Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr ICKE-OMOGENA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER, ENKLA ÖGERLED Linjär diffrntialkation (DE) md konstanta kofficintr är n kation a följand t ( n) ( n) a... a a n a0 f ( ) () (kortar L()f() ) där kofficintr a n,..., a, a, a0 är konstantr. Om f ( ) 0 kallas kationn ( n) ( n) a... n a a a0 0 () (kortar L()0) homogn, annars ick-homogn (llr inhomogn). Dn allmänna lösningn till kation () är ( ) ( ) ( ) där () är dn allmänna lösningn till dn homogna DE () och () är n artikulärlösning till DE (). Dn allmänna lösningn till n homogn DE är linjär kombination a n obrond artikulärlösningar (som i kallar baslösningar) c c... cn n. Vi sökr linjärt obrond artikulärlösningar å formn r. r Substitutionn i ( ) och förkortning md gr n n r an r... ar ar a0 0. () Ekationn ( ) kallas dn karaktristiska kationn. När i bstämmr dn homogna lösningn, karstår att finna n artikulär lösning till ( n) ( n) a... a a n a0 f ( ). () Vi btraktar DE () då högrldt f () är n a följand funktionr: a a a olnom P n (),, sin b, cos b, Pn ( ) sin b, Pn ( ) cosb llr a ( P ( )sin b Q ( ) cosb). n m För att bstämma n artikulär lösning i sådana nkla fall antar i att är an funktionn a samma t som kationns högrld (i några fall, så kallad "rsonansfall", multilicrad md ). Sida a
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr a Rsonansfall till kationn L() ( Pn ( ) sin b Qm ( ) cos b) ustår om abi är n lösning (a multilicittn ) till dn karaktristiska kationn. I dtta fal anänds n n ansats. q Rsonansfall för kationn L() f() ustår i följand tr fall :. ögrsidan är tt olnom f ( ) P( ) och (samtidigt) r 0 är n lösning till dn karaktristiska kationn. a. ögrsidan f ( ) P( ) och (samtidigt) r a är n lösning till dn karaktristiska kationn. a a. ögrsidan f ( ) P( )sin b P( ) cos b och (samtidigt) r abi är n lösning till dn karaktristiska kationn. Några ml å högrldt och motsarand ansats för n artikulär lösning. Om högr sidan är tt olnom då dfiniras ansatsn md hjäl a tt olnom md obstämda kofficintr. ( Om i har tt rsonansfall då multilicrar i md dn tänkta ansatsn) ögrldt olnom P () Vanligt nklt fall Rsonansfall ustår om r0 Ansats Q() är n rot a multilicittn, där Q() är olnom a till dn karrakt. k samma grad som P () Ansatsn Q() 6 A B C D ( A B C D) A B C ( A B C) A B ( A B) / A A Om högr sidan är n rodukt a tt olnom och onntialfunktion då dfiniras ansatsn md n liknand funktion där olnomt har obstämda kofficintr. (Eonntialfunktionn bhållr samma onnt) ögrldt a P( ) ( ) 4 ( ) 5 Vanligt "nklt" fall. Ansats Q( ) ( A B C) 4 ( A B) A 4 a Sida a Rsonansfall ustår om ra är n rot a multilicittn till dn karrakt. k. Ansatsn innhållr faktor ( A B C) 4 ( A B) A 5
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr Om högr sidan är n rodukt a tt olnom och n sinus- llr cosinusfunktion då dfiniras ansatsn md n liknand funktion där olnomt har obstämda kofficintr. Ansatsn innhållr båd sinus och cosinusfunktion än om högrldt innhållr ndast n a dm. ögrldt P ( ) sin( b) P ( ) cos( b) Vanligt "nklt" fall. Ansats Q( ) sin( b) Q( ) cos( b) Rsonansfall ustår om rbi är n rot a multilicittn till dn karrakt. k. Ansatsn innhållr faktor ( )sin() ( A B)sin() ( C D)cos() [( A B)sin() ( C D)cos()] ( )cos() ( A B)sin() ( C D)cos() 4sin(5 ) A sin( 4) B cos(4) cos(5) A sin( 5) B cos(5) [ Asin(4) B cos(4)] Om högr sidan är n rodukt a tt olnom, onntialfunktion och n sinus- llr cosinusfunktion då dfiniras ansatsn md n liknand funktion där olnomt har obstämda kofficintr. Ansatsn innhållr båd sinus och cosinusfunktion än om högrldt innhållr ndast n a