freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division........................ Kvdrer och kvdrtrot......................... Eponentilfunktion och logritmfunktion............... 4 Histori 5 Länkr.................................... 5 Eponentilekvtionen 6 Digrm och logritmisk sklor 9 Digrm................................... 9 Logritmisk sklor............................. 0 Räkneregler för eponenter och logritmer Logritmer och multipliktion, division Logritmtbell 5 00 549.................................. 6 550 999.................................. 7 Förord Denn PDF är vsedd tt vr en utvidgning och ett förtdlignde till lärobokens vsnitt om logritmer. Logritmer är nödvändig för tt lös den viktig eponentilekvtionen. För Kursen Mb ingår sidn till. Mc bör läs hel stencilen. Denn tet kn fritt kopiers och sprids i stencilform för undervisningsbruk. /GRob G Robertsson 06 06-04-0
freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Funktioner och inverser Dess sidor är skrivn med fokus på eponentilfunktionen och dess invers logritmfunktionen. Logritmfunktionen är nödvändig för tt lös den viktig eponentilekvtionen. För tt få ett br mtemtiskt perspektiv så inleds vsnittet med en presenttion v två ndr funktioner och ders inverser, multipliktion-division och kvdrering-kvdrtrot. Multipliktion och division,5 multipliktion =, 5 definitionsmängd 80 00 60 00 400... värdemängd, 5 division = värdemängd 00 5 00 50 500... definitionsmängd,5 När funktionen är multipliktion blir inversfunktion division. Omvänt om funktionen är division blir inversfunktionen multipliktion. Eempel För tt beräkn pris med moms från ett givet pris utn moms multiplicers det momsfri priset med,5. För tt beräkn priset utn moms från ett givet pris med moms dividers priset med,5. Både multipliktion och division går tt beräkn utn räknehjälpmedel. G Robertsson 06 06-04-0
freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Kvdrer och kvdrtrot kvdrering = definitionsmängd 0 4 5... värdemängd kvdrtrrot = värdemängd 0 4 9 6 5... definitionsmängd När funktionen är kvdreing blir inversfunktion kvdrtrot. Omvänt om funktionen är kvdrtrot blir inversfunktionen kvdrering. Eempel Ytn v en kvdrt beräkns genom tt kvdrer sidn. Omvänt nvänds kvdrtroten för tt beräkn sidn på en kvdrt när tn är given. Att kvdrer är en opertion som enkelt kn utförs utn räknehjälpmedel. Kvdrtroten är en opertion som oft kräver räknehjälpmedel. Kvdrtroten ur tlen, 4, 9,... och tterligr någr tl behöver ing räknehjälpmedel. Kvdrtroten ur tlen, 5, 0,... och nästn ll ndr tl kräver räknehjälpmedel eller historiskt en tbell. G Robertsson 06 06-04-0
freeleks Funktioner, inverser och logritmer 4(7) Eponentilfunktion och logritmfunktion 0 eponent = 0 definitionsmängd - - 0... värdemängd lg logritm värdemängd 0,0 0, 0 00... definitionsmängd = lg När funktionen är eponentilfunktionen blir inversfunktion logritmfunktionen. Omvänt om funktionen är logritmfunktionen blir inversfunktionen eponentilfunktionen. Bs och eponent I uttrcket 0 är 0 bs och eponent. I likheten 0 = är det tl som 0 sk upphöjs till för tt få. Tlet klls logritmen för. Mer precis är logritmen med bsen 0 för. Tlet kn vr vilket som helst positivt eller negtivt tl. Tlet blir lltid positivt. Vi skriver = lg, vnligt i böcker, eller = log vnligt på räknren. Eempel Eponentilfunktionen nvänds för tt beskriv tillvät i olik smmnhng. En befolkning på 50 000 som ökr % vrje år hr förändringsfktorn,0. Efter ett år är befolkningen 50 000,0 = 5 000, efter två år 50 000,0 = 5 00 och efter n år är befolkningen 50 000,0 n. Om befolkningen minskr med % blir förändringsfktorn 0,98. Eponentilfunktionen kn beskriv både ökning och minskning. Förändringsfktorn är lltid positiv. Eponentilfunktionen kräver nästn lltid räknehjälpmedel. G Robertsson 06 06-04-0
freeleks Funktioner, inverser och logritmer 5(7) En rimlig fråg tt ställ är hur lång tid det tr för en befolkning tt fördubbls, minsk till hälften eller någon nnn nivå. För tt kunn svr på frågor v denn tp behövs logritmfunktionen som är inversen till eponentilfunktionen. Logritmfunktionen kräver också nästn lltid räknehjälpmedel. Histori Historiskt infördes logritmer v John Npier, skotsk mtemtiker (550 67). Upptäckten v logritmer räkns som en v vår kulturs störst vetenskplig bedrifter. Npier ville förenkl rbetskrävnde multipliktion, division och lckdes med hjälp v tbeller omvndl räknerbetet till ddition och subtrktion. Senre införde Henr Briggs, engelsk mtemtiker(556 60), logritmer med bsen 0. Tio-logritmer vr frm till modern dtorer vnlig för numerisk beräkningr. Logritmer med bsen 0 brukr beteckns med lg eller log. Förutom logritmer med bsen 0, som ingår i gmnsiets kurs M, förekommer logritmer med bsen e (e.788... ) och. Logritmer hr hft en stor historisk betdelse då rbetskrävnde multipliktioner eller divisioner med hjälp v en tbell över logritmer kunde omvndls till enkl dditioner och subtrktioner. Billig elektronisk miniräknre hr gjort logritmer överflödig vid beräkning v multipliktion och division. Idg ingår logritmer i mtemtikundervisning som en nödvändig ingrediens för tt lös eponentilekvtioner. Länkr Universitetslektor Lrs Nstedt hr skrivit en trevlig rtikel om logritmerns stor historisk betdelse. Artikel i SvD Kindes Sempler hr skrivit om Npier, Briggs och logritmer i tidskriften N Teknik. På siten NumberPhile finns två inslg om logritmer, multipliktion med logritmer och beräkning v logritmtbeller. G Robertsson 06 06-04-0
Algebr Regler ( ) ( ) ( )( ) freeleks Funktioner, inverser och logritmer 6(7) ( ) b ( ) b ( )( ( )( ) ) Andrgrdsekvtioner p q 0 Eponentilekvtionen Eempel p p q Lös eponentilekvtionen c 0 b b 4c 7 =. Aritmetik Ekvtionen hr lösning med någonstns melln = och =. Prefi T G M k h d c m n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko 0 0 9 0 6 0 0 0-0 - 0-0 -6 0-9 0 - Potenser 7 9 Det sökt är oprktiskt plcert som eponent. För tt kunn lös denn ekvtion måste vi nvänd inversfunktionen till eponentilekvtionen. Tg logritmen för vänster och högerled. Vi får log 7 = log. b ( b) b ( ) n n Här sitter fortfrnde oprktiskt plcert. n Använd FORMELSAMLINGEN, Geometrisk n ( k ) där finns en nvändbr k räkneregel k... kför logritmer. där k summ k 0 Logritmer 0 lg e ln lg lg lg lg lg lg lg p p lg Absolutbelopp log 7 = log om 0 om 0 Det sökt hoppr ut från logritmfunktionen och lndr på rden frmför logritmfunktionen. log 7 = log Nu är problemet enkelt. Del bägge sidor med log. Ekt svr är = log 7 log. För numeriskt svr måste logritmern beräkns med miniräknre. Numeriskt svr är = 0,844... 0,477...,77 5-09-07 Skolverket Svr eempel. Ekt svr = log 7 log ligger melln förväntde och. och numeriskt är,77 vilket G Robertsson 06 06-04-0
