Sida av MINSAKVADRAMEODEN Låt a a a a a a a a a vara ett ikosistet sste ( olösart sste dvs. ett sste so sakar lösig). Vi ka skriva ssteet på fore A (ss ) där a a... a a a... a A, och............. a p a p... a p p Efterso ssteet är olösart har vi A dvs A för alla i R. För e vektor ka vi etrakta så kallade residualvektor r () A (*); Uttrcket r r r rp visar hur pass väll e vektor satisfierar ssteet. (O ssteet (ss ) har e lösig då är r ( ) A ) O ssteet är olösart då ka vi estäa e vektor so iierar lägde av residualvektor A dvs so iierar uttrcket A r r r r. p Bestäig av e vektor so iierar A kallas istakvadratetode. MINSAKVADRAMEODEN: För att estäa so iierar A steg: Steg. Vi ultiplicerar A (ss ) frå väster ed traspoatet A, och får r r r rp r r r r gör vi följade p A A A (ss ), så kallade oralsste. Steg. Vi löser det a ssteet ( ss ); lösige till (ss) iierar lägde av residualvektor.
Sida av Egeskaper för oralssteet:. Noralssteet är kvadratiskt, ekvatioer och oekata. Noralssteet (ss) är alltid lösart och ka ha eakt e eller oädligt åga lösigar.. O oralssteet har oädligt åga lösigar då varje såda lösig iierar residualvektor. Förklarig av ekvatioe A A A. Ata att är lösige ed istakvadratetode dvs e vektor so iierar utrcket A. Låt W I(A) { A : R }. E vektor iierar uttrcket A o A proj ( W ) (se figure). A W I(A) A projw () Alltså, för att estäa de sökta vektorera ka vi först estäa projw () och därefter lösa ekvatioe A projw () (ekv a). (Ekvatioe är lösart efterso proj ( W ) ligger i W I(A).) De etod kräver gaska cket tid för alla eräkigar. För att skriva o ekvatioe (ekv a) oterar vi att A är ortogoal ot uderruet W I(A) och däred ligger i (I(A)). Efterso (I( A )) Ker( A ) har vi att A ligger i Ker ( A ). Därför A ( A ) A A A eller slutlige A A A. Alltså, för att fia so iierar lägde av residualvektor A löser vi ekvatioe: A A A (ss ), så kallade oralsste eller oralekvatioe.
Sida av Eepel. Ssteet A so defiieras eda är uppeart olösart (jäför de första och de adra ekvatioe). i) Bestä de vektor so iierar lägde residualvektor. ii) För detta estä residualvektor r( )A - och dess lägd r( ). Lösig Vi skriver ssteet på atrisfor A (*) i) Ssteet (*) ultiplicerar vi ed A och får oralsste A A A dvs: 8 (oralsste på atrisfor) Vi skriver ssteet på fore 8 (**) och får lösig till (**) / och. Alltså /. ii) Residualvektor är r( )A - / / / / och dess lägd eller felet r( ).
Sida av Eepel. Ssteet A so defiieras eda är uppeart olösart. i) Bestä de vektor so iierar lägde av residualvektor ( dvs felet) A. ii) För detta estä residualvektor r( )A. Lösig Vi skriver ssteet på atrisfor A (*) i) Ssteet (*) ultiplicerar vi ed A och får oralsste A A A dvs: 5 (oralsste på atrisfor) Vi skriver ssteet på fore 5 (**) och får lösig till (**) / och. Alltså /.
Sida 5 av ii) Residualvektor är r( )A - felet r( ) KURVANPASSNING MED MINSAKVADRAMEODEN. Vi ka aväda ista kvadrat-etode (MK-etode) för att apassa e kurva f () ed okäda koefficieter ( t e a, a c, a si( ) c cos( ) eller (efter logariterig) ae ) till eperietdata ( ätdata) Y (,,... ), X (,,... ) Vi ildar ett ekvatiossste sste f ( ) f ( )... f ( ) ed okäda koefficieter a,,... Efterso alla pukter ( k, k ) ligger ej ( i allä fall) på kurva f() sakar ssteet lösig. Vi aväder MK-etode och estäer koefficieter a,,... så att lägde av residualvektor k [ k f ( k )] iieras. pe av kurva ( t e a, a c, a si( ) c cos( ), ae,...) estäer vi eligt teoretiska kuskaper o proleet so vi udersöker. O det sakas teoretisk odell då plottar vi puktera ( k, k ) och därefter väljer kurvas tp efter grafe. Vi ka äve testa flera odeller och kolla vilke gör ista felet eligt ( kv.s ).
