9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner, linjärt beroende, bs och dimension. 48. Beskriv hur mn, när mn vlt en bs för ett (ändligtdimensionellt) vektorrum V, kn identifier det med R n, där n dimv. 49. Oändligtdimensionell vektorrum. 5. En följd v linjärt oberoende vektorer i ett ändligtdim. vektorrum V kn lltid kompletters till en bs. 5. För två underrum, U och U, i ett vektorrum V gäller dim U +dimu dimu U +dimu U 5. Vilk egenskper tr mn som definition för sklärprodukt i ett bstrkt vektorrum? 53. Exempel på sklärprodukt på ett funktionsrum. 54. Cuchy-Schwrz olikhet och tringelolikheten i funktionsrum med sklärprodukt. 55. Ortogonlt komplement. Ortogonl projektion. Minst kvdrtmetoden. 56. Legendrepolynom 57. Bsbyte: Hur ändrs koordintern v en vektor, då mn övergår från en bs till en nnn? Om båd bsern är ortonormerde? 58. Ortogonl mtris Kolonnern i en n n-mtris utgör en ON-bs för R n om och endst om rdern hr smm egenskp. Adrien-Mrie Legendre, frnsk mtemtiker 75-833. Polynomen återfinns i en vhndling från 784. Linjär rum: kommentrer Homogen linjär ekvtionssystem 59. Om vi försöker skriv upp ll lösningr till så är en möjlighet x y z 3x y +z x godtycklig s z godtycklig t y 3x +z 3s +t eller ekvivlent s 3 + t s, t godtycklig Tolkr mn ekvtionen som en beskrivning v ett pln i rummet, så bildr (, 3, ) och (,, ) en bs för vektorern i dett pln. 6. Löser vi systemet ½ x + x + x 3 + x 4 x +x x 3 +3x 4 genom tt exempelvis eliminer x ur den ndr ekvtionen, får vi x 3 x x 3 s + t x 4 s, t gidtycklig Mn kn säg tt ( 3,,, ) och (,,, ) utgör en bs för lösningrn. 6. Allmänt: Utför successiv elimintion på ett linjärt ekvtionssystem, så fås lösningr på en form som i KGA, sid., Exempel.5. (Prmetrrn, som får väljs godtyckligt, kn vr fler än.) På mtrisform kn lösningen i Ex..5 skrivs x x x 3 x 4 x 5 3 4 4 + s s, t godtycklig + t 8 6 Hde systemet vrit homogent, hde ing konstnt termer funnits den först kolonnmtrisen i högerledet bortfller. Återstående två vektorer i högerledet kn sägs utgör en bs för lösningrn. 8
Homogen linjär differentilekvtioner 6. 63. 64. y (t)+y (t) m y (t) Ce t C godtycklig y +5y +6y m y C e t + C e 3t C,C godtycklig y +4y +4y m y C e t + C te t 65. Persson&Böiers, sid.365 C,C godtycklig y (4) y (3) +y y m y C e t + C te t + C 3 t e t + C 4 e t C,C,C 3,C 4 godtycklig 66. Frågr mn Mthemtic om lösningen till (n tänker vi oss vr ett givet heltl) x y (x)+xy (x)+ x n y (x) Exemplen visr tt begreppet bs på ett nturligt sätt uppträder i fler olik smmnhng i ll fllen ovn kn lösningsmängden uppftts som ett slgs pln som spänns upp v ett ntl bsfunktioner. Så snrt mn hr en mängd v objekt som kn dders och multiplicers med tl, så tt de vnlig räknereglern gäller, så kn mn definier degreppen bs och dimension. Först måste mn emellertid preciser vd som vses med de vnlig räknereglern det är där xiomen på sid.6 kommer in! Fst, även om KGA ställer upp xiom och genomför en bstrkt härledning på sid.8, så är det ldrig ktuellt med linjär rum nnt än v följnde tre typer: Geometrisk vektorer: riktde sträckor i ett pln eller i 3 dimensioner, som dders och multiplicers