Regler ( ) ( ) ( )( ) ( ) b ( ) b ( )( ( )( ) ) freeleks Funktioner, inverser och logritmer 7(7) Andrgrdsekvtioner p q 0 Eempel Bkterier väer snbbt. Vrje q timme ökr ntlet bkterier med 0%. Hur lång tid tr det för 00 bkterier tt vä till 00 000 bkterier? Aritmetik Lösning Förändringsfktorn är,. Efter timmr hr 00 bkterier ökt till När är ntlet bkterier 00 000? Lös eponentilekvtionen 00 000 = 00,. Förenkl ekvtionen till 000 =,. Logritmer ekvtionen b ( b log 000 = log,. p Använd FORMELSAMLINGEN, där finns enn nvändbr räkneregel för Geometrisk n ( k ) logritmer. k k... k där k p c 0 Prefi T G M k h d c m n p Potenser summ b b 4c ter gig 00, meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko 0 0 9 0 6 0 0 0-0 - 0-0 -6 0-9 0 - ) b ( ) n n k 0 Logritmer 0 lg e ln lg lg lg lg lg lg lg p p lg Absolutbelopp om 0 om 0 Eponenten hoppr ner på rden frmför logritmfunktionen. log 000 = log, log 000 = log, som hr ekt lösningen log 000 = log, Numeriskt får vi = 0,9 = 6, 5-09-07 Skolverket Svr eempel. Det tr 6 timmr. G Robertsson 06 06-04-0
( ) ( )( ) ( ) b ( )( ( )( ) ) Andrgrdsekvtioner p q 0 freeleks Funktioner, inverser och logritmer 8(7) Eempel En dtor minskr i värde med 0% vrje år. Hur lång tid tr detaritmetik för en dtor som kostr 8 000 kronor tt minsk till hlv värdet? Lösning Förändringsfktorn är 0,8. Efter år är värdet 8 000 0,8 När är värdet 4 000 kronor? Lös eponentilekvtionen 4000 = 8000 0,8. Förenkl ekvtionen till 0,5 = 0,8. Logritmer ekvtionen b log 0,5 = log 0,8 (. p p Använd FORMELSAMLINGEN, där finns enn nvändbr räkneregel för Geometrisk n ( k ) logritmer. k k... k där k q c 0 b b 4c Prefi T G M k h d c m n p Potenser summ ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko 0 0 9 0 6 0 0 0-0 - 0-0 -6 0-9 0 - b) b ( ) n n k 0 Logritmer 0 lg e ln lg lg lg lg lg lg lg p p lg Absolutbelopp om 0 om 0 Eponenten hoppr ner på rden frmför logritmfunktionen och vi får log 0,5 = log 0,8 log 0,5 = log 0,8 0.00 0.0969 som hr lösningen =,. 5-09-07 Skolverket Svr eempel. Det tr drgt år. G Robertsson 06 06-04-0
freeleks Funktioner, inverser och logritmer 9(7) Digrm och logritmisk sklor Digrm Om mn i digrm vill presenter dt där storleken vrierr från mcket litet till mcket stort är logritmisk skl lämpligre än vnlig linjär skl. Eemplet nedn illustrerr. dvärgnäbbmus,6 5,9 g åkersork 40 70 g brun rått 50 550 g röd räv 6,5 8 kg rådjur 0 8 kg älg 70 540 kg 500 kg 500 kg 400 kg 00 kg 00 kg 00 kg 50 kg 5 kg 500 g 50 g 5 g älg rådjur röd räv brun rått åkersork dvärgnäbbmus älg rådjur röd räv brun rått åkersork dvärgnäbbmus Med en linjär skl märks nästn ingen skillnd melln den lill dvärgnäbbmusen och den mer än 000 gånger tngre rödräven. För eempel v denn tp är logritmisk skl lämpligre. G Robertsson 06 06-04-0