Sida av Eepelvis, i edaståede Fig ed puktera ( k, k ), ka vi ata att det fis ett lijärt saad a, ella X och Y e i Fig är det saadet uppeart ite lijär. Vi ka t e försöka ed kurva a c. Eepel a. ( Lijär istakvadratapassig) Apassa lije a eligt istakvadratetode till ätdata och estä lägde av residualvektor. Lösig: ( Lägg ärke till att a och är oekata.) Vi sustituerar i ekvatioe a och får följade ( olösart) sste a a so vi ka skriva på atrisfor a a a Vi ultiplicerar ekvatioe frå väster ed A och får a 5 so ka skrivas so 8 a 5 a 5 a 5 5a a / 5 /. a 8 a 9a Däred är de sökta räta lije. 5 Felet so iieras vid dea etode apassig är residualvektor [ k f ( k )] r r r A (se figure eda) k
Sida 7 av a /5 I vårt fall är / 9 / r A 7 / och r. 5 / / Svar: ; r( )A - 5 9 / 7 / / / och r. 5 Eepel. (istakvadratapassig ed e parael) a) Apassa parael a c eligt istakvadratetode till ätdata X Y och estä lägde av residualvektor. Lösig: Vi sustituerar X Y i ekvatioe a c och får följade ( olösart) sste a c a a c so vi ka skriva på atrisfor a c c 9a c 9 9 Vi ultiplicerar ekvatioe frå väster ed A 98 a 5 c 8 Härav ( efter cket eräkig) och får
Sida 8 av a, / 5, c / och ( / 5) /. Asoluteloppet av residualvektor /5 / / /. 7 / 5 9 / Aärkig: Felet i de lijära approiatioe i eepel.a är c a 5 gåger större. Vi ser i edaståede graf att parael approierar giva pukter cket ättre ä lije i eepel. Grafe till puktera och parael ( / 5) / : Eepel. Apassa parael a c ( aväd gära iiräkare) eligt istakvadratetode till ätdata Lösig: ( Lägg ärke till att a och c är oekata.) Vi sustituerar i ekvatioe a c och får följade (olösart) sste ( ) a ( ) c () a c a c a c So vi skriver på atrisfor, A, dvs
Sida 9 av c a. Multiplikatioe ed A frå väster ger fäljade sste 5 8 8 8 c a so har lösige a 5/, /, c /5. Eepel 5. ( Aväd gära iiräkare ) Apassa kurva p eligt istakvadratetode till ätdata f( ), f (), f (), f (). Vi ildar ett ekvatiossste sste f f f ) (... ) ( ) ( ed okäda koefficieter, och p. ) ( ) ( p p p p Härav får vi ssteet p p p p so vi skriver på atrisfore AX
Sida av / / p Multiplikatioe ed A / / frå väster ger fäljade sste 59 / 5 7 / 7 / /5 och / p / 9/ 7 p /5 Alltså är istakvadratetode. / de kurva so är est apassig till ätdata eligt / / Residualvektor r( )A. Lägde r( ) A. Eepel. ( aväd gära iiräkare) Apassa kurva a si() eligt istakvadratetode till ätdata X π π π π π π 5π π Y 5 5 Lösig: ( Lägg ärke till att a och är oekata.) Vi sustituerar och värde i ekvatioe a si( ) och får ssteet AXB där
Sida av / / / / / / A, a X och 5 5 B Vi ultiplicerar ekvatioe AXB ed A och får ) 9 (8 ) ( ) ( 9 a Härav ) 9 (8 ) ( ) ( 9 ) ( a ( iiräkare).98.85 a Alltså är ).98si(.95 de sökta kurva. (Se edaståede figur) Eepel 7. Vi etraktar ett olösart (ikosistet) sste A där A är e atris av tp 5 so har " istakvadrat-lösige" 7 5. Låt M vara e ortogoal atris ( dvs atrise M uppfller villkoret M M I) av tp 5 5. Bestä e " istakvadrat-lösige" till ssteet MAM.
Sida av Lösig: Vektor 5 satisfierar oralekvatioe 7 A A A (*) För att estäa " istakvadrat-lösige" till MAM ultiplicerar vi frå väster ed (MA) och får oralekvatioe (MA) MA (MA) M A M M A A M M (M M I för M är eligt atagade e ortogoal atris) A IA A I A A A (***) ( föreklad oralekvatioe) Vi har fått saa ekvatio so (*). Därför 5 satisfierar (***) och däred (**), 7 ed adra ord 5 är e " istakvadrat -lösig" till MAM. 7