Epipoärgomtri dn fundamntaa matrisn Låt vara n punkt i kamracntrum rsp Låt Punktn bägg kamracntrum pipoarpant ti bägg avbidningarna ti vara dss avbidning i två bidr gnom samt d -dimnsiona motsvarightrna kommr att igga i samma pan Dtta pan kaas pipoar pan π Epipoarinj Givt n punkt ibid dfiniras pipoarpant gnom basinjn En korrspondrand punkt bidpan Linjn är projktionn av strån gnom måst för igga på skärningsinjn av strån gnom samt strån man pipoarpant i bid kaas pipoarinjn ti?? C C pipoar in for Epipor Skärningspunktrna man basinjn bidpann kaas pipor Epipon i bid är avbidningn av kamracntrum Epipon i bid är avbidningn av kamracntrum π Eftrsom aa pipoarpan skär bägg kamracntrum kommr aa pipoarinjr att skära piporna Emp basin basin
är dt agbraiska rprsntationn av pipoärgomtrin Dn är n avbidning som projicras på punktn Dn fundamntaa matrisn Dn fundamntaa matrisn man n punkt i n bid dss pipoarinj i n annan bid Låt vara kamramatrisrna svarand mot bid Strån i i bid är är psudo-invrsn ti dvs Linjn går gnom punktrna Dssa punktr avbidas i dn andra kamran i Epipoarinjn går gnom dssa projicrad punktr dvs Punktn är pipon skrivas dvs projktionn av kamracntrum i dn andra kamran Epipoarinjn kan för r Emp ntag kamramatrisrna är n kaibrrad strorigg md värdsorigo i kamracntrum --n :98 Då är $ ' skär pipon * * Notra att piporna är + Vi kan för skriva i dt högra norummt ti --har 7 frihtsgradr; Korrspondns Om vi har två kamror md oika kamracntrum är dn fundamntaa matrisn homogn matris md rang Dn uppfyr att för varj par av korrspondrand punktr i d två bidrna gär att Epiporna Epipoarinjn ti varj punkt utom tså uppfyr vikort ty om är korrspondrand punktr så iggr på pipoarinjn för aa Dtta mdför att r svarand mot dvs Epipon är atså novktor ti i dt vänstra norummt ti På motsvarand sätt är pipoarinjn i bid svarand mot punktn i bid På motsvarand sätt är dvs är n novktor ti? nta frihtsgradr? homogn matris har 8 frihtsgradr Bivikort rang 7r rducrar antat ti 7 pipoar in for 7 8
Projktiv invarians Korrspondnsrationn att är invariant undr n homografi i Om så gär $ projktiv avbidning av dsamma; Punktrna är dn fundamntaa matrisn svarand mot Dn fundamntaa matrisn är invariant undr n homografi i Då är dn fundamntaa matrisrna svarand mot kamraparn Låt vara n -matris svarand mot n För finita kamror är dn fundamntaa matrisn svarand mot kamrapart Kanonisk form Givt dnna mångtydight brukar man dfinira n kanonisk form för kamraparn svarand värdskoordinataar Om dn andra kamran är matrisn svarand mot d kanoniska kamrorna mot n fundamnta matris dn första kamran har cntrum i origo så är dn fundamntaa är korrspondrand avbidningar av kamrorna i kamrorna * korrspondrand avbidningar av i gär En homografi i påvrkar atså värdspunktrna kamrorna mn int Dt btydr att dn fundamntaa matrisn D projktiv transformation bstämmr kamramatrisrna upp ti n högrmutipikation av n 9 Kanoniska kamrapar givt Skvsymmtri dn fundamntaa matrisn noskid matris En är skvsymmtrisk omm Låt vara n fundamnta matris of n godtyckig skvsymmtrisk matris Dfinira kamramatrisrna rang Då är Inss gnom att vrifira att är vänstra pipon ti anta att fundamntaa matrisn svarand mot dn är n gitig kamramatris har Vikort att är skvsymmtrisk är kvivant md att ' för aa Md bir dtta är skvsymmtrisk att matrisn För ska ha rang måst är novktor ti fungrand va är vikt dr ti kamraparn Ett vikt är dfinirand kvationn för dn fundamntaa matrisn Dn mst gnra formuringn för tt par kanoniska kamror är är n godtyckig -vktor är n skaär
Normaisrad koordinatr Studra n kamramatris åt vara n godtyckig punkt i bidn Om kaibrringsmatrisn Då är projktionn av känd kan vi appicra dss invrs på punktn är få uttryckt i normaisrad koordinatr Kamramatrisn Dn ssntia matrisn Studra tt normaisrat kamrapar Dn fundamntaa matrisn svarand mot normaisrad kamrapar kaas för dn ssntia matrisn har formn Dn dfinirand kvationn för dn ssntia matrisn är uttryckt i normaisrad bidkoordinatr för d korrspondrand punktrna kaas för normaisrad kamramatris har kaibrringmatris Insättning av gr - vikt gr r Dn ssntia matrisn mn godtyckig skaa Frihtsgradr för D färr frihtsgradrna motsvarar tt tra vikor; n två av dss singuära värdn är ika dt sista no använda matrisrna har frihtsgradr; rotationsvinkar i Studra uppdningn av mnt i --matris är n ssnti matris om är skvsymmtrisk Vi kommr att som är ortogona rsp skvsymmtrisk Notra att En skvsymmtrisk matris kan skrivas som är ortogona tså är Bräkning av kamramatrisrna ur Låt dn första kamramatrisn vara rotationsmatris Givt Låt är dt nödvändigt att faktorisra i n produkt gs ha singuärvärdsfaktorisringn två möjiga faktorisringar : av För att bräkna dn andra kamramatrisn av n skvsymmtrisk n Bortstt från tckn finns då r Faktorisringn gr-dn av kamramatrisn upp ti skaa från får vi n vttig normaisring av basinjn Dssutom gr Om vi väjr upp ti skaa vikt är n singuärvärdsuppdning av md två ika singuära värdn dt trdj no att är :t koumnn i Tcknt på mdkan mot int bstämmas vikt dr fram ti totat oika möjightr för dn andra kamramatrisn
D fyra oika kamrafaktorisringarna av Givt n singuärvärdsfaktorisring av finns föjand atrnativa kamrapar: kamra kanonisk a B B b Dssa atrnativ har gomtriska tokningar; omkastning av kamrorna samt rotation av n B B kamra runt basinjn: c d 7 8