LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tetame: 2014 10 28 kl 14 00 19 00 Matematikcetrum FMS 086 Matematisk statistik för B, K, N och BME, 7.5 hp Luds tekiska högskola MASB02 Matematisk statistik för kemister, 7.5 hp Luds uiversitet 1. Modell: Stickprov i par, dvs X i = tid före hos perso i, EX i = m i, Y i = tid efter hos perso i, EY i = m i + Δ, där Δ = geomsittliga skillade i reaktiostid, Räkigar: Z i = Y i X i N Δ, σ 2, i = 1,...,, = 8, oberoede. Δ = z = 1 z i = 0.29, s = 1 1 Δ N Δ, σ 2 /. Kofidesitervall: z i z 2 = 0.2199, I Δ = Δ ± t 0.025 1 s/ = 0.29 ± 2.36 0.2199/ 8 = 0.1062, 0.4738 2. a Låt X i N μ, 0.5 2 vara sockerhalte i e slumpmässigt vald beta. För att udersöka om sockerhalte är för låg vill vi testa H 0 : μ = 17 mot H 1 : μ < 17 på sigifikasivå α = 0.01. E skattig av μ ges av μ = x = 16.68, Det esidiga testet ka göras med: μ N μ, 0.52. Kofidesitervall: Ett uppåt begräsat itervall ger [ ] [ ] I μ =, μ 0.5 + λ 0.01 =, 16.68 + 2.3263 0.5 9 = [, 17.0677 ] Vi ka ite förkasta H 0 eftersom μ 0 = 17 fis i itervallet I μ. Teststorhet: T = μ μ 0 0.5/ 16.68 17 = 0.5/ = 1.920 9 Vi ka ite förkasta H 0 eftersom T λ 0.01 = 2.3263. b Att med 99.9% säkerhet upptäcka om μ 16 svarar mot Pförkasta H 0 om μ 16 = 0.999 Eftersom det är lättare att upptäcka större avvikelser räcker det att studera gräsfallet Pförkasta H 0 om μ = 16 = 0.999
Styrkefuktioe ges av hμ = Pförkasta H 0 om μ är rätt värde = P μ μ 0 = P 0.5/ < λ 0.01 = P }{{} T μ μ = P 0.5/ < λ 0.01 + μ 0 μ 0.5/ = Φ }{{} N 0,1 Vilkoret hμ = 0.999 ger att Φ λ 0.01 + μ 0 μ 0.5/ = 0.999 λ 0.01 + μ 0 μ 0.5/ = λ 0.001 μ 0 μ 0.5 Och vi behöver = 8 mätigar. = λ 0.001 + λ 0.01 = λ 0.001 + λ 0.01 μ 0 μ T < λ 0.01 μ N μ < λ 0.01 0.5 + μ 0 0.5 = = 2.7082 2 = 7.3346 3. a Vi asätter e model där observatioera är λ 0.01 + μ 0 μ 0.5/ 3.0902 + 2.3263 17 16 μ, 0.52 0.5 = 2.7082 y ijk = μ ij + ε ijk, i = 1, 2; j = 1, 2; k = 1,..., med oberoede och ormalfördelade fel, ε ijk N 0, σ 2. Skattig av huvud- och samspelseffekter är  = μ 11 + μ 21 μ 12 + μ 22 2 2 = 0.58, B = μ 11 μ 21 + μ 12 + μ 22 2 2 = 0.19, ÂB = μ 11 μ 21 μ 12 + μ 22 2 2 = 0.185, de poolade variasskattige är s 2 = s2 11 + s2 21 + s2 12 + s2 22 2 2 = 1.23 med f = 2 2 1 = 16 frihetsgrader, och medelfelet för respektive effekt är deffekt = s 2 2 = 1.23 4 5 = 0.2480 Ett kofidesitervall för respektive effekt ges av I effekt = êffekt ± t 0.025 f deffekt = êffekt ± 2.1199 0.2480 = êffekt ± 0.5257, och effektera är sigifikata om êffekt > 0.5257 itervaller kommer då ite att iehålla 0. Edast huvudeffekt A är sigifikat.
