3. Algoritmer för samplande reglering
|
|
|
- Patrik Hansson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Smlnd rglrng 3. Algormr för smlnd rglrng Prnn för smlnd rglrng Blo Smlng r mo onnrlg sgnlr o r sm dsrsrr dm ll lföljdr o r,,, I rn är d n A/D-omvndlr. Blo Håll r mo lföljdn,,,, från rglrlgormn o sr vdr n svs dsonnrlg sgnl, <. I rn är d n D/A-omvndlr. Rglrn II llsåndsmodr 493 3
2 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Smlnd rglrng 3. dsdsr PID-rglorr 3.. dsonnrlg formr v PID-rglorr Idl PID-rglor d K d d τ τ PID 3.. d Idl PID-rglor som n drvrr börvärd d K d d τ τ PID 3.. d PID-rglor som drvrr flrrd sgnl dx K d d τ τ, d f x x PIDx 3..3 Anm: fnns md för möjlggör sonärllsånd md o sm mnll rglrng K md ; lämns do of från rglorv. Rglrn II llsåndsmodr 493 3
3 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. dsonnrlg PID-rglorr Blosmn för PID-rglorr En PID-rglor n nl rlsrs,.x. Smln, md jäl v blosm. dn gs blosmn för vrnrn PID o PID. r / s s d K r / s s d K PID PID Vrnn PIDx v n PID-rglor rålls gnom ddon v : ordnngns flr frmför drvrngsblo. Smlng dsrsrng v n rglor dfnrd gnom blosm n of rålls dr md jäl v frågvrnd rogrmvr.x. Smln. 3. dsdsr PID-rglorr 3 3
4 3. dsdsr PID-rglorr 3. Algormr för smlnd rglrng 3 4 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Dsrsrng v onnrlg PID-rglorr V r bndl r dsonnrlg ssm md svs onsn nsgnlr n smls. En rglor r do n svs onsn nsgnl om d rglrd ssms sgnl är n onnrlg vrbl. Ovnnämnd smlngsmod är därför rn norr för n rglor. E sä bsämm n dsdsr vrson v n PID-rglor är rsä d nls rn för ngron o drvrng md nmrs mosvrgr. För n dl PID-rglor som n drvrr börvärd PID n v srv d d d d d d d d K K τ τ τ τ 3..4 där o.
5 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Dsrsrng v PID-rglorr Rnglroxmon v ngrln Om är onsn smlngsnrvll fås md roxmonrn dτ τ o dn dsdsr PID-rglorn d 3..5 d K llr md dn förnlnd bnngn f f d 3..6 d K n bror v, PID Efrsom <, lls dnn form v PID-rglorn för n osonsform. Mär är n onsn. 3. dsdsr PID-rglorr 3 5
6 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Dsrsrng v PID-rglorr I ngrlroxmonn nogs rglrvvlsn vr onsn l., smlngsnrvll [ ],, Efrsom smlngsnrvll själv vr är ö ll ögr, dvs nrvll är [ vor d rn nrlgr nvänd roxmonn Dnn roxmon gr dn dsdsr PID-rglorn τ dτ 3..8 d K PID som vvr från dn dgr rglorn PID- nds sållvd smmrngn sr från ll säll för från ll. 3. dsdsr PID-rglorr 3 6
7 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Dsrsrng v PID-rglorr Aroxmon v ngrln md rsmodn Båd roxmonrn ovn r dn ndln rglrvvlsn ns vr svs onsn smlngsnrvlln, vl n är fll rn. Mr movr är n rglrvvlsn förändrs lnjär från. Ingrlroxmonn blr då smlngsnrvll [, D gr dn dsdsr PID-rglorn ll τ dτ 3.. K d PID dsdsr PID-rglorr 3 7
8 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. dsdsr PID-rglorr 3..3 Ingrorvrdnng I d fls fsls rossr fnns bgränsnngr.x. rörnd srsgnlrns sorl. Ang n ross säs för n så rfg sörnng, dn n n lmnrs från sgnln md srsgnln g fsls bgränsnngr.x. n ön rglrvnl. Flsmmn n dsdsr PID-rglor ommr väx så läng sörnngn vrr ngs >, lså rglorns sgnl, mn ngn rglrng v rossns sgnl sr frsom srsgnln n n rlsrs g bgränsnngn områd A fgrn. Om > är sörnngn sådn rossns sgnl mns. 3. Algormr för smlnd rglrng 3 8
9 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..3 Ingrorvrdnng Ang sörnngn ör. Efrsom srsgnln g dn dgr vrnd sörnngn, som gv r >, är sådn rlgsläg som mxmrr, blr < dvs > r när sörnngn o dss ff å ör. Efrsom flsmmn rglorn blv m sor mdn sörnngn vrd, ommr dn forfrnd vr sor g ll gml > ros n <. ommr då oså forsänngsvs vr sor o åll srsgnln > områd B fgrn. Usgnln vr vd s rlgsläg, ros r ll sl blr smmn rglorn ll fll så ln mnsr ll n nvå som mosvrr n rlsrbr srsgnl o rglrngn börjr fngr gn. Rglrngn r do vr m dålg. Dn onödg ngrln mlln rvn B o börvärd är ngfär l sor som ngrln mlln börvärd o rvn A. Dnn ff lls ngrorvrdnng, llr vnlgr, rs wnd. Mn n förndr ngrorvrdnng gnom ol rglorn å mnll rglrng, llr gnom någon mnsm som förndrr fors smmrng när srsgnln är vd n bgränsnng. 3. dsdsr PID-rglorr 3 9
10 3. dsdsr PID-rglorr 3. Algormr för smlnd rglrng 3 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..4 PID-rglorns nrmnform Ingrorvrdnng n rn förndrs rlv nl om mn säll för PIDrglorns osonsform nvändr n s.. nrmnform, där sgnln bräns som llägg ll förgånd sgnl. Om mn brr osonsformn vd vå å vrndr följnd dnr o sm sbrrr från fås för PID-rglorn PID- K d llr d K PID- 3..