medtl,somisprr,kp. Tlmultiplr, d.v.s. element i R n, som dders och multiplicers med tl, som i KGA, sid.75. (En mängd v mtriser kn t.ex. också betrkts som en mängd v tlmultiplr, fst ordnde på ett nnt sätt.) Funktioner som dders och multiplicers med tl, på det nturlig sättet, som i KGA, Exempel 9. Att dditionen och multipliktionen med tl i ll de tre fllen ovn uppfyller xiomen på sid.6, inser mn en gång för ll. Frågn om en viss mängd med dess opertioner utgör ett linjärt rum, reducers då till frågn om dditionen och multipliktionen med tl ger tlmultiplr / funktioner i smm mängd eller om mn kn komm utnför i det först fllet föreligger ett linjärt rum, nnrs inte. Se exempel på näst sid. genom tt mt in DSolve[ x y [x]+x y [x]+(x -n )y[x], y[x], x ] så får mn svret BesselJ[-n, x] C[] + BesselJ[n, x] C[] vilket skll tolks som så tt lösningrn är linjärkombintionern v två funktioner de s.k. Besselfunktionern J n (x) och J n (x) som inte kn uttrycks med de elementär, utn fått ett eget nmn. 9
67. Avgör vilk v följnde mängder som, försedd med de nturlig räkneopertionern, utgör linjär rum. Ange i förekommnde fll även en bs, smt rummets dimension. () (b) (x,x,x 3 ) R 3 : x + x + x 3 ª (x,x,x 3 ) R 3 : x + x + x 3 ª Svr: ) J, eftersom x + x + x 3 y + y + y 3 (x + y )+(x + y )+(x 3 + y 3 ) och för ll reell λ : λx + λx + λx 3 b) Nej : ¾ (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) {n n-mtriser A med det A } {n n-mtriser A med sp A } {polynom v grd n (exkt)} {polynom p v grd n med p () } {polynom p v grd n med p () } {f C [, ] : f () + f () } f C (R) :f (), f () ª x + x + x 3 x +x +x 3 6 c) Nej det kn mycket väl gäll det A det B, men det (A + B) 6 d) J, eftersom (kontroller med definitionen!) sp (A + B) sp A + sp B sp (λa) λ sp A så gäller tt vrje summ och vrje multipel v mtriser med spår hr spår också. e)nej summnvtvåpolynomvgrdn kn h grd <n(när x n -koeff. är motstt tl) f) Nej p () (p)()6 g) J, summor v polynom och multiplr v polynom, som är v grd n och är för x, är också v grd n och för x. (j) f C (R) :f f ª (k) ½ f C [, ] : ¾ f (x) dx
h-k) Kontinuitets- och deriverbrhetsvillkoren gäller för vrje summ f + g och vrje multipel λf, λ reellt tl, om de gäller för f och g : Är f och g två gånger deriverbr, så är f + g det också, etc. Återstår då tt kontroller villkoren efter :-tecknet. h) J : ½ f () + f () g () + g () ½ (f + g)()+(f + g)() (λf)()+(λg)() Rummet är oändligtdimensionellt t.ex. innehåller det följnde oändlig följd v lin. oberoende funktioner: f n (x) x n ( x) n, n,, 3,... (En följd v polynom v olik grdtl måste vr linjärt oberoende kontroller med definitionen!) i) Nej, p.g.. tt f () (f) () 6 j) J summn v två lösningr och vrje multipel v en lösning är också lösning. I och med tt f (x) C e x + C e x så är rummet -dimensionellt och en bs är e x,e xª k) J: om f och g är kontinuerlig på x med integrl, så är även f + g och λf kontinuerlig, för vrje reellt tl λ, och (f + g)(x) dx (f (x)+g (x)) dx f (x) dx + + λ λ (λf)(x) dx λf (x) dx f (x) dx g (x) dx Sklärprodukt : kommentrer Definitionen på sid.4 säkerställer tt det skll gå tt räkn som i LTHs övn.smling, övn.4. : (u v) (3u + v) u (3u) v (3u)+u