freeleks Funktioner, inverser och logritmer 0(7) Logritmisk sklor Det finns mång fenomen där logritmisk sklor är lämplig. Ljud och decibel Bell [B] och vnligre decibel [db] är ett logritmiskt mått. Det nvänds för tt nge ett förhållnde till ett referensvärde och definiers enligt effekt B = log ( referensvärde ). Prefiet d (deci) betder tiondel effekt db = 0 log ( referensvärde ). Decibel nvänds oft för tt beskriv ljudnivå och nivå på ndr signler. En ökning med 0 db ( Bell) innebär en ökning med en fktor 0 v effekten. En ökning med 0 db ( Bell) innebär en ökning med en fktor 0 0 = 00 v effekten. En ökning med 0 db ( Bell) innebär en ökning med en fktor 0 0 0 = 000 v effekten. Jordbävningr och Richterskln Richterskln är en skl som nvänds för tt nge strkn hos jordbävningr. Skln är en logritmisk skl där vrje steg motsvrr en ökning v mgnituden (skkningen) med 0 gånger. Vätejonkoncentrtion och ph ph är ett logritmiskt mått på surhet, det vill säg på koncentrtionen (ktiviteten) v vätejoner (H+) i en lösning. Lösningr med låg ph-värden är sur, och de med hög klls bsisk. Lösningr som hr ph 7 klls neutrl. Vtten hr vätejonkoncentrtion 0 7 mol/dm. ph-värdet är logritmen för vätejonkoncentrtionen med omvänt tecken. Astronomi och mgnitudskln Mgnitudskln som nvänds i stronomi är en logritmisk skl och ett kvntittivt mått på ljusflödet som kommer från en stjärn. Skln skpdes för 500 år sedn v den grekisk stronomen Hipprkos och nvänds fortfrnde. Himlens ljusstrkste stjärn hr mgnituden och G Robertsson 06 06-04-0
freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) den svgste som går tt se med blott ögt hr mgnituden 6. En stjärn v 6:e mgnituden är 00 gånger svgre än en v : mgnituden. Skln är logritmisk och överensstämmer med hur ögt uppfttr skillnder i ljusstrk. Bsen i stronomisk mgnitudskln är 5 00 (,5) då 5 steg svrr mot fktorn 00. G Robertsson 06 06-04-0
Aritmetik Algebr Prefi T G M k h d c m n p Regler ( ter ) gig meg b kilo hekto ( deci ) centi milli b mikro b nno piko 0 0 9 0 6 ( ) 0 0 0-0 - 0-0 -6 ( ) b 0 b -9 0 - freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Potenser ( )( ) ( ) Räkneregler för eponenter och nlogritmer 0 Andrgrdsekvtioner b ( b) p q 0 b I FORMELSAMLINGEN finns räkneregler för både potenser och logritmer. p p b b 4c n Räknereglern Geometrisk liknr vrndr. n ( k q ) summ ( )( ) k k... k k n ( )( där k b c 0 ) Aritmetik Logritmer 0 lg e ln Prefi T G M k h d c m lg lg lg lg lg lg lg p n p p lg ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko 0 0 9 0 6 0 0 0-0 - 0-0 -6 0-9 0 - om 0 Absolutbelopp om 0 Potenser ( ) b ( b) b n n 0 5-09-07 n Skolverket Geometrisk n ( k ) k k... k där k summ k Logritmer och multipliktion, division Logritmer Absolutbelopp 0 lg lg lg lg om 0 om 0 e ln Här följer 5 eempel på hur logritmer kn nvänds vid multipliktion v tl. 5-09-07 Skolverket lg lg lg lg p p lg Eempel. Beräkn 0 00 med hjälp v logritmer. För eemplet behövs följnde tbell med 0-logritmer. tl decimlform 0,000 0,00 0,0 0, 0 00 000 0000 tl potensform 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 logritm 4 0 4 Digrmmet smmnfttr hur beräkningen utförs. 0 00 = 000 0 0 = 0 log 0 + log 00 = log(0 00) + = G Robertsson 06 06-04-0
freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Steg Utför bestäm logritmen för 0 och 00 från tbellen log 0 = och log 00 = dder logritmern logritmen för produkten är + = kontroller vilket tl som svrr mot logritmen logritmen svrr mot 000 Svr eempel 0 00 = 000 Eempel. Beräkn med hjälp v logritmer. För eemplet behövs en tbell med 0-logritmer. tl 4 5 6 7 8 9 potens 0 0,0000 0 0,00 0 0,477 0 0,60 0 0,6990 0 0,778 0 0,845 0 0,90 0 0,954 logritm 0,0000 0,00 0,477 0,60 0,6990 0,778 0,845 0,90 0,954 Digrmmet smmnfttr hur beräkningen utförs. = 6 0 0,00 0 0,477 = 0 0,778 log + log = log( ) 0,00 + 0,477 = 0,778 Steg Utför bestäm logritmen för och från tbellen log = 0,00 och log = 0,477 dder logritmern logritmen för produkten är 0,00 + 0,477 = 0,778 kontroller vilket tl som svrr mot logritmen logritmen 0,778 svrr mot nästn ekt mot 6. Svr eempel = 6 G Robertsson 06 06-04-0
