Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr sedn resulttet med fr. Stvrns linjelddningstäthet ρ l = Q/4. nför ett koordintsstem enligt gur. / / Potentilen i en punkt på -eln beräkns med Coulombs lg r = ŷ, r = ˆ. V = 1 / 4πɛ / = Q 16πɛ ln ρ l + d = + 4 + + 4 Q 16πɛ ln + =/ + = / Evluer potentilen i = /. Det totl potentilen i P är Q V P = 4 16πɛ ln + 1 1 = Q πɛ ln + 1 Av smmetri är det elektrisk fältet noll i punkten P. EP = Lösning problem Från Pontingvektorn Sr, t = Er, t Hr, t = A ẑ + ˆ cos k + z ωt η
konstterr vi tt vågens utbredningsriktning ê är ê = ẑ + ˆ vilket leder till tt dess vågvektor k är k = ω c ẑ + ˆ = k ẑ + ˆ eftersom vågtlet för vkuum är k = ω/c. Vi nsätter en llmän mgnetisk fältstrk för plnvågen förenlig med informtionen om fältets riktning Hr, t = H cosk z + / ωt + δẑ ˆ där H är en okänd positiv reell konstnt och δ en okänd fsvinkel. nformtionen om mgnetfältet i origo vid tiden t = ger tt δ =. Regeln om högersstem Er, t = η ê Hr, t ger smbndet Er, t = η ê ẑ ˆ H cosk z + / ωt = η Hŷ cosk z + / ωt Bild Pontingvektorn och jämför med informtionen i uppgiften. Sr, t =Er, t Hr, t = H η cos k z + / ωtŷ ẑ ˆ =H η cos k z + / ωtẑ + ˆ och vi ser tt H η = A /η, vilket medför tt H nts vr positiv reell konstnt De elektrisk fält är H = A/η Er, t = A cosk z + / ωtŷ Lösning problem 3 Vi väljer tt beräkn ödet genom den mindre slingn från den större, och vi orienterr ett koodintsstem med origo i den stor slingn och vrs --pln smmnfller med kvdrtens pln.
3 Fältet i origo från kvdrtisk slingn beräkns med Biot-Svrts lg, och blir fr gånger bidrget från en sid och riktd i ẑ-led om strömmen ter moturs. Med en tänkt ström genom kvdrten beräknr vi den mgnetisk ödestätheten i origo. r =, r = ˆ ŷ/ [ /, /], dl = ˆ d B = 4 µ / ˆ d ˆ ŷ/ 4π / + /4 3/ = ẑ µ π / / Flödet genom den cirkulär slingn blir p.g.. tt b Φ = B ẑπb = µ π πb = µ b och den ömsesidig induktnsen blir M = Φ = µ b d + /4 = ẑ µ 3/ π Alterntiv, mcket svårre lösning: Vi beräknr ödet i kvdrten från den lill cirkulär slingn, som pproimers med en mgnetisk dipol med dipolstrk m = πb ẑ vi ntr tt en ström ter moturs i slingn. Fältet från den lill slingn ges v dipolfältet Br = µ m ˆr cos θ + 4πr ˆθ sin θ 3 där θ är polvinkeln. Den mgnetisk ödestätheten från en mgnetisk dipol i -plnet blir µ b Br = ẑ 4 + 3/ Observer tt vi kn inte beräkn ödet genom kvdrten genom tt integrer över kvdrtens inre, eftersom vi då kommer när den mgnetisk dipolen och då upphör pproimtionen vi nvänder. Vi väljer därför en t som består v en hlvsfär med rdie R och den del i --plnet som ligger utnför kvdrten men innnför en cirkel med rdien R.