v v v 3u u 6v u + u v v v 3u u 5u v v v smt tt sklärprodukten v en vektor med sig själv skll vr, så tt vi nu kn utnyttj sklärprodukten till tt räkn ut något motsvrnde längder : u u u Återigen är det egentligen inte fler än tre typer v sklärproudkter, som mn behöver h i åtnke: Den ursprunglig sklärprodukten för geometrisk vektorer, definierd utifrån längder och vinklr. Sklärprodukter för tlmultiplr : x y + x y +... + x n y n x y +x y +... + nx n y n (KGA, sid.5)... I kp., sid.87, skll vi se tt de här sklärproduktern hr ll formen x x x... x n Q x. x n där Q är en symmetrisk mtris, med egenskpen tt mtrisprodukten ovn är > (den är ett tl!) för ll (x,x,.., x n ) 6, eller ekvivlent: ll egenvärden till Q är >. Sklärprodukter för funktioner : Integrler v typen f (x) g (x) w (x) dx där w (x) > för ll x, så tt sklärprodukten v en funktion med sig själv säkert blir : (f,f) f (x) w (x) dx eftersom f (x) w (x)
Övningr 9 9 Ekvivlent formulering: Vis tt det till vrje trippel v tl (, b, c) går tt hitt en och endst en trippel (x, y, z) sådn tt xp (t)+yp (t)+zp 3 (t) t + bt + c för ll t smt bestäm den trippel (x, y, z) som svrr mot (, b, c) (,, ). Denn leder till ekvtionssystemet x + y + z x +4y +6z b x +4y +9z c 4 3 8 4 b c b c (b ) vrv syns tt lösning finns och en entydig. Speciellt för (, b, c) (,, ) fås y 3,z,x3. 93 Illustrerr idén på specilfllet: m 3,n. Obs. tt b c d + b + e f +c + d + +e + f 93b Underrum därför tt A, B symmetrisk A + B symmetrisk λa symmetrisk De symmetrisk mtrisern är helt bestämd v sin element på och ovnför huvuddigonlen och dess kn väljs oberoende v vrndr. En bs i fllet n 3är t.ex.,,,,, Allmänt: En bs fås genom tt för vrje pr v index j, k, j k n, t den mtris som hr en ett på pltser j, k och k, j smt resten nollor. Totlt blir det ++3+... + n n (n +) mtriser i bsen, vilket lltså är dimensionen v Sym(n) 93c Som för de symmetrisk mtrisern, fst digonlelementenkninteväljsfritt demåstevr. En bs får vi genom tt för vrje pr v index j, k, j<k n, t den mtris som hr Totlt blir det på plts j, k, på plts k, j smt resten nollor. n (n ) ++3+... +(n ) mtriser i bsen, vilket således är dimensionen. och tt tlen, b, c, d, e, f i högerledet inte kn byts ut mot ndr och ändå h summn lik med vänsterledet. En bs utgörs lltså v de mtriser som hr en end ett någonstns och resten nollor. Rummets dimension mn.
94 Skriver kort summ för det gemensmm värdet v ll rd-, kolonn- och digonlsummor. 94 Om M och M är kvdrter med summor s resp. s, och λ, λ är godtycklig tl, så är λ M + λ M en kvdrt med summ λ s + λ s. Därför underrum. 94b Det räcker tt undersök följnde ekvtionssystem x + +y + z [titt på först rden först] x z x + y + z x y... x y z Alltså är mtrisern linjärt oberoende. 94c Tittr mn litet närmre på mtrisern i b) och observerr tt de två senre hr summ och mittenelement m, så kn mn leds till följnde tnkegång: Om vi hr en mgisk kvdrt med summ s och från den subtrherr en multipel v en mtris med idel ettor, som den först i b), såfårvienmgiskkvdrtmedsumm. Kn vi hitt ll mgisk kvdrter med summ, så hr vi ll mgisk kvdrter! En 3 3-mgisk kvdrt med summ skll h summn v huvuddigonlen summn v den ndr digonlen summn v ndr rden summn v ndr kolonnen Adderr vi dess fyr ekvtioner, får vi vrv följer tt summn v ll element +3m m Om nu m och summn, så ser mn tt, om mn fixerr värden på två element i hörnet, så blir hel mtrisen bestämd : b b b + b + b b Vi ser tt det går br tt välj och b godtyckligt, oberoende v vrndr. Därmed hr vi vist tt vrje element i MAG 3 kn skrivs på formen s 3 + +b där tlen s, och b får vrierr fritt. Alltså är dim MAG 3 3. (Andr mtrisen här ovn differensen melln bokens ndr och tredje.) 3
94d I c) konstterdes tt mtris och 3 hr summ, så vi kn direkt skriv upp den först koordinten : (Den givn A hr summ 5, medn först bsmtrisen hr summ 3, därv 5/3 5) 4 9 3 5 7 8 6 5 +y +z Nu kn vi vläs (rd, kol. 3 : y 3 (rd, kol. : z och kontroller tt det stämmer även på övrig positioner. 94e En n n-mtris A ( jk ) bestäms v värden på sin n element jk, j, k n. De mgisk kvdrtern svrr mot lösningrn till ett ekvtionssystem med n st. obeknt jk : r r r r 3... r n r n k k k k 3... k n k n r k d r d d där vi, för överskådlightens skull, infört r j summn v elementen på rd j j + j +... + jn k j summn v elementen i kolonn j d summn v huvuddigonlelementen d summn v elem. i den ndr digonlen n +,n +... + n Obs. tt ekvtionssystemet är linjärt och homogent. Antlet ekvtioner är (n ) + 3 n +, ntlet obeknt är n. Lösningrn bildr lltså ett linjärt underrum i R n och dett underrum är ortogonl komplementet till rummet som systemmtrisens n + rder spänner upp. Rdrummets dimension är nturligtvis ntlet rder n +, så dimensionen v dess ortogonl komplement måste vr n (n +) Inte riktigt lik br uppskttning som i problemtexten knske beror det på tt ekvtionern inte är oberoende? Jvisst: Om vi vet tt ll rdsummor är lik sinsemelln, r, och likså tt ll kolonnsummor, k, så måste r k, ty nr summn v mtrisens ll element nk. Alltså är ekvtionen r k överflödig och vi kn ersätt n +med n i vår uppskttning. 95 Räcker med t.ex. cos t cos t sin t t 6 + t + t 4 t + ln t 6 + ln t + +ln t 4 t + 4
96 T.ex. så här: 9 Alt.. Utnyttj de trigonometrisk formlern (Persson&Böiers, sid.75) e t + be t + ce t3 för ll t Divider med (den för stor t dominernde funktionen) e t3 och låt t, så fås ++c Divider sedn med e t och låt t, så fås Då måste även 96b Antg b sin t + b cos t + c sin t + d cos t för ll t Deriver 4 gånger, så fås sin t + b cos t + 4 (c sin t + d cos t) för ll t Kombinerr mn dess två, fås tt sin t + b cos t för ll t och c sin t + d cos t för ll t Sätt in t,t π/ i den först, så fås genst tt b. Anlogt med den ndr. Eller tänk på hjälpvinkelomskrivningen Det finns φ : sin t + b cos t p + b sin (t + φ) cos x cos y (cos (x + y)+cos(x y)) sin x sin y (cos (x + y) cos (x y)) cos x sin y (sin (x + y) sin (x y)) Alt.. Av Eulers formler cos t e it + e it sin t e it e it i följer tt ll produkter v typen kn skrivs på formen cos kt cos nt sin ktcos nt sin ktsin nt konstnt e ikt ± e ikt e int ± e int Multilicerr vi ihop prentesern fås e i(k+n)t ± e i(n k)t ± e i(k n)t + e i(k+n)t Nu är k,n och om dessutom k 6 n, så är ll koefficientern i exponentern 6 och en primitiv funktion är e i(k+n)t i (k + n) ± ei(n k)t i (n k) ± ei(k n)t i (k n) + e i(k+n)t i (k + n) För vrje heltl är e imπ e µ im( π) ½, om m jämn, om m udd så efter insättning kommer termern tt t ut vrndr. Glöm dock inte ett fll med k n : sin kt cos kt, k > Då hr vi tt undersök e ikt + e ikt e ikt e ikt e ikt e ikt så även här fås en primitiv funktion v smm typ. (Det hde inte vrit fllet om k!) 5