dm. (Anmärkning: Dt här fallt faktiskt täckr alla förgånd fall.) ögrldt a [ P ( ) sin( b) P ( ) cos( b)] 4 ( )sin() Vanligt "nklt" fall. Ansats a [ Q ( ) sin( b) Q( ) cos( b)] 4 [( A B)sin() ( C D)cos()] Rsonansfall ustår om rabi är n rot a multilicittn till dn karrakt. k. Ansatsn innhållr faktor 4 [( A B)sin() ( C D)cos()]. EKVATIONENS ÖGERLED ÄR ETT POLYNOM Om högrldt i kationn () är tt olnom ds f ( ) Pn ( ), då antar i att också är tt olnom md okända kofficintr ars kofficintr bstäms gnom insättning i kationn. Vi har följand tå fall: i) (Enklt fall ) Om 0 int är n lösning till dn karaktristiska kationn då ansättr i Rn (). ( R () n är tt olnom md okända kofficintr, a samma grad som högrldt) ii) (Rsonansfall) Om 0 är n lösning till dn karaktristiska kationn a multilicitt då ansättr i Rn (). Sida a
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr Eml. Lös följand DE md asnd å () 5 6 6 0. Lösning: i) Vi bstämmr först dn homogna lösningn, d s dn allmänna lösningn till kationn 5 6 0. Dn karaktristiska kationn r 5r 6 0 har tå rlla olika röttr r och r. Därför är och c c tå baslösningar och c c är dn allmänna lösningn till homogna kationn. ii) För att bstämma n artikulär lösning ansättr i (i har tt "nklt" ftrsom 0 finns int bland kationns röttr) tt olnom a andra gradn A B C. För att bstämma kofficintr A, B, och C bräknar i driator A B, A och substiturar i kationn 5 6 6 0 A 5( A B) 6( A B C) 6 0 6A (6B 0A) (A 5B 6C) 6 0. Idntifiring a kofficintr gr följand sstm md tr kationr: 6A 6 6B 0A A 5B 6C 0 Från första kationn har i A, andra gr B, och slutlign från trdj får i C. Dtta gr A B C. Slutlign ( ) ( ) ( ) ( ) c c. ( ) c c Eml. Lös DE md asnd å () Sida 4 a
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr 5 0. Lösning: i) omogn lösning. Först lösr i dn homogna kationn 5 0 Dn karaktristiska kationn r 5r 0 har tå rlla olika röttr r 0 och r 5. Därför är c 0 och c 5 tå baslösningar och 5 c c är dn allmänna lösningn till homogna kationn. ii)partikulär lösning. Dn här gångn 0 är n lösning a multilicitt till dn karaktristiska kationn och i har tt rsonansfall. För att bstämma n artikulär lösning ansättr i ( A B). För att bstämma kofficintr A, B, och C bräknar i driator A B, A B, A och substiturar i kationn 5 0 A 5( A B) 0 0A (A 5B) 0. Idntifiring a kofficintr gr sstm md tå kationr: 0A 0 A 5B Från första kationn har i A, och andra gr B5. Alltså A B 5 Slutlign ( ) ( ) ( ) 5 ( ) c c 5. 5 ( ) c c 5 Ugift. ögrldt är tt olnom ("nkla" fall) ( Tis: Vi har tt "nklt" fall ftrsom 0 är int n rot till dn karakt. k. i följand DE) Lös följand DE md asnd å () a) 6 5 b) 4 0 Sida 5 a
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr c) 4 d) 6 4 ) 6 5 f) g) 4 h) 5 5 5 i) 4 4 6 j) k) Bstäm dn lösning till 4 4 som satisfirar ( 0), ( 0). a) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: A En artikulär lösning: 5 / 6 8 Dn allmänna lösningn : c 5/ 6 8 c 5/ 6 b) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: A B En artikulär lösning: Dn allmänna lösningn : c c c) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: A B En artikulär lösning: 4 6 4 c 4 6 c 8 c c 4 d) Lösning till dn homogna kationn: c Ansats för n artikulär lösning: A B C En artikulär lösning: 4 c 4 ) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: A c c 5 En artikulär lösning: / 5 5 c c / 5 f) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: A B c c Sida 6 a