11 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..4 PID-rglorns nrmnform Inrmnformn mosvrnd PID-rglorn PID- blr nlog d K Mosvrgn ll rglorn PID-3 blr PID d K PID Inrmnformrn förndrr ngrorvrdnng om mn för nvändr dn srsgnl som sns vrlgn nd rlsrs, dvs n nödvändgvs sns bränd. Inrmnformrn möjlggör oså söfr övrgång från n rglrlgorm.x. mnll srnng ll n nnn om dn sns rlsrd rglrsgnln är änd. Dss fördlg gnsr rävr vnlgvs mn mär llr smrr. 3. dsdsr PID-rglorr 3
12 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. dsdsr PID-rglorr 3..5 Egnsr os osons- o nrmnformrn Posonsformn d K PID Om I-vrn mds dvs PI- llr PID-rglor: Sonärllsånd rävr smmn lgormn n växr, vl rävr, dvs v r ngn rglrvvls vd sonärllsånd. Om I-vrn n mds dvs P- llr PD-rglor, : Sonärllsånd rävr nds om D-vrn mds sm s onsn, dvs s rävs n o rglrvvls fås llmän som vän. Rglrfl vd sonärllsånd md blr s s / s K 3..5 Ends vd d sonärllsånd som mosvrr s blr rglrvvlsn noll. 3. Algormr för smlnd rglrng 3
13 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..5 Egnsr os osons- o nrmnformrn Inrmnformn d K PID- 3.. Sonärllsånd rävr s o. Då gällr K s 3..6 Om I-vrn mds dvs PI- llr PID-rglor: Vd sonärllsånd gällr, dvs, o rglrvvls sns. Om I-vrn n mds dvs P- llr PD-rglor, : Vd sonärllsånd gällr då lld obrond v s, dvs sonärllsånd n bl l godlg ; d fnns ng n sonärllsånd där rglrfl lld sll vr noll som för osonsformn. Inrmnformn sll sålds nds nvänds md ngrrnd vrn. s 3. dsdsr PID-rglorr 3 3
14 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..5 Egnsr os osons- o nrmnformrn Illsron v lmnrd ngrorvrdnng md nrmnformn Posonsformn Inrmnformn 3. dsdsr PID-rglorr 3 4
15 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. dsdsr PI-rglorr 3..6 Dsrsrng gnom orormm dsonnrlg o smld ssm sm smbnd mlln dm n rs md jäl v drvrngsororn o försjnngsororn, dvs d/d o Bådffrnsroxmon f f f f 3..7 Dn vd rglordssrngn nvänd roxmonn d 3..8 d n md ororformlsm rs dvs Algormr för smlnd rglrng 3 5
16 3..6 Dsrsrng gnom orormm 3. dsdsr PID-rglorr 3 6 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Dn dsonnrlg PID-rglorn som n drvrr börvärd PID n md jäl v drvrngsororn srvs obs. nr smm ls som Llvrbln s d K PID 3.. sm srvlngn gr d d K K 3.. dvs då τ, < τ, o då rgmn d K PID- PID- 3..
17 3..6 Dsrsrng gnom orormm 3. dsdsr PID-rglorr 3 7 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Alrnv n v lå orr å dn onnrlg rglorns sgnl för få d d K K 3..3 är onsn vrfr gr d d K K 3..4 dvs d K PID- 3..
18 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..6 Dsrsrng gnom orormm Blnjär roxmon Aroxmonn d 3..8 d är smmrs sållvd ögr ld vor n bär roxmon ll drvn någonsns mlln o,.x. vd, 5, än vd. En bär roxmon d änsnd är dn blnjär roxmonn d d 3..5 d d ävn lld sns roxmonsforml. Md orormm fås 3..6 dvs dsdsr PID-rglorr 3 8
19 3..6 Dsrsrng gnom orormm 3. dsdsr PID-rglorr 3 9 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH llämnng v dn blnjär roxmonn å PID-rglorn d K PID 3.. gr för osonsformn md lljäl v srvlngr d K PID För nrmnformn fås d K PID Mär dn gml sgnlrmn är, n, om mn som är vll lmnr smmn nnållnd gml sgnlr.
20 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3..6 Dsrsrng gnom orormm Sblsområd för orordsrsrd rglorr D smld rglorrn är dsdsr ssm o drs sblsområd är områd nnnför nsrln d omlx lln, dvs z <, när d rs md jäl v Z-rnsformn. är onnrlg ssm dsrsrs gnom roxmon bvrs d onnrlg ssms sblsgnsr n nödvändgvs. Fgrn ll vänsr llsrrr d onnrlg ssms sblsområd R s < årförs å rlformg områd z,5 <, 5 d omlx lln när bådffrnsroxmon nvänds. Vss nsbl ssm n sålds bl sbl z < mn z,5,5 gnom dnn roxmon. ll ögr vss dn blnjär roxmonn rs bvrr sblsgnsrn. 3. dsdsr PID-rglorr 3
21 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Smlnd rglrng 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor Om d vld smlngsnrvll är l jämförls md ssms dsonsnr, o n v. dödd är ln, n mn bsämm rmrrn för n onnrlg rglor nlg någon sndrdrodr.x. Zglr-ols o dr nj dss någon v d smld rglorformrn. Efrsom mäd är ll smlngsnrvll gml vd rglrng md n smlnd rglor, är d movr vd rglordsgnn md llr ö n bfnlg dödd md n dödd l md lv smlngsnrvll rossmodlln. Zglr-ols rommndonr gr llmän ggrssv rglrng, o rs för nsbl förlggr. Bsr å smm rossnformon som Zglr-ols rommndonr, rommndrr rs o Lbn för PI-rglrng K K,, P 3.., 3,mx där P är rodn för sånd svängnngr o K, mx P-rglorns försärnng. E lllnd lrnv är gör någon form v dr sns såsom IMC-dsgn gånd från n dsdsr smld modll. Prossrglrng 385 3
22 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Insällnng v dsr PID-rglor Sndrdblosm för årold rglrng r G G Fgrn vsr blosm för årold rglrng md nonvnonr o d vgs vrblrn mär. Vd modr bsrd å dr sns nvändr mn sg v dn sln slngns övrförngsfnon från r ll, som är är G r s Y s G s G s R s G s G s 3.. För d dsdsr fll fås l nlog r md lsövrförngsororr llr -fnonr. 3. Algormr för smlnd rglrng 3
23 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Insällnng v dsr PID-rglor 3.. Smlng v ssm md dödd E llmän ssm md dödd E onnrlg ssm md n dödd θ för ll nsgnlr r llsåndsvonn Ax B θ x 3..3 Om ssm smls md smlngsnrvll n lösnngn nlog md dgr srvs A A τ A x x B τ θ dτ 3..4 där o är vå närlggnd smlngsnr så. Ang nldnngsvs döddn är mndr än smlngsnrvll, dvs θ <. Ävn om nsgnln är svs onsn övr smlngsnrvlln, är τ θ n onsn övr smlngsnrvll τ < frsom dss värd ändrs från ll nn τ θ. 3. Algormr för smlnd rglrng 3 3
24 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Smlng v ssm md dödd En svs onsn nsgnl övr ngronsområd fås do om ngrln dls så θ A A d A A A x x τ B τ d B τ τ 3..5 θ Lösnngn n srvs x Fx G G 3..6 llr md o lämnng v onsnn från rgmnn x Fx G G 3..7 där fr b v ngronsvrbl, do forfrnd lld τ θ A A F, G B τ θ A θ A dτ, G τ B dτ Om v r n dödd L > så L θ, där är ll, rsäs md o md Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 4