9 ) (u u,u ) (u, u ) (u,u ) 98 I och med tt smtlig element är ntingen eller, så hr ll rder/kolonner längden q (±) +(±) +... +(±) n 96 (u, u ) ³u, X (u, e j ) e j X (u, (u, e j ) e j ) X (u, e j )(u, e j ) X (u, e j ) (u,u ) X (u, e j ) e j, X (u, e k ) e k j k X X (u, e j )(u, e k )(e j,e k ) j b) Pythgors sts 93 k X (u, e j )(u, e j ) j X (u, e j ) u u +(u u ) u och u u ortogonl (u, u) (u,u )+(u u,u u ) (u,u )[enl.)] X (u, e j ) Därmed kommer n H tt vr en ortogonl mtris. 98b En sklärprodukt v typ (±) (±) + (±) (±) +.. +(±) (±) ± ± ±... ± kn inte bli, om ntlet termer i summn är udd! 99 Observer tt sklärprodukten v vektorern Ax och x kn skrivs som en mtrisprodukt på två olik sätt: (Ax) T x x T Ax Den först kn för skrivs om (Ax) T x x T A T x Om nu A är skevsymmetrisk, så är Därmed hr vi fått End möjligheten är tt x T A T x x T Ax x T Ax x T Ax 97 (AB) T (AB) B T A T AB B T EB B T B E A T A E det A det A T dete (det A) det A ± x T Ax d.v.s. x och Ax är ortogonl. 99b Enl. dimensionsstsen räcker det tt vis tt (E A) x endst hr den trivil lösningen x. Likheten är ekvivlent med x Ax och enl. ) skulle dess två vr ortogonl. End möjligheten är tt x Ax 6
99c 99d Vi sk vis tt (E + A)(E A) E + A A A (E A)(E + A) E A + A A TT t E Vi utnyttjr bl.. tt det llmänt gäller A t A t och får TT t (E A) (E + A) 9 ³ (E A) t (E + A) ³ (E A) (E + A)(E + A) t (E A) t ³ (E A) (E + A)(E A) (E A) t [enl. c)] (E A) (E A)(E + A)(E + A) EE E Vi sk vis tt A t A : A t ³(T E)(T + E) t ³ (T + E) t (T E) t ³ (T + E) t T t E T t + E T t E T + T T T T T T (E + T ) T (E T ) (E + T ) T T (E T ) (T + E) (T E) Återstår tt kontroller tt 9 9 Den först uppfyller inte riktigt positivitetsvillkoret : (f,f) f (x) dx även för ll funktioner som är konstnt på x b. Endst nollfunktionen skulle ge här! Den ndr uppfyller (f,f) f (x) dx + f () med likhet om och endst om f (f,g) (f + f,g) (g,f) (λf,g) + f (x) g (x) dx + f () g () g (x) f (x) dx + g () f () (f + f ) g dx +(f ()+f ()) g () f g dx + f () g () (f,g)+(f,g) f g dx + f () g () (λf) g dx +(λf)() g () λ f gdx + λf () g () Ã Z! b λ f gdx + f () g () λ (f,g) så den uppfyller krven på en sklärprodukt. (T E)(T + E) (T + E) (T E) Sätt S T + E så ntr den påstådd likheten formen (S E) S S (S E) SS S S S S snt 7
93 95 u v u v (u, u) (v,v) (u v,u v) (u, u) (u, v)+(v,v) (u, v) (u, u) (v,v) (u, v) p (u, u) p (v, v) 96 Vinkeln θ definiers ur reltionen cos θ (u, v) p (u, u) p (v, v) lltså cos θ θ π 3 94 Vi visr två inklusioner: (U + U ) U U är klrt, eftersom en vektor som är ortogonl mot ll vektorer v typen u + u, u j U j är också ortogonl mot ll vektorer i U och mot ll vektorer i U vi behöver endst t u eller u i summn u + u. Åndrsidn (U + U ) U U eftersom en vektor v som är ortogonl mot ll u U och ll u U också är ortogonl mot summn v två sådn: (u + u,v) (u,v)+(u,v) + 8