnormn
1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et.
Styrels e möte 7mars 2010 Bila gor: 1. D ago r d ning 2. N är va r o lis t a 1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et. 2. F o rma
På en landsväg. % Œ. œ œ. j œ # # œ œ j œ. œ J. œ œ œ œ œ. œ œ œ. œ œ# œ œ # œ œ œ œ. œ œ œ œ. œ œ j. œ œ œ j œ Œ ? # # œ œ. œ J. œ œ. œ œ. œ œ.
Sälvklrt g sunger från herlgt köpt noter S ul På lndsväg % 1 På lnds väg n mot kväl l n ly ser ö ver Hpply sngng 1 På lnds väg n mot st n 2 St kväl l 3 Stnn ly ser n kommer ö ver stl t Trd: Puerto Rco
i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.
TENTAMEN -Dc-9, HF och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra, hp, srftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td: -7, Plats: Campus Flmngsbrg Lärar:
System med variabel massa
Sysm m varabl massa Rörlsmängn hos kropp m är: p m mv Anag nu a kroppns massa änras gnom a v llför massor m pr snh, som har hasghn v k. Rörlsmängsföränrngn pr snh hos kroppn blr: pm m( vk v är ( v k v
Blåsen nu alla (epistel nr 25)
lås al (epstel nr 25) ext musk: Carl Mchael ellman oprano 4 3 rr: Eva oller 2004 lto or 4 3 4 3 lå - s Fåg - r - al - tt - ta, hör öl - jor - fs - kar - sval - ås - kan sprt - ta ur stt går rum; e - gas
Mitt barn skulle aldrig klottra!...eller?
Mitt brn skull ldrig klottr!...llr? trtgi! ls n n tu n g n r h y Täb g och in sn ly b, g in n k c y m ts Gnom u i lyckts v r h l ri t m t g li å rt klott unn. m m o k i t r tt lo k sk in m Hjälp oss tt
vara en given funktion som är definierad i punkten a. i punkten a och betecknas f (a)
Drivaans iniion DERIVATANS DEFINITION Dfiniion Lå y f vara n givn funkion som är inirad i punkn a f a f Om gränsvärd israr som rll al sägr vi a funkionn är drivrbar i punkn a Gränsvärd kallas drivaan av
TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Trend Trendsetter. Mina mål. Vad är biker-jacka? Fergie. Mina mål just. Visste du det här?
Tnd Tnds Svs I vnlig fll bu buy-pyl b ligg ch sl lös i hndvsn. Mn nu h jg öp n supsö svs s jg n spp n hnd, sc ch håbs i! D så sön slipp un i hndvsn så f n s h någ. 2 Up d M ål Jg bu siv n i n l nc ni d
TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
A LT B A R Y TO N. enkelt
A LT SOPRAN sahlt nklt B A R Y TO N Innhåll: Amn - låt rns lja råda 2 Du ljuvast n Gud har männs kär Gud ll oss väl 6 Halluja 7 Hlg 8 följr dg Gud 9 Julat Do 10 Kom, öppna dn dörr 11 r 12 Må dn väg gå
SF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Algoritmer och datastrukturer, föreläsning 11
Aloritmr oh tstrukturr, förläsnin Dnn förläsnin hnlr rfr. En rf hr n män nor (vrtx) oh n män år (). Ett xmpl är: A E F B D G H C Z Dnn rf hr följn män v nor: {A, B, C, D, E, F, G, H, Z Dn hr följn män
Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.
LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,
f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser
FÖRESRIFT 13.9.2006 Dnr 6/002/2006 Till pensionsstiftelser som edriver tilläggspensionsskydd och är underställd lgen om pensionsstiftelser FÖRSÄRINGSTENIS BERÄNINGR OCH DERS BERÄNINGSGRUNDER FÖR PENSIONSSTIFTELSER
Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)
Förläsning 4: Hittills å kursn: Rlativittstori Ljusastigtn i vakuum dnsamma för alla obsrvatörr Lorntztransformationn x γx vt y y z z vx t γt där γ v 1 1 v 1 0 0 Alla systm i likformig rörls i förålland
F F idid - - LLöö 55 7 -- S mil: j: Söö nn0-0- Dgs fö ås s å Bc ch Cl Jun fäg Vi fi md å mängd v yl! g å vy fsdh c s s å fån ngöing l C s c B ch Jun å Gön-fi ch ic-fi Mögl-fi Kn j mbins md nd b. Dmid l
1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1
Uppgift Visa att srin (3k 2)(3k + ) konvrgrar och bstäm summan Lösning Vi har att a k = (3k 2)(3k+) Vi kan använda partialbråksuppdlning för att skriva om a k : a k = (3k 2)(3k + ) = A 3k 2 + B 3k(A +
19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2016, kl. 8:15-12:15
Tenmen i Memik, HF9 sep 6, kl. 8:-: Eminor: rmin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Senholm, Elis Sid För godkän beg krävs v m poäng. egsgränser: För beg,,, D, E krävs, 9, 6, respekive poäng.