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr En artikulär lösning: c c 4 4 g) Lösning till dn homogna kationn: c Ansats för n artikulär lösning: A B C En artikulär lösning: c 4 4 8 c 8 c h) Lösning till dn homogna kationn: c sin( 5 ) c cos( 5 ) Ansats för n artikulär lösning: A B C En artikulär lösning: c sin( 5 ) c cos( 5 ) i) Lösning till dn homogna kationn: c sin( ) c cos( ) Ansats för n artikulär lösning: A B C D En artikulär lösning: c sin( ) c cos( ) j) Lösning till dn homogna kationn: c sin( ) c cos( ) Ansats för n artikulär lösning: A B En artikulär lösning: c sin( ) c cos( ) k) Lösning till dn homogna kationn: c c Ansats för n artikulär lösning: A B En artikulär lösning: Dn allmänna lösningn är c c. Från bgnnlsillkorn får i c och c. Dn lösning som satisfirar gina bgnnlsillkor är Ugift. ögrldt är tt olnom (rsonansfall) ( Tis : 0 är n rot till dn karakt. k. i följand DE och i har rsonansfall) Lös följand DE md asnd å () a) 6 b) c) 4 6 d) 4 Sida 7 a
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr a) Lösning till dn homogna kationn: c c Ansats för n artikulär lösning: Ads A En artikulär lösning: 6 c c 6 b) Lösning till dn homogna kationn: c c Ansats för n artikulär lösning: ( A B) ds A B En artikulär lösning: c c c) Lösning till dn homogna kationn: c c c Ansats för n artikulär lösning: ( A B) ds A B En artikulär lösning: c c c d) Lösning till dn homogna kationn: c c c Ansats för n artikulär lösning (anm. 0 är n dubbl rot till dn karakt. k): ( A B) ds A B En artikulär lösning: c c c Sida 8 a
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr a. EKVATIONENS ÖGERLED ÄR AV TYP P n () Vi har följand tå fall: i) ("Enklt fall") Om a int är n lösning till dn karaktristiska kationn då ansättr i a Rn () ( R () n är tt olnom md okända kofficintr, a samma grad som högrldt) ii) (Rsonansfall) Om a är n lösning till dn karaktristiska kationn a multilicitt då ansättr i a Rn (). Ugift. ögrldt är a t PP() aaaa ("nkla" fall) ( Tis: a är int n rot till dn karakt. k. i följand DE ds i har "nkla fall") Lös följand DE md asnd å () a) b) 0 (4 4) 4 c) ) d) (5 9 ) f) 6 6 9 4 5 a) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: En artikulär lösning: c A c b) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: En artikulär lösning: c ( ) ( ) 4 c ( A B) 4 4 c) Lösning till dn homogna kationn: c Ansats för n artikulär lösning: En artikulär lösning: c ( ) ( ) ( A B C) d) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: En artikulär lösning: c ( 4) c ( 4) ( A B) c c Sida 9 a
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr ) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: En artikulär lösning: 6 c c 6 A c c f) Lösning till dn homogna kationn: c sin( ) c cos() Ansats för n artikulär lösning: ( A B) En artikulär lösning: ( 5 ) c sin( ) c cos() (5 ) Ugift 4. ögrldt är a t PP() aaaa (rsonansfall) ( Tis: a är n rot till dn karakt. k. i följand DE ds i har tt " rsonansfall") Lös följand DE md asnd å () a) b) 5 ( ) c) ) ) ( d) ( 4 4) ( Rsonansfall md.) a) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: En artikulär lösning: c 5 5 b) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: En artikulär lösning: c ( ) ( ) c A ds A c ( A B) ds c) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: En artikulär lösning: c ( ) ( ) c ( A B) d) Lösning till dn homogna kationn: Ansats för n artikulär lösning: En artikulär lösning: ( ) c c ( ) ) Lösning till dn homogna kationn: ds ( A B) ds c c c c Sida 0 a ( A B) ( A B) ( A B)
