PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION)

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) Contents 1. En differentilekvtion 2 2. Epsilon och delt 4 3. Den logritmisk integrlen och primtl 6 4. Fltning och tt tämj gln funktioner 8 5. Tlet e 11 6. Anlytisk funktioner 13 7. Trigonometrisk funktioner 15 8. To kroppsproblemet 17 9. En olikhet 19 References 22 1

2 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 1. En differentilekvtion I denn uppgift tittr vi på någr olik differentilekvtioner. Vi nvänder vildsvinen i Skåne som exempel. Först tänker vi tillbk på de först vildsvinen som dök upp i de skånske skogrn. Enligt Wikipedi formerr sig vildsvin, och får kullr på 6-8 kultingr. Låt oss säg dett händer en gång om året. Beteckn beståndet efter t år med y(t). Om vi gör ntgndet tt reproduktionen är proportionerlig mot ntlet vildsvin, ger ett konservtivt estimt ekvtionen y = 3y. (Här tr vi även höjd för tt vildsvin inte lever för evigt.) 1. Lös denn ekvtion. Rit även lösningrn till motsvrnde begynnelsevärdesproblem med y(0) = 2, y(0) = 4 och y(0) = 6 i en grf (nvänd Mple). Ett sätt tt visuliser hur lösningrn till ekvtionen kommer tt se ut är genom tt gör ett så kllt riktningsfält. Dett innebär tt vi i ett (t, y)- koordintsystem ritr in en liten pil (vektor) med riktningskoefficient 3y i vrje heltlskoordint (t, y). 2. Gör dett för ekvtionen ovn. Rit även in lösningrn för begynnelsevärdesproblemen. Observer tt lösningrn följer pilrn. Dett kn även görs i Mple genom tt nvänd kommndot DEplot (läs mer i Mples hjälpfunktion.) Som vi ser så växer beståndet snbbt. 3. Antg tt de två först vildsvinen dök upp i de Skånsk skogrn efter istiden för 10.000 år sedn. Hur mång borde det i så fll finns nu, enligt vår modell? Är dett rimligt? En sk modellen inte tgit höjd för är tt viss livsnödvändig resurser så som mt och vtten är begränsde. Vi ändrr därför vår differentilekvtion något. Vi sätter: ( y = 3 1 y ) y. (1) K Den extr fktorn är linjär, och är lik med 3 när y = 0, och lik med 0 när y = K. Vi ser tt om y växer mot K så gör den ny fktorn tt y blir mindre och mindre. 4. Rit ett riktningsfält för den ny ekvtionen (1) när K = 100. Använd gärn Mple. Försök tt rit in lösningrn tillhörnde begynnelsevärdesproblemen med y(0) = 10, y(0) = 100 respektive y(0) = 200. 5. Låt y vr lösningen till ett v dess begynnelsevärdesproblem. Vd verkr vr en rimlig gissning för lim t y(t)? Vd är en rimlig tolkning v prmetern K? Vi önskr undersök lösningrn lite till innn vi bestämmer dem exkt.

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3 6. Antg tt lösningrn till olik begynnelsevärdesproblem korsr vrndr. Vis tt två sådn lösningr måste vr smm. 7. Genom tt deriver (1) en gång till med vseende på t, bestäm för vilk värden på y som lösningrn är konvex respektive konkv. Jämför med riktningsfältet. 8. Ekvtionen (1) hr två konstnt lösningr. Bestäm dess. Vi önskr nu lös ekvtionen exkt. Dett kn görs genom tt betrkt y = dy/dt som ett bråk, och skriv (1) på formen dy ( ) 1 y = 3dt. (2) K 9. Lös ekvtionen genom tt integrer båd sidor v (2), och sen lös ut y som funktion v t. 10. Bestäm lösningrn till begynelsevärdesproblemen med y(0) = 10, y(0) = 100 respektive y(0) = 200. Rit lösningrn i en grf. Bestäm även lim t y(t) för vr och en v lösningrn y. Observer tt om vi strtr med så få som exempelvis två vildsvin så är vi fortfrnde grnterde tt ntlet vildsvin kommer tt ök. Om vår modell stämde överens med verkligheten så skulle ju exempelvis kolor och pndor inte vr utrotningshotde förrän ytterst få exemplr v dess rter fnns kvr. Vi justerr nu (1) för tt inkluder bekymmer såsom sjukdom, llmän död och tjuvjkt v de skånsk vildsvinen. Vi betrktr ekvtionen ( y ) ( y = 3 T 1 1 y ) y. (3) K Här hr vi lgt till ännu en fktor. Den är negtiv när y < T och positiv när y > T. 11. Bestäm ll konstnt lösningr till ekvtionen (3). Bestäm även de värden v y för vilk y är positiv respektive negtiv. Vilken tolkning borde vi gör v prmetern T? 12. Rit riktningsfältet till (3) med T = 20 och K = 100. Skiss även lösningr till begynnelsevärdesproblemen y(0) = 10, y(0) = 100 och y(0) = 200. Svårighet: +