Linköpings Universitet IFM Kemi Formelsamling för Fysikalisk kemi Termodynamik, Spektroskopi & Kinetik. 2 van der Waals gasekvation
Lnköngs Unvrstt IFM Km 8-1-17 Formlsamlng ör Fyskalsk km rmodynamk, Sktrosko & Kntk Gasr. a n + ( nb) n R van dr Waals gaskvaton Z n R Komrssblttsaktor r nd r rducrad, c krtsk varabl Rducrad varablr c
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för
Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Formelsamling Ljud i byggnad och samhälle
ormlsamlg jud bggad oh samhäll Några räkrglr för logarmr: log log log log log log log log log log log log Några grudläggad akusska dfor oh räkrglr -dmsoll la ljudåg som ubrdr sg os -rkg: Aos Effkärd rms
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2
Lösningr och kommentrer till uppgifter i.2 202 d) t t 2 25 t (t 5)(t + 5) Med hjälp v konjugtregeln kn vi fktoriser nämnren. Eftersom nämnren inte får bli noll är ej t 5 eller t 5 tillåtn. 206 Först presenterr
Formelsamling Ljud i byggnad och samhälle
ormlsamlg jd bggad oh samhäll Några räkrglr för logarmr: log log log log log log log log log log log log Några grdläggad aksska dfor oh räkrglr -dmsoll la ljdfäl: Aos Effkärd rms för ljdrk k: ~ d jdrkså
FÄRGLAGD A STENSUNDSVÄGEN BOSTÄDER BILPLATSER GARAGE 86 ST
STNSUNSVÄN Ø Ø : Ø OSTÄR S TRO RK ST 3 RK 3 ST RK ST SUMM 7 ST 663 ILPLTSR +. +.3 R 6 ST -3 /. +.7 MRK Lr 5 ST SUMM ST.5 + IV. > VI SO P 3 677 b 3 3 UN SL TRO +.5 + 3.5 + 6. VÄ PL NN g V S +7 +3. +.6.5
SF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
1 av 13. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetorprodt VEKTORPRODUKT OCH TILLÄMPNINGAR Kompln etorer. Defnton: V säger tt... n är ompln etorer om etorern lgger ett pln när de stts från smm pnt. Med ndr ord ompln etorer
Sånghäfte. Hotellet vid havet. Texter av Britt G.Hallqvist med musik av Lasse Dahlberg
Sånghäfte Hotellet vd hvet Texter v Brtt Hllqvst med musk v Lsse hlerg Hotellet vd hvet Innehåll Hotellet vd hvet Spöker Trät I Rövrekuln KurMurörn Lll råerg Bndhunn Skogen full v träd Jg Näcken Musslns
En handbok om biodieselanvändning på sjön Sanna-Sofia Skog
PROJEKTET BIOBRÄNLE FÖR FIKERINÄRINGEN Engffv f En hndbo om bodlnvändnng på jön nn-of og P oj B ob ä n l f öfi nä ng n/ E n g ff v fi F o / d ö nn ofi og U g v Y hög ol nnov, F b g n1, V, F nl nd nn ofi og&y
Lokala föreskrifter för att skydda människors hälsa och miljön
STYRDOKUMENT Dum Beecnin Sid 1(4) Godänd/nvri Kommunfumäie Verion 2013-12-09 Lo förerifer för ydd männior hä och mi Lo förerifer för ydd männior hä och mi för Krmfor ommun meddede v ommunfumäie den 9 december
Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 16/8 2017
Tentmen ETE Ellär och elektronk, 6/8 07 Tllåtn hjälpmedel: Formelsmlng kretsteor. Observer tt uppgftern nte är sorterde svårghetsordnng. All lösnngr skll ges tydlg motverngr. Två metllobjekt bldr en kondenstor.
13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
som gör formeln (*) om vi flyttar första integralen till vänsterledet.
