Lösta xmpl oc gamla tntor i Matrialfysik för E, IF6 M. Götlid Matrialfysik, KTH-Elctrum, Kista (/8
Lösa xmpl oc gamla tantr i Matrialfysik för E, IF6 M. Götlid Matrialfysik, KTH-Elctrum, Kista (/8 Innållsförtckning (problmnummr inom parnts Fotolktriska ffktn (- Comptonspridning (-5 dbrogli oc lktrondiffraktion (6 Kvantmkanik (7-4 Atomfysik md Bors modll, vätatomn, kvanttal, atomspktra (5-7 Molkylr md kmisk bindning, vibrationr oc rotationr (8-5 Kärnfysik (6-46 Kristallstruktur, rciproka gittrt oc röntgndiffraktion (47-59 Frilktronmodlln (6-7 Gittrvibrationr, fononr oc trmiska gnskapr (7-76 Elktronr i priodisk potntial, nästan fria lktronmodlln (77-8 Halvldar (8-9
Exmpln i dnna samling är till viss dl gnkomponrad mn till största dln ämtad från kursböckrna Pysics for Scintists and Enginrs av Srway & Bicnr, Solid Stat Pysics av J.R. Hook & H.E. Hall, Introductory Solid Stat Pysics av H.P. Myrs, T Solid Stat av H.M. Rosnbrg, lösta problm i Fasta Tillståndts Fysik av Östn Rapp, samt tntatal funna på wbbn från olika kursr runt vårt land. Tal märkta md (T är tal från tntor givna i dn är kursn. Som avslutning ar jag bifogat 8 gamla tntor. Värdfulla insiktr om min gn bgränsad förmåga att prsntra korrkta lösningar ar undr årn framförts av kursns övningsassistntr: Mats Blomqvist, Sörn Kal, Ptrus Sundgrn, Annli Önstn, Birgr Emmot, Pål Palmgrn. Tack för dt. Mats Götlid, -8-
Fotolktriska ffktn (- Figurn till ögr visar uppställningn för tt fotolktriskt xprimnt.. 445 nm ljus fallr mot n yta, stopp-potntialn är då 7 % av vad dn är då ljust ar våglängdn 4 nm. Bstäm md jälp av tablln vilkt matrial ytan är gjord av. Mtall Utträdsarbt (φ, V Cs.9 K. Ag 4.7 W 4.58. Tablln visar data från tt fotolktriskt xprimnt. Bstäm Plancks konstant oc ytans utträdsarbt. λ(nm f ( 4 Hz K max (V 588 5..67 55 5.94.98 445 6.74.5 99 7.5.6 Comptonspridning (-5. Röntgnstrålar md nrgin kv Comptonsprids mot n lktron i vila, oc ändrar riktning md θ 7. a bstäm Comptonskiftt b bräkna fotonns nrgi ftr kollisionn (f c bräkna lktronns kintiska nrgi ftr kollisionn (K 4. (T En foton Comptonsprids nligt figurn mot n fri partikl md massan m som för kollisionn bfinnr sj i vila. Dt kan inträffa att vinklarna φ oc θ får samma värd. Visa utgånd från konsrvringslagar för nrgi oc rörlsmängd att dtta värd måst vara mindr än 6. 5. (T En kv gammastrål Comptonsprids mot n fri lktron, i vila. Bräkna lktronns maximala kintiska nrgi ftr kollisionn 4
Elktrondiffraktion (6 6. 54 V lktronr infallr vinklrätt mot n yta oc sprids från n nickl-kristall nligt figur. Vid vinkln θ 5 obsrvras dt första intnsitts-maximat. Bstäm atomavståndt L. - θ L Kvantmkanik (7-4 7. Man bstämmr n lktrons position i n atom md.5 nm prcision. Vad är dn minsta osäkrtn i lktronns fart? 8. En rubinlasr sändr ut ljus md våglängdn 694. nm. Antag att man vill skapa ljus md samma våglängd gnom n övrgång mllan två nivår, n oc n, i n ndimnsionll potntialgrop. Bstäm gropns brdd. 9. En partikl i n oändligt djup potntialgrop bskrivs av vågfunktionn: πx ψ ( x sin( < x < L L L ψ ( x för övrigt a Bstäm väntvärdt av x. b Bstäm sannoliktn att partikln är mllan x.49 L oc x.5 L. c Bstäm sannoliktn att partikln är mllan x.4 L oc x.6 L. d G argumnt för att rsultatn från a c int är motstridiga.. (T Dfktr i matrial kan fungra som absorptionscntra för ljus. En lktron är instängd i n dfkt, är modllrad av n.9 V djup ndimnsionll kvantgrop, md brddn nm. Elktronn bfinnr sj i grundtillståndt (nrgin bstämmr ni från dn oändligt djupa gropn a Vilkn är dn minsta nrgi som krävs för att fotoxcitra lktronn ur gropn? b Liggr dtta ljus i dt synliga områdt? c Vad får dt för invrkan på matrialts optiska gnskapr?. En lktron md nrgin K 5 V rör sig i positiv x-ld mot n potntialbarriär (U V som är. nm brd. a Vad är sannoliktn att lktronn tunnlar ignom? b Vad är sannoliktn att lktronn rflktras? 5
. I tt tunnlmikroskop ålls n skarp mtallspts myckt nära n yta, på avståndt L. Då n spänning, V T, läggs på uppstår n tunnlström mllan prov oc spts. Bräkna kvotn mllan tunnlströmmarna då L.5 nm oc L.55 nm. Låt C. nm -.. En lktron md nrgin E U träffar n potntialbarriär U. Bräkna andln lktronr som rflktras vid gränsskiktt. 4. (T En lktron är fångad i n kristalldfkt som kan bskrivas av n n-dimnsionll potntialgrop. Gropns brdd är. nm oc dss djup är 4 V. Elktronn kan i sitt grundtillstånd int tunnla ut ur dfktn, mn om dn xcitras till tt ögr tillstånd är tunnlingssannoliktn int längr noll. a Hur många bundna tillstånd finns i brunnn? Bräkna lktronns nrginivår E n utifrån antagandt att potntialgropn är oändligt djup. b Vad är tunnlingssannoliktn för dt övrsta bundna tillståndt om barriärn är. nm brd? Atomfysik: kvanttal, atomspktra, Bors atommodll (5-7 5. En vätatom är i sitt första xcitrad tillstånd, n. Bräkna md jälp av Bors atommodll: a orbitalns radi r n b lktronns rörlsmängd c lktronns rörlsmängdsmomnt d lktronns kintiska nrgi dn totala nrgin f dn potntilla nrgin 6. Vilkt n är associrat md 94.96 nm spktrallinjn i Lymans vätsri? Kan dnna våglängd associras md Pascn llr Bracktt srirna? 7. En liumatom jonisras till n liumjon (H +. Bräkna dn längsta våglängdn i jonns Lymansri, Balmrsri oc Pascnsri. 8. En litiumatom dubbljonisras till n Li-jon (Li +. Bräkna dn längsta våglängdn i jonns Lyman, Balmr oc Pascnsrir. 9. Två vätatomr kollidrar oc ar ftr kollisionn K. Strax ftr kollisionn mittrar d varsin foton md våglängd.6 nm. Vilkn astigt ad lktronrna för kollisionn?. En foton, md f.8 V, absorbras av n vätatom. a Vilkt är dt minsta n för vilkt atomn jonisras? b Vad är dn fotomittrad lktronns fart? 6
r a. Grundtillståndt för n lktron i vät gs av ψ s ( r π a a Visa att ψ är normrad. b Vad är sannoliktn att itta lktronn mllan r a / oc r a /?. En vätatom är i sitt fmt xcitrad tillstånd. Bräkna dt maximala rörlsmängdsmomntt för lktronn ftr mission av n 9 nm foton.. I tt lktronspinnrsonansxprimnt (ESR placras tt prov md oparad lktronr i tt magntfält B. Antag att dt ndast finns n lktron oc två nrgitillstånd, för m s +/. I ESR absorbras n foton om lktronn bytr spinnriktning från upp till nd. Vilkn fotonnrgi krävs för att spinnflippa n lktron i B.5 T? 4. (T En järnyta blyss md Al K α röntgnstrålning oc fotolktronr mittras från järnt. (a Bräkna Al K α röntgnfotonrnas nrgi oc våglängd.. (b Bräkna dn maximala kintiska nrgin os fotolktronrna från järnprovt. (c Bräkna dn kintiska nrgin för fotomittrad F p lktronr vars bindningsnrgi är 77 V. 5. (T Uppskatta nrgirna för Ni K α oc Ni L α röntgnmissionslinjrna. 6. (T Ett kopparprov bstrålas md fotonr md nrgin 56. V oc lktronr fotomittras. Koppars innrskalsnivår ar bindningsnrgir nligt diagram. a Bräkna dn kintiska nrgin för Cu p lktronr. b Dn fotomittrad p-lktronn lämnar n vakans som fylls av n M-lktron (n oc röntgnfotonr mittras. Vilka röntgnnrgir obsrvras? (p Elktronskal bindnings nrgi (V d 5. p 76. s. p 94. s 97. 7. (T Om lktronn i n vätatom rsätts av n taon, som ar samma laddning som lktronn mn är 49 gångr tyngr, minskar atomns dimnsionr så att taonn tillbringar n dl av sin tid inn i kärnan (protonn. Bräkna sannoliktn att taonn i sitt grundtillstånd bfinnr sig inn i kärnan givt att protonns radi är -6 nm. Vågfunktionn r a för vätatomn i grundtillståndt är ψ ( r s π a 7
Molkylr: kmisk bindning, rotationr oc vibrationr (8-5 8. KCl är n joniskt bundn molkyl. Elktronaffinittn för Cl är.6 V, dvs. man tjänar.6 V på att jonisra Cl till Cl -. För att raktionn K + Cl > K + + Cl - skall sk måst.7 V tillföras. Vad är kaliums jonisationsnrgi? 9. Räkna ut dn potntilla nrgin för n jon i n NaCl-kristall. Borts från dt rpulsiva bidragt.. (T Växlvrkansnrgin mllan två atomr i n molkyl gs av uttryckt U ( r Jämviktsavståndt är Å oc sparationsnrgin är 4 V r B C r (a Räkna ut konstantrna B oc C. (b För att sparra atomrna fordras n kraft, F(r. Vid vilkt avstånd, r, är dnna kraft maximal?. a Bräkna trögtsmomntt I för n NaCl-molkyl runt dss masscntrum. Atomrna liggr.8 nm från varandra. b Bräkna dn mittrad våglängdn då molkyln går från tt tillstånd J till J.. Kraftkonstantn för n vibrrand HCl-molkyl är k 48 N/m. Vad är nrgiskillnadn mllan grundtillståndt oc dt första xcitrad vibrationstillståndt?. (T En syrmolkyl bindr svagt till n Pt-yta vid låg tmpratur. När ytan värms dissocirar molkyln (dvs. bindningn mllan syratomrna bryts oc d två syratomrna bindr iställt starkt till platinaytans atomr. För att bstämma vid vilkn tmpratur dtta skr studras ytan md vibrationsspktroskopi, där man bstrålar ytan md lågnrgtiska lktronr oc studrar dssas nrgiförlustr. Bräkna nrgiförlustrna när n O-O vibration (k 77 N/m rspktiv n Pt - O vibration (k 5 N/m xcitras. 4. (T En syratom bindr till n PtSn-lgring, där båd Sn oc Pt atomr finns på ytan. Man kan md vibrationsspktroskopi bstämma om syrt bindr till Pt llr Sn. Man bstrålar ytan md lågnrgtiska lktronr oc studrar dssas nrgiförlustr. Bräkna nrgiförlustrna då n Sn-O vibration (k 45 N/m rspktiv n Pt - O vibration (k 5 N/m xcitras. 5. (T En diatomär molkyl (X md bindningsavståndt r. Å vibrrar (ν oc rotrar (J. Dn xcitras till n ögr vibrationsnivå oc ändrar samtidigt sitt rotationstillstånd gnom att absorbra ljus av våglängdrna λ 4.5 µm oc λ 4.69 µm. Vilkn är molkyln? 8
Kärnfysik (6-46 56 6. Använd kvation 44. för att bräkna bindningsnrgin för 6 F. 7. Ett radioaktivt prov ar n aktivitt på. mci. Eftr 4 timmar är aktivittn 8 mci. a Vad är söndrfallskonstantn oc alvringstidn? b Hur många atomr fanns från början? c Vad är aktivittn ftr timmar? 8. (T Ett 5 Curi starkt 6 Co prparat för mdicinskt bruk är innslutt i n blybållar. 6 Co β - -söndrfallr till n xcitrad nivå i 6 Ni, ndan btcknad 6 Ni*. 6 Ni* dxcitrar gnom att sända ut två fotonr (γ md nrgirna γ.7 MV oc γ.5 MV. Dn totala söndrfallsraktionn kan då skrivas: 6 6 Co Ni + γ + γ + + ν a Bräkna Q-värdt för söndrfallsprocssn. b Bräkna dn största kintiska nrgin, K max, os - partikln. c Hur stor ffkt upptas av blybållarn om alla γ oc - absorbras? Antag att mdlnrgin för - -partikln är alva K max. 9. (T Dn radioaktiva isotopn B kan skapas gnom raktionn C(n,p B. Q-värdt för raktionn är -.65 MV. D skapad B kärnorna söndrfallr gnom btasöndrfall tillbaka till C md n alvringstid på 7 ms. (a Ang söndrfallsraktionn. (b Vilkn är dn maximala nrgi som d mittrad btapartiklarna kan rålla? 4. (T För att åstadkomma fission i våra lättvattnraktorr användr man infångning av trmiska nutronr på 5 U. Därvid tillförs dn bildad kärnan n nrgi som är störr än dn aktivringsnrgi som bövs för att åstadkomma prompt inducrad fission. I naturn finns också dn tunga isotopn T som dock j kan fungra som bränsl i våra lättvattnraktorr. a Bräkna n undr gräns på aktivringsnrgin för T. M ( T.4577 u b Gnom nutroninfångning på T kan isotopn U skapas. Hur? c Bräkna om U kan vara tt lämpligt kärnbränsl då du bl.a. vt att aktivringsnrgin för 4 U är 6.5 MV? 4. (T Nuklidn 5 V finns i naturn (.5% av V-förkomstn mn är radioaktiv md n alvringstid på ca.5 x 7 år. Undrsök tänkbar(a söndrfallsväg(ar för 5 V samt ang motsvarand Q-värd(n. Motivra! [M( 46 Sc 45.95574 u] 5 4 9 4. a Hur myckt nrgi frigörs i raktionn n + U Ba+ Kr + (? b Hur stor dl av systmts initialmassa ar avgivits? 9 56 6 n 9
4. Gammastrålning absorbras av fast matria oc strålningsintnsittn avtar md dn tillryggalagda sträckan x i tt matrial nligt: I I -µx. µ är matrialts absorptionskofficint, som bror på gammastrålarnas nrgi. För bly (Pb oc.4 MV γ är µ.59 cm -. a Bstäm alvtjocklkn. b Vilkn tjocklk krävs för att strålintnsittn rducras till n tiotusnddl? 44. (T Kärnan 76 S kan skapas gnom btasöndrfall båd från 76 As oc 76 Br. I vilkt av dssa söndrfall fås dn ögsta nrgin os btapartikln? m( 76 S75.997 u m( 76 As75.99 u m( 76 Br75.948 u 45. (T Vårn 989 orsakad två amrikanska vtnskapsmän stor uppståndls då d rapportrad att d åstadkommit kall fusion vid tt lktrolysxprimnt. Man slår samman två dutriumkärnor H till antingn vät + tritium llr n nutron + H nligt: H + H H + H oc H + H n+ H. Antag att båda dssa vägar är lika sannolika. Hur många kärnraktionr pr skund krävs för att utvckla W? 46. (T I n bållar innsluts n viss mängd av tt radioaktivt prparat. Prparatt α- söndrfallr till n stabil isotop. Man mätr ffktutvcklingn som ftr 8 dygn sjunkit till 4 W. Undr d 8 dygnn ar. mg lium bildats, när man mätr ftr myckt lång tid ar dt bildats. mg lium oc ffktn ar sjunkit till nästan noll. a Hur myckt nrgi avgs vid varj söndrfall? b Hur stor ffkt utvcklads vid försökts början?
Kristallstruktur, rciproka gittrt oc röntgndiffraktion (47-59 47. Antag att atomrna i tt gittr är årda sfärr. Bräkna packningstättn i sc, bcc, fcc. Vad är atomradirna i d olika strukturrna, givt att kubns sida är a? 48. Bstäm gittr oc bas för strukturrna a, b oc d i figurn. a NaCl, b CsCl, oc d BaTiO. 49. En gittrstruktur bskrivs av basvktorrna a, b, oc c. Ett plan i strukturn skär axlarna vid a, -b oc c. Bstäm plants Millrindx. 5. Visa att dt dirkta bcc gittrts rciproka gittr ar fcc-form. 5. (T Vid tt Dby-Scrrr xprimnt (våglängd.54 Å obsrvrads rflxr i följand vinklar; 8.78º,.77º, 5.8º, 67.º oc 74.5º. a Bstäm kristallstruktur oc gittrparamtr. b Bräkna dn atomära packningstättn för d plan som gr uppov till dn första av d ovan angivna vinklarna. 5. (T Vid tt Dby-Scrrr xprimnt (våglängd.5 Å obsrvrads rflxr i följand vinklar;.68º,.5º, 9.8º, 47.66º, 55.7º, 64.86º, 77.9º. (a Bstäm kristallstruktur oc gittrparamtr. (b Bräkna dn atomära packningstättn för d plan som gr uppov till dn första av d ovan angivna vinklarna. 5. En alkalialid studras i tt Dby-Scrrr xprimnt (Cu Kα, oc följand Braggvinklar uppmäts:.8, 5.9, 8.99,.7 oc 4.84. Bräkna: a gittrparamtrn. b Millrindx för d plan som gr uppov till d obsrvrad diffraktionsvinklarna. c Millrindx för d plan som gr uppov till dn största tillåtna Braggvinkln. d Idntifira alkalialidn.
54. Vid K ar Al fcc struktur md a.9 Å. Dss linjära trmiska xpansionskofficint är.5 K -. Md ur stor vinkl ändras ( rflxn i tt Dby-Scrrr xprimnt om kristalln värms från K till 6 K? λ.54 Å. 55. (T Bräkna d två minsta spridningsvinklarna för CsCl oc CsI i tt röntgndiffraktionsxprimnt md Cu K α strålning (λ.54 Å. CsCl oc CsI är jonkristallr md nkl kubiskt gittr md basn Cl - jon (llr I - jon i (,, oc Cs + jon i (/, /, /. För CsCl är gittrkonstantn 4. Å oc för CsI 4.57 Å. Md spridningsvinkln mnas vinkln mllan dn inkommand oc dn utgånd röntgnstråln (dvs. dubbla Braggvinkln. 56. Figurn visar intnsittn som funktion av spridningsvinkln (dubbla Braggvinkln för nutronr diffraktrad från tt diamantprov i pulvrform (gittrkonstant.57 Å. D minsta spridningsvinklarna är, 49, 58 oc 7. a Vid vilkn spridningsvinkl kan nästa rflx förväntas komma? b Md ur myckt (i procnt kan man minska nutronrnas astigt om dt fortfarand skall vara möjligt att obsrvra 4 Braggrflxr? Antag att man kan mäta spridningsvinklar upp till 8. c Om man skull göra samma xprimnt md fotonr, vilkn nrgi skull dssa a för att g samma spridningsvinklar som i figurn ovan? 57. Räkna ut strukturfaktorn för fcc. 58. Man vill bstämma andln G i n Si -x G x -lgring md röntgndiffraktion md Cu Kα strålning (λ.54 Å. Antag att gittrparamtrn varirar linjärt md koncntrationn, oc att kristallstrukturn är dnsamma för lgringn som för d rna lmntn. Följand Braggvinklar (i gradr uppmätts: 4.5,.485, 7.859 oc 4.4.. Hur stor andl G finns i lgringn? Gittrparamtrarna är 5.4 Å fär Si oc 5.66 Å för G.
Tillåtna rflxr för kubiska strukturr gs i figurn ndan. 59. (T Platina är n myckt viktig mtall inom katalys. Man kan modifira katalysatorns gnskapr gnom att tillsätta små mängdr av andra mtallr. På så vis kan man v. styra n raktion mot önskad produkt. Utgånd från n Pt( yta kan man skapa så kallad ytlgringar där man bytr ut t.x. n trdjdl av ytans platinaatomr mot tnn, s figur. Ytans priodicitt ändras då oc d basvktorr som bskrivr ytan ändras också. För att kontrollra ytans priodicitt oc symmtri användr man ofta lågnrgilktrondiffraktion (LEED. Här skall ni bräkna LEED-mönstrt från d två ytorna md givna basvktorr nligt figur. Vktorrnas längd är.77 Å i a. Ldtråd: LEED-mönstrt är dt samma som dt tvådimnsionlla rciproka mönstrt för ytan. a b Frilktronmodlln (6-7 6. Bräkna Frminrgi oc Frmiastigt för Cu. Utgå från g(ε för att bräkna dt gnomsnittliga nrgiavståndt mllan tillstånd nära Frminivån i cm Cu. 6. Uppskatta andln lktronr som dltar i lktrisk ldning i n mtall. 6. Hallkofficintn för flytand Al är.9. - m /C. Vid 77 K är rlaxationstidn 6.5. -4 s. Uppskatta lktrisk oc trmisk ldningsförmåga för Al vid 77K. 6. (T Bräkna tillståndstättn för n ndimnsionll frilktronmtall.
64. (T En tvåvärd frilktronliknand mtall md Dbytmpraturn 5 K ar bcc-struktur md gittrparamtr 4. Å. (a Bräkna Frminivån i matrialt. (b Bräkna lktronrnas bidrag till värmkapacittn vid K för n mol av matrialt. 65. (T För aluminium som är n frilktronliknand mtall md kristallstrukturn fcc oc gittrkonstant 4.4 Å, gällr att utträdsarbtt är 4. V. a Bräkna avståndt mllan cntrum på två närmsta grannatomr. b Bräkna tt numriskt värd på Frminrgin, utgånd från frilktronmodlln, där varj atom bidrar md lktronr till lktrongasn. c Vilkn är dn maximala våglängd lktromagntisk strålning kan a för att fotomittra lktronr från Al? 66. (T Litium kristallisrar i bcc-struktur md närmsta grannavståndt. Å. (a Bräkna Frminrgin oc Frmivågvktorn. (b Bräkna, utgånd från frilktronmodlln, valnslktronrnas mdlnrgi. 67. (T En koppartråd är 4 cm lång oc ar n tvärsnittsyta som är mm. Vid.5 A ström gnom trådn uppmätts n. mv spänning mllan ändarna. a Bräkna rlaxationstidn τ. b Bräkna driftastigtn v. c Bräkna dn mdlfria väglängdn λ. 68. a Bräkna lktronrnas fria mdlväglängd i koppar vid rumstmpratur i frilktronmodlln. Antag att varj Cu-atom gr n lktron till ldningsbandt. Cu kristallisrar i fcc md gittrparamtrns.6 Å. Givt ρ.7. -8 Ωm, ε F 7.4 V. b Vid tillsatts av % As ökar rsistivittn till 7. -8 Ωm. Vad är dn gnomsnittligt tillryggalagda sträckan mllan kollisionr mot förorningsatomr? 69. Bräkna lktronrnas fria mdlväglängd i bryllium (B om rsistivittn vid rumstmpratur är 4.. -8 Ωm, atomtättn är.. 9 m - oc valnstalt (fria lktronr pr atom är. 7. a Hur stort lktriskt fält bövs för att förskjuta Frmiytan δk i koppar, som motsvarar % av Frmivågvktorn. Använd rlaxationstidn τ. -4 s, E F 7.4 V, σ5.9. 7 (Ωm -. b Hur stor är strömtättn vid dtta fält? 4
Gittrvibrationr, fononr oc trmiska gnskapr (7-76 7. Bräkna n longitudinll fonons gruppastigt i [] riktningn i n nklt kubisk kristall md gittrparamtrn 5. Å md jälp av disprsionskurvan ndan. a i n punkt ungfär mitt på dn linjära dln b vid dn ögsta punktn på kurvan Disprsionsrlationr ω(k för akustiska fononr, uppmätta längs [ riktningn i n kristall. Högra ändan av k-axln angr Brillouinzongränsn. 7. a Bräkna maximala nrgin för n fonon i natrium, bräkna ävn dss vågvktor. b Bräkna vågvktor oc nrgi för n lktron vid Frmiytan i natrium. c Antag att lktronn oc fononn ovan kollidrar. Kan lktronns nrgi ändras kraftigt? Kan lktronns vågvktor ändras väsntligt? Antag att ljudastigtn är m/s, gittrparamtrn är 4. Å oc strukturn är bcc. 7. (T I tt xprimnt rölls följand värdn på dn spcifika värmkapacittn C. T (K C (J /kmol K.5.8. 5..5.. 8.5 5. 87.5 6 a Bräkna Dbytmpraturn (θ D. b Bräkna spcifika värmkapacittn vid K. 5
74. (T Vid vilkn tmpratur ar n mol monovalnt koppar oc n mol trivalnt aluminium samma värmkapacitt? D tabllrad siffrvärdn kan möjlign vara till jälp. Al E F.58 V N N A θ D 48 K Cu E F 7. V N N A θ D 45 K 75. Vid tt xprimnt uppmätts värdn på värmkapacittn nligt lilla tablln. Idntifira matrialt oc bstäm dss Dbytmpratur. T(K C (mj/mol K.5.775. 5...6.5 4.875. 68.4 4. 5.8 5. 9. γ(mj/mol K för några olika mtallr Na.8 Ti.5 K.8 V 9.6 Mg. Cr.4 Al.5 Mn 9. Pb.98 F 4.98 Cu.7 Co 4.7 Ag.65 Ni 7. Au.7 Pt 7. 76. (T Vilkn värmkapacitt (i J/mol. K ar diamant oc Cu vid T 4 K, T K oc T 4 K? Dbytmpraturn för Cu är 4 K oc för diamant är dn K. Elktronr i priodisk potntial, nästan fria lktronmodlln (77-8 77. En ndimnsionll kristall ar gittrparamtrn a. Elktronnrgin ε(k gs av uttryckt: k 7 ε ( cos ka + cos ka ma 8 8 a Skissa bandt i första Brillouinzonn. Vrifira att lktronastigtn vid bandts bottn oc vid zongränsn. b Bstäm ffktiva massan, m* vid bottn oc toppn av bandt. 78. Bräkna tillståndstättn g(ε för n linjär atomkdja md disprsionsrlationn ε ( k A B cos ka. 6
79. Vilkt är dt minsta nrgigapt vid Brillouinzongränsn för att n divalnt fcc-mtall ska a dn första Brillouinzonn lt fylld? G numriska värdn för Ca md gittr-paramtrn 5.58 Å. Dn första Brillouinzonn visas i figur > 8. En lgring av X oc Y ar sammansättningn XY oc är linjär. Dn förkommr i två formr, dls n oordnad struktur där varj gittrplats upptas av X llr Y md samma sannolikt, oc i n ordnad form där varannan atom är X oc varannan är Y. Om dn oordnad formn ar n disprsionsrlation nligt ε ( k A B cos ka, ur sr dn ordnad lgrings disprsionsrlation ut? 8. En ypottisk monovalnt mtall ar nkl kubisk struktur md gittrparamtrn a. Använd frilktrontorin för att bräkna Frmisfärns radi. Bräkna dt kortast avståndt mllan Frmisfärn oc Brillouinzonn. Får la sfärn plats i första Brillouinzonn? 8. Frmiytan för n tvådimnsionll mtall snuddar Brillouinzonn som i figurn. Hur förändras lktronfördlningn i tt pålagt lktriskt fält i x-ld. Hur påvrkar Frmiytans form dm lktriska ldningsförmågan? Halvldar (8-98 8. (T Btrakta gnldand kisl vid rumstmpratur (T K. Elktronmobilittn är. m /Vs oc ldningsförmågan är 4.. -4 (Ωm -. Koncntrationn av lktronr i ldningsbandt är.4. 6 m -. a Bräkna ålns mobilitt b Matrialt dopas så att N D 7.. 6 m -. Vad blir konduktivittn om alla donatorr antas jonisrad? 84. (T Vid K ar tt ögrnt G prov rsistivittn.9 Ωm. Bräkna bandgapt, då lktronrnas mobilitt är.8 m /Vs oc ålns mobilitt är.8 m /Vs. 85. Dt är känt att alvldar fungrar olika bra vid olika tmpraturr. Jämför dn lktriska ldningsförmågan för n n-dopad kislkristall n varm sommardag då T K md n kall vintrdag då T 5 K. N D x m -. ε.7 för kisl. a Bräkna jonisationsnrgin för n dopatom i kisl. b Bräkna förållandt mllan konduktivittn vid 5 K oc vid K. Antag att ndast dopatomrnas lktronr bidrar oc att µ E G E D. 7
86. (T Vid rumstmpratur ( K är lktronmobilittn i G.9 m /Vs oc ålmobilittn.9 m /Vs. Dn intrinsiska laddningsbärarkoncntrationn n i.. 9 m -. Matrialt skall dopas så att konduktivittn blir så litn som möjligt. Du kan välja mllan fosfor oc aluminium. Vilkt skall du välja, oc vilkt koncntration skall du dopa md? 87. (T Bstäm Frminivå oc konduktivitt i odopat GaAs vid K. 88. (T Ett kislprov är dopat så att laddningsbärarkoncntrationn från d jonisrad dopatomrna är myckt störr än dt intrinsiska bidragt, n i.4 x 6 m -. a Bstäm laddningsbärartyp, laddningsbärarkoncntration samt rsistivitt om Hallkofficintn är -8.7x -5 m /C. b Vad är tmpraturn om vi vt att dopkoncntrationn är.8 x m - oc dopnivån liggr 5 mv från bandkantn. 89. (T III-V alvldar används inom optolktronikn. Dssa kristallisrar i så kallad zinkblndstruktur, som är tt fcc-gittr md två atomr i basn. Gnom att blanda t.x. GaAs oc InAs kan bandgap oc gittrparamtr variras brond på sammansättningn. Ni ar i uppgift att konstrura n alvldarlasr av In -x Ga x As, sådan att dn mittrar ljus md våglängdn.4 µm. Antag att bandgapt oc gittrparamtrn varirar linjärt md x. a Bstäm x så att önskat bandgap rålls. b Vid vilkn Braggvinkl obsrvras dn första rflxn från ditt matrial i tt röntgndiffraktionsxprimnt md röntgnvåglängdn.54 Å? Tillåtna rflxr är + k + l, 4, 8... 9. En alvldar md dirkt bandgap blyss md ljus md fotonnrgi f > ε G, så att lktronålpar skapas. Bstäm uttryck för lktronns oc ålts kintiska nrgir oc vågvktorr. Bräkna numriska värdn för GaAs md bandgap.4 V oc fotonnrgi.6 V. 9. Ett Si-prov är rnat tills dt bara ar 8 donatorr pr m. Undr vilkn tmpratur är provt xtrinsiskt? E G. V, n i (K. 6 m -. (H&H 5. 9. InSb ar n dilktricittskonstant ε r 7 oc n ffktiv lktronmassa m *.5 m. Bräkna: (H&H 5. a En donators jonsationsnrgi b Banradin på grundtillståndt (för dopatomn c Vid vilkn donatorkoncntration börjar dopatomrnas bantadir att övrlappa? 8
9. Bstäm jonisationsnrgin för As-dopatomr i G md jälp av figurn (H&H 5.4 94. Bräkna Hall-kofficintn för Na oc för intrinsiskt InSb vid K. Na ar bcc struktur md a 4.8 Å. InSb ar E G.5 V, m*.4 m, m *.8 m. Uppskatta Hallspänningn för tt prov md brddn 5mm, tjocklkn mm när n ma ström passrar i tt magtfält på.t. Antag N A N D. (H&H 5.5 95. Du studrar pn-övrgångar av Si oc G. Antag att potntialn i utarmningsområdna x bstäms av kv. 6.7 oc utarmningsområdts brdd gs av kv. 6.9. Bräkna, där x w n + w p är avståndt till dn punkt från utarmningsområdts kant där majorittsladdningsbärarkoncntrationrna sjunkit till 5%. (H&H 6. 96. Kapacitansn os n pn-övrgång används tillsammans md n µh induktans för att skapa n rsonanskrts. Bräkna ändringn i rsonansfrkvns när spänning övr pnövrgångn variras från -V till -V. Låt N A N D m -, TK, ε r, n i. 6 m - oc övrgångns ara -6 m. (H&H 6. 97. Bräkna φ(x oc utarmningsområdts tjocklk för n gradd pn-övrgång. Dopkoncntrationn varirar nligt N D N A kx i la utarmningsområdt. (H&H 6. 98. 5 µa flytr gnom n backspänd (.5 V pn-övrgång vid K. Bräkna strömmn när samma övrgång framspänns md samma spänning. (H&H 6.4 Några alvldarparamtrar E G (V a (Å µ (m /Vs µ (m /Vs m * (m m * (m ε Si. 5.4..48.4.54.7 G.67 5.66.8.8.. 6 GaAs.4 5.65.85.45.7.68. InAs.6 6.58.45.6.4 4.6 9
Lösningar Fotolktriska ffktn (- En foton absorbras av ytan oc n lktron fotomittras md dn kintiska nrgin K c nligt: K f φ φ. λ Elktronn bromsas av kollktorns potntial V. Elktronns nrgi minskas då md V. Dn potntial som lt stoppar flödt av lktronr kallas stopp potntial, V s. V c c K φ φ λ λ s V s ( Md λ 445 nm > c/λ.79 V. Stoppotntial.7 V s ( Md λ 4 nm > c/λ. V. Stoppotntial V s ( (.79.7 V. V V. V Svar: Mtalln är kalium. s s s 8 φ..8.v Vi vt att K max f φ. Plotta därför K max mot f. Lutningn gr så. Linjn skär f-axln där K max oc f φ. K max.5v f 68THz 4.76 5 Vs 6.558 4 K max då f 45. THz > φ.4 V. Js Comptonspridning (-5 Vi utgår från: λ λ' λ ( cosθ m c.4nm m c a λ 489 fm c c b f ' c( 68. kv λ' λ + λ 4.6 m c Enrgin bvaras i kollisionn, dvs., f f + K > K f f.7 kv
4 Enrgins oc rörlsmängdns bvarand gr kvationrna. p x cosθ γ cosφ λ λ' m v + p y sinθ γ sin φ λ' m v θ φ gr kvationn i y-ld: sinθ ( γ λ' m v som ar två lösningar: θ oc γmv λ ' gr n vinkl < 6. Inför därför lösning i kvationn för p x, vi får då: cosθ ( + γmv cosθ λ λ' λ' Vilkt tillsammans md Comptonskiftts kvation λ' λ λc ( cosθ gr λ + λ θ λ + λ C cos. C För små λ<< λ C är lösningn θ ~, för stora λ >> λ C är ögrldt ~.5 vilkt gr θ 6, dvs. dt finns inga lösningar för θ > 6, vsv. 5 Fotonn kollidrar md n lktron. Enrgin skall bvaras, dvs. fotonns nrgiförlust är dnsamma som lktronns nrgivinst. Enligt Compton ändras fotonns våglängd λ' λ ( cosθ där λ är våglängdn ftr kollision oc λ är för. Elktronn får mc maximal kintisk nrgi när fotonns nrgiförlustr är maximala dvs. spridningsvinkl 8 > E (foton 8 kv oc K max 6 kv. Elktrondiffraktion (6 6 Elktronvågn sprids mot ytan vars atomr fungrar som källor sfäriska vågor. Dssa intrfrrar oc konstruktiv intrfrns fås då väglängdsskillnadn δ L sinθ nλ. Vi sökr första maximum, dvs. n. Elktronrnas d Brogli-våglängd λ λ.67nm L.8Å.8nm me sinθ Kvantmkanik (7-4 7 En av Hisnbrgs osäkrtsrlationr sägr m v x > v x 58km / s 4πm x x p x 4π. Här är x.5 nm. p x
8 Enrginivårna för n lktron i n oändlig låda gs av E n ( n 8mL lktronn fallr från E till E. Ljusts nrgi f c/λ E E. λ λ E E ( (4 L L. 795nm 8mL 8mc 8mc. Ljus sänds ut då 9 a Väntvärdt av x gs av x L πx ψ ( x xψ ( x dx xsin ( dx L L 4πx 4πx sin( cos( x x L L L L L 4 8 π π L 4 L L L { 4.48iScaumMatHandbook } sin 4π L cos4π L + 8π π π b Sannoliktn att finna partikln mllan två punktr gs av intgraln P( x.5l.5l ψ ( x ψ ( x dx L.49L.49L.5L 4πx sin( x L L 8π L.49L 5..99.. 5 sin πx ( dx L { Scaum :4.47} (.5.49 sin(4.5 sin(4.49 L π π L 8π L L c som i b.6l.6l P( x ψ ( x ψ ( x dx L 4πx sin( πx x sin ( dx L 8 L L π L.6L.4L.4L.4L.4 Elktronn lyfts från grundnivån i kvantgropn ut ur gropn, upp till.9 V ovanför gropns bottn. Dn minsta nrgi som krävs då är skillnadn mllan grundnivån oc.9 V. Räkna ut nrginivån i brunnn nligt sid i Srway. (E.76 V. a Fotonnrgin blir då.9.8.5 V b λ c/e 49 nm. Synligt liggr mllan 4 oc 7 nm, dvs. 49 nm är synligt. c Matrialt absorbrar ljus md kortar våglängd än 49 nm.
Dn infalland vågn transmittras oc rflktras, T + R. För små T gällr nligt kv. 4. & 4. att: T. oc R.9897 CL där m( U E C. Här blir CL 4.58 vilkt gr T Tunnlströmmn I T ~ T. CL.5 T > T (.5 oc.55. T (.55. T /T.5. Dvs. n förändring av avståndt mllan yta oc spts md 5 pm gr n förändring i strömmn på 5%. Från förläsning vt vi (altrnativt visar r övningsassistnt ur dt liggr till att rflktansn för n lktron md nrgi E som träffar n potntialbarriär U gs av R ( k k där ( k + k me k oc k m( E U är vågtaln i d olika områdna. m ( U U ( Md E U fås R. 94 m ( U + U ( + 4 a Enrginivårna i n oändligt djup grop gs av E n ( n 4.8 n ( V. 8mL Våra nrginivår blir då E 4.8 V, E 6.7 V, E 7.65 V, E 4 66.9 V. Tillstånd till ar lägr nrgi än 4 V oc är bundna. Svart är sålunda. b Tunnlingssannoliktn T gs av uttryckt T CL. L är barriärns tjocklk oc m( U E C. Md L. nm, U4 V oc E7.65 V är T.9 %. Atomfysik: kvanttal, atomspktra, Bors atommodll (5-7 5 a Radin för dn innrsta lktronbanan gs av Borradin a.59 nm. Övriga lktronbanradir gs av r n n a. Här är n oc radin blir då. nm. n 5 b Rörlsmängdn m vn m 9.97 kgm / s m r na 4 c Rörlsmängsmomnt m v r n. kgm s n n n / d Kintisk nrgi k k.66 K n. 4V rn n a n Total nrgi.66 E n. 4V n f Potntill nrgi E K + U > U E - K -.4 -.4-6.8 V
6 Gnrllt gällr dt att ljusvåglängdn från n atomär övrgång mllan nivårna n oc m gs av: R ( m, där Rydbrgs konstant R λ H H.977 * 7 m -. n Lymansrin m Balmrsrin m Pascnsrin m Brackttsrin m 4 a Vi sökr n för givt m oc λ 94.96 nm. Skriv om kvationn ovan n m λr H n m λr λr m H H. Md givna värdn fås att n 5 b Kan givn våglängd förkomma i Pascn llr Brackttsrirna, dvs. md m llr 4? λr H.46 för givt λ. För m > saknas därför rll lösning på kvationn ovan..6z 7 För n-lktronatomr gällr att E n. Skriv om md Rydbrgs konstant oc E n c/λ > Z RH (. λ n n f i För Lymansrin är n f, för Balmrsrin är n f oc för Pascnsrin är n f. Dn längsta våglängdn gs av dn minsta nrgiskillandn, dvs. övrgångar där n i n f +. För H + är Z oc vi får: Lyman ( > λ nm Balmr ( > λ 6 nm Pascn (4> λ 467 nm.6z 8 För n-lktronatomr gällr att E n. Skriv om md Rydbrgs konstant oc E n c/λ > Z RH (. λ n n f i För Lymansrin är n f, för Balmrsrin är n f oc för Pascnsrin är n f. Dn längsta våglängdn gs av dn minsta nrgiskillandn, dvs. övrgångar där n i n f +. För Li + är Z oc vi får: Lyman ( > λ.5 nm Balmr ( > λ 7 nm Pascn (4> λ 8 nm 4
5 9 Vi antar att atomrna är i sina grundtillstånd för kollisionn. Dras kintiska nrgi är mv K för, där m.66* -7 kg. Eftr kollisionn är K ftr. K för ar absorbrats oc xcitrat atomrna. Vid d-xcitationn mittras två fotonr (λ.6 nm oc fotonnrgin E f c/λ. Enrgin bvaras, dvs. s km m c v c mv K för / 44.4 λ λ För att jonisra atomn krävs att lktronn lämnar atomn. Dvs. fotonnrgin måst vara störr än lktronns bindningsnrgi i dt aktulla tillståndt. Enrgin för n nivå gs av V n E n.66. a Sätt E n f.8 V oc lös ut n > n.44. Endast ltal gr tillåtna lösningar > är dt minsta tillåtna värdt på n. b md n är E.5 V. Elktronns kintiska nrgi K ½ mv.8.5.77 V. Lös ut v 5 km/s. a Om ψ är normrad gällr att ( dv r ψ ( 4 ( 4 4 ( ( + + + a ra r a a a a x x a dx x dr r a dr r r dv r a r ax ax a r π π π ψ ψ dvs. ψ är normrad. b Vad är sannoliktn att itta lktronn mllan r a / oc r a / Bräkna P(a / < r < a / { }.497 ( 9 ( ( ( 4 4 ( ( ( / / / / / / / / + + + + + + a ra r a a som dr r a dr r r dv r r P a a a r a a a r a a a a π π π ψ ψ
Fotonn avgs ftr n övrgång mllan två nivår m oc n, vars nrgir gs av.66 E n. Vi vt att m 6 oc att fotonns nrgi f E m E n c/λ.4 V. n f.4 n + m.4.66( A m 6 & n m n.66 n m Dvs. lktronn bfinnr sj på nivå n ftr mission. Dt maximala banrörlsmängdsmomntkvanttalt är n-. L l( l + l 6 Banrörlsmängdsmomntt { } Enrgin för d olika tillståndt gs av E Bo µ oc E Bo µ µ µ B m 9.7 4 J / T Fotonnrgin 4 f E E Bo µ 6.468 J 4. 4µ V 4 a K α strålning fås då n lktron fallr från L-skalt till n vakans i K-skalt. Fotonns nrgi f E L - E K. För att räkna ut E K oc E L använda uttryckn i avsnitt 4.8 i Srway, md Z för Al..6.6 E L ( Z V 489. 6V oc E Z V V K ( 958. 4 vilkt gr f 468.8 V. Från Ec/λ löss λc/e 8.5 Å. b K max f - φ {φ 4.5 V, tab. 4.} 464. V c Gnrllt gällr att dn kintiska nrgin för n lktron gs av: K f - φ - E B { vilkt i vårt fall blir} 468-4.5-77 757. V 5 K α strålning avgs då n vakans i K-skalt fylls av n lktron från L-skalt oc "nrgivinstn" avgs i form av n foton. Enrgin kan bräknas som i avsnitt 4.8. För Ni gällr att Z 8. Enrgin för n lktron i.6 L-skalt md n K-skalsvakans gs av E L ( Z V 478V för dn nivå till vilkn dn fallr (notra att där saknas n lktron.6 E K ( Z V 994V Fotonnrgin för Ni K α blir då 994-478 746 V. 6
Samma rsonmang för Ni L α gr:.6 E M ( Z 9 V 545V.6 E L ( Z V 98V Fotonnrgin för Ni L α blir då 98-545 75 V. 6 a Dn kintiska nrgin gs av K f - E bind - φ. φ för Cu är 4.7 V > K 8. V b Röntgnnrgin gs av nrgiskillnadn mllan d i övrgångn inblandad nivårna. För röntgnmission gällr urvalsrglns l+. Till p kan därför ndast lktronr från s oc d ndfalla oc avg röntgnstrålning. D obsrvrad röntgnnrgirna är därför 8 V rsp. 98 V. 4r r a 7 Sannoliktstättsfunktionn för vät grundtillstånd är P s ( r a. (Srway 4.5. Notra är att a, dvs. radin bror på massan. För lktronn är a mk.59 Å oc för taonn är a.59/49 5 fm. Sannoliktn att itta taonn mllan r oc r -6 nm gs av intgraln av tättsfunktionn. (S xmpl 4.5 i Srway. P r P s 4 ( r a r r r a 4r dr a 4r + a + r a r fm.6% Molkylr: kmisk bindning, rotationr oc vibrationr (8-5 8 Jonisationsnrgin (K + lktronaffinittn (Cl dn nrgi som skall tillföras. Jonisationsnrgin (K.7 +.6 V 4. V 9 Coulombkraftn mllan två laddad partiklar (- oc + på avståndt R är FCoul U Coul. 4πε R 4πε R k. I n kristall påvrkas n jon av n total 4πε potntial som är summan av bidragn från dss omgivning. Dvs. för n NaCl-kristall nligt figur 8 α U tot ( 6 + +... j i 4πε R 4πε R 4πε R ij Madlungs konstant α.748. Md R.8 nm får vi U 9.5 V.448. -8 J. 7
Sparationsnrgin är dn nrgi som krävs för att bryta molkylns bindning, räknat från potntialns minimum vid r r, jämviktsavståndt. Vi vt sålds att B C U(r - 4 V U( r 4V ( r r du ( r B C Vid jämvikt ar U(r minimum, dvs. + dr r r 8 Vilkt, md r r, gr 5 B r C ( a Från dtta lösr vi ut C 45 V Å oc B 5949 V Å. b Maximal kraft F(r fås då df/dr. du ( r df( r B 6C F ( r 4 dr dr r r 8 Lös ut r: r r 8 r. 5Å a m m I µ m + m ( r r u.66. -7 kg, m Na u, m Cl 5.5 u, r.8 nm µ.96 u oc I.8. -45 kgm. b E rot J ( J + I Räkna ut nrgiskillnadn mllan J oc J. E c c ( oc våglängdn λ I.6cm rot I I E rot Vibrationsnrgin gs av E k ( ν + vib π µ I grundtillståndt är ν, i dt första xcitrad tillståndt är ν. mm 5.5 k k µ (.97u E vib ( +. 6V m + m + 5.5 π µ π µ Elktronr som träffar ytan xcitrar vibrationr. Elktronns nrgiförlust är dnsamma k som nrgiskillnadn mllan två vibrationsnivår, dvs. E vib. π µ mm Bräkna rducrad massorna för d två kombinationrna: µ. µ OO 8 u, m + m µ PtO 4.78 u. Md givna k får vi: E vib (O-O 96 mv oc E vib (Pt-O 55 mv 8
4 Elktronr som träffar ytan xcitrar vibrationr. Elktronns nrgiförlust är dnsamma k som nrgiskillnadn mllan två vibrationsnivår, dvs. E vib. π µ mm Bräkna rducrad massorna för d två kombinationrna: µ. m + m µ SnO 4. u, µ PtO 4.78 u Md givna k får vi: E vib (Sn-O 64 mv oc E vib (Pt-O 55 mv 5 Molkylns totala vibrations oc rotationsnrgin är E ( ν + f + J( J +. I Vibrationskvanttalt ν,,, tc, oc rotationskvanttalt J,,. Molkylns k vibrationsfrkvns f där µ är dn rducrad massan oc k molkylns µ kraftkonstant. I är trögtsmomntt I µr, där r är bindningsavståndt oc µ åtrign är dn rducrad massan. Vid övrgångar är ν ± oc J ±. Ändringn i nrgi vid n övrgång blir då (s kv. 4. oc 4.4 i Srway ( E f + ( J + I md J +. E c/λ.75 V ( E f J md J -. E c/λ.65 V I För att bstämma vilkn molkyln är räckr dt att vta dn rducrad massan som vi kan lösa ut från I. Ta ( ( > I E E I (J + ( E E µ r µ (J + ( E E r 7u m m m µ { m m} m 4u dvs molkyln är N. m + m 9
Kärnfysik (6-4 6 Ekvationn skrivs Z( Z ( N Z C A C A C C 4, där A A E b Volymsbidrag ökar linjärt md antalt nuklonr, C 5.7 MV Ytbidrag: nuklonr vid ytan ar färr närmsta grannar oc därför n lägr bindningsnrgi. C 7.8 MV. Coulombrpulsion mllan d laddad protonrna. Z partiklar växlvrkar md Z-. Proportionll mot r. C.7 MV A 4 Rpulsion mllan nutronr i nutronrika kärnor. C 4.6 MV. Här är A 56, Z 6 oc N vilkt gr E b 879. 6.5.6 6.74 49.6 MV λt R 7 a R R λ ln(. t R Md t 4 timmar 44 skundr fås λ.55. -5 s - oc ln T 447sk. 4tim λ b Ci.7. söndrfall pr skund. R N. λ > N.9. atomr c R λt R R mci, λ.55. -5 s -, t 8 sk > R ( tim.9 mci. 8 a För tt β - -söndrfall är Q (M Co - M Ni c.85 MV. M Co 6 59.98 u oc M Ni 6 59.9789 u. (Finns i tabll A b Q-värdt är nrgiskillnadn mllan kärnorna i grundtillstånd. Dnna nrgivinst dlas brodrligt mllan d två γ-strålarna, lktronn oc nutrinon. D två γ-nrgirna är givna. Rstrand nrgi dlas mllan lktron oc nutrino nligt figur 44.4 i Srway. K max för lktronn fås då nutrinons nrgi är noll (llr nära K max Q - γ - γ.95 MV c Enrgi pr söndrfall Q. Mdlnrgin för n lktron är givn, / K max, så ävn nutrinons nrgi. Alla γ oc - absorbras, dock ick nutrinon. Dvs. dn absorbrad nrgin pr söndrfall E abs Q - / K max.557 MV. 5 Curi 5 x.7 x söndrfall pr skund. Absorbrad ffkt nrgi/sk 5 x.7 x x.557 MV/sk 74 W.
9 Raktionn kan skrivas C + n B + p Q raktion [M( C + M n - M( B -M( H]c -.65 MV (Obs! Atommassor a Söndrfallt skr via β - -söndrfall nligt: B C + β - + antinutrino. b Btapartiklns maximala kintiska nrgi gs av: K max (β - Q β- Q β- [M( B - M( C]c Alltså är Q β- [M n - M( H]c - Q raktion 99.57-98.78 +.65 MV.44 MV 4 (S givn massa i uppgiftn oc från tabll i bokn a Vid infångning av n trmisk nutron på T får dn nyskapad kärnan T n xcitationsnrgi E x ( M ( T + M n - M ( T c (nutronns kintiska nrgi << V försummas. E x (.85 +.8665 -.4577 x 9.494 MV 4.787 MV. Eftrsom T int fungrar i raktorn måst alltså aktivringsnrgin vara störr än ca 4.8 MV. b T + n -----> T + γ ---> Pa + β - + anti ν > U + β - + anti ν Som ovan är E x ( 4 U (.96 +.8665-4.4946 x 9.494 MV 6.85 MV dvs. störr än aktivringsnrgin 6.5 MV. Alltså kan U användas som kärnbränsl oc klyvas vid infångning av trmiska nutronr. Halvringstidn är.59 x 5 år som gör att dt är tillräckligt långlivat. 4 Vi undrsökr om d olika söndrfalln (β -, β +, EC (lctron captur, α oc fission är nrgtiskt möjliga. Enl. tabll A i bokn är atommassan för 5 V 49.947 6 u. β - : ldr till 5 Cr [M( 5 Cr 45.946 47 u] Q β - ( 49.947 6-49.946 47 x 9.494 MV.8 MV > MV. Alltså uppfylls dt nrgtiska villkort för β - - söndrfall. β + oc EC ldr till 5 Ti. Q EC ( 49.947 6-49.944 79 x 9.494 MV.7 MV > MV. Q β + Q EC -. MV.85 MV > MV Alltså är nrgtiska villkorn uppfyllda för båd β -, β + oc EC söndrfall. Hur är dt md alfasöndrfall oc fission? Vi förväntar oss int alfasöndrfall vid så låga A-värdn mn kolla för säkrts skull: Q α (M X - M Y - M( 4 H x 9.494 MV (söndrfall till 46 Sc. Insättning gr: Q α (49.947 6-45.955 74-4.6 x 9.494-9.888 MV dvs. < oc j nrgtiskt möjligt. Fission förväntar vi oss j på vänstra sidan om maximum på kurvan övr bindningsnrgin pr nuklon f(a (fig. 44.8.
4 Raktionns Q-värd angr ur myckt nrgi som frigörs, Q (m för m ftr c. Md 5 4 9 givn raktion ( n + 9U 56 Ba+ 6Kr + n oc massor M(n.8665 u, M(U 5.494 u, M(Ba 4.99 u, M(Kr 9.897 u får vi a Q (m för m ftr c (6.5589 5.8795 c.6 MV b andln (6.5589 5.8795/ 6.5589.9 % 4 a Halvtjocklkn är dn tjocklk som alvrar intnsittn. Dvs. I (x I / > x ln/µ.46 cm b Samma som i a mn md I(x. I. > x 5.8 cm 44 76 As -> 76 S skr via β - söndrfall. β 76 76 Q m( As m( S 9.494MV. 968MV max 76 Br -> 76 S skr via β + söndrfall. + β 76 76 Q m( Br m( S 9.494MV mc. 6MV max 45 Dn pr raktion avgivna nrgin gs av raktionns Q-värd. Så, vi bräknar Q-värdt för d två fusionsraktionrna: H + H H + H Q ( x.4.785.649 9.494MV 4. MV H + H n+ H Q ( x.4.8665.69 9.494MV. 7MV Eftrsom d två raktionsvägarna är lika sannolika sättr vi mdlnrgin pr fusionsraktion ½(4.+.7.65 MV 5.84. - J. W J/s >.7. raktionr pr skund. 46 Antalt söndrfall pr tidsnt gs av aktivittn (llr dcay rat R λn λn oc avgivn ffkt P RQ. När alla kärnor söndrfallit ar dt bildats mg H vilkt 6 mg kg motsvarar N. N 4.5. Eftr 8 dygn ar / av d 4u 7 4.66 kg radioaktiva kärnorna södrfallit, dvs N 8 / N... N 8 ln λ8 λ 58.7 9 s. Vi vt ffktn, P 8, ftr 8 dygn. N 8dygn P8 4W a Enrgi pr söndrfall, Q 5. MV R λn P N b / P 4 W W P N 8 8 8 λt
Kristallstruktur (47-59 47 D tr kristallgittrn sc, bcc, fcc visas i figurn ndan. Placra n sfär i varj gittrposition oc låt dssa sfärr vara i kontakt md dn närmsta grannn. Från dtta får vi atomradin (r alva närmsta grannavståndt. Dvs. s.c. a r bcc a r fcc 4 a r 4 Bräkna sfärrnas volymsandl (V s av kubns volym V k a. s.c. ar n atom pr kub, 4πr 4πa Vs π dvs. V s packningsgrad 5.4% 8 V 6 bcc ar två atomr pr kub k V s 4πr 4π a 64 π a 8 V packningsgrad V s k π 68.% 8 fcc ar fyra atomr pr kub V s 4 4πr 4 4π a 64 π a V packningsgrad V s k π 74.% 6 48 a gittr fcc, bas Na i (,, oc Cl i (/,, b gittr sc, bas Cs i (,,, Cl i (½, ½, ½ d gittr sc, bas Ba i (,,,, Ti i (½, ½, ½, O i (½, ½,, (½,, ½ oc (, ½, ½ 49 För att ta fram tt plans Millrindx gör man på följand vis Bstäm plants skärningspunktr md vktoraxlarna Ta invrsn av dssa tal Sök minsta ltal md samma kvot Här är skärningspunktrna (, -, Invrsn är (/, -, Minsta ltalskombination (,-, vilkt sålds är plants Millrindx.
5 bcc gittrt bskrivs av vktorrna: a a a a ( xˆ + yˆ + zˆ, b ( xˆ yˆ + zˆ oc c ( xˆ + yˆ zˆ a är gittrparamtrn i dn konvntionlla kubclln. D rciproka gittrvktorrna skapas nligt πb xc a*, ao ( b xc πcxa b* oc ao ( b xc πaxb c* ao ( bxc Md givna vktorr fås a * π ( yˆ + zˆ, b * π ( xˆ + zˆ oc c * π ( xˆ + yˆ vilkt bskrivr tt fcc gittr. a a a. 5 Från d givna vinklarna oc sambandt sin θ λ ( + k + l kan kristallstruktur oc 4a λ gittrparamtrn a tas fram. är konstant oc ( + k + l antar ndast ltalsvärdn 4a sin θ nligt dn i uppgiftn givna figurn. Kvotn n gr kvotn mllan ( + k + l för sin θ olika vinklar. θ 8.78.77 5.8 67. 74.5 kvot / 4/ 8/ / / Jämför md figur oc idntifira fcc-strukturn. Därftr bräknas a från n tillåtn kombination av vinkl oc ( + k + l till a.77 Å. b Dn första planskaran ar (kl (. Packningstättn är dn dl av plant som upptas av atomr (är cirklar. Cirklarnas radi fås från alva närmsta grannavståndt r d/ a/.98 Å. Plants ntscll är rombisk md aran / (d. Packningstätt är.9. 4
5 Från d givna vinklarna oc sambandt sin θ λ ( + k + l kan kristallstruktur oc 4a λ gittrparamtrn a tas fram. är konstant oc ( + k + l antar ndast ltalsvärdn 4a sin θ nligt dn givna figurn. Kvotn n > gr kvotn mllan ( + k + l för olika sin θ vinklar. θ.68.5 9.8 47.66 55.7 64.86 77.9 kvot 4 5 6 7 alt / 4/ 6/ 8/ / / 4/ Dt finns två möjligtr, antingn sc llr bcc. Mn ( + k + l 7 är omöjlig, dvs. dt är int sc utan bcc. Därftr bräknas a för givn kombination av vinkl oc ( + k + l till a.87 Å. b Första planskaran (kl (. Packningstättn är dn dl av plant som upptas av atomr (är cirklar. Cirklarnas radi (r fås från alva närmsta grannavståndt (d, r d/ a/. Plants ntscll är rktangulär md aran a. Packningstätt blir då.8 5 Från d givna vinklarna oc sambandt sin θ λ ( + k + l kan kristallstruktur 4a λ oc gittrparamtrn a tas fram. är konstant oc ( + k + l antar ndast 4a sin θ ltalsvärdn. Kvotn n > θ.8 5.9 8.99.7 4.84 sin θ kvot 4 5 Strukturn är nkl kubisk md a gittrparamtrn 4. Å b Millrindx för d plan som gr uppov till d obsrvrad diffraktionsvinklarna {}, {}, {}, {}, {} c Millrindx för d plan som gr uppov till dn största tillåtna Braggvinkln sin θ kl ( + k + l max 8. Största tillåtna värd som går att skapa är 7, vilkt fås för {kl}{5} oc {} 54 Dn linjära trmiska xpansionskofficint, α, angr ur myckt tt matrial ökar i längd till följd av n tmpraturökning nligt: L α L T. Här idntifirar vi L md a vid K. Vid 6 K ar avståndt ökat till a (6K.99 Å. Braggvinklarna fås från sinθ λ + k + l ; θ(k. oc θ(6k 9.84. Spridningsvinklarna a är dubbla Braggvinklarna; 4. oc 9.68 vilkt gr n ändring på.. 5
55 tänk på formfaktorn!! Sambandt sin λ θ ( + k + l llr sinθ λ + k + l gällr som vanligt. 4a a För nkl kubisk struktur (s.c. gällr att ( + k + l,,, 4,... För CsCl får vi md λ.54 Å oc a 4. Å d två minsta vinklarna.77 rsp. 5., vilkt gr spridningsvinklarna (dvs. dubbla Braggvinkln.5 rsp..6. För CsI gällr att a 4. 57 Å. Mn!! Cs + oc I - ar lika många lktronr oc spridr lika bra. Dvs. vi sr int skillnad på d två jonsortrna i vår kristall oc dn ffktiva kristallstrukturn blir då bcc. Då gällr att ( + k + l, 4, 6,... Vilkt gr Braggvinklarna.78 oc 9.69 oc spridningsvinklarna 7.6 rsp. 9.4. 56 Från d givna spridningsvinklarna oc gittrparamtrn kan vi md jälp av dt vid dt är lagt välkända uttryckt sinθ λ + k + l räkna ut nutronrnas a dbroglivåglängd oc vid vilkn vinkl nästa rflx kan förväntas dyka upp. För diamantstruktur gällr att ( + k + l, 8,, 6, 9. Från t.x. dn fjärd rflxn fås: 7.57 sin( λ.5å 6.5 o a Dn fmt rflxn gs av sin θ 9 θ 8.57 8.57 sin( b För att få fjärd rflxn i 8 gällr som ovan λ.785å 6 Vi vt också att nutronrnas dbroglivåglängd gs av λ v mv mλ Låt v btckna astigtn för λ.5 Å oc v btcknar astigtn då λ.785 Å. v v mλ mλ λ λ Vi får då:.5.785 4% v mλ λ.5 c För fotonr gällr E c/ λ. λ.785 Å gr E 696 V, λ.5 Å gr E 8 V 6
57 Räkna ut strukturfaktorn för fcc. Strukturfaktorn gs av S kl j f j i π ( u + kv + lw j j j Alla atomr är av samma sort oc ar samma formfaktor f. I fcc-clln finns 4 atomr i positionrna (,,, (½, ½,, (½,, ½, (, ½, ½. Vi får då: S kl f j iπ ( u + kv + lw j j j f ( + k iπ ( + + l iπ ( + + k l iπ ( + S kl 4 för (, S kl för (, S kl för (, S kl 4 för (, S kl 4 för (, Endast rflxr md alla kl udda llr alla kl jämna gr tt bidrag. 58 Båd Si oc G kristallisrar i diamantstruktur, md gittrparamtrar 5.4 Å rspktiv 5.66 Å. Lgringns gittrparamtr varirar som a( x 5.4 a( x asi + x( ag asi 5.4 + x(5.66 5.4 x. 5.66 5.4 λ λ För röntgndiffraktion gällr sinθ + k + l a + k + l. a sinθ För diamant gällr att + k + l, _ 8, _, _6,.. Så md givna vinklar får vi a 5.465Å, 5.465Å, 5.465 Å, 5.465 Å från d olika vinklarna, från vilkt vi får x.5. 59 Dt rciproka mönstrt byggs upp av d rciproka vktorrna, vilka gs av kvation.9 i π ( b c Hook and Hall: a*. Här låtr vi a oc b vara d i figurn angivna vktorrna. a o ( b c Vktorn c saknas oc kan undr uträkningn sättas till plants normalvktor n md π ( b n π ( n a längdn. Vi får då a* oc b*. a o ( b n b o ( n a Dt gällr som i tr dimnsionr att a*. a π, b*. b π oc a*. b b*. a. Lägg x-axln så att för Pt(-ytan a aˆ x oc b a a xˆ yˆ + oc n ẑ π yˆ π Kryssningn gr då a * xˆ oc b * yˆ a a a a För Pt(-Sn ytan är a' xˆ + yˆ oc b' aˆ y oc n ẑ Notra att a är längdn på basvktorn för Pt(-ytan. b' n Kryssning gr a' * π π x a' (b' n a ˆ * π xˆ oc b ' yˆ a 7
Frilktronmodlln (6-7 ε F π 6 m Frmiastigtn (v F är lktronrnas astigt vid Frminivån, vilkt kan skrivas 8 6 Frminrgin (ε F gs av uttryckt ( n { n 8.5 m } 7. V mvf ε F 6 ε F vf.57 m / s. m Tillståndstättn g(ε angr antalt tillstånd pr nrgint. Avståndt mllan nrginivårna gs sålunda av /g(ε. F π ε g( ε V m ε 4 { ε } 8.85 J 5.5 V. 6 Vi utgår från n mtall vid T>. I dn övrsta figurn gs Frmifunktionn vid T oc för T>, oc dn undr figurn angr d bsatta tillståndn. I bokn antar man att dn skuggad dln kan bskrivas av två trianglar md basn k B T oc öjdn ½ g(ε F. Elktronr inom dtta intrvall bidrar till lktrisk ldning. Dras antal, N c, fås gnom intgration N c ε F + kt εf kt g( ε f ( ε dε. För att förnkla problmt antar vi att dn skuggad dln undr Frminivån ar samma ara som dn skuggad dln övr. F ε kt F ε F V m V m g( ε dε ( ε dε ( ε ( k T F ε F B π π ε kt F ε För Na är E F.5 V. Md T K är andln lktronr som bidrar till ldning.4 %. 6 Dn lktriska ldningsförmågan gs av σ n τ/m. Rlaxationstidn τ 6.5. -4 s. Hallkofficintn R H /nq. Md givt R H fås n.6. 9 m -. σ.9 8 (Ωm -. Dn trmiska ldningsförmågan K rlatrar till dn lktriska dito nligt Widmann-Franz lag K π k B T. K 556W / m K σ 8
6 jämför D-fallt i Hook and Hall. dn L L dk dn dk π π k E m L dn π k m de E me dk N( E m L de E m E N 64 a Frminrgin gs av E F (π, där N är antalt lktronr i volymn V. Välj m V dn kubiska clln där dt finns atomr som var oc n gr lktronr. N 4 oc V (4Å, vilkt gr oss E F 5.74 V. π k BnT b Elktronrnas bidrag till värmkapacittn gs av C pr atom. EF n är atomns valns. Md n oc multiplikation md N A fås.7 J/mol K. 65 a I fcc strukturn md gittrparamtr a gs närmsta-grann-avståndt d av a 4.4Å d. 86Å. π N b Frminrgin gs av E F (. I fcc innållr varj cllkub 4 atomr, som m V i dt är fallt var oc n gr lktronr till frilktrongasn. Dvs. cllns volym V a, oc antalt lktronr pr kub N 4x. Vi får sålds E F.7 V. c Fotomittrad lktronr från Frminivån ar dn ögst kintiska nrgin nligt K max f-φ c/λ - φ. När K max fotomittras inga lktronr, vilkt gr λ max c/φ 5nm. φ är 4.8 V nligt tabll i Srway. π N 66 Frminrgin gs som vanligt av E F. Litium är monovalnt oc bcc m V strukturn innållr atomr pr kub, dvs. N. Volymn V a. Här är närmstagrann-avståndt (d givt. För bcc är d / a. Md givna värdn får vi N/V 4.7. 8 m - oc E F 4.77 V. E F k F k F.o m m. 9
Mdlnrgin gs av E. Ef ( E N( E de f ( E N( E de Antag att T, f(e för <E<E F oc för övrigt. För frilktronmodlln är N(EC E oc vi får <E> /5 E F.86 V. 67 a Sambandt mllan rlaxationstidn oc dn lktriska konduktivittn gs av n τ σm σ τ. m n Lm Dn lktriska konduktivittn gs också av σ L/RA. Vilkt ldr till att τ. L, RAn A oc R är givna. Bräkna n. Cu ar fcc struktur md a.6 Å. En fri lktron pr atom 4 gr n, oc τ.8. -4 s a.5a b Driftastigtn gs av J nvdrift vdrift 7µ m / s 6 m n c Dn fria mdlväglängdn gs av λ v Frmi τ. Frmiastigtn gs av E F mvf k F (π n > v F.58. 6 m/s m m Vilkt gr oss n mdlfri väglängd λ.4. -8 m 68 a Vi vt att mdlfria väglängdn gs av λ τ v F. Rlaxationstidn τ fås från m ρ rsistivittn. Vi bövr n. Vi vt att Cu ar fcc struktur, dvs 4 atomr pr kub. n τ n N/V 4/(.6 Å 8.5. 8 m -. Md givn rsistivitt får vi τ.46. -4 s. Oc mvf 6 från EF vf.57 m / s λ 86Å b Enligt Mattisns rgl (.9 i bokn gällr att rsistivitt från olika källor kan summras, dvs. ρ ρ rn + ρ As, där ρ As är rsistivittn från arsnik förorningarna. Md givna data vt vi att ρ As 5.. -8 Ωm. Samma rsonmang som i a kan användas, dvs. vi m räknar ut λ As τ As v F, md ρ As. Vi antar att E F oc gittrparamtr int n τ påvrkas. Svart blir sålunda λ 4 Å. As 4
69 Vi sökr λ τ v F. τ fås från rsistivittn n τ m 5 σ τ.67 s ρ m ρn 6 F F / mvf π m Frmiastigtn fås från E ( n v. m s Dn mdlfria väglängdn är sålds 8 Å. m τ 7 a Enligt kvation.4 i bokn är δk v E. Givt att m E 8 δk.k. F F.6 m gr oss n fältstyrka E 4.5 MV/m. b j σe { σ 5.9. 7 (Ωm -, s t.x. uppgift 67}.7. 4 A/m. Svarn i båd a oc b är lt orimliga, vilkt visar att Frmisfärn är obtydligt förskjutn vid normala strömmar oc fält. Gittrvibrationr, fononr oc trmiska gnskapr (7-76 7 Gruppastigtn gs av v g dω/dk ω/ k, som kan mätas dirkt ur figurn. Frkvnsaxln är märkt md rätt nt. k-axln går från till första Brillouinzonsgränsn. För n nklt kubisk kristallstruktur (md gittrparamtr a vt vi att rciproka gittrt också är nklt kubiskt md sidan π/a. Brillouinzongränsn liggr då vid π/a.68 Å -..5 a ω/ k (mät t.x. mllan andra oc trdj punktn 8m / s.68 m b ω gr v g. 7 a Vi vt att nligt Dby gällr dt för ljudvågor att ω vk. Dn ögsta frkvnsn, oc därmd dn ögsta nrgin gs av ω ω D. Ekv.5 i bokn gr Dbyfrkvnsn nligt: 6π N ω 6π N ω D v. V v V oc nrgi 7.6 mv. D b För n lktron vid Frminivån gällr E m V vk. Md N oc V (4.Å får vi k.6. m - π N mef F.4V kf.9 m c Fononns nrgi är myckt lägr än lktronns nrgi vid Frminivån. Vid n kollision kan därför lktronns nrgi int ändras nämnvärt. Därmot är vågvktorrna av samma storlk oc n lktron kan därför ändra rörlsriktning ftr n fononkollision. 4