freeleks Funktioner, inverser och logritmer 4(7) Eempel. Beräkn 4 5 med hjälp v logritmer. Steg Utför bestäm logritmen för 4 och 5 från tbellen log 4 = 0,60 och log 5 = 0,6990 dder logritmern logritmen för produkten är 0,60 + 0,6990 =,0,0 = + 0,0 kontroller vilket tl som svrr mot logritmern logritmen svrr ekt mot 0 och 0,0 svrr nästn ekt mot. resulttet blir 0 = 0. Svr eempel 4 5 = 0 Eempel 4. Beräkn 6 med hjälp v logritmer. För eemplet behövs en tbell med 0-logritmer. tl 4 5 6 7 8 9 potens 0 0,0000 0 0,00 0 0,477 0 0,60 0 0,6990 0 0,778 0 0,845 0 0,90 0 0,954 logritm 0,0000 0,00 0,477 0,60 0,6990 0,778 0,845 0,90 0,954 Digrmmet smmnfttr hur beräkningen utförs. 6 = 0 0,778 0 0,00 = 0 0,477 log 6 log = log(6 ) 0,778 0,00 = 0,477 Steg Utför bestäm logritmen för 6 och från tbellen log 6 = 0,778 och log = 0,00 beräkn skillnden v logritmern logritmen för kvoten är 0,778 0,00 = 0,477 kontroller vilket tl som svrr mot logritmen logritmen 0,477 svrr nästn ekt mot. Svr eempel 4. 6 = G Robertsson 06 06-04-0
freeleks Funktioner, inverser och logritmer 5(7) Eempel 5. Beräkn,4,4 87 4,5 9,4 med hjälp v logritmer. Denn begreppsmässigt enkl beräkning är rbetskrävnde tt utför för hnd. Med logritmer är det enkelt tt beräkn ett pproimtivt värde. Digrmmet smmnfttr hur beräkningen utförs.,4,4 87 4,5 9,4 = 4,6 0,4969 +,69 +,78 -,578 0,970 =,698 Steg Utför bestäm logritmen för tlen med hjälp v tbellen på sidorn 6 7 dder och subtrher logritmern logritmen för resulttet blir,698 kontroller vilket tl som svrr mot logritmen logritmen,698 uppftts som + 0,698 0,698 svrr nästn ekt mot 4,6 och svrr mot en fktor 0. Svr eempel 5.,4,4 87 4,5 9,4 4,6 Kommentr Tbellen på sidorn 6 7 är 4-ställig. Dett betder tt logritmern är beräknde med 4 siffror. För bättre noggrnnhet fnns tbeller med fler siffror Vid mitten v 70-tlet hde billig elektronisk minräknre gjort logritmtbeller överflödig. Multipliktion och division med hjälp v logritmtbell är idg överflödig men logritmer hr fortfrnde en viktig roll i mtemtik och vetenskp. Logritmtbell På sidorn 6 och 7 viss en logritmtbell v den tp som tidigre vr vnlig i gmnsieundervisning. G Robertsson 06 06-04-0
freeleks Funktioner, inverser och logritmer 6(7) 00 549 0 4 5 6 7 8 9 0 0000 004 0086 08 070 0 05 094 04 074 044 045 049 05 0569 0607 0645 068 079 0755 079 088 0864 0899 094 0969 004 08 07 06 9 7 06 9 7 0 5 67 99 40 4 46 49 5 55 584 64 644 67 70 7 5 76 790 88 847 875 90 9 959 987 04 6 04 068 095 48 75 0 7 5 79 7 04 0 55 80 405 40 455 480 504 59 8 55 577 60 65 648 67 695 78 74 765 9 788 80 8 856 878 900 9 945 967 989 0 00 0 054 075 096 8 9 60 8 0 4 6 84 04 4 45 65 85 404 44 444 464 48 50 5 54 560 579 598 67 66 655 674 69 7 79 747 766 784 4 80 80 88 856 874 89 909 97 945 96 5 979 997 404 40 4048 4065 408 4099 46 4 6 450 466 48 400 46 4 449 465 48 498 7 44 40 446 46 478 49 4409 445 4440 4456 8 447 4487 450 458 45 4548 4564 