4 R Flödet genom kvdrten blir vi väljer ˆn = ˆr på hlvsfären och ˆn = ẑ på tn i --plnet, plnet bidrr med ått gånger det gråfärgde området i guren Φ = B ˆn ds = µ b 1 4R 4π t dt + 8 µ b π/4 R r c dr c dφ 4 / cos φ r 3 c S = µ b π π/4 cos φ R + µ b 1 dφ = 4 µ b π/4 cos φ dφ = µ b R och den ömsesidig induktnsen blir M = Φ = µ b Lösning problem 4 Det elektrisk fältet i de olik områden beräkns med Guss lg. området r < är v smmetriskäl den elektrisk ödestätheten Dr = Drˆr. Guss lg på en sfär med rdie r < ger 4πr Dr = D ˆn ds = Q enc = Dr = Dett medför tt D = och E = D/ɛ ɛ r = i dielektrikt. b området < r < b benner vi oss i metllen och E =. c området r > b nvänder vi på ntt Guss lg. Av smmetriskäl den elektrisk ödestätheten Dr = Drˆr. Guss lg på en sfär med rdie r > b ger 4πr Dr = D ˆn ds = Q enc = Q Dr = Q 4πr Dett medför tt och Dr = Qˆr 4πr Er = Dr ɛ = Qˆr 4πr ɛ
5 Den elektrisk energin blir således W e = 1 R 3 E D dv = 1 4π b Q 16π ɛ r 4 r dr = Q 8πɛ b Lösning problem 5 F nför ett koordintsstem så tt den en skenn smmnfller med z-eln och den ndr ligger i -z-plnet, dvs. skenorn prmeterfrmställs v zẑ och zẑ + dŷ. Den mgnetisk ödestätheten i området melln skenorn i plnet = fås med Ampères lg hlv bidrget v en hel sken om mn ntr tt d B,, z = ˆ µ π + + ˆ µ π + d Den mgnetisk krftlgen ger totl krften på stven. d F = ŷ d B = µ ẑ d 1 4π + + 1 d + d = µ ẑ π ln d + d + = µ ẑ π z d ln d + + 1 Uttrck den mgnetisk ö- Alterntiv, mer vncerd, mer ekt, lösning: destätheten i krtesisk koordinter. B,, z = µ ˆ + ŷ 4π + + µ ˆd + ŷ 4π + d
6 Den mgnetisk krftlgen ger totl krften på stven blir nu utn ntgndet tt d d F = ŷ d B,, z = µ ẑ d ŷ ˆ + ŷ ŷ ˆd + ŷ + d 4π + + d = µ ẑ d 4π + + d d = µ ẑ d + d π + d 1 + d = µ ẑ 4π Lösning problem 6 ln + =d = µ ẑ = 4π ln + d = µ ẑ 4π Vi orienterr ett koordintsstem med origo i punktdipolens centrum och med z- eln riktd längs p. Potentilen från den elektrisk punktdipolen är och det elektrisk fältet E 1 r = V 1 r = p r 4πɛ r = p cos θ 3 4πɛ r p ˆr cos θ + 4πɛ r ˆθ sin θ 3 Dett fält stiserr inte rndvillkoret på r =. Vi lägger till ett lämpligt källfritt fält så tt dett villkor uppflls. Beteckn A och B konstnter V r = Az + B Dett fält stiserr Lplce ekvtion, V r =, och motsvrnde elektrisk fält är E r = V r = Aẑ = A ˆr cos θ ˆθ sin θ Om vi väljer A = p/4πɛ 3, så blir tngentilkomponenten på r = v det elektrisk fältet Er = E 1 r + E r ˆn Er = ˆr E 1 r + E r = Således löser potentilen ln p 4πɛ ˆφ sin θ p 3 4πɛ ˆφ sin θ = 3 V r = V 1 r + V r = p cos θ pr cos θ 4πɛ r 4πɛ + B 3 potentilproblemet i ll punkter inuti det sfärisk hålrummet enligt entdighetsstsen för ledre. Potentilen på hålrummets t, inuti och på ttertn v metllkroppen är V ˆr = B.
7 Ytlddningstätheten på hålrummets insid är V r ρ S = ɛ p cos θ r = r= 4π 3 p cos θ 4π 3 3p cos θ = 4π 3 och den totl lddningen på insidn v sfären blir S 1 3pt ρ S ds = π 1 4π dt = Den totl lddningen på kroppens utsidn är således också noll olddd kropp, vilket enligt entdighetssten för elektrosttisk problem med ledre ger tt V = överllt utnför kroppen. Dett medför B =. V r = p cos θ pr cos θ 4πɛ r 4πɛ, 3 r <, i övrig punkter noll