4 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 2. Epsilon och delt I dett projektet skll vi se lite närmre på kontinuitet. Syftet är tt undersök konkret exemplen för tt få en bättre förståelse för ɛ-δ tänknde. 1. Definier tlfölden n 2 x n = (2n + 1) n 2 + 1 för ickenegtiv heltl n = 0, 1, 2.... Använd Mple för tt giss ett gränsvärde lim n x n. 2. Vis tt tlföljden x n är växnde. (Ledning: Betrkt derivtn v en lämplig funktion.) 3. Bestäm nu hur stort n måste vr för tt x n skll vr ɛ när gränsvärdet. (Ledning: Det knske enklste sättet bsers på tt {x n } n=0 är växnde. Mn kn även h nytt v tt n 2 + 1 n 2 + 2n + 1.) Vi ser nu på funktionen f(x) = 1 1 x. 4. Låt vr gränsvärdet till x n ovnför. Vis, genom tt nvänd ɛ och δ, tt f(x) är kontinuerlig i. 5. Enligt vd ni gjorde i uppgift 3, hur stor måste n vr för tt f(x n ) är ɛ när f()? (Kom ihåg tt = lim n x n ) Följnde är en sts som knyter ihop kontinuitet och tlföljder: Theorem 1. En funktion är kontinuerlig i punkten om och endst om lim f(x n) = f() n för ll tlföljder x n som hr gränsvärde. 6. Vis den del v stsen som ntr tt f är kontinuerlig. 7. Hur kn mn vis tt en funktion inte är kontinuerlig i en punkt? Använd denn idé för tt bevis den ndr delen v stsen. 8. Vis tt funktionen cos( 1 x 2 + 1) inte är kontinuerlig i x = 0. Vi sk nu undersök en lite strkre typ v kontinuitet: Definition 1. Vi säger tt f är likformigt kontinuerlig på en intervll I om det för vrje ɛ > 0 finns en δ > 0 sådn tt för ll x, y I med x y < δ så är f(x) f(y) < ɛ. Noter tt i definitionen v kontinuitet så beror δ på i vilken punkt x vi undersöker funktionen. Det centrl för likformig kontinuitet är tt δ kn väljs oberoende v x. 9. Låt f(x) = 1/(1 x). Gör uppgift 4 för ett godtyckligt ( 1, 1), och vgör speciellt hur δ beror på.

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 5 10. Är f likformigt kontinuerlig på ( 1/2, 1/2)? Är f likformigt kontinuerlig på ( 1.1)? Ge rgument för båd svren. 11. Historisk sett gick det lång tid från det tt mn införde kontinuitet till tt mn upptäckte tt uniform kontinuitet vr v betydelse. Använd nätet till tt bestämm när dess två begrepp infördes, v vem, och lite om vrför. Svårighet: +

