ENAMEN Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: id: Hjälpmedel: Omattning oc betgsgränser: HF Matematik ör basår I EN ekniskt basår Marina Arakelan, Jonass Stenolm & Håkan Strömberg Niclas Hjelm 5-- 8:5-:5 Formelsamling: ISBN 78--7-77-8 eller ISBN 78--7-5- utan anteckningar. Inga andra ormelsamlingar är tillåtna! Miniräknare, penna, radergummi,, linjal, gradskiva För betget P krävs p.. Slutbetget på kursen gess av poängsumman rån EN oc EN. Dessa måste båda a avklarats med betg P. Poäng 8 5 6 7 5 BetgB E D C B A ill samtliga uppgiter krävs k ullständiga lösningar. Lösningarna skall vara tdliga oc lätta att ölja. Inördaa beteckningar skall deinieras. Uppställda samband skall motiveras. Skriv elst med blertspenna! Lcka till!
Använd derivatans deinition ör att bestämma ' om Bestäm största oc minsta värdet av unktionen 6 p p i intervallet Lös ekvationen, där ln ln p Bestäm eventuella värden på konstanten så att kurvorna till unktionerna oc g a p tangerar varandra. 5 Lös ut ur ormeln Alla storeter positiva. lg a p 6 7 Bestäm eventuella maimi-, minimi- oc terrasspunkter till unktionen En bil startar inbromsningen vid tiden t sek. Sträckan bilen ar ärdats i meter som unktion av tiden s t 8t 8t a Hur långt ar bilen ärdats eter sekunder? b Vilken astiget ar bilen eter sekunder? c Eter ur lång tid står bilen stilla? Avrunda till närmaste eltal p p p p
8 C p A B I triangeln är vinkeln. Sidorna ar längder som ramgår av iguren. Längdmåttet är cm. Beräkna sidornas längder. I rektangeln är sidan 7 cm. Punkten är så belägen på sidan att sträckan ar längden cm oc vinkeln är. Beräkna längden av sträckan. För unktionen a där a är en konstant, inns ett värde på så att oc '. Bestäm detta värde på samt konstanten a. p p p Figuren visar ritningen över ett us. Den centrala delen av uset utgör en kvadrat med sidan a m. På varje sida av uset inns en likadan utbggnad i orm av, även det, en kvadrat, med sidan b m. Man vet att usets omkrets är 6 m. Bestäm den minsta area uset kan a.
Uppgit ' Svar: ' Uppgit ' 6 ' då Då ligger utanör intervallet [-,] ar vi tre unktionsvärden att beräkna. 6 Svar: Största värdet är oc minsta -6
Uppgit Svar: e ln ln ln ln ln ln e Uppgit vå kurvor som tangerar varandra ar samma derivata i tangeringspunkten. Vi löser därör ekvationen ' g' g a g' ' Med roten. Då så är också g. Vi år då Svar: a 8 6 a a 8 a Uppgit 5 a lg a lg a a lg a Svar: a
Uppgit 6 ' ' Ekvationen ' ger direkt rötterna oc. eckenstudium ger, < = < < = > - - + Svar: Funktionen ar ett lokalt minimum i,- oc en terrasspunkt i, Uppgit 7 a b c s ' t ger Svar: a 68 m b 6 m c 5 s s t 8t 8t s 8 8 68 s' t 8 6t s' 8 6 6 8 6t t 5 Uppgit 8 Cosinussatsen ger 6 6 7 6 7 Den negativa roten örkastas. Svar: Sidorna är.5, 7.5 oc.5 cm 7 cos 6 6
Uppgit Med jälp av sinussatsen kan vi örst bestämma vinkeln DCE sin sin 7 sin arctan 7 6. En alternativ lösning skulle kunna vara 8 6. 5.. Men då 5. 8 örkastar vi denna. Detta betder att vinkeln EDC är 8 6... Som i sin tur betder att vinkeln ADE är. 5.. Vi kan nu bestämma sträcken AE genom sin 5. sin 5.. ill sist år vi så EB genom 7. 7. Svar: Sträckan EB är 7 m Uppgit ger a oc ' ger a ln a. Vi ar ekvationssstemet a a ln a Översta ekvationen insatt i den undre ger ln a. Vi år då ln a e a insatt i a ger Svar: ln oc a e ln a a e e ln ln
Uppgit Vi tecknar omkretsen a b b 6 där a 5 oc b 5 Vi tecknar arean A a, b b a Vi löser ut a ur ekvationen ör omkretsen oc år a 5 b Vi kan nu skriva om A a, b till A b genom att substituera A b b 5 b A b 8b 6b 5 Vi löser så ekvationen A' b där A ' b 6b 6 6b 6 5 b Då A ' ' b 6 vet vi att vi unnit ett minimum oc kan nu bestämma arean ör detta minimum. A A Svar: Husets minsta area är. 5 m 5 5 5 8 6 5. 5 5
Rättningsmall. Använder ej derivatans deinition -p Lim saknas -p. Undersöker bara intervallets ändpunkter -p Undersöker bara de punkter där ' utan att observera ett en av dessa ligger utanör intervallet -p Undersöker den punkt där ' som ligger i intervallet oc konstaterar att minsta värde i så all saknas -p Undersöker intervallgränser samt båda = +p. Deinitionsmängd saknas -p Kommer ram till ekvationen ln sedan el +p. Använder bara villkoret ' g' utan att kontrollera att g ör detta -värde -p 5. Svarar ej på enklaste orm -p 6. Svarar med -värden istället ör punkter -p Svarar med unktionsvärden istället ör punkter -p Bestämmer ej punkternas karaktär / elaktig bestämning av punkternas karaktär -p/gång [Detta innebär ju rent konkret att det elaktiga resonemanget '' errasspunkt ger -p] 7a. Rätt eller el 7b. Rätt eller el 7c. Rätt eller el 8. Förkastar ej negativa lösningen -p Svarar bara med en av sidorna -p Använder sinussats utan att ta ram/kommentera två lösningar på vinkel -p. Enklare trigonometriskt el -p Får ej med vinkeln 8 6, eller missar att örkasta den vinkeln -p. Svarar bara med ett av de sökta värdena -p Svarar med avrundat värde/värden -p. Korrekt uppställd optimalunktion i en variabel +p Påvisar/veriierar ej maimum -p