v v v v 5 v v v 4 (V,E ) (V,E)



Relevanta dokument
Föreläsning 11: Grafer, isomorfi, konnektivitet

Algoritmer och datastrukturer, föreläsning 11

Laboration 1a: En Trie-modul

Elementær diskret matematikk, MA0301, våren 2011

VATEK Multifix kopplingar för alla rörtyper

Nordic Light Roulett. Aluminiumpersienn. Nordic Light Roulett Installation - Manövrering - Rengöring. Aluminiumpersienn

Making room for tomorrow

Mitt barn skulle aldrig klottra!...eller?

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

The Next Generation platform Snabbguide

Medborgarnas synpunkter på skattesystemet, skattefusket och Skatteverkets kontroll

Företagens synpunkter på skattesystemet, skattefusket och Skatteverkets kontroll

Installatörens referenshandbok

Finaltävling den 20 november 2010

Tillståndsmaskiner. Moore-automat. Mealy-automat. William Sandqvist

F8: Logiska komponenter. Introduktion. Koder. Avkodare. Logiska komponenter

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Noder (hörn) och bågar (kanter)

Arkitekturell systemförvaltning

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2

Trädstrukturer. Definitioner och terminologi. Informationsteknologi Tom Smedsaas 21 augusti 2016

Robin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare

Ulefos Multifi x Rörkopplingar för alla rörtyper

SF1625 Envariabelanalys

1. lösa differentialekvationer (DE) och system av DE med konstanta koefficienter

Datastrukturer och algoritmer

Innan du kan använda maskinen ska du läsa den här Snabbguiden så att maskinen ställs in och installeras på rätt sätt.

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER

Vill veta kvaliteten hos våra vattenföringsdata?

1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b.

Samling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018

SF1625 Envariabelanalys

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.

Räkneövning i Termodynamik och statistisk fysik

1 (3k 2)(3k + 1) k=1. 3k 2 + B 3k(A + B)+A 2B =1. A = B 3A =1. 3 (3k 2) 1. k=1 = 1. k=1. = (3k + 1) (n 1) 2 1

Svar: a) i) Typ: linjär DE med konstanta koefficienter i homogena delen dy men också separabel ( y = 10 4y

Headset för det Mobila kontoret

Sfärisk trigonometri

Sammanfattning av ALA-B 2007

14. MINSTAKVADRATMETODEN

A LT B A R Y TO N. enkelt

Anmärkning1. L Hospitals regel gäller även för ensidiga gränsvärden och dessutom om

Kaffe 5 kr Bulle 5 kr Kaffe och bulle 8 kr

Produktdatablad Januar 2016

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

INTRODUKTION. Akut? RING:

Där a mol av ämnet A reagerar med b mol av B och bildar c mol av C och d mol av D.

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. Definition. Mängden av alla lösningar till en ekvation kallas ekvationens lösningsmängd.

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)

Kontrollskrivning Introduktionskurs i Matematik HF0009 Datum: 25 aug Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

9. Vektorrum (linjära rum)

Undervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

TENTAMEN. HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor

13 Generaliserade dubbelintegraler

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

24 poäng. betyget Fx. framgår av. av papperet. varje blad.

Föreläsning 9. Digital signalbehandling. Kapitel 6. Sampling. LTH 2014 Nedelko Grbic (mtrl. från Bengt Mandersson)

Kontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Innehåll. Om gasfjädrar 1. Modeller (1 dan = 1 kgf = 2.25 lbf) Cylinder. Initialkraft dan. diameter mm < 250 < < F INIT < < F INIT


TNA003 Analys I Lösningsskisser, d.v.s. ej nödvändigtvis fullständiga lösningar, till vissa uppgifter kap P4.

DEMONSTRATION TRANSFORMATORN I. Magnetisering med elström Magnetfältet kring en spole Kraftverkan mellan spolar Bränna spik Jacobs stege

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

FÄRGLAGD A STENSUNDSVÄGEN BOSTÄDER BILPLATSER GARAGE 86 ST

Induktion LCB 2000/2001

Slumpjusterat nyckeltal för noggrannhet vid timmerklassningen

arctan x tan x cot x dx dz dx arcsin x x 1 ln x 1 log DERIVERINGSREGLER och några geometriska tillämpningar

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)

Hvor tilfreds er du med din togrejse?


Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

ACO VVS. industribrunn. EG Industribrunn

Checklista för utveckling av arbetsmiljön för personliga assistenter

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Facit - Tänk och Räkna 6a

Tillämpning av integraler

POSTKODVINSTER á kronor Inom nedanstående postkoder vinner följande 307 lottnummer kronor vardera:

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

4.1 Förskjutning Töjning

ξ = reaktionsomsättning eller reaktionsmängd, enhet mol.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

x = x = x = x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x = = 20 x = 65 x + 36 = 46

Institutionen för teknisk mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD (M3) MHA MARS 2002

Sammanfattning, Dag 9

Sidor i boken

Gör slag i saken! Frank Bach

Lödda värmeväxlare, XB

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN2 (Analys) Datum: 21 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15. Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Elias Said

är ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

Om i en differentialekvation saknas y, dvs om DE har formen F ( x, . Ekvationen z ) 0. Med andra ord får vi en ekvation av ordning (n 1).