6 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 3. Den logritmisk integrlen och primtl Vi sk undersök funktionen Li(x) = x 2 dt ln t. Först observerr vi på någr grunnläggnde egenskper: 1. Vi önskr nu skiss grfen till Li. () Bestäm definitionsmängden till Li, vr den är kontinuerlig, och vr den är deriverbr. Beräkn dess derivt där det går, och dubbelderivt. (b) Undersök symptotern till Li. Här kn det vr till hjälp tt vet hur x/ ln x beter sig när x = 1 och när x går mot oändligheten. (b) Undersök hur Li beter sig när x går mot + lite mer noggrnt genom tt se på ln x lim x x Li(x). Vd kn vi säg om hur snbbt Li växer? 2. Värför blev tlet 2 vld i definitionen v Li och inte tlet 1? Denn funktionen är viktig inom mtemtiken eftersom den är när koppld till primtlen. Mer specifikt är den kopplt till primtlsfunktionen π(x) som nger hur mång primtl det finns som är mindre eller lik med x. Till exempel är π(3) = 2. 3. Jämför funktionern Li(x) och π(x) för x 100. (Ledning: Funktionen π finns med i Mple. Skriv först "with(numtheory)", och sen kn mn se på π(x) för positiv heltl x. Ett sätt tt pproximer funktioner är genom Tylorpolynom. 4. Ange Tylorutvecklingen till Li när punkten x = 10. 5. Hur mång termer måste vi t med för tt Tylorutvecklingen sk ge en god pproximtion v Li(15). (Sätt, till exempel, ɛ = 2.) 6. Hur beter sig denn Tylorutveckling vid x = 40 när vi lägger till fler termer? Jämför med beteendet när x = 15. Använd Mple för tt giss ett ungefärligt värde i intervllet (15, 40) där dett beteendet ändrs. Vi vänder oss bort från Tylorpolynom, och återvänder till tt betrkt Li versus π. 7. Vd händer om vi väljer även större värden v x än 100? Hur stor värden kn ni välj och fortfrnde få svr från Mple? 8. När är Li större än π och vice vers? Är det lltid så? Kn ni giss på formulering v en sts? 9. Dett är ett tem som blev studert v den mycket kände mtemtikern Littlewood. Använd internet och försök hitt informtion om vd hn kom frm till. Ge en kort resume, och vgör om er gissning i förr punkten stämmer. Svårighet: +

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 7 4. Fltning och tt tämj gln funktioner Begreppet fttning är v centrl betydelse i det mest v vncerd nlys, och även i ekonomi. Fltning är ett sätt tt kombiner två funktioner för tt få en ny funktion. Om f och φ är två styckvis kontinuerlig (dvs. piecewise continuous ) funktioner definierde på R så definiers fltningen f φ som f φ(x) = f(t)φ(x t)dt. R Vi sk nu försök tt förstå denn formel och även nvänd den lite försiktigt. Observer tt integrlen i högerledet är ett generliserd integrl. I llmänhet måste mn vr mycket försiktig med tt undersök om en fltning existerr eller inte. För tt undvik sådn kompliktioner kommer vi tt nt dels tt funktionen f är begränsd, och tt det finns ett intervll [, b] sådnt tt φ(x) = 0 för ll x / [, b]. Lägg märke till tt med det senre villkoret så blir integrlen ovn inte längre generliserd. 1. Låt φ vr en funktion definierd på R genom { 1/2 t [ 1, 1] φ(t) = 0 nnrs. Låt även f vr en positiv funktion. Givet ett fixt x, rit grfern v f(t) och φ(x t). Använd dett för tt ge en tolkning v fltningen f φ. Om f exempelvis beskriver en ktiekurs och x nger tid i timmr, hur kn vi då tolk f φ? 2. Beräkn, för hnd, F 1 = f φ om f är en funktion som är lik med 1 på [ 10, 10] och 0 nnrs. Rit grfen till F. 3. Använd formeln ni beräknde för F 1 för tt finn F 2 = F 1 φ. Rit grfen till denn funktionen. Vd ni observerr är tt funktionern blir snyggre och snyggre. Väsentligen gäller tt fltningen f φ kommer tt bete sig minst lik br som φ och f tillsmmns. Vi tänker då på egenskper som kontinuitet och deriverbrhet. 4. Låt f(x) = cos(1/x). Använd Mple till tt rit grfen till fltningen f φ, där φ är funktionen definierd tidigre (det är svårt tt hitt en snygg formel). Definier en funktion i Mple på följnde sätt: > px := [1, 2, 3, 4, 5] > py := [2, 1, 4, 5, 2] > plot(px, py) > with(curvef itting) : > f := Spline(px, py, t, degree = 1) > F := x > evl(f, [t = x]) > plot(f )