25 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Smlng v ssm md dödd Plsövrförngsororn för ssm md dödd Br ssm x Fx G G Cx D D 3..9 där D nds om ssm n är sr ror. Md jäl v sfororn fås x o sålds llr där I F G G I F G G C I F G G D D 3.. H 3.. H C I F G G D D Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 5
26 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Smlng v ssm md dödd Smlng v ndr ordnngns ssm md dödd E ndr ordnngns ssm md vå ol sor dsonsnr o, äljrdonsnn 3, döddn L o försärnngn K r övrförngsfnonn där G s Ls Y s K 3s U s s s s λ s λ K 3, λ /, / Ls 3..3 λ 3..4 K Ssm n srvs å dgonlformn x Λx b x L λ Λ, λ b, Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 6
27 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Smlng v ssm md dödd Efrsom Λ är dgonl n smlng nl förs. Md där G G θ Λτ dτ b x Fx G x λ G L θ får v 3..7 λ Λ F λ 3..8 λ θ λ λ θ λ λ λ θ λ θ λ θ λθ λ λ θ λθ θ Λ θ Λτ dτ b λ λ λθ λ λ λθ λ 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 7
28 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Smlng v ssm md dödd Md jäl v lsövrförngsororn n ssm srvs där H H 3..9 I F G G Insänng v mrsr o vor gr fr fsnng där H b 3.. b b 3 3 λ, θ λ b λ,, θ b λ λ λ θ λ b, λ, λ θ, λ λ b, b, λ, b b b, b, b, λ λ 3, λ b b b,, λ λ, λ 3.. b 3.. b, 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 8
29 3.. Smlng v ssm md dödd 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 9 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Om döddn är n jämn mll v smlngsnrvll, dvs θ, förnls rn vsvär. V får b b H 3..3 där b λ λ λ λ b λ λ λ λ λ λ 3..4 λ λ, λ λ För förs ordnngns ssm, mn n nödvändgvs θ, fås b b H 3..5 /, / K b θ, / b K θ 3..6
30 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Smlng v ssm md dödd Övnng 3.. Bsäm lsövrförngsororn H för ssm G s Ls K s s då K, L mn, mn,, 5 mn o smlngsnrvll, mn. 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 3
31 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Insällnng v dsr PID-rglor 3.. Sns v dsdsr PID-rglor Inrmnformn v n dl dsdsr PID-rglor r formn 3..7 där r. Md jäl v båsfororn fås 3..8 som gr rglorns lsövrförngsoror H 3..9 Om ssm md lsövrförngsororn H / rglrs md dnn rglor gs d rglrd ssms lsövrförngsoror v H H H r 3..3 r H H Idén är välj rglorns rmrr 3. Algormr för smlnd rglrng 3 3 H så H r får önsd form.
32 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Sns v dsdsr PID-rglor Förs ordnngns ssm md dödd E förs ordnngns ssm md n dödd L, där är smlngsnrvll, r lsövrförngsororn b H 3..3 V får b H H 3..3 Om v väljr dvs ngn D-vrn o fås b b H H o H r b där rglorns försärnng är n vrsånd dsgnrmr. Vl b / gr sgsvr md mnml övrsväng 4 % o n sgd å 3 ll 4 döddr. 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 3
33 3.. Sns v dsdsr PID-rglor 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 33 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Andr ordnngns ssm md dödd Dsgnmodn ovn är väldg bändg mn n nl brän d bövlg rglorrmrrn o då ssmrmrrn, b o är änd. Kn smm mod, llr någon lnnd som nl n ärlds, nvänds för ssm v ndr ordnngn md dödd? Om v nr döddn är n jämn mll v smlngsnrvll r ndr ordnngns ssm lsövrförngsororn b b b b H Md n dsr PID-rglor H får v b b H H V n välj rglorns rmrr så nämnrn för H lmnrs, mn äljrn blr vr o därmd får v n smm form å H H o dsgnmodn gällr n.
34 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.. Sns v dsdsr PID-rglor V n do välj n nnn v rglor. En rglor md lsövrförngsororn gr md vln H d, H, d b / b b H o smm vl v n görs som ovn för förs ordnngns ssm, dvs b / Dnn rglor är n n rn PID-rglor, n dn r dffrnsformn 3..4 d Dn n själv vr ols som n PID-rglor flr som flrrr, dvs rn om börvärd ns vr brsfr. 3. Insällnng v dsdsr PID-rglor 3 34
35 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Smlnd rglrng 3.3 Dr sns md döddsomnson 3.3. Dln-Hgms lgorm Dln o Hgm r förslg n mod bsrd å dr sns som gr n rglor md ngrrnd vrn o x omnson för dödd. En godlg rglor md lsövrförngsororn H gr för ssm H sl ssm H H H r 3.3. r H H Om mn lösr H fås där mn n sfr som rlsrr d. Prossrglrng H H r 3.3. H H r H r å öns sä o brän dn rglor H
36 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3. Dln-Hgms lgorm E sl ssm md mndr dödd än döddn d orglrd ssm n gvvs n rålls. Om ssms dödd är L, där är smlngsnrvll, är r α α H dvs förs ordnngns ssm md försärnngn, nl sl ssm. Om d / sln ssms önsd dsonsn är r, så är α r. Obs. d dsr ssms försärnng fås när mn rsär ororn md. D vl v H gr r H r H r α α α Dr sns md döddsomnson 3 36
37 3.3. Dln-Hgms lgorm 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 37 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Rglrng v : ordnngns ssm md dödd För b H fås b b H α α α α α α dvs n rglor md dffrnsformn b α α D n ols som n PI-rglor md xl döddsomnson. Efrsom rglorn o md rmn nvändr nformon som n vr m gmml n dn förväns vr änslg för modllfl, sll rörnd döddn.
38 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3. Dln-Hgms lgorm Rglrng v : ordnngns ssm md dödd Ävn om ssm som sll rglrs är v ndr ordnngn, n mn sfr d sln ssm vr v förs ordnngn. För fås då fr fsnng d b b H H b α b d b α α där /. D är n rglor md dffrnsformn α α d αd b α d Rglorn n förväns vr änn änslgr för modllfl än dn förgånd Dr sns md döddsomnson 3 38
39 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3 Sns md döddsomnson 3.3. E llämnngsxml I övnng 3.. vr gfn bsämm lsövrförngsororn H för ssm G md smlngsnrvll, Rsl blv H b b s K s s 3. Algormr för smlnd rglrng 3 39 Ls mn då K, L mn, mn o, 5 b,956,736 Här sll fr ol rglordsgnr llsrrs o jämförs: b,894,748 Dsrsrd PID-rglor nsälld nlg Zglr-ols rommndonr b Dsr PID-rglor nsälld för 4 % övrsläng Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o fl modll förs ordnngn dödd d Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o orr modll mn.