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNNGAR Prtill itgrtio PARTELL NTEGRATON uu(vv ( dddd uu(vv( uu (vv(dddd ( ), (pppppppppppppppp iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) KKKKKKKKKKKKKK: uuuu dddd uuuu uu vv dddd Förklrig: Eligt produktrgl
löser differentialekvationen och 3 som är ett förstagradspolynom som inte är identiskt lika med differentialekvationens högerled.
Lösninr nmn mm7 juni un d d S dluppi. D är smm dirnilkvion. c Svr: lösr dirnilkvionn och d ] [ som är örsrdspolnom som in är idnisk lik md dirnilkvionns hörld. Lå i säll rinln md hörn i och - ror krin
ξ = reaktionsomsättning eller reaktionsmängd, enhet mol.
Kemisk jämvikt. Kp. 6.1 4. Spontn kemisk retion: r G < 0, p konst, T konst. Jämvikt där G hr minimum i syst. Kinetiken (hög ktiveringsenergi) kn hindr. 6.1 Minimet i Gibbs fri energi. (p konst, T konst.)
Exponentiella förändringar
Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt
Statistisk mekanik (forts) Kanonisk ensemble. E men. p 1. Inledande statistisk mekanik:
Förläsg 4 Förra gåg: Dt totala rörlsmägdsmomtt J = L+S är ocså vatsrat. J j( j där j s, s,..., s, s J z m j där m j j, j,..., j, j Foto som utsäds(absorbras vd övrgågar har sp= gör att j att ädras. Ildad
SVÄNGNINGAR Odämpad svängning för ett diskret system med en frihetsgrad.
SVÄNGNINGA Odäpad svängnng för e dsre sse ed en frhesgrad. r svängnng jäder [N/] Sas jävsläge. [g ] [ ] & & : & & & So har lösnngen; Bsn C cos Lösnngen nnebär; Vnelhasgheen rad/s och svängnngsfrevensen
SCHEMA Vår 2016
SCHEMA 15.12.14-16.06.12 Vår 2016 Utskriftsdatum 2015-12-21 Avvikande veckor Vikarier Vikarier 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Vecka. BJ CW PA BW? RJ PO MK
p Följ Kraft Där, Strå
Sånger söndg e domsöndg 0 Söndgsmorgon J.Hydn/J.O.Wlln Söndgsmorgon Musk v J.Hy. Svsk text v J.O.Wlln. Öpp r! Hel An skl bn skl nä kors ms d r m, ljud! bön, ljud? känn m vs, n rym m Se L Hur An m tds t
SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
Sparabla diffrntialkvationr SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En diffrntialkvation DE av första ordningn sägs vara sparabl om dn kan skrivas på d formn P Q llr kvivalnt d P d Q d Dn allmänna lösningn till
Var är tvålen. o dk sj jz kkk. um ba - um. um um um um 2 4 j. stan - na upp ett tag och grub - bla, är det nå n som sett min tvål?
är våle Pver Rel rr. Erc Srby Spr Al1 Al 2 Ter Bss 1 Bss 2 Spr f f D G =80 Al f f D 1 Al f f D 2 Ter f f D l M Bss 1 jz d sj jz u b - u u - j u b - u u j s j jz u b - u u s j jz f f f N s v-drr ge- l-ve
============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
![============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.](/thumbs/102/154432831.jpg "============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.")
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
re (potensform eller exponentialform)
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Kompla tal. Polär form och potnsform KOMPLEXA TAL I POLÄR FORM och KOMPLEXA TAL I POTENSFORM, där, R (rktangulär form r(cos sn (polär form n n r (cosn sn n D Movrs forml r
Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Materiens Struktur. Lösningar
Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste
Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)
TENTAMEN 7 e 8, HF oh HF8 Moment: TEN Lnjär lger, hp, skrftlg tentmen Kurser: Lnjär lger oh nlys HF oh Anlys oh lnjär lger, HF8, Klsser: TIELA, TIMEL, TIDAA T: 8-, Plts: Cmpus Flemngserg Lärre: Mr Shmoun
Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, temperaturen i punkten x vid tiden t.
Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio VÄRMEEDNINGSEKVAIONEN Vi braar öljad PDE u u v där > är osa Evaio v a bl aa bsriva värmldig i u sav där u bar mpraur i pu vid id därör am värmldigsvaio Radvärdsproblm
Snickerier. Räcken & Stolpar, Snickarglädje, Ett företag inom Södra
Trätjr o Proutr so år st på tt us Srr Rä & Stopr, Sräj, Träår, Stopsyst, Iprrt Ett ört o Sör Tstyps yr o ystjr Ao & Sräj 1840-1900 Hus rå är pro är v på r ott v utsöt ystjr o srr. Vor uppör trä tt vär
Arvika 2019_243 Stömne Bertil Persson Betongteknik AB DECIBEL - Huvudresultat Beräkning: VKV SWE99TM VKV typ Ljuddata
SVENSKA BESTÄMMELSER FÖR EXTERNT BULLER FRÅN LANDBASERADE VINDKRAFTVERK 2019-03-02 07:25 / 1 Beräkningen är baserad på den av Statens Naturvårdsverk rekommenderad metod "Ljud från landbaserade vindkraftverk",
Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
bruksanvisning/ user manual
bruksanvisning/ user manual IBU 50 - IBU 50 RF L ä s d e n n a b r u k s a n v i s n i n g f ö r s t! B ä s t a k u n d, T a c k f ö r a t t d u h a r v a l t a t t k -p ö pra o deun k t C. y lvii n dhao
Sammanfattning av ALA-B 2007
Crl-Mgnus Trä t7 Smmnttning v L- 7. Ordinär dirntilkvtionr (ODE). Först ordningns homogn ODE.... ndr ordningns homogn ODE.... Inhomogn kvtionr.... Sprl vrilr 5. Intgrrnd ktor 6. En ltrntiv örskjutningsrgl.
TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Kaffe 5 kr Bulle 5 kr Kaffe och bulle 8 kr
Exmpl Som knt gällr tt sts Exmpl Följnd skylt finns på tt cfé Pythgors sts Arn Södrqvist, KH-Syd 3 + 4 = 5 Likhtn kn tolks som n mnifsttion v Pythgors Kff 5 kr Bull 5 kr Kff och ull 8 kr Likhtn 5+ 5= 8
4 Signaler och system i frekvensplanet Övningar
Signler och system i frevensplnet Övningr. Bestäm fourierserieoefficientern för de periodis signlern ) 7 δ [ n ] N = b) { δ [ n ] δ [ n 6] } N = c) { δ [ n + ] δ [ n ] } N =. T frm fourierserieoefficientern
Vila vid denna källa (epistel nr 82)
Text oh musk: Carl Mhael Bellm Arr: Eva Toller 2004 opno Alto 1 1V - 2 Hm - 4 5 6 s -, kl - _ vår oh får ll - hngs - frs - så E - du ka ols mtt Alto 2 1V - 2 Hm - 4 5 6 tgt mel, f, n, lg s - kl -, vår
VATEK Multifix kopplingar för alla rörtyper
Vtk_logo_cmyk-2012.pf 1 2011-11-25 13.09 VATEK Multifix kopplingr för ll rörtypr VATEK MULTIFIX ÄR EN SERIE rgfst rörkopplingr för ll typr v rör till å vttn och gslningr. Kopplingrn introucrs i Svrig v
Med funktioner som en lcd display med 10 olika träningsprogram, erbjuder denna cykel en variationsrik träning.
Motorstyrd mgnetbroms 6 kg Tränngsdtor Belyst LCD Mster B-4135 Mgnetc Med funktoner som en lcd dsply med 10 olk tränngsprogrm, erbjuder denn cykel en vrtonsrk tränng. Funktoner Td, Dstns, Hstghet, Energförbruknng,
14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
Tentamen i Linjär algebra 2010 05 21, 8 13.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mamaika Iniuionn Ulf Janfalk Kurkod: ETE Provkod: TEN Tnamn i Linjär algbra,. Inga hjälpmdl. Ej räkndoa. Rula mddla vi -po. För godkän räckr poäng och min uppgifr md llr poäng. Godkända
Making room for tomorrow
Byggnsgui Byggnsgui 2013 Byggnsgui 2013 Innrvägg Allmänt 4-5 Sknor oh rglr 6-7 Montg 8-9 WllClik 10-11 Typr oh gruppr 12-15 Väggnyklr 16-21 Typövrsikt 22-25 Väggruppr C 26-65 Väggruppr C+ 66-93 Väggruppr
Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) b) Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna
TENTAMEN 5-Okt-6, HF6 och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra), hp, skrftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF6 Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td:.5-7.5, Plats: Campus Hanng Lärar:
Rationella uttryck. Förlängning och förkortning
Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing
=============================================== Plan: Låt vara planet genom punkten )
Amin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Rä linje och pln RÄTA LINJER OCH PLAN Rä linje: Lå L den ä linjen genom punken P som ä pllell med ekon 0 3. Rä linjens ekion på pmeefom en ekoekion 3 Rä linjens ekione på pmeefom:
Sammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet