Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Leif Ruckma Varje uppgift ka ge max 10p. Lösigara skall uta svårighet kua följas. Iförda beteckigar skall förklaras. För betyget Godkäd krävs mist 30 p och för Väl godkäd krävs 45 p. Uppgift 1. NEW YORK. Ha står upp ä. Me det var e skaplig cykelvurpa presidet Bush råkade ut för. - Föll stödhjule av? udrar valmotstådare Joh Kerry. Detta är iledige till e otis i Aftobladet de 5/5 004. Cykelolyckor är ite ovaliga. Vid ett större sjukhus har ma kostaterat att atalet cykelolyckor som leder till att cykliste tvigas söka läkarhjälp ka ases vara e ormalfördelad variabel med i geomsitt 1000 olyckor per år och e stadardavvikelse på 15 olyckor per år. a) Hur stor är saolikhete att det ett slumpmässigt valt år skedde högst 700 olyckor? b) Hur stor är saolikhete att det ett slumpmässigt valt år skedde mist 1500 olyckor? c) Age det atal olyckor för vilket det gäller att 95% av alla år uderstiger detta värde. Uppgift. E av orsakera till olyckor är hastighete. E perso har oterat att små barcyklar med små hjul går sakta meda cyklar med stora hjul går fortare. Naturligtvis är det fler faktorer ä hjulets storlek som påverkar hastighete, me ma vill ädå titta ärmar på detta sambad. Ma gör e hastighetsmätig på e raksträcka och stoppar seda cykliste och mäter bakhjulets storlek. Följade data samlades i;
Hastighet km/h Bakhjulets storlek i tum 0 14 3 8 0 35 17 16 18 4 4 15 6 8 4 8 0 0 6 a) Rita i observatioera i ett spridigsdiagram. b) Beräka korrelatioskoefficiete. c) Apassa med mista kvadratmetode Y = a + bx och tolka resultatet i ord. Rita äve i lije i ditt spridigsdiagram. Uppgift 3. 500 persoer valdes ut i ett slumpmässigt urval. De tillfrågades om de uder det seast året råkat ut för ågo cykelolycka (oavsett om de behövt söka läkarvård eller ej.) 18 persoer agav att de råkat ut för ågo form av cykelolycka. Beräka ett 95% kofidesitervall för adele persoer i populatioe som det seaste året råkat ut för cykelolycka. Ge e verbal tolkig av det framräkade itervallet. Uppgift 4. Cykelfrämjadet på orte fuderar över om ålder har ågot sambad med riske att råka ut för e cykelolycka. Ma vill därför göra ett slumpmässigt urval blad dem som råkat ut för e olycka och fråga om deras ålder vid olyckstillfället. Seda täker ma beräka ett 95% kofidesitervall för medelålder på dem som har varit med om cykelolyckor. Frå e likade udersökig i e aa stad vet ma att stadardavvikelse är 10 år och ma atar att detsamma gäller äve vid dea udersökig. a) Ma ställer kravet att kofidesitervallets lägd (övre gräs udre gräs) får vara högst 1 år. Hur stort stickprov krävs för att uppfylla kravet? b) Om ma miskar på kravet och tillåter att kofidesitervallets lägd uppgår till högst år, hur stort stickprov krävs det då? c) Förklara vad CGS är och hur CGS kommer i i lösige av dea uppgift. Uppgift 5. I ett slumpmässigt urval av =10 persoer som har varit sjukskriva efter e cykelolycka så tillfrågades persoera om hur måga dagar de varit sjukskriva. E perso påstår att de geomsittliga sjukskriviges lägd, µ, är 10 dagar. Geomför uder ormalfördeligsatagade ett lämpligt hypotestest för att utröa om persoe ka ha rätt. Ge e verbal slutsats av ditt resultat. Följade data samlades i i udersökige;
Perso 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Atal 14 8 11 13 9 18 7 9 1 10 sjukskrivigsdagar Uppgift 6. E cykelreparatör i stade gör alltid e kotroll av ekrara är ho får i e cykel för reparatio, oavsett orsake till att cykel lämats i. Ho har därför uder åre samlat på sig e stor mägd iformatio och vet att följade saolikhetsfördelig gäller för X= Atalet felaktiga ekrar per hjul. De hjul som är i så dåligt skick att de måste kasseras är ite med i statistike. x 0 1 3 4 5 p(x) 0.55 0.06 0.18 0.14 0.05 0.0 a) Illustrera saolikhetsfördelige grafiskt. b) Beräka µ och σ. c) Beräka saolikhete att ett slumpmässigt valt cykelhjul har åtmistoe 4 felaktiga ekrar. d) Beräka saolikhete att två slumpmässigt valda cykelhjul tillsammas har färre ä 3 felaktiga ekrar. e) Beräka approximativt saolikhete att hudra slumpmässigt utvalda cykelhjul har i geomsitt mist 1.4 felaktiga ekrar.