Transkript:

. Grftori Btylsn v ilr som stö oh inspirtion för mtmtisk rsonmng kn knppst övrsktts. Stuirn v nkl ilr hr gtt oss grftorin. Tyvärr, llr lykligtvis, visr t sig snt tt nkl oh nturlig frågställningr om nkl ilr lr till synnrlign komplir komintorisk rsonmng. I tt inln kpitl om grftori kommr vi tt nöj oss m grunläggn trminologi oh någr rsultt som är nkl tt vis. Grfr Dnition. En Grf (V;E) står v två mängr V oh E v nor (iln hörn, vrtx på nglsk) rspktiv ågr (iln kntr, g på nglsk), är vrj åg E går mlln två olik nor i V; ågns änpunktr, oh är t int nns r ågr m smm änpunktr. Nor rits som ft punktr (iln nmngivn). änpunktrn ; V, så intirs ågn m mängn f; g = f; g =. Om (V;E) är n grf oh E är n åg m Figur. Två grfr. Till vänstr n grf m mängn v nor V = f; ; ; g oh mängn v ågr E = ff; g; f; g; f; gg. Figur. Exmpl på multigrfr som int är grfr. Dnition. Inmultigrf tillåtr vi mr än n åg mlln tt pr v nor, smt ågr från n no till smm no. Spillt notrr vi tt vrj grf är n multigrf.

Hrr MBrin oh hns fru April ornr n fst oh jur fyr nr gift pr. En l v människorn hälsr på vrnr å träs, mn nturligtvis hälsr ingt pr på vrnr. Då fstn slutr frågr Hrr MBrin ll nr, på hur mång människor hr hälst oh hn rhållr 9 olik svr. Hur mång människor häls på April? Lösning: Vi konstrurr n grf vrs nor är människor på fstn oh t nns n åg f; g å oh hr hälst på vrnr. Emn t nns 9 människor utövr Hrr MBrin oh mximl ntlt hälsningr i vilkt n prson kn vr involvr i är 8, så följr tt olik svrn som Hrr MBrin k måst vr 0; ; ; 3; 4; ; 6; 7; 8. Vi tknr norn m ss siror oh nvänr M för tt tkn Hrr MBrin. Vi får följn ilrprsnttion v grfn: 8 M 0 7 6 4 3 Figur 3. Non 8 smmnins m ll nr nor utom n, som måst vr äkt hälft till 8. Dnn no måst vr 0, vrför 8 oh 0 är gift oh 8 smmnins m ; ; :::; 7;M. Spillt gällr tt oh 8 smmnins oh tt är n ågn utgån från. Såls är 7 int smmnkoppl m 0 oh, oh ärm är 7 oh gift, (mn 0 oh 8 är gift). Fortsättr vi på tt sätt, sr vi tt 6 oh, smt oh 3 är gift pr. Dt följr tt M oh 4 är gift, värför non 4 är April som hälsr på 4 människor. Fstän ilrprsnttionr v grfr förstås v människor, så är värlös när vi önskr kommunir m n tor. För tt änmål måst vi rprsntr n grf m någon typ v tll, xmplvis n mtrisrprsnttion. Dnition. Vi sägr tt två nor oh ingrf är grnnr om f; g är n åg, vs. om oh förns v n åg. Låt (V;E) vr ngrf m jv j = n; (här oh i fortsättningn tknr jbj ntlt lmnt i n mäng B ). Låt V = fv ; :::; v n g vr norn. Grnnmtrisn A för (V;E) är n n n mtris vrs lmnt A i;j = ; om v i oh v j är grnnr; 0; nnrs. För ll i; j gällr t tt A i;j = A j;i, vrför A är symmtrisk m nollor på igonln.

Dt nns vritionr v ovnstån rprsnttion. Om (V;E) är n multigrf, så tknr A i;j ntlt ågr fv i ;v j g. Ävn i tt fll är A symmtrisk mn hövr inglun h nst nollor på igonln, ty t kn nns ågr som utgår från oh slutr i smm no. v v v 3 0 @ 0 0 0 0 0 A v 0 B@ v v v v 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 CA v v 4 v v3 0 B@ 0 0 0 0 0 0 0 0 CA Figur 4. Tr grfr smt rs grnnmtrisr. Vi intrssrr oss nu för frågställningn: När är två grfr väsntlign lik? Svrt på nn fråg gs m hjälp v grppt isomor (isos = smm, morph = form). Dnition. Två grfr (V;E) oh (V 0 ;E 0 ) är isomorf om t xistrr n ijktion ' : V! V 0 som vilr ågr i E på ågr i E 0 oh omvänt, vs. f; g E,f'();'()gE 0 för ll ; V: Härvi klls ' n isomorsm. Vi nvänr tkningn (V;E) = (V 0 ;E 0 ) för isomorf grfr. (En ijktion är n vilning som är surjktiv oh injktiv). (V,E) (V,E ) Figur. 3

' : V,! V 0 ; '() = 0 ; '()= 0 ; '()= 0 ; '()=: 0 Alltså ' är n ijktion. f; g E()f'();'()gE 0 f; g E()f'();'()gE 0 f; g E()f'();'()gE 0 f; g E()f'();'()gE 0 f; g E()f'();'()gE 0 Alltså ' är n isomorsm oh (V;E) = (V 0 ;E 0 ) För tt vis tt två grfr int är isomorf, måst vi vis tt t int nns någon ijktion från mängn v nor i n n grfn till mängn v nor i n nr grfn som vilr ågr på ågr. Om två grfr hr olik ntl nor, så nns t ingn ijktion oh grfrn kn int vr isomorf. Om grfrn hr smm ntl nor mn ntlt ågr är olik, så nns t ijktionr mlln mängrn v nor mn ingn v ss ijktionr är n isomorsm. Figur 6. Dt är i llmänht mykt svårt tt öm om två grfr är isomorf, mn viss nturlig villkor kn vi g som är növänig för isomor. Vi åtrkommr till ss villkor ftr t tt vi infört tt ntl ny grpp för grfr. Dnition. Låt (V;E) vr ngrf oh ntg tt V: Då är gr() =jf V : f; g Egj grn v ; vs. grn v är ntlt ågr m som änpunkt. Anlog nition för multigrfr, mn n åg från n no till sig själv irr m två nhtr å grn för räkns. 4

gr()=4 gr()=3 gr()=3 Figur 7. Dt är oft v intrss tt vt ntlt ågr i n grf. D kn förstås räkns irkt mn t är vnligtvis lättr tt räkn ntlt ågr vi vrj no oh r m. Då hr vrj åg livit mräkn två gångr, n gång vi å änpunktrn, så ntlt ågr i n grf är hlv nn summ. Sts. Ingrf nns t tt jämnt ntl nor v u gr. Bvis: Låt (V;E) vr n grf m V = f ; :::; n g: Då gällr t tt nx jej = gr( i ) : i= () Btkn: V o = f i V : gr( i ) är ug; V = f i V : gr( i ) är jämng: Då är V = V o [ V oh V o \ V = ;, (n prtition v V ). M stö v () rhålls: jej = X V o gr() +X V gr() () Dn nr summn i () är jämn, ty vrj trm är jämn. Då jej är tt jämnt tl, så måst ävn n först summn i () vr jämn. Då n först summn är n summ v u tl måst t å nns tt jämnt ntl trmr i summn oh ärm är stsn vis. Ett növänigt villkor för isomor är tt gr() =gr('()) för vrj no V: Mn tt villkor är int tillräkligt, vilkt frmgår v följn xmpl.

6 4 4 6 3 (V,E) 3 (V,E ) Figur 8. Antg tt ' : V! V 0 är n isomorsm. Då 4 oh är n lmntn i V oh V 0 m gr(4) = gr() =, så gällr ntingn ('(4)=4; '() = ) llr ('(4) = ; '()=4). Mn ftrsom f4; g E oh f'(4);'()g = f4; g 6E 0, så rhålls n motsägls. Därm nns t ingn isomorsm oh (V;E) 6 = (V 0 ;E 0 ). Dnition. Grfn (V 0 ;E 0 ) är n lgrf v (V;E) om V 0 V oh E 0 E: Om V 0 = V; så är (V 0 ;E 0 ) n uppspännn lgrf v (V;E): Om ; V 0 oh f; g E)f; g E 0,så är lgrfn (V 0 ;E 0 ) n full lgrf v (V;E). (V,E) (V,E ) Figur 9. (V 0 ;E 0 ) är n uppspännn lgrf v (V;E). (V,E) (V,E ) Figur 0. (V 0 ;E 0 ) är n full lgrf v (V;E). Dnition. En följ 0 ; ; :::; n v nor i (V;E) är n väg om f i ; i+ ge för i =0;;:::;n,,oh f i, ; i g6=f i ; i+ g för i =; :::; n- : Vägn sägs h längn n: Om 0 = n ; så är vägn n loop. Om i loopn smtlig i ; i =0; :::; n-; är olik, så är loopn n ykl. Om 0 6= n klls vägn öppn. 6

Figur. ; ; ; ; ; är n (öppn) väg m längn. ; ; ; ; ; ; är n loop (j ykl). ; ; ; är n ykl. Om (V;E) oh (V 0 ;E 0 ) är isomorf grfr motsvrs vägrn i n n grfn v vägr i n nr. Ett növänigt villkor för isomor är ärför tt ntlt vägr v x läng är lik i å grfrn. Vir hr isomorf grfr lik mång yklr v x läng. g f h g f h Figur. I n först grfn är ; h; g; ; f; ; ; ; n ykl v längn 8. Mn t i n nr grfn int xistrr någon ykl v längn 8. Dtt innär tt grfrn int är isomorf Dnition. Låt (V;E) vr ngrf. Två nor ; V är förn om t nns n väg = 0 ; ; :::; n = i V: Om vrj pr v norigrfn är förn, så är grfn smmnhängn. Om n grf G int är smmnhängn kn vi int nå ll nor m n väg från n givn no. D nor som kn nås m n väg från n no oh motsvrn ågr klls n smmnhängn komponnt v G. På tt sätt ilr smmnhängn komponntrn n sönrlning v grfn G. Två isomorf grfr måst h lik mång smmnhängn komponntr. 7

Figur 3. En osmmnhängn grf stån v 4 smmnhängn komponntr. Vi skll nu stur multigrfr. Som knt, så tillåtr vi för multigrfr mr än n åg mlln tt pr v nor. Vi ntr i fortsättningn tt ll grfr oh multigrfr är änlig. Lonhr Eulr (707 783, shwizr) kn klls n först grftortikrn. Hn nvän sig v grppt multigrf för tt lös tt prolm som invånrn i Königsrg (Kliningr) h när plnr sin söngspromnr. Prolmt vr tt nn n promnväg som nvän ll ror xkt n gång: 0000000 000 000 0000000 00 0000000 000 00 Figur 4. Sju ror, Eulr rit n multigrf. Eulr konsttr tt n sökt promnvägn svrr mot n loop som nvänr sig v smtlig ågr i multigrfn. Bgrppt väg för n multigrf nirs nlogt m grppt väg för n grf. Dnition. En väg i n multigrf (V;E) är n Eulr-väg om ll ågr i E nväns xkt n gång. Om 0 = n i n Eulr-väg så hr vi n Eulr-loop. Figur. En Eulr-väg gs v ; ; ; ; ; ; ; ; ; ( nor m u gr). Anlningn till tt ingn lykts m tt gör promnn övr rorn i Königsrg är: 8

Sts. En smmnhängn änlig multigrf (V;E) hr n Eulr-loop om oh nst om vrj no hr jämn gr. Vi notrr tt i prolmt gälln rorn i Königsrg så hr vrj no u gr. För vist v Sts hövr vi följn hjälprsultt. Lmm3. Om (V;E) är n änlig multigrf sån tt vrj no hr gr så nns t n ykl i grfn. Bvis: (Av Lmm 3). Antg tt (V;E) är n grf. (Om (V;E) är n multigrf som int är n grf så är skn klr). Tg V. Konstrur n väg = 0 ; ; ; ::: i grfn sån tt f 0 ; geoh så tt för i gällr tt f i ; i+ geoh i+ 6= i,. Dtt lyks ftrsom gr( i ) för ll i. Då nu V är n änlig mäng nns t tt minst k, (k3), sånt tt k f 0 ; :::; k, g: Antg tt k = j ; 0 j k-3. Då är j ; j+ ; :::; k n ykl. =6 = 0 = = 3 0 3 4 (k=3) Figur 6. Bvis: (Av Sts ). () Antg tt (V;E) hr n Eulr-loop. Låt vr n no i loopn. Vrj gång loopn pssrr förruks två olik ågr. Därm är gr() tt jämnt tl. () Antg tt vrj no hr jämnt grtl. (Inuktion). Om jej =hr vi fllt v Figur 7. gr(v )=. vs. n Eulr-loop. Antg tt påstånt gällr för ll multigrfr (V 0 ;E 0 ) m je 0 j < jej är jej. Då (V;E) är smmnhängn måst för vrj V gäll tt gr(). Vir ntogs tt vrj no hr jämn gr så gr() för ll V. Då gr Lmm 3 tt t nns n ykl tkn i (V;E). Om är n Eulr-loop är vi klr. Annrs gällr: 9

(V,E) Figur 8. Konstrur n lgrf (V ;E ) till (V;E) gnom tt först stryk ågrn i oh sn norn vrs grtl sjunkit till noll. (V,E ) Figur 9. Smtlig nor i (V ;E ) hr nu jämn gr. D smmnhängn komponntrn för (V ;E ) står v nor m jämnt grtl oh ntlt ågr i vrj smmnhängn komponnt är minr än jej. Inuktionsntgnt gr tt vrj komponnt hr n Eulr-loop. Vi skrvr ihop m Eulr-looprn för ll komponntr oh rhållr n Eulr-loop för (V;E). Följn sts gr vi hnn tt Königsrgsorn int ns hr kunnt hitt n öppn Eulr-väg. Sts 4. Låt (V;E) vr n smmnhängn änlig multigrf. Då nns t n öppn Eulr-väg om oh nst om t nns xkt två nor m u gr. Bvis: () Antg tt oh är n norn v u gr i (V;E). Bil n ny åg mlln oh. Då gr Sts tt t nns n Eulr-loop i grfn (V;E [fg). Om vi vlägsnr ågn får vi n öppn Eulr-väg i (V;E). () Antg tt t nns n öppn Eulr-väg 0 ; :::; n i (V;E). Sätt = f 0 ; n g oh E 0 = E [fg. 0 n 0

Figur 0. Då nns t n Eulr-loop i (V;E 0 ). Sts gr tt ll nor i (V;E 0 ) är v jämn gr. Då hr ll nor i (V;E), utom 0 oh n, jämn gr. Byggr vi n ro till i Kliningr kn vi hitt n Eulr-väg oh yggr vi två på lämpligt sätt kn vi rhåll n Eulr-loop. 00 00 00 00 00 0000000 000 0000000 000 000 00 00 00 00 Figur. Ett närliggn prolm är följn: Givt n grf (V;E), vgör om t nns n loop i (V;E) som pssrr vrj no xkt n gång. Vi sr irkt tt n sån loop måst vr n ykl oh om n xistrr måst (V;E) vr smmnhängn. Figur. Figur gr två xmpl på grfr är t int är möjligt tt hitt n sån ykl. intrssr sig för tt prolm vr irlänrn W. Hmilton 8086. Dn som först Dnition. En grf (V;E) klls n Hmilton-grf om t xistrr n ykl 0 ; :::; n ; 0 sån tt V = f 0 ; :::; n g. Dt är i llmänht tt mykt komplirt prolm tt vgör om n smmnhängn grf är n Hmiltongrf oh t nns ännu ingn krktrisring v Hmilton-grfr.

Vnlign täkr int n Hmilton-ykl ll ågr. Dn täkr nst två ågr vi vrj no. 0 Figur 3. En Eulr-loop nvänr vrj åg xkt n gång, mn n Hmilton-ykl sökr vrj no xkt n gång. Dnition. En rikt grf (V;P) står v n mäng V v nor oh n lmäng P V V vrs lmnt klls pilr. Vrj pil är n rikt väg från n no till n no. V={,,,} P={(,),(,),(,)} V={,,,} P={(,),(,),(,), (,),(,),(,), (,),(,)} Figur 4. Nät v nklrikt gtor, nätvrk v oljlningr oh mång nr tillämpningr kn skrivs m n rikt grf. Givt n grf (V;E) m V = fv ; :::; v n g. Låt A =( i;j ) vr grnnmtrisn till grfn. Då gällr gr(v i )= nx j= i;j = Antg tt (V;P) är n rikt grf, V = fv ; :::; v n g. Då är grfns grnnmtris A =( i;j ) nir v nx j= j;i : i;j = ; om t nns n pil från v i till v j ; 0; nnrs.

Notr tt nu är Ai rgl int symmtrisk. v v v 3 v 4 A = 0 B@ v 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 CA Figur. Sts. Låt A vr grnnmtrisn till n rikt grf (V;P). Då är (A m ) i;j = ntlt rikt vägr från v i till v j v längn m; är m =;; ::: : Låt oss trkt A i ovnstån xmpl. Nu gällr A = 0 B@ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Exmplvis (A ) 3; =svrr mot rikt vägn v 3 ;v ;v v längn. Vir är (A ) 3; =0,ty t nns ingn rikt väg från v 3 till v v längn, nst v längn. CA : Bvis: (Av Sts, Inuktion). Klrt tt stsn gällr för m =. Antg tt stsn gällr för A m ;m. Då gällr: A m+ = AA m : Låt C = A m+ oh B = A m, vs. C = AB. Dnitionn på mtrismultipliktion gr tt C ik = A i B k + ::: + A ij B jk + ::: + A in B nk : () Btrkt trmn A ij B jk. Vi vt tt A ij = ntlt rikt vägr från v i till v j v längn. Inuktionsntgnt gr tt B jk = ntlt rikt vägr från v j till v k v längn m. Alltså A ij B jk = ntlt rikt vägr från v i till v k v längn m + oh v formn v i ;v j ; :::; v k ; j =; :::; n. Då gr () ntlt rikt vägr från v i till v k v längn m +. 3

Trä (änlig grfr) Vi hnlr nrt änlig grfr oh nirr grppt trä gnom: Dnition. En grf (V;E) är tt trä om n är smmnhängn oh sknr yklr. C H 6 Figur 6. D två först grfrn är trä mn två nr int är t. En viktig gnskp hos trä är följn rsultt. Sts 6. Låt T =(V;E) vr tt trä oh ntg tt ; V; 6=. Då nns t xkt n väg i T från no till no. Bvis: Antg tt = 0 ; ; :::; n = oh = 0 ; ; :::; m = är olik vägr. Låt i 0 vr t minst inx sånt tt i+ 6= i+, oh låt j >i+ vr t minst inx sånt tt t xistrr tt k m j = k. i+ j = 0 i 0 i i+ k j k n m = Figur 7. Då är i ; i+ ; :::; j ; k, ; :::; i+ ; i n ykl i T, vilkt gr n motsägls. Därm nns t xkt n väg från till. Ett trä kn konstrurs gnom tt sussivt lägg till n åg m no till grfn. Sts 7. Om T =(V;E) är tt trä oh jv j > ; så nns t åtminston två nor v gr. Bvis: Välj n väg 0 ; ; :::; n v mximl läng i T. Då jv j > oh T är tt trä är 0 6= n. Nu måst gr( 0 )=gr( n )=gäll, ty nnrs kun vi fortsätt vägn som å j vor v mximl läng. Sts 8. Vrj trä T = (V;E) m n stykn nor är rkursivt nirt gnom lträn T i ; är T 4

innhållr n no oh T i+ konstrurs gnom tt T i utöks m nno i+ oh n åg mlln i+ oh n v norn i T i. Bvis: (Inuktion). För n =är T tt trä. Antg tt konstruktionn gällr för trä m upp till n- nor (n ). Tg T =(V;E) m jv j = n. Sts 7 gr tt t nns n no n V : gr( n )=. Stryk n oh ågn från n. Dn grf G vi rhållr är smmnhängn oh utn yklr, ty T sknr yklr. Alltså är G tt trä m n- nor. Inuktionsntgnt gr tt G = T n,, rkursivt konstrur m hjälp v T i ; i =; :::; n-: Sätt T n = T, vilkt gr n önsk följn v lträ. Korollrium 9. Låt T =(V;E) vr tt trä. Då är jv j = jej +. Dnition. Antg tt G =(V;E) är n smmnhängn grf oh tt T är n lgrf v G sån tt (i) T är tt trä; Då sägs T vr tt uppspännn trä för G. (ii) T är n uppspännn lgrf för G : f g h Figur 8. Dn färglg grfn utgör tt uppspännn trä för grfn. Dt är lätt tt åstkomm tt uppspännn trä på följn sätt: Tg vilkn no som hlst i n grf som strtträ oh lägg till ågr n ftr n så tt vrj åg förnr n ny no till strtträt (jämför Sts 8). Dt uppspännn trät i ovnstån xmpl kun åstkomms gnom tt strt m no oh förn n m nr norn i orningn ; ; ; f; ; h; g gnom tt lägg till ågrn ; ; ; f; f; fh; hg. Allmänt, om t nns n nor så skll vi fortsätt m n- stg, vrftr vi hr +(n-) = n nor oh n- ågr. Dtt är t korrkt ntlt nligt Korollrium 9. Uppspännn trä hr mång tillämpningr. Exmplvis, hur yggr mn t illigst vägnätt mlln tt visst ntl stär? Kostnn för vägn mlln tt pr v stär ror t.x. på hurun trrängn är mlln stärn. Formllt hr vi n grf G = (V;E) vrs nor är stär oh vrs ågr är vägrn mlln stärn, smt n funktion w : E! N, (är N tknr nturlig tln), sån tt w() ngr kostnn för tt ygg ågn. Vi sägr tt G oh w ilr n vikt grf oh w är n viktfunktion. Om mn vill ygg t illigst vägnätt mlln tt visst ntl stär, så svrr vägnätt mot tt upp-

spännn trä T för G, vrs totl vikt w(t )=Xw() T är så litn som möjligt. Dtt rukr klls MST-prolmt, (minimum spnning tr prolm), för n vikt grfn G. Eftrsom n vikt grfn G är änlig hr n tt änligt ntl ågr oh ärm nns t tt änligt ntl uppspännn trä T för G. Dt nns å, för uppspännn trän för G, tt änligt ntl hltlsvärn w(t ) tt välj mlln. M nr or nns t tt minimlt uppspännn trä T 0 för G sånt tt w(t 0 ) w(t ) för ll uppspännn trä T för G. Notr tt t kn nns r uppspännn trä för G m nn gnskp. Kruskls lgoritm är n nkl lgoritm som lösr MST-prolmt: (i) Välj n kortst (illigst) ågn. Om t nns mång ågr m smm vikt; välj n v ågrn: (ii) Om k stykn ågr hr vlts, välj n ny åg m miniml vikt så tt ingn ykl ils tillsmmns m tiigr vl ågr: (iii) Om vi int hr tt uppspännn trä, så gå till stg (ii): (iv) Avslut lgoritmn. Dt rhålln uppspännn trät hr miniml vikt: z u 6 4 6 8 7 v T z u 4 v 3 3 y 7 x y x Figur 9. (i) Vi Strtr m uv. (ii) + (iii) Därftr väljs zy, ux, uy. (iv) Vi rhållr tt minimlt uppspännn trä T m!(t )=4. Sts 0. Låt G =(V;E) vr n smmnhängn grf m viktfunktionn w : E! N; oh ntg tt T är tt uppspännn trä för G som konstrurts m Kruskls lgoritm. Då gällr t tt w(t ) w(u ) för vrj uppspännn trä U för G. 6

Bvis: Låt ; :::; n vr ågrn i T i n orning rhålls ur Kruskls lgoritm. Låt T min vr tt minimlt uppspännn trä för G. Om T min = T så gällr stsns påstån. Om T min 6= T tknr vi m k n först ågn för T i Kruskls lgoritm som int är n åg i T min. Låt k = fx; yg oh låt P xy vr vägn i T min som förnr norn x oh y. x k P xy y T min Figur 30. Om ågn k läggs till T min, så hr grfn T min [f k gn ykl = k [ P xy oh åt int hr någon ykl, måst innhåll åtminston n åg 0 k som int nns i T. Avlägsn nn åg oh rhåll trät Tmin 0 =(T min [f k g)nf 0 k g; m smm nor som T min oh m totl viktn w(tmin 0 )=w(t min)-w( 0 k )+w( k): Då T min är tt minimlt uppspännn trä måst t gäll tt w( 0 k ) w( k) : () Mn k är ågn m miniml vikt, sån tt ingn ykl ils å k läggs till ; :::; k,, (Kruskls lgoritm). Emn ; :::; k, ; 0 k är ågr i T min får vi ingn ykl å 0 k läggs till ; :::; k,. Då gällr t tt w( 0 k ) w( k) oh m stö v () tt vrför w(t 0 min ) = w(t min) = miniml totl vikt. w( 0 k )=w( k); Vi hr ärm hittt tt minimlt uppspännn trä T 0 min m n åg mr än T min gmnsm m T, (ågn k ). Upprpning v ovnskrivn prour gr slutlign tt minimlt uppspännn trä som smmnfllr m T, vs. w(t min )=w(tmin 0 )=::: = w(t ). Hnlsrsnsprolm. En hnlsrsn önskr sök tt ntl stär oh sn åtrvän hm m minst möjlig totl kostn utn tt åtrvän till n st hn rn sökt. Dn hnlsrsn ör lltså hitt n Hmilton-ykl m miniml vikt. En lösning hövr int llti xistr, mn om n lösning nns så är ntlt yklr i llmänht stort oh t är tt övrmäktigt komintoriskt prolm tt gå ignom ll ltrntiv. Vi skll här skriv n systmtisk mto som m hjälp v Kruskls lgoritm stämmr n unr gräns för n vntull lösningn till hnlsrsnsprolm. Antg tt ykln i grfn nn gr n lösning till hnlsrsnsprolm för stärn ; ; ; ; : 7

Figur 3. Om vi tr ort no, så får vi n väg gnom norn ; ; ; : Figur 3. Dnn lgrf ilr tt uppspännn trä U för n full lgrfn m norn ; ; ;. Låt T vr t uppspännn trä som kn konstrurs m Kruskls lgoritm. Då gr Sts 0 tt w(u ) w(t ) : Hl ykln hr såls n totl viktn w(u )+w(f; g) +w(f; g) w(t )+w(f; g) +w(f; g) : M nr or kn vi uppnå n unr gräns för lösningn till hnlsrsnsprolm gnom tt r n totl viktn v t miniml uppspännn trä som konstrurts m Kruskls lgoritm gnom norn ; ; oh m viktrn för två minst ågrn utgån från. Följn xmpl visr hur vi skll nvän nn mto. 8

Btrkt fm stär m viktrn nligt följn gur: 6 8 4 8 6 4 7 0 Figur 33. Om vi vlägsnr no, så får vi följn grf m norn ; ; oh. 6 8 4 7 0 Figur 34. Kruskls lgoritm gr å tt uppspännn trä m ågrn ; ; : 4 7 T Figur 3. m totl viktn w(t ) = 6. D två minst viktrn för ågr utgån från är oh 4 (ågrn oh ). Alltså n unr gränsn för lösningn till hnlsrsnsprolm är i tt fll, å vi vlägsn non, givn v 6++4=. Låt oss nu unrsök v som inträr å vi vlägsnr no. Då får vi följn grf m norn ; ; oh. 9

6 4 6 4 Figur 36. Tillämpning v Kruskls lgoritm gr t uppspännn trät T m ågrn ; ; (llr ; ; ), lltså: T, T 4 4 Figur 37. m totl viktn w(t )=. D två minst viktrn för ågr utgån från är 7 oh 8 (ågrn oh llr ). Därm får vi n unr gränsn +7+8 = 6 till hnlsrsnsprolm, vilkt gr n ättr uppskttning än i t förgån fllt är non vlägsns. Alltså är lösningn till hnlsrsnsprolm åtminston 6. Gnom tt vlägsn norn ; oh i tur oh orning får mn unr gränsr som är minr än 6 (hmuppgift), lltså sämr unr gränsr. Dt visr sig tt n unr gräns vi k gnom tt vlägsn non råkr g n lösning till hnlsrsnsprolm, nämlign ykln m miniml totl vikt gnom norn ; ; ; ;, är m n totl viktn +7+8++4=6. I näst xmpl prsntrs två girig lgoritmr som i n fullstänig vikt grf snt hittr n Hmilton-ykl, vilkn ok int hövr vr lösningn till hnlsrsnsprolm. Två lgoritmr som gr n gnsk kort Hmilton-ykl i fullstänig grfr. En grf (V;E) m V = fv ; :::; v n g är fullstänig, (llr kompltt), om gr(v i ) = n-; i = ; :::; n: Btrkt grfn: 0