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr Ansats för n artikulär lösning: En artikulär lösning: c c A ds A a. EKVATIONENS ÖGERLED ÄR AV TYP ( Pn ( )sin b Qm ( ) cosb) Vi har följand tå fall: i) ("Enklt fall") Om a ± bi int är n lösning till dn karaktristiska kationn då ansättr i a ( RN ( )sin b SN ( )cosb) ( R N () och () och är olnom md okända kofficintr, a grad Nma(m,n)) S N ii) (Rsonansfall) Om a ± bi är n lösning till dn karaktristiska kationn a multilicitt då ansättr i a ( R ( ) sin b S ( ) cos b). N N a Anmärkning: Om uttrckt saknas i högrldt då kan i anta att a 0 (ftrsom 0 ). Anmärkning: Än om högrldt innhållr ndast sinusfunktion (ndast cosinusfunktion) år ansats innhållr båd sinus- och cosinusfunktion. Ugift 5. ögrldt är a t aaaa (PP()ssssssssss QQ()cccccccccc) ("nkla" fall) ( Tis: a ± bi är int n rot till dn karakt. k. i följand DE ds i har "nkla fall") Lös följand DE md asnd å () a) 6sin cos b) cos c) sin d) 0sin ) 6 sin a) Lösning till dn homogna kationn: c Eftrsom 0 ± i int är n rot till dn karakt. k. ansats för n artikulär lösning år a samma t som högrldt: Asin B cos En artikulär lösning: sin c sin b) Lösning till dn homogna kationn: c Eftrsom 0 ± i int är n rot till dn karakt. k. ansats för n artikulär lösning år a samma t som högrldt: Asin B cos En artikulär lösning: sin cos Sida a
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr c sin cos c) Lösning till dn homogna kationn: c Ansats för n artikulär lösning: ( A B)sin ( C D) cos En artikulär lösning: sin ( ) cos c sin ( ) cos d) Lösning till dn homogna kationn: c c Ansats för n artikulär lösning: Asin B cos En artikulär lösning: sin cos c c sin cos ) Lösning till dn homogna kationn: c Ansats för n artikulär lösning: ( Asin B cos) En artikulär lösning: (sin cos) c (sin cos ) Ugift 6. ögrldt är a t aaaa (PP()ssssssssss QQ()cccccccccc) ("rsonans" fall) ( Tis: a ± bi är n rot till dn karakt. k. i följand DE och i har rsonansfall ) Lös följand DE md asnd å () a) 4 8cos b) sin c) 4 5 6 sin a) Lösning till dn homogna kationn: c sin c cos (Lägg märk till att 0 ± i är n rot till dn karakt. k. och i har tt s k rsonansfall): Ansats för n artikulär lösning: ( Asin B cos ) En artikulär lösning: sin() c sin c cos sin() b) Lösning till dn homogna kationn: c sin c cos (Lägg märk till att 0 ± i är n rot till dn karakt. k. och i har tt s k rsonansfall): Ansats för n artikulär lösning: ( Asin B cos ) En artikulär lösning: cos c sin c cos cos c) Lösning till dn homogna kationn: c sin c cos (Lägg märk till att ± i är n rot till dn karakt. k. ): Ansats för n artikulär lösning: ( Asin B cos ) Sida a
Armin aliloic: EXTRA ÖVNINGAR Ick-homogna linjära diffrntialkationr En artikulär lösning: c sin c cos cos cos Ugift 7. Vi btraktar n linjär DE a andra ordningn a b f (), där a och b är konstantr. Ekationns högrld f () finns ndan. Låt r, r ara lösningar till dn karaktristiska kationn. Bstäm för ilka ärdn å r, r får i s. k. "rsonansfall". a) f ( ) 8 b) f ( ) ( ) c) f ( ) ( 5) sin(5) d) 4 f ( ) ( 5) cos() ) f ( ) ( )sin(5) a) Eftrsom högrldt är tt olnom ustår rsonansfall om minst n lösning r llr r till dn karaktristiska kationn är 0. a b) Eftrsom högrldt är a t P ( ) (där a) ustår rsonansfall om minst n lösning r llr r till dn karaktristiska kationn är lika md. c) Eftrsom högrldt är a t a ( P( )sin b Q( )cos b) (där a och b5) ustår rsonansfall om r, ± 5i d) Om r, 4 ± i ) Om r 0 ± i i, ± Ugift 8. Vi btraktar n linjär DE a andra ordningn a b f (), där a och b är konstantr. Lösningar till dn karaktristiska kationn r, r och kationns högrld f () är gina ndan. Bstäm om DE kan btraktas som "nklt fall" llr "rsonansfall". a) r, r 4, f ( ) 8, r r, r, r, r,, r, r 5i, r b) r 0, f ( ) 8 c) 0 d) f ( ) ( ) f ( ) ( 4 ) ) r 0, f ( ) ( 5) sin(5) f) r, f ( ) ( ) cos(5) g) r 5i, f ( ) (5 ) sin5) a) nklt fall b) rsonansfall c) nklt fall ) nklt fall f) nklt fall g) rsonansfall d) rsonansfall Sida a