8 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 5. Använd Mple till tt beräkn fltningen F φ, där F är funktionen vi precis definierde, och rit grfen. Vi önskr nu undersök opertionen fltning lite mer teoretiskt. Eftersom svgre ntgnden på φ medför tt det blir svårre tt bevis något om f φ, så definierr vi först en mycket strk form for kontinuitet: Vi säger tt φ är Lipschitskontinuerlig om det finns en konstnt C > 0 sådn tt φ(x) φ(y) C x y, x, y R. 6. Verifier tt om φ är Lipschitskontinuerlig på R, så är φ också kontinuerlig på R. 7.* Antg tt φ är Lipschitskontinuerlig på R och tt f är begränsd på R, det vill säg tt det finns något tl B > 0 sådn tt f(x) B för ll x R. Vis tt fltningen f φ är kontinuerlig i x = 0. (I denn uppgiften räcker det tt φ är uniformt kontinuerlig, vilket är ett svgre ntgnde än Lipschits kontinuerlig. Som en extr utmning kn vi vis dett.) I mång fll är det mycket nvändbrt tt pproximer funktioner som inte är kontinuerlig med funktioner som är det. Vi hr redn sett en del v denn effekten hos fltningen i uppgiftern 2 och 3. Vi sk nu undersök hur fltning ger upphov till pproximtioner. För tt gör det enkelt för oss går vi tillbk till funktionen φ ovnför. Sätt φ n (x) = 2nφ(nx). 8. Skriv den styckvis definitionen till φ n (x) och beräkn lim n R φ n(x)dx. 9. För funktionen f(x) = x 10, beräkn fltningen f φ n och sedn gränsvärdet lim f φ n(x). n 10. Låt P (x) vr ett godtyckligt polynom. Vd blir gränsvärdet till P φ n (x) då n? Observer tt vi nu hr en metod för tt med hjälp v fltning uppsktt polynom. I själv verket finns det mång ndr sorters funktioner som kn pproximers med olik sorters fltningr. Att vis någr llmänn stser om dett är lite för svårt för denn kurs. Vi sk dock undersök ett vslutnde exempel. Vi hämtr exemplet från ktiemrknden. Med kommndot > with(f innce) kn vi i Mple komm åt funktionen BrowninMotion som verkligen beter sig som en ktiekurs. Läs om denn i Mples hjälpfunktion, och lös följnde uppgift. Märk tt följnde kommndo kn vr till hjälp: > B := convert(a, list) 11. Skp en funktion genom tt nvänd Brownsk rörelse. Använd Mple till tt beräkn fltningen med φ.

Svårighet: +(+) PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 9

10 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 5. Tlet e Vi skll undersök två olik sätt tt bestämm tlet e. 1. Skiss grfen till funktionen x (1 + 1/x) x för x > 0. Vis speciellt tt lim n (1 + 1/n) n = e. Anlys v funktionens ndrderivt kommer inte tt behövs för resten v uppgiften. Vår först strtegi är tt nvänd dett gränsvärde för tt bestämm e. Vi hittr först en uppskttning e 3. 2. Använd binomilformeln på uttrycket (1 + 1/n) n för tt få en övre uppskttning n (1 + 1/n) n 1 1 + (k 1). 2 Ledning: k! k(k 1) (k 1) 2 när k 2. 3. Jämför summn med en lämplig integrl för tt vis tt den är mindre än 2 för vrje n 2. Dr slutstsen tt e 3. Vi sk nu undersök hur snbbt (1 + 1/n) n närmr sig e. Eftersom vi inte vet något värde för e, så måste vi gör dett på ett indirekt sätt. Låt N vr något fixt heltl. Vi tänker hitt en uppsktning för skillnden som gäller för ll n N. ( 1 + 1 N + n k=2 ) N+n ( 1 + 1 N ) N (4) 4. Vis tt om vi uppskttr (4) till tt vr mindre än något δ > 0, då måste även ( e 1 + 1 ) N δ. N (Ledning: Använd uppgift 1.) 5. Vis tt ( 1 + 1 ) N ( 1 + 1 ) N+n N+n = N N + n N ( ln(1 + 1 x ) 1 ) (1 + 1/x) x dx. x + 1 6. Använd Tylorutvecklingen till ln(1 + t) med felterm för tt vis tt ln(1 + 1/x) 1 C x + 1 x 2 för x 1 och någon konstnt C. Ange C explicit. (Här finns inte br en C som fungerr.) 7. Dr slutstsen tt ( 1 + 1 N ) N ( 1 + 1 ) N+n C N + n N.