0 30 0 00 70 0 Figur 38. A. Mton m närmst grnn (i) Strt i någon no x. Välj utgån åg m miniml vikt. (ii) Låt y vr n snst uppnå non. Om ll nor i V är inklur i vägn så väljs ågn mlln y oh x. Välj nnrs n åg m miniml vikt utgån från y till n no som int ännu inklurts i vägn. Ivår xmplgrf rhålls. x = : ; ; ; ; ) 0 + 00 + 0 + 70 = 30;. x = : ; ; ; ; ) 00 + 30 + 70 + 0 = 0; 3. x = : ; ; ; ; ) 0 + 00 + 30 + 70 = 0; 4. x = : ; ; ; ; ) 00 + 0 + 70 + 0 = 30: B. Mton m sortr ågr (i) Välj n kortst ågn ln ll ågr som ännu int är vl, så tt lrig r än två ågr utgår från n no oh så tt ing yklr v läng <nils. Ivårt xmpl väljs ågrn i orningn ; ; ; oh. Vi får Hmilton-ykln ; ; ; ; m längn 30. Algoritmrn A oh B är xmpl på girig lgoritmr (gry lgorithms) som är sn, mn som int növänigtvis hittr n optiml lösningn. Lösningn till hnlsrsnsprolm i vårt fll gs v Hmilton-ykln ; ; ; ; m längn 0. Ivårt xmpl m fm stär lyks å lgoritmrn lös hnlsrsnsprolm. (Koll!) Kortst vägn i rikt grfr Antg tt vi hr n rikt grf G =(V;P) är vi försr vrj pil p P m n vikt w(p) m hjälp v viktfunktionn w : P! N. (D tiigr hnl vikt grfrn kn trkts som spilfll). Låt nu v 0 ;v n V vr två nor i G sån tt t xistrr åtminston n rikt väg från v 0 till v n. Vi skll nu m hjälp v tt xmpl skriv Dijkstrs lgoritm från 99 för stämning v kortst vägn mlln v 0 oh v n. (Esgr W. Dijkstr, 930-00). I lgoritmn kn n no v j tillls två typr v

mrkringr, n tmporär mrkring (n; v k ), som kn änrs, llr n prmnnt mrkring [n; v i ] som int mr änrs. I ss mrkringr ngr n längn på n för närvrn rspktiv n slutlig kortst vägn från v 0 till v j, är n sist piln örjr i v k rspktiv v i oh slutr i v j. Vi är ärm intrssr v tt stämm n prmnnt mrkringn för non v n. Bstäm n kortst vägn från no v 0 till no i nnstån vikt rikt grf: v 0 6 9 4 9 3 6 3 7 Figur 39. Stg : Vi försr strtnon v 0 m n prmnnt mrkringn v 0 :[0;-]. Stg : Nor som nås irkt från v 0 : ; ;. Dss förss m tmporär mrkringrn :(6;v 0 ) ; :(4;v 0 ) ; :(6;v 0 ): Stg 3: Dn minst tmporär mrkringn görs prmnnt :[4;v 0 ]: Stg 4: Nor som nås irkt från : ; ;. No hr rn tilllts n tmporär mrkring, mn ftrsom vägn från v 0 vi till är kortr, 4+=<6, så änrs mrkringn på no, :(;) ; :(7;) ; : (3;): Stg : Dn minst tmporär mrkringn görs prmnnt :[;]: Stg 6: Nor som nås irkt från :. Eftrsom +9 = 4 > 3 änrr vi int på n tmporär mrkringn för no. Stg 7: Dn minst tmporär mrkringn görs prmnnt :[6;v 0 ]: Stg 8: Nor som nås irkt från : ;. Vi hr tt 6+3 > 7 oh tt 6+7 = 3, så vi änrr ing tmporär mrkringr.

Stg 9: Minst tmporär mrkringn görs prmnnt :[7;]: Stg 0: Enst non nås irkt från no. Notrr tt 7+ < 3, så vi änrr n tmporär mrkringn för no : (;): Stg : Dn n kvrvrn tmporär mrkringn görs prmnnt : [;]: Nu kn vi på sn v prmnnt mrkringrn gör kåtnlysn: v 0. Därm gs n kortst vägn v v 0 ;;; oh n hr längn. 3