4579 4594 4609 9 464 469 4654 4669 468 4698 47 478 474 4757 0 477 4786 4800 484 489 484 4857 487 4886 4900 494 498 494 4955 4969 498 4997 50 504 508 505 5065 5079 509 505 59 5 545 559 57 585 598 5 54 57 550 56 576 589 50 4 55 58 540 55 566 578 59 540 546 548 5 544 545 5465 5478 5490 550 554 557 559 555 6 556 5575 5587 5599 56 56 565 5647 5658 5670 7 568 5694 5705 577 579 5740 575 576 5775 5786 8 5798 5809 58 58 584 5855 5866 5877 5888 5899 9 59 59 59 5944 5955 5966 5977 5988 5999 600 40 60 60 604 605 6064 6075 6085 6096 607 67 4 68 68 649 660 670 680 69 60 6 6 4 6 64 65 66 674 684 694 604 64 65 4 65 645 655 665 675 685 695 6405 645 645 44 645 6444 6454 6464 6474 6484 649 650 65 65 45 65 654 655 656 657 6580 6590 6599 6609 668 46 668 667 6646 6656 6665 6675 6684 669 670 67 47 67 670 679 6749 6758 6767 6776 6785 6794 680 48 68 68 680 689 6848 6857 6866 6875 6884 689 49 690 69 690 698 697 6946 6955 6964 697 698 50 6990 6998 7007 706 704 70 704 7050 7059 7067 5 7076 7084 709 70 70 78 76 75 74 75 5 760 768 777 785 79 70 70 78 76 75 5 74 75 759 767 775 784 79 700 708 76 54 74 7 740 748 756 764 77 780 788 796 0 4 5 6 7 8 9 G Robertsson 06 06-04-0
freeleks Funktioner, inverser och logritmer 7(7) 550 999 0 4 5 6 7 8 9 55 7404 74 749 747 745 744 745 7459 7466 7474 56 748 7490 7497 7505 75 750 758 756 754 755 57 7559 7566 7574 758 7589 7597 7604 76 769 767 58 764 764 7649 7657 7664 767 7679 7686 7694 770 59 7709 776 77 77 778 7745 775 7760 7767 7774 60 778 7789 7796 780 780 788 785 78 789 7846 6 785 7860 7868 7875 788 7889 7896 790 790 797 6 794 79 798 7945 795 7959 7966 797 7980 7987 6 799 8000 8007 804 80 808 805 804 8048 8055 64 806 8069 8075 808 8089 8096 80 809 86 8 65 89 86 84 849 856 86 869 876 88 889 66 895 80 809 85 8 88 85 84 848 854 67 86 867 874 880 887 89 899 806 8 89 68 85 8 88 844 85 857 86 870 876 88 69 888 895 840 8407 844 840 846 84 849 8445 70 845 8457 846 8470 8476 848 8488 8494 8500 8506 7 85 859 855 85 857 854 8549 8555 856 8567 7 857 8579 8585 859 8597 860 8609 865 86 867 7 86 869 8645 865 8657 866 8669 8675 868 8686 74 869 8698 8704 870 876 87 877 87 879 8745 75 875 8756 876 8768 8774 8779 8785 879 8797 880 76 8808 884 880 885 88 887 884 8848 8854 8859 77 8865 887 8876 888 8887 889 8899 8904 890 895 78 89 897 89 898 894 8949 8954 8960 8965 897 79 8976 898 8987 899 8998 9004 9009 905 900 905 80 90 906 904 9047 905 9058 906 9069 9074 9079 8 9085 9090 9096 90 906 9 97 9 98 9 8 98 94 949 954 959 965 970 975 980 986 8 99 996 90 906 9 97 9 97 9 98 84 94 948 95 958 96 969 974 979 984 989 85 994 999 904 909 95 90 95 90 95 940 86 945 950 955 960 965 970 975 980 985 990 87 995 9400 9405 940 945 940 945 940 945 9440 88 9445 9450 9455 9460 9465 9469 9474 9479 9484 9489 89 9494 9499 9504 9509 95 958 95 958 95 958 90 954 9547 955 9557 956 9566 957 9576 958 9586 9 9590 9595 9600 9605 9609 964 969 964 968 96 9 968 964 9647 965 9657 966 9666 967 9675 9680 9 9685 9689 9694 9699 970 9708 97 977 97 977 94 97 976 974 9745 9750 9754 9759 976 9768 977 95 9777 978 9786 979 9795 9800 9805 9809 984 988 96 98 987 98 986 984 9845 9850 9854 9859 986 97 9868 987 9877 988 9886 9890 9894 9899 990 9908 98 99 997 99 996 990 994 999 994 9948 995 99 9956 996 9965 9969 9974 9978 998 9987 999 9996 0 4 5 6 7 8 9 G Robertsson 06 06-04-0