2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

Relevanta dokument
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Introduktion till statistik för statsvetare

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

Föreläsning G04: Surveymetodik

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

S0005M V18, Föreläsning 10

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera

F10 ESTIMATION (NCT )

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

================================================

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

a) Beräkna E (W ). (2 p)

Föreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl

4.2.3 Normalfördelningen

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

För att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars

(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna.

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl

Grundläggande matematisk statistik

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen med lösningar

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

1. Test av anpassning.

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten

b) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p)

Vid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Avd. Matematisk statistik

Föreläsning G70 Statistik A

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

Föreläsning G70 Statistik A

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Följande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

F3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index.

101. och sista termen 1

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

Föreläsning 2: Punktskattningar

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

Intervallskattningar, synonymt konfidensintervall eller statistiska osäkerhetsgränser

Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Sannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

Id: statistik.tex :48:29Z joa

Bertrands postulat. Kjell Elfström

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

. Mängden av alla möjliga tillstånd E k kallas tillståndsrummet.

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x

Sannolikhetslära. c 2015 Eric Järpe Högskolan i Halmstad

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp,

Föreläsning 10: Kombinatorik

F6 Uppskattning. Statistikens grunder 2 dagtid. Beteckningar, symboler, notation. Grekiskt-romerskt

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor

SAMMANFATTNING TAMS65

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

Tentamen i matematisk statistik

Transkript:

Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele persoer (p) på Chalmers som vuit på lotto. Vi går rut och frågar persoer på luche och oterar e etta om persoe vuit på lotto och olla aars. Vi får e dataserie I 1,..., I med 0/1-variabler där P(I k = 1) = p för varje k = 1,...,. Vi skattar p med ˆp = 1 I k och aväder cetrala gräsvärdessatse för att få e approximativ fördelig k=1 ˆp D N ( µ, σ2 ), µ = E[I k ] = p, σ 2 = Var[I k ] = p(1 p) att basera ett kofidesitervall på. Kofidesitervallet kostruerar vi utgåede frå statistika ˆp p D N(0, 1) p(1 p)/ me eftersom vi ite vet p så skattar vi variase för p med / och aväder ˆp p / D N(0, 1)

istället. Vi får P z 1 α/2 ˆp p / z 1 α/2 = 1 α P ˆp z 1 α/2 p ˆp + z 1 α/2 = 1 α och med alterativt skrivsätt p ˆp z 1 α/2, ˆp + z 1 α/2, (1 α) Atag att 27 av 764 persoer svarade ja i udersökige. Vi skattar ett 95 % kofidesitervall. Ur data : ˆp = 27/764 0.0353 Ur tabell : z 0.975 = 1.96 Vi beräkar kofidesitervallet : 0.0353(1 0.0353) 0.0353(1 0.0353) p 0.0353 1.96, 0.0353 + 1.96 764 764 = [0.0287, 0.0420], (0.95) Ett 95 % kofidesitervall för adele persoer på chalmers som vuit på lotta är alltså p [0.029, 0.042]. OBS!!! Det fis alltid e lite risk att ett kofidesitervall för p baserat på CGS iehåller orimliga värde. Om exempelvis edast 2 av de tillfrågade persoera hade svarat ja hade kofidesitervallet blivit p [ 0.001, 0.006], (0.95) vilket är helt orimligt eftersom p ite ka ata egativa värde. Samma sak häder om för måga svarar ja, exempelvis alla utom 2. Då blir itervallet p [0.994, 1.001], (0.95) vilket är lika orimligt. Observera att i de båda falle ka vi ite bara kapa itervallet i rätt äde eftersom det då ite har de rätta kofidesgrade.

Att beräka stickprovsstorleke Atag att vi vill skatta e parameter med e viss oggrahet. Vi eftersträvar ett kofidesitervall med e viss bredd, exempelvis att p = ˆp ± z 1 α/2 p(1 p) där vi vill att felterme ska vara midre ä ågot positivt ε, z 1 α/2 p(1 p) < ε. Egetlige ka vi ite beräka gfelterme förrä vi vet vilke skattig vi på p vi har, vilket vi ite vet i förväg. Däremot ka vi beräka e övre begräsig för felterme. Notera att p(1 p) 1 4 för alla p [0, 1] där likhete gäller om p = 1/2. Alltså är z 1 α/2 p(1 p) z1 α/2 4 < ε > z 1 α/2 4ε 2. Det betyder att om vi ska kostruera ett 95 % kofidesitervall (z 0.975 = 1.96) med bredde midre ä 0.1 (ε < 0.05) så måste vi aväda > 1.96 4 0.05 2 = 196 och för bredde som mest 0.01 krävs ite midre ä observatioer. > 1.96 4 0.005 2 = 19600 Kofidesitervall för skillade mella två proportioer Ska vi studera kofidesitervall för skillade i proportioer aväder vi att ( D ˆp 1 ˆp 2 N p 1 p 2, ˆp 1(1 ˆp 1 ) + ˆp ) 2(1 ˆp 2 ) 1 2 där ˆp 1, ˆp 2 är skattigara för respektive stickprov och 1, 2 är de två stickprovsstorlekara.