Lösigsförslag till tetame i statistik, STAA13, del, 040605. Uppgift 1. X = Atal cykelolyckor som leder till att cykliste tvigas söka läkarhjälp. X är N(µ=1000, σ=15) X µ 700 1000 a) P( X 700) = P = P( Z.4) = [ tabell] = 0. 008 σ 15 X µ 1500 1000 b) P( X 1500) = P = P( Z 4) = P( Z 4) = 0 σ 15 c) P( X x) = 0.95 X µ x 1000 x 1000 P = P Z = 0.95 σ 15 15 P( Z 1.645) = [ tabell] = 0.95 x 1000 = 1.645 15 x = 1000 + 1.645 15 = 106 Uppgift. a) 40 Spridigsdiagram Hastighet mot bakhjulets storlek 30 Hastighet km/h 0 10 14 16 18 0 4 6 8 30 Bakhjulets storlek b) Σy=15 =10 Σx=33 Σy =4979 Σx =5581 Σxy=51
r = = c) b = xy x y ( x ( x) ) y ( y) 10 51 33 15 = ( ) ( ) ( ) = 10 5581 33 10 4979 15 05 = 0.8696 151 3565 y xy x x ( x) y 05 = = 1.331360947 151 = x a b = 1.5 1.331360947 3.3 = 9.507 y = a+bx = -9.5+1.3x Tolkig: a = -9.5 b = 1.3 Skärigspukt med y-axel. För varje tum som bakhjulets storlek ökar så ökar hastighete i geomsitt med 1.3 km per timme. Uppgift 3. Urvalsstorlek =500 X = Atal persoer som har råkat ut för cykelolycka p= x/ = 18/500 = 0.036 95% kofidesitervall för π. Det stora urvalet ger oss möjlighet att aväda ormalfördelige som e god approximatio. ( 1 p) 0.036 ( 1 0.036) p p ± z [0.0197, 0.053] 95% 0.036 ± 1.96 0.036 ± 0.0163 500 Med 95% säkerhet så är det mella 1.97% och 5.3% i populatioe som har råkat ur för e cykelolycka seaste året. Uppgift 4. X = Ålder σ = 10 år a) Ma öskar ett 95% kofidesitervall för µ. Kofidesitervallet får högst ha σ lägde 1, dvs. x ± 0. 5. Kofidesitervallet bildas med x ± 1. 96 så för att
σ uppfylla kravet skall 1.96 < 0. 5 1.96 10 > = 39. 0.5 > 39. = 1537 b) Accepteras ett dubbel så låg itervall räcker det med e fjärdedel så stort urval. σ 1.96 < 1 > 19.6 > 19.6 = 384.16 385 (Obs! Avruda uppåt.) c) CGS säger att är stickprovsstorleke går mot oädlighete så går fördelige för stickprovsmedelvärdet mot ormal. I detta fall aväder vi CGS så vi skapar kofidesitervallet och frå ormalfördelige väljer kostate 1.96. Vi atar alltså att x är åtmistoe approximativt ormalfördelat vilket vi ka göra om > 30. Lösige kräver alltså att stickprovet ite blir för litet för att aväda CGS. Uppgift 5. X = Sjukskriviges lägd i dagar. = 10 x = 11. 1 s = 3. 81 H 0 : µ = 10 H 1 : µ 10 Sigifikasivå: α = 5% Testfuktio: x µ t = t-fördelad med -1 = 9 frihetsgrader. s / Beslutsregel: Förkasta H 0 om t obs >.6 11.1 10 Resultat: t obs = = 1. 06 H 0 förkastas ej. 3.81/ 10 Slutsats: Det fis iget i det isamlade datamaterialet som tyder på att persoe som påstår att µ=10 skulle ha fel.
Uppgift 6. X = Atal felaktiga ekrar per hjul. a) 0,6 Scatterplot of p(x) vs x 0,5 0,4 p(x) 0,3 0, 0,1 0,0 0 1 x 3 4 5 b) E(X) = µ = Σxp(x) = 0. 0.55 + 1. 0.06 +. 0.18 + 3. 0.14 + 4. 0.05 + 5. 0.0 = 1.14 ekrar E(X ) = Σx p(x) = 0. 0.55 + 1. 0.06 +. 0.18 + 3. 0.14 + 4. 0.05 + 5. 0.0 = 3.34 σ = E(X ) - µ = 3.34 1.14 =.0404 σ = 1.484 ekrar c) P(X 4) = p(4) + p(5) = 0.05 + 0.0 = 0.07 d) Följade utfall ger totalt färre ä 3 felaktiga ekrar. (0, 0) (0, 1) (0, ) (1, 1) (1, 0) (, 0) Första hjulets atal först iom paretese. Utfall Saolikhet 0, 0 0.55. 0.55 = 0.305 0, 1 0.55. 0.06 = 0.033 0, 0.55. 0.18 = 0.099 1, 1 0.06. 0.06 = 0.0036 1, 0 0.06. 0.55 = 0.033, 0 0.18. 0.55 = 0.099 Summa 0.5701
e) = 100 x är approximativt ormalfördelad eftersom >30. P x µ 1.4 1.14 ( x 1.4) = P = P( Z 1.8) = [ symmetri] = P( Z 1.8) = 0. 0344 σ / 1.484 / 100