b Pumpora bör odlas på lerjord uta kostgödsel eftersom effekte av kostgödsel ite är sigifikat. 4. a I residualera frå Model 1 fis ett resterade beroede med x i form av e kvadratisk fuktio. Residualera för Model 2 har iget lika uppebart beroede på x, däremot är variase ite kostat ökar med ökade x. b För Model 3 blir parameterskattigara: β = S xy = 0.5051 α = x β ȳ = 0.9856 S 2 xy β N β, σ2 1 α N α, σ 2 + x2 s 2 = σ 2 = Q 0 2 = S yy 2 = 0.0106 s = 0.0106 = 0.1029 Medelfel för skattigara är dα = s dβ = 1 + x2 = 0.1029 s = 0.1029 = 0.0121, Sxx 72.2222 Och 95%-iga kofidesitervall för α och β ges av 1 50 + 22 72.2222 = 0.0283. I α = α ± t 0.025 2 dα = 0.9856 ± 2.0106 0.0283 = [ 0.9287, 1.0425 ] I β = β ± t 0.025 2 dβ = 0.5051 ± 2.0106 0.0121 = [ 0.4808, 0.5294 ] c Eftersom T = l 2/β så ka vi få ett 95% kofidesitervall för T geom att trasformera itervallet för β. Notera dock att vi behöver byta plats på gräsera I T = l 2 = [ l 2 I 0.5294, ] [ ] l 2 0.4808 = 1.3091, 1.4416 β 5. Om X är atalet skrämda besökare uta falska spidelät och Y är atalet skrämda besökare med falska spidelät så är e lämplig model: X Bi 1, p 1, 1 = 75, Y Bi 2, p 2, 2 = 100. Vi vill u testa H 0 : p 1 = p 2 mot H 1 : p 1 < p 2 fler skrämda besökare. Skattigar av saolikhetera är p 1 = x/ 1 = 50/75 = 2/3, p 2 = y/ 2 = 80/100 = 0.8, och uder H o p = x + y 1 + 2 = 50 + 80 75 + 100 = 0.7429. Eftersom p 1 p 1 = 14.3 > 10 och p 1 p 1 = 19.1 > 10 ka både X och Y ormalapproximeras. Medelfelet för skillade i saolikhet uder H 0 är dp 2 p V Y 1 = + V X = 2 2 2 1 2 p 1 p 2 2 + 1p 1 p 2 1 1 = p 1 p + 1 = 0.0045 = 0.0668. 2 1
Vi räkar se ut teststorhete för det esidiga hypotestestet: T = p 2 p 1 0 0.8 2/3 dp 2 p 1 = 0.0668 = 1.996 Vi ka förkasta H 0 eftersom T > λ 0.05 = 1.6449. 6. a Atalet gåger e godtycklig besökare skriker beskrivs med e stokastisk variabel X. Saolikhetera i uppgifte ger saolikhetsfuktioe till X : Vätevärde och varias via EX 2 blir EX = k k 0 1 2 p X k 0.2 0.5 0.3 kp X k = 0 0.2 + 1 0.5 + 2 0.3 = 1.1 EX 2 = k k 2 p X k = 0 2 0.2 + 1 2 0.5 + 2 2 0.3 = 1.7 V X = EX 2 EX 2 = 1.7 1.1 2 = 0.49 b Saolikhete att e svamp är ätlig är p = 4/5. Saolikhete att alla tolv svampar är ätliga blir då p 12 = 4/5 12 0.069. Alterativt ka ma låta X vara atalet ätliga svampar, dvs X Bi12, p, och räka ut PX = 12. c Sambadet mella fördeligsfuktio och saolikhets- eller täthetsfuktio ges av: { k x PX x = F X x = p X k, diskret fördelig x f X t dt, kotiuerlig fördelig och vi behöver para ihop fuktioera i A,B,C med deras derivator i I,II,III. i A-III, B-II och C-I. Eftersom fuktioera i C och I gäller e diskret variabel och fördeligsfuktioe i B är oll om x 0, vilket stämmer med täthete i II. ii PX 0 = 1 PX 0 = 1 F X 0 1 0.25 = 0.75, där vi läst av F X 0 0.25 i figure. d Låt X i betecka vikte av e pumpa med EX i = 5.5 och V X i = 1.2 2. Vikte av 100 pumpor är då approximativt ormalfördelad eligt CGS summa av måga likafördelade och oberoede variabler med Y = X i EY = E X i = EX i = 550 V Y = V DY = 144 = 12 100 X i = V X i = 100 1.2 2 = 144 och de sökta saolikhete blir 540 550 P 540 Y 600 = P Y 12 = Φ4.1667 Φ 0.8333 = 0.7976 e Styrkefuktioe ger saolikhete att förkasta H 0 för olika värde på μ. 600 550 = P 0.8333 Y 4.1667 = 12
i Eftersom styrkefuktioe är stor för små värde på μ så är testet kostruerat att upptäcka avvikelser edåt frå oll-hypotse, dvs om μ < μ 0. Alltså är mot-hypotese H 1 : μ < 1. ii Testets sigifikasivå ges av hμ 0 = h1 = 0.10, dvs α = 0.10. iii Testets styrka då μ = 0.5 ges av h0.5 0.6.