40 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3. E llämnngsxml Dsrsrd PID nsälld nlg Zglr-ols Dn onnrlg rossmodlln gr rs frvnsn ω,5 rd/mn sm G ω, 44 K, 7, mx Enlg Zglr-ols rommndonr fås K,6K,36, π / ω, 8 mn, d π / 4ω, 5 mn, mx Inrmnformn för n dl PID-rglor smld gnom bådffrnsroxmon är d d d K som är gr 8,5 5,5 7,8 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 4
41 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3. E llämnngsxml b Dsr PID nsälld för 4 % övrsläng För ssm b b H gr rglorn d md b /,,, d b / b 4 % övrsläng. Här är. D smld ssms rmrr gr 5,6, 9, 6, 3, 9, d, 95 llr 5,6 9,6 3,9, Dr sns md döddsomnson 3 4
42 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3. E llämnngsxml Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o fl modll Angs flg rossmodll Ls K G s s md K, L mn,, 5 mn. Smlng md, mn gr / H 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 4 b md, 9355 o b K K, θ / Dln-Hgms rglor för förs ordnngns ssm md är α α b / Md α r, 887 fås,8,63,8
43 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3. E llämnngsxml d Dln-Hgms rglor md r, 5 mn o orr modll Dln-Hgms rglor för ndr ordnngns ssm md är α α d αd b d där d b b, 948. Md α r, 887 fås / Smlrngr, 34,5,8 / 4,8,64 Zglr-ols PID PID md 4 % övrsläng Dln-Hgm md fl modll Dln-Hgm md orr modll α,86, Dr sns md döddsomnson 3 43
44 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.3 Sns md döddsomnson Rngnng I rglorsnsr v n dr sns sfrs d önsd sln ssm. är snsn görs för sml ssm, gällr sfonn nds smlngsnrn vd som sr mlln smlngsnrn r mn ngn dr onroll övr. Sonn n s som fgrn ndn, där smlngsnrvll är dsn. I smlngsnrn är sgnln ll vänsr l md börvärd, mn därmlln svängr dn. Bnd bror å nsgnln ll ögr svängr rfg rng läg fnomn lls rngnng. 3. Algormr för smlnd rglrng 3 44
45 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Rngnng Orsn ll rngnng Rngnng sår när dn dsdsr rglorn r n ngv ol z, sll om dn lggr när sblsgränsn z. D blr of fll om rglorn nnållr nvrsn v modllns lsövrförngsfnon H z, såsom.x. Dln-Hgms rglor [s 3.3.]. Orsn är n smld modll of nnållr ngv nollsäll när z, som då ldr ll n mosvrnd ol rglorn. Vd x smlng v onnrlg ssm fås lld llr flr nollsälln om ssm är mns v : ordnngn förom v. dödd. Obrond v v. nollsälln dn onnrlg modlln fås, ävn om döddn är n jämn mll v smlngsnrvll, för ndr ordnngns ssm n lsövrförngsfnon v formn b b z z z H z z Dr sns md döddsomnson 3 45
46 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Rngnng Elmnrng v rngnng Dlns modfrd rglrlg För lmnr rngnng, r Dln förslg mn gör sbsonn z dn for som förorsr rngnngn. För ndr ordnngns ssm bdr d rn mn gör snsn å bsn v modlln b b H z z 3.3. z z Rsl för smm xml som ovn vss fgrn ndn. Rngnngn r lmnrs, mn säll r n ln övrsläng så. 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 46
47 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Rngnng Vogl-Edgrs modfon I Dlns modfrd sns r mn ngn onroll övr r sor övrslängn blr. Vogl o Edgr r därför förslg mn n snsrr för få sr ror sl ssm v förs ordnngn md dödd, n för sl ssm v formn b b z α Hr z z b b α z där b b z är dn for som förorsr rngnng dvs b / b. För smm ssm som ovn fås då rglrrsl ndn, dvs ngn rngnng o ngn övrsläng å bosnd v någo långsmmr rsons. 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 47
48 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH Rngnng Övnng 3.3. Härld rglrlgn nlg Vogl-Edgrs modfon v Dln-Hgms rglor för sml ndr ordnngns ssm. Vln blr rglrlgn nmrs för ssm som smls Övnng 3..? 3.3 Dr sns md döddsomnson 3 48
49 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3. Smlnd rglrng 3.4 Dd-b rglrng Vd dr sns v n dsr rglor nlg Dln-Hgms mod önsds sl ssm som br sg som förs ordnngns ssm md dödd. Sll d vr möjlg dsgn för änn snbbr rsons så r H r 3.4. där r mndr r n n vr rlsrbr? Lösnng v H r r för d sln ssms lsövrförngsoror s Dln-Hgm gr r H r H 3.4. r H H r H D bör g n rlsrbr rglrlg för r frsom r äljrn då n förors bor mo äljrn ll H. Vrför mås d gå föror bor döddn H? En rglrsrg md dsgnrr H r r lls för dd-b rglrng. D fnns ngn mosvrg ll dd-b rglrng vd onnrlg rglrng. Prossrglrng
50 3.4 Dd-b rglrng 3. Algormr för smlnd rglrng 3 5 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.4. Förs ordnngns ssm För förs ordnngns ssm md dödd b H fås md r b b H llr b som är n rlsrbr rglrlg. r.x. sll g b H o b som n är rlsrbr g.