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 11 8. Använd denn olikhet till tt bestämm e upp till 25 decimler. Hur stort måste ni välj N? Använd en miniräknre eller något dtorprogrm för tt med hjälp v metoden ovn bestämm så mång decimler ni kn. Hur mång decimler fick ni? Hur vlde ni N? Vi skll nu bestämm e på ett nnt sätt. 9. Vd är Tylor polynomet till e x när x = 0 v ordning n med felterm? 10. Gör en uppskttning v feltermen genom tt nvänd olikheten e 3 som vi fnn tidigre. 11. Bestäm e upp till 50 decimler. Hur stor ordning v Tylorpolyomet krävdes det? 12. Vilken v de två metodern är snbbst? Svårighet: ++

12 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 6. Anlytisk funktioner Definition 2. Vi säger tt en funktion f är nlytisk på en intervll I = (, b) om det till vrje punkt x 0 i intervllet finns en polynomil utveckling v godtycklig ordning n {0, 1, 2,...}: f(x) = c 0 + c 1 (x x 0 ) + c 2 (x x 0 ) 2 + + c n (x x 0 ) n + O ( (x x 0 ) n+1). Observer: För vrje x 0 I finns sådn koefficienter c n. Dess beror lltså på vlet v x 0. Anmärkning: Denn definition v nlytisk funktioner skiljer sig från den llmänt vedertgn definitionen. Anledningen till tt vi trots llt väljer denn är dels för tt vi vill h ett nmn på dess funktioner, dels v historisk skäl. Det vr under lång tid inte klrt huruvid dett vr en lämplig definition v det som senre kom tt klls för nlytisk funktioner. Läsren ombeds därför tt vr medveten om tt i de fll då begreppet nlytisk funktion förekommer i något nnt smmnhng än i dett projekt så är betydelsen något nnorlund. Delmoment: 1. Vis tt en nlytisk funktion är kontinuerlig. Dvs tt c 0 = f(x 0 ). 2. Vis tt om c 0 > 0 så är f positiv i en omgivning v x 0. Vi definierr nu derivtn v en nlytisk funktion f på följnde sätt: Låt f vr en nlytisk funktion på I = (, b). Vi säger tt derivtn v f ges v f (x 0 ) = c 1. 3. Vis, genom tt nvänd denn definitionen v derivtn, tt om f hr mximum eller minimum i x 0, då är f (x 0 ) = 0. 4. Vis tt om f (x) > 0 så är funktionen växnde. Vi definierr så ndrderivtn v en nlytisk funktion f på följnde sätt: Låt f vr en nlytisk funktion på I = (, b). Vi säger tt ndrderivtn v f ges v f (x 0 ) = c 2 /2. 5. Vis, genom tt nvänd denn definition v ndrderivtn, tt om f hr mximum i x 0, så är f (x 0 ) 0, och motstt för minimum. Vi nknyter nu dess definitionern för derivtor v f till definitionern från kurset. 6. Vis, med kursens definition v derivtn, tt f (x 0 ) = c 1 och tt f (x 0 ) = c 2 /2. 7. Gör en gissning för smbndet melln f (n) (x 0 ) och c n. Vis tt dett stämmer genom ett induktionsrgument. En fråg