Grafteori E graf G består av e mägd oder V = {fv 1, v 2,..., v } och e mägd kater E = {e 1, e 2,..., e m } där var och e av katera ges av de igåede odera, exempelvis e 1 = (v 1, v 2 ). Några grafbegrepp... Graar Två oder sägs vara graar om de båda igår i samma kat. Väg E väg (eg. walk) geom e graf är e serie oder v 1, v 2,..., v k såda att odera v i och v i+1 är graar. Stig E stig (eg. path) är e väg där alla igåede oder är olika. E stig återkommer alltså ite till samma od, me det ka e väg göra. Eulersk väg E Eulersk väg är e väg som iebär att grafes alla kater passeras exakt e gåg. Cykel E cykel är e väg v 1,...v k, v k+1 där alla oder är olika förutom att v k+1 = v 1. E cykel är alltså e stig som återväder till utgågspukte. Hamiltosk cykel E Hamiltosk cykel är e cykel där grafes alla oder igår. Kompoet E kompoet i e graf består av alla oder som är graar med varadra. Grafe i Figur 1 har tre kompoeter, G 1, G 2 och G 3. Om grafe edast har e kompoet sägs de vara kopplad (eg. coected) Träd Ett träd är e graf som är kopplad ite har ågra cykler. Notera att ett träd T = (E, V ) med oder har exakt 1 kater. I Figur 1 är kompoete G 3 ett träd är vi betraktar de som e ege graf. Isomorfa grafer Ett sätt att betecka idetiska grafer. Två grafer är isomorfa om det fis e bijektio α (1-1 och oto mappig) mella odera i två grafer G 1 och G 2 såda att om e = (v, w) E 1 (α(v), α(w)) E 2

dvs om de ka ritas på samma sätt. För att två grafer ska vara isomorfa måste de iehålla samma atal oder samma atal kater och alla oder måste ha samma vales. Vales Vales är e egeskap för e od och är atalet kater som ode igår i, exempelvis har oede v 5 i Figur 1 valese 4 vilket beteckas med δ(v 5 ) = 4. Teorem För e graf G = (V, E) gäller att δ(v) = 2 E. v V Bevis När vi summerar valese för alla oder kommer varje kat att vara med e gåg för varje igåede od och e kat har per defiitio två oder. Korrolarium Atal oder i e graf med udda vales är jämt. Bevis Summa av valeser är jäm och eftersom valessumma för oder med jäm vales är jäm måste atalet oder med udda vales vara jäm för att hela summa ska vara jäm. Ett exempel Professor Slump och has fru Fortua har e fest hemma och då kommer ytterligare fyra par. Folk skakar had med varadra lite slumpmässigt är de träffas uder kvälle, me aturligtvis skakar ite gifta maka had. När kvälle är slut frågar prof. Häggström alla gäster hur måga de skakat had me doch alla ger olika svar. Hur måga skakde ahd med Fortua?

v 1 e v e 2 7 1 v 6 e 3 v 11 v 2 e 4 e 5 v 8 e 11 e 12 v 10 e 6 v 5 v 15 v 16 e 16 e 17 e 9 e 10 v 3 e 7 e 8 v 12 v 9 v 17 e 14 e 18 v 4 e 13 e 15 v 13 v 14 v 18 e 19 e 20 v 19 v 20 Figur 1: Ett exempel på e graf G = (V, E) med odmägd V = {V 1,...,v 20 och katmägd E = {e 1,..,e 20 }. G har tre kompoeter, G 1 = ({v 1,...,v 12 }, {e 1,...,e 12 }), G 2 = ({v 12,v 13,v 24 }, {e 13,e 14,e 15 }) och G 1 = ({v 15,...,v 20 }, {e 16,...,e 20 }), varav G 2 är de kompletta grafe K 3 och G 3 är ett träd (som käeteckas av att de ite har ågra loopar.)