51 3.4 Dd-b rglrng 3. Algormr för smlnd rglrng 3 5 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.4. Dd-b rglrng v llsåndsvorn Br dsr ssm md llsåndsvonn G Fx x där > mosvrr n gmnsm dödd för l nsgnlvorn. Urd nvändnng v vonn för n smlngsdnr gr 3 3 G FG G F G F x F x G FG G F x F G FG x F G Fx x G FG x F G Fx x Dn ss vonn n oså srvs [ ] G F FG G x F x 3.4.8
52 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.4. Dd-b rglrng v llsåndsvorn V njr bnngn Γ [ ] G FG F G Om nl llsånd är n r mrsn Γ n sn rdr. Ifll ssm är srbr ommr mrsn rngn n för llrälg sor. För n är mrsn Γ n l md ssms srbrsmrs som dgr lls Γ. Dnn mrs r lld rngn n om ssm är srbr. Om ssm är srbr fnns d sålds lld n mrs Γ, n, som r rngn n. D är då möjlg lös vorn v nsgnlr r r för x md jäl v dn s.. sdonvrsn v Γ, som n rävr Γ är vdrs. Efrsom r gällr för godlg, n smlngsögonbln dssom fls frmå md sg. Då fås Γ x F x Dd-b rglrng 3 5
53 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.4. Dd-b rglrng v llsåndsvorn där d fll, då Γ r mns l mång olonnr som rdr, gällr Γ Γ Γ Γ 3.4. Mär Γ Γ om Γ är vdrs, vl lld är fll om nl nsgnlr, då oså n rävs. Vd smlngsögonbl mlmnrs nds srsgnln, n frmd srsgnlr. Dnn srsgnl rålls från r ovn nlg [ ] I Γ x F x 3.4. där x bnr d önsd llsånd fr smlngr. D är do n n rlsrbr srlg dnn form, frsom dn nnållr frmd llsånd x. För dss gällr do x Fx G F Fx G G F x FG G x F x F G FG G vl bdr x gs som fnon v x o gml srsgnlr. 3.4 Dd-b rglrng 3 53
54 Lboror för rglrn Rglrn II / KEH 3.4. Dd-b rglrng v llsåndsvorn Gnom nj dfnonn å Γ n dd-b srgn ävn rs som F G ΓΓ x F x Kommnrr Vnlgn rävs n, där n är nl llsåndsvrblr. D är möjlg n rlsrbr rglrlg n rålls för < n, mn rglrrsl är of ollfrdssällnd. D är änbr d sln ssm blr nsbl llr llsåndn d onnrlg ssm svängr rfg mlln smlngsögonbln g rngnng. Dd-b srgn r nds n dsgnrmr smlngsnrvll. Smlngsnrvll bsämmr r snbb d önsd llsånd nås å dn n llr snbbr. Rglrsgnlrns sorl ör do drss md mnsnd smlngsnrvll, vl rn är n bgränsnd for. Of är d önsd llsånd x. Om Γ är vdrs gällr Γ Γ. 3.4 Dd-b rglrng 3 54
4. Algoritmer för samplande reglering
Loror för rglrn Rglrn II / KEH 4. Smlnd rglrng 4. Algormr för smlnd rglrng Prnn för smlnd rglrng Blo Smlng r mo onnrlg sgnlr o r sm dsrsrr dm ll lföljdr o r,,, I rn är d n A/D-omvndlr. Blo Håll r mo lföljdn,,,,
HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER
HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Vi brr sysm v lijär omog DE (v förs ordig) md os offiir dx x x d dx x x d dx x x d där x ), x ( ),, x ( ) är ob fuior v vribl ( Ovsåd sysm
Svar: a) i) Typ: linjär DE med konstanta koefficienter i homogena delen dy men också separabel ( y = 10 4y
Diffrnilkvionr, lndd ml DIFFERENTIALEKVATIONER, BLANDADE EXEMPEL Ugif i Bsäm y [srl DE, linjr DE, homogn konsn llr ickkonsn kofficinr ] för ndnsånd diffrnilkvionr ii Bsäm dn llmänn lösningn ill vrj DE
F5: Vektorer (Appendix B) och Vektormodulation (Kap PE 2)
F5: korr Appnd B oh kormodlon Kp PE g välrkr - Norml nl n nrlldrn g välrkr -S-p g välrkr -PWM Modlon v omvndlr - + R L C d + d Fgr.8: Dn ndrök omvndlrn yrd lkrkr nln ll nä Fgr.9: Bärvågmodlon md nformg
TENTAMEN Datum: 19 aug 08 TEN1: Differentialekvationer, komplexa tal och Taylors formel Kurskod HF1000, HF1003, 6H3011, 6H3000, 6L3000
TENTAMEN Dum: 9 ug 08 TEN: Dffrnlkvonr, kompl l och Tlors forml Kurskod HF000, HF00, H0, H000, L000 Skrvd: 8:-: Hjälpmdl: Bfog formlld och mnräknr v vlkn p som hls Lärr: Armn Hllovc Dnn nmnslpp får j hålls
TENTAMEN. HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor
ENAMEN HF9 Mmik EN Skrivid : 7: Frdgn jnuri nmn bsår v sidor Hjälpmdl: Udl ormlbld Räkndos j illån nmn bsår v uppgir som ol kn g poäng F är undrkän bg mn md möjligh ill komplring Komplringn kn nds görs
Vilka varor och tjänster samt länder handlar svenska företag med? - och varför?
Emj www.mf.smj Smällsm fö u Emf uvcl d slml sm mlm ll läudvs smällsus. Syf ä lv övd fösåls fö u smällsm fu. Ml båd s c s fösåls fö u d s u Sv. Ml bså v fy s övd uf sm bdl usdl, bsmd, fsmd c ffl m. Uf bsvs
Den stabila människan
Dn sbl männskn Igå v jg på ylg n kus på Klvgnn, dnn gång om kokv änng och sblsngsänng. Effkv änng fö smä, spännng, nsbl och nds syk. Vd kn v gö fö höfn skll ö sg opml, fö skuldon skll må b och fö knän
F8: Asynkronmaskinen. Sammanfattning
F8: Aynkonmknn Smmnfnng Allmän om ynkonmknn (I) Lgköld Uglåd Kylflän Kllg Mool Solndnng Fläk Roo Soplåpk Fg 0.. Aynkonmkn Lnd nv / Lnd knk högkol / Indll Elkoknk / PK Allmän om ynkonmknn (II) A ynkonmoon
ICKE-HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM ( MED KONSTANTA KOEFFICIENTER I HOMOGENA DELEN)
Armi Hlilovi: ETRA ÖVNINGAR, S676 Ik-omog sysm Mrismod Sid v 0 ICKE-HOMOGENA DIERENTIALEKVATIONSSYSTEM MED KONSTANTA KOEICIENTER I HOMOGENA DELEN Vi brkr sysm v lijär ik-omog DE v örs ordig md kos koiir
Vill veta kvaliteten hos våra vattenföringsdata?
Vll vt kvlttn hos vår vttnförngsdt? Bnt Görnsson, G Bo Toms Lndlus, FoU //9 Bkgrund - gnomförd v n stud för tt tst någr xmpl på noggrnnhtskrv på Bo:s Q-dt En v Bo:s huvuduppgftr är tt t frm kvlttskontrollrd
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).
TENTAMEN 0 jan 0 HF00 och HF008 Momn: TEN Analys, hp, skrflg namn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF008, lärar: Frdrk Brgholm och Ing Jovk, Lnjär algbra och analys, HF00, lärar: Armn Hallovc Eamnaor: Armn
Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning. A=kB. A= k (för ett tal k)
Armn Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Tllämpnngar av dffrnalkvaonr TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följand uryck används ofa olka problm som ldr ll dffrnalkvaonr: Tx A är proporonll mo B A är omvän proporonll
Sångerna är lämpliga att framföra vid bröllop, speciella fester och romantiska tillfällen för Kärlekens skull... GE 11176
FÖROR So en sträng å gtrren och so tonern dn vs..., så börjr texten Ulrk Neuns underbr Kärleksvls. Vd kn vr ljuvlgre än gtrrens sröd och nnerlg ton so tllsns ed sången kn sk sådn stänng och rontsk tosfär.
Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2017, kl. 9:00-13:00
Tnamn i Mamaik, H9 sp 7, kl. 9:-: Eaminaor: rmin Halilovic Undrvisand lärar: Nils Dalarsson, Jonas Snholm, Elias Said ör godkän bg krävs av ma poäng. gsgränsr: ör bg,,, D, E krävs, 9, 6, rspkiv poäng.
vara en given funktion som är definierad i punkten a. i punkten a och betecknas f (a)
Drivaans iniion DERIVATANS DEFINITION Dfiniion Lå y f vara n givn funkion som är inirad i punkn a f a f Om gränsvärd israr som rll al sägr vi a funkionn är drivrbar i punkn a Gränsvärd kallas drivaan av
TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning.
TENTAMEN -Dc-9, HF och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra, hp, srftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td: -7, Plats: Campus Flmngsbrg Lärar:
Laboration 1a: En Trie-modul
Lbortion 1: En Tri-modul 1 Syft Progrmmring md rfrnsr, vlusning, tstning, kt m.m. Vi hr trolign int hunnit gå ignom llt, viss skr får ni br cctr så läng. S ävn kodxml å kurssidn. 2 Bkgrund Vi skll undr
går genom AX + B = C,
Tnmn i Mmik HF9 lödg fui kl Hjälpmdl: End fmlld miniäkn ä in illån Fö gdkän kä päng möjlig päng gkl ä ä D EFXF Dn m uppnå 9 päng få g FX ch h ä kmpl dnn nmn Fulländig löning kll pn ill ll uppgif Emin:
TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Föreläsning 11: Grafer, isomorfi, konnektivitet
Förläsning 11: Grfr, isomorfi, konnktivitt En orikt nkl grf (V, E) står v hörn, V, oh kntr, E, vilk förinr istinkt nor: ing pilr, ing öglor, int multipl kntr mlln hörn. Två hörn u,v V är grnnr om t finns
Linköpings Universitet IFM Kemi Formelsamling för Fysikalisk kemi Termodynamik, Spektroskopi & Kinetik. 2 van der Waals gasekvation
Lnköngs Unvrstt IFM Km 8-1-17 Formlsamlng ör Fyskalsk km rmodynamk, Sktrosko & Kntk Gasr. a n + ( nb) n R van dr Waals gaskvaton Z n R Komrssblttsaktor r nd r rducrad, c krtsk varabl Rducrad varablr c
Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, temperaturen i punkten x vid tiden t.
Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmldigsvaio VÄRMEEDNINGSEKVAIONEN Vi braar öljad PDE u u v där > är osa Evaio v a bl aa bsriva värmldig i u sav där u bar mpraur i pu vid id därör am värmldigsvaio Radvärdsproblm
F F idid - - LLöö 55 7 -- S mil: j: Söö nn0-0- Dgs fö ås s å Bc ch Cl Jun fäg Vi fi md å mängd v yl! g å vy fsdh c s s å fån ngöing l C s c B ch Jun å Gön-fi ch ic-fi Mögl-fi Kn j mbins md nd b. Dmid l
Skydda dricksvattnet. Att bo och verka i ett vattenskyddsområde
Skydd dcksv A bo och vk vyddsoåd R v ä vå vkgs ullgåg V äo k vså d s, v kl oss u v Vyddsoåd fs ydd vå dcksv D g oss llgåg ll dcksv v god kvl också fd E vyddsoåd bä oåd ä vspä ll bjud vss M ll vksh so ugö
Jag vill inte vara ensam
Jg ill ine r ensm Krl-Gunnr Sensson G =132 f l m n o u s s s z f l l u z mp n s s n s s n s s n s s s s n s s n s s mps s n s s n s s n s s n s s n s s n ff s s s s s s s s s s s s mp s s s s s s s s s
Steg och impuls. ρ(x) dx. m =
Seg och impuls Punkmssor, punklddningr och punkkrfer hr llid en viss ubredning även om den är lien. En mer verklighesrogen beskrivning v en punkmss m är en densie ρ(x) som är skild från noll på e mycke
Statistisk mekanik (forts) Kanonisk ensemble. E men. p 1. Inledande statistisk mekanik:
Förläsg 4 Förra gåg: Dt totala rörlsmägdsmomtt J = L+S är ocså vatsrat. J j( j där j s, s,..., s, s J z m j där m j j, j,..., j, j Foto som utsäds(absorbras vd övrgågar har sp= gör att j att ädras. Ildad
System med variabel massa
Sysm m varabl massa Rörlsmängn hos kropp m är: p m mv Anag nu a kroppns massa änras gnom a v llför massor m pr snh, som har hasghn v k. Rörlsmängsföränrngn pr snh hos kroppn blr: pm m( vk v är ( v k v
Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Trend Trendsetter. Mina mål. Vad är biker-jacka? Fergie. Mina mål just. Visste du det här?
Tnd Tnds Svs I vnlig fll bu buy-pyl b ligg ch sl lös i hndvsn. Mn nu h jg öp n supsö svs s jg n spp n hnd, sc ch håbs i! D så sön slipp un i hndvsn så f n s h någ. 2 Up d M ål Jg bu siv n i n l nc ni d
1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1
Uppgift Visa att srin (3k 2)(3k + ) konvrgrar och bstäm summan Lösning Vi har att a k = (3k 2)(3k+) Vi kan använda partialbråksuppdlning för att skriva om a k : a k = (3k 2)(3k + ) = A 3k 2 + B 3k(A +
SVÄNGNINGAR Odämpad svängning för ett diskret system med en frihetsgrad.
SVÄNGNINGA Odäpad svängnng för e dsre sse ed en frhesgrad. r svängnng jäder [N/] Sas jävsläge. [g ] [ ] & & : & & & So har lösnngen; Bsn C cos Lösnngen nnebär; Vnelhasgheen rad/s och svängnngsfrevensen
V Ä G E N T I L L V A T T E N w w w. a v a n t i s y s t e m. s e
VÄGEN TILL VATTEN v n i y m Vn vi in kn J ordn vnillgångr är norm, mn Grundvn är n dl v vn räknr mn bor nö, i och lvn blir vig krlopp d br 3% kvr för vår vnförörjning När yvn rängr nd i mrkn rn d och blir
1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et.
Styrels e möte 7mars 2010 Bila gor: 1. D ago r d ning 2. N är va r o lis t a 1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et. 2. F o rma
f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
SF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
3. Algoritmer för samplande reglering
3. Samplande reglerng 3. Samplande reglerng 3. Algortmer för samplande reglerng Prncpen för samplande reglerng Blocket Samplng tar emot konnerlga sgnaler y ( oc r ( samt dskreserar dem ll talföljder y
Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)
Förläsning 4: Hittills å kursn: Rlativittstori Ljusastigtn i vakuum dnsamma för alla obsrvatörr Lorntztransformationn x γx vt y y z z vx t γt där γ v 1 1 v 1 0 0 Alla systm i likformig rörls i förålland
som gör formeln (*) om vi flyttar första integralen till vänsterledet.
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNNGAR Prtill itgrtio PARTELL NTEGRATON uu(vv ( dddd uu(vv( uu (vv(dddd ( ), (pppppppppppppppp iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) KKKKKKKKKKKKKK: uuuu dddd uuuu uu vv dddd Förklrig: Eligt produktrgl
Mitt barn skulle aldrig klottra!...eller?
Mitt brn skull ldrig klottr!...llr? trtgi! ls n n tu n g n r h y Täb g och in sn ly b, g in n k c y m ts Gnom u i lyckts v r h l ri t m t g li å rt klott unn. m m o k i t r tt lo k sk in m Hjälp oss tt
1. lösa differentialekvationer (DE) och system av DE med konstanta koefficienter
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR plcrnormr APACETRANSFORMER plcrnormr nvän bl nn ör lö irnilkvionr DE och ym v DE m konn koicinr lö någr ypr v ingrlkvionr bämm bili ho linjär ym Diniion å vr inir ör plcrnormn
Formelsamling Ljud i byggnad och samhälle
ormlsamlg jud bggad oh samhäll Några räkrglr för logarmr: log log log log log log log log log log log log Några grudläggad akusska dfor oh räkrglr -dmsoll la ljudåg som ubrdr sg os -rkg: Aos Effkärd rms
Formelsamling Ljud i byggnad och samhälle
ormlsamlg jd bggad oh samhäll Några räkrglr för logarmr: log log log log log log log log log log log log Några grdläggad aksska dfor oh räkrglr -dmsoll la ljdfäl: Aos Effkärd rms för ljdrk k: ~ d jdrkså
SF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Hvor tilfreds er du med din togrejse?
Hvor tlrs r u m n tors? V r ov or n ælp tl t svr tt spørskm. Dn svr skl ælp os tl t skr n o kvltt totrkkn på Kystnn o ovr Ørsun. Spørskmrn nsmls mrr tot. På orån tk o ortst o rs! Inormtonsrkn k l m n o
Tillståndsmaskiner. Moore-automat. Mealy-automat. William Sandqvist
Tllstånsmsknr Moor-utomt Mly-utomt Wllm Snvst wllm@kth.s ÖH. Bstäm tllstånsrm oh tllstånstll ör skvnskrtsn. Vlkn v mollrn Mly llr Moor pssr n på krtsn? Wllm Snvst wllm@kth.s . Ur krtsshmt kn öljn smn ställs
Föreläsning 1. Metall: joner + gas av klassiska elektroner =1/ ! E = J U = RI = A L R E = J = I/A. 1 2 mv2 th = 3 2 kt. Likafördelningslagen:
Förläsning 1 Eftr lit information och n snabbgnomgång av hla kursn börjad vi md n väldigt kort rptition av några grundbgrpp inom llära. Vi pratad om Ohms lag, och samband mllan ström, spänning och rsistans
Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 16/8 2017
Tentmen ETE Ellär och elektronk, 6/8 07 Tllåtn hjälpmedel: Formelsmlng kretsteor. Observer tt uppgftern nte är sorterde svårghetsordnng. All lösnngr skll ges tydlg motverngr. Två metllobjekt bldr en kondenstor.
A LT B A R Y TO N. enkelt
A LT SOPRAN sahlt nklt B A R Y TO N Innhåll: Amn - låt rns lja råda 2 Du ljuvast n Gud har männs kär Gud ll oss väl 6 Halluja 7 Hlg 8 följr dg Gud 9 Julat Do 10 Kom, öppna dn dörr 11 r 12 Må dn väg gå
Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
På en landsväg. % Œ. œ œ. j œ # # œ œ j œ. œ J. œ œ œ œ œ. œ œ œ. œ œ# œ œ # œ œ œ œ. œ œ œ œ. œ œ j. œ œ œ j œ Œ ? # # œ œ. œ J. œ œ. œ œ. œ œ.
Sälvklrt g sunger från herlgt köpt noter S ul På lndsväg % 1 På lnds väg n mot kväl l n ly ser ö ver Hpply sngng 1 På lnds väg n mot st n 2 St kväl l 3 Stnn ly ser n kommer ö ver stl t Trd: Puerto Rco
19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Om i en differentialekvation saknas y, dvs om DE har formen F ( x, . Ekvationen z ) 0. Med andra ord får vi en ekvation av ordning (n 1).
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Rduktion av ordning REDUKTION AV ORDNING I) Diffrntialkvationr där saknas ( n) Om i n diffrntialkvation saknas, dvs om DE har formn F (,,,, ) 0, då kan vi sänka kvationns
Sammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Blåsen nu alla (epistel nr 25)
lås al (epstel nr 25) ext musk: Carl Mchael ellman oprano 4 3 rr: Eva oller 2004 lto or 4 3 4 3 lå - s Fåg - r - al - tt - ta, hör öl - jor - fs - kar - sval - ås - kan sprt - ta ur stt går rum; e - gas
Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för
Tryckkärl (ej eldberörda) Unfired pressure vessels
SVENSK STANAR SS-EN 3445/C:004 Fastställd 004-07-30 Utgåva Trykkärl ( ldbrörda) Unfird prssur vssls ICS 3.00.30 Språk: svnska ublirad: oktobr 004 Copyright SIS. Rprodution in any form without prmission
Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Opp, Amaryllis (Fredmans sång nr 31)
Opp, marylls (Fredmans sång nr 1) Text musk: Carl Mchael Bellman rr: Eva Toller 05 Tenor 1 1Opp, Tag - ma - ryl - ls, vak - na mn ll -! äd - ret stl -, d re - var dra-gen; bör - jar -gen, Tenor 2 Basso
13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
4 Signaler och system i frekvensplanet Övningar
Signler och system i frevensplnet Övningr. Bestäm fourierserieoefficientern för de periodis signlern ) 7 δ [ n ] N = b) { δ [ n ] δ [ n 6] } N = c) { δ [ n + ] δ [ n ] } N =. T frm fourierserieoefficientern
En handbok om biodieselanvändning på sjön Sanna-Sofia Skog
PROJEKTET BIOBRÄNLE FÖR FIKERINÄRINGEN Engffv f En hndbo om bodlnvändnng på jön nn-of og P oj B ob ä n l f öfi nä ng n/ E n g ff v fi F o / d ö nn ofi og U g v Y hög ol nnov, F b g n1, V, F nl nd nn ofi og&y
ξ = reaktionsomsättning eller reaktionsmängd, enhet mol.
Kemisk jämvikt. Kp. 6.1 4. Spontn kemisk retion: r G < 0, p konst, T konst. Jämvikt där G hr minimum i syst. Kinetiken (hög ktiveringsenergi) kn hindr. 6.1 Minimet i Gibbs fri energi. (p konst, T konst.)
Mat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Sånghäfte. Hotellet vid havet. Texter av Britt G.Hallqvist med musik av Lasse Dahlberg
Sånghäfte Hotellet vd hvet Texter v Brtt Hllqvst med musk v Lsse hlerg Hotellet vd hvet Innehåll Hotellet vd hvet Spöker Trät I Rövrekuln KurMurörn Lll råerg Bndhunn Skogen full v träd Jg Näcken Musslns
Generaliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Kan det vara möjligt att med endast
ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp
Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) b) Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna
TENTAMEN 5-Okt-6, HF6 och HF8 Momnt: TEN (Lnjär algbra), hp, skrftlg tntamn Kursr: Analys och lnjär algbra, HF8, Lnjär algbra och analys HF6 Klassr: TIELA, TIMEL, TIDAA Td:.5-7.5, Plats: Campus Hanng Lärar:
Materiens Struktur. Lösningar
Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste
SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
Sparabla diffrntialkvationr SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En diffrntialkvation DE av första ordningn sägs vara sparabl om dn kan skrivas på d formn P Q llr kvivalnt d P d Q d Dn allmänna lösningn till
löser differentialekvationen och 3 som är ett förstagradspolynom som inte är identiskt lika med differentialekvationens högerled.
Lösninr nmn mm7 juni un d d S dluppi. D är smm dirnilkvion. c Svr: lösr dirnilkvionn och d ] [ som är örsrdspolnom som in är idnisk lik md dirnilkvionns hörld. Lå i säll rinln md hörn i och - ror krin
Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.
LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2
Lösningr och kommentrer till uppgifter i.2 202 d) t t 2 25 t (t 5)(t + 5) Med hjälp v konjugtregeln kn vi fktoriser nämnren. Eftersom nämnren inte får bli noll är ej t 5 eller t 5 tillåtn. 206 Först presenterr
Arvika 2019_243 Stömne Bertil Persson Betongteknik AB DECIBEL - Huvudresultat Beräkning: VKV SWE99TM VKV typ Ljuddata
SVENSKA BESTÄMMELSER FÖR EXTERNT BULLER FRÅN LANDBASERADE VINDKRAFTVERK 2019-03-02 07:25 / 1 Beräkningen är baserad på den av Statens Naturvårdsverk rekommenderad metod "Ljud från landbaserade vindkraftverk",
Lokala föreskrifter för att skydda människors hälsa och miljön
STYRDOKUMENT Dum Beecnin Sid 1(4) Godänd/nvri Kommunfumäie Verion 2013-12-09 Lo förerifer för ydd männior hä och mi Lo förerifer för ydd männior hä och mi för Krmfor ommun meddede v ommunfumäie den 9 december
============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
![============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.](/thumbs/102/154432831.jpg "============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.")
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Anmärkning1. L Hospitals regel gäller även för ensidiga gränsvärden och dessutom om
L HOSPITALS REGEL L Hospitals rgl (llr L Hopitals rgl ff( aa gg( ff ( aa gg ( används vid bräkning av obstämda uttryck av typ llr Sats (L Hospitals rgl Låt f och g vara två funktionr md följand gnskapr
Tentamenn. som har. del II. Handbook av Råde. Del I. Modul 1. fasporträttt. x 2 är en 0, x. Sida 1 av 25
SF676, am 5 aug 7 Isiuio för mamaik, KH SF676, Diffrialkvaior md illämpigar am isdag 5 aug 7 Skrivid: 8:-: Eamiaor: Krisia Bjrklöv För godkä (bg E krävs r godkäda modulrr frå dl I Varj moduluppgif bsår
Med funktioner som en lcd display med 10 olika träningsprogram, erbjuder denna cykel en variationsrik träning.
Motorstyrd mgnetbroms 6 kg Tränngsdtor Belyst LCD Mster B-4135 Mgnetc Med funktoner som en lcd dsply med 10 olk tränngsprogrm, erbjuder denn cykel en vrtonsrk tränng. Funktoner Td, Dstns, Hstghet, Energförbruknng,
F9: Elementär motorreglering (EMS-Kap 11) och Varvtalsreglering (PE-Kap 9)
F9: Elementär motorreglerng EMS-Kp och Vrvtlreglerng PE-Kp 9 Allmänt om motorreglerng I de flet ppltoner med roternde elmner efterträvr nvändren: En önd poton potonreglerng Ett önt vrvtl vrvtlreglerng
ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll
ÖVN 3 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nycklord och innhåll x f, x sysm av diffrnialkvaionr Linjära sysm av diffrnialkvaionr x P x
13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser
FÖRESRIFT 13.9.2006 Dnr 6/002/2006 Till pensionsstiftelser som edriver tilläggspensionsskydd och är underställd lgen om pensionsstiftelser FÖRSÄRINGSTENIS BERÄNINGR OCH DERS BERÄNINGSGRUNDER FÖR PENSIONSSTIFTELSER
Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt
Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer
14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
p Följ Kraft Där, Strå
Sånger söndg e domsöndg 0 Söndgsmorgon J.Hydn/J.O.Wlln Söndgsmorgon Musk v J.Hy. Svsk text v J.O.Wlln. Öpp r! Hel An skl bn skl nä kors ms d r m, ljud! bön, ljud? känn m vs, n rym m Se L Hur An m tds t
Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson
Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när
Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2016, kl. 8:15-12:15
Tenmen i Memik, HF9 sep 6, kl. 8:-: Eminor: rmin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Senholm, Elis Sid För godkän beg krävs v m poäng. egsgränser: För beg,,, D, E krävs, 9, 6, respekive poäng.
Transformkodning. Transformkodning. Transformkodning. Transformkodning Grundläggande idé. Linjära transformer. Linjära transformer ( ) ( ) ( )
6 8 6 Grudläggad idé Atag att vi parar ihop lmt i bild i bloc om två Om vi väljr att aat oordiatsystm, t.x rotrar gradr 8 6 6 och plottar dssa par som xy oordiatr i graf 6 ( rad frå Labild) 8 6 8 6 8 så
Tentamen i EITF90 Ellära och elektronik, 28/8 2018
Tentmen i EITF9 Ellär och elektronik, 8/8 8 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten
Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 4/1 2017
Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 4/ 07 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. v 0 i 0 Beräkn
Mat Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III G. Gripenberg TKK 2 december 2010 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III 2 december 2010 1 / 59 Vribelbyte b F (g(x))g (x) dx = b d F (g(x))
Föreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Algoritmer och datastrukturer, föreläsning 11
Aloritmr oh tstrukturr, förläsnin Dnn förläsnin hnlr rfr. En rf hr n män nor (vrtx) oh n män år (). Ett xmpl är: A E F B D G H C Z Dnn rf hr följn män v nor: {A, B, C, D, E, F, G, H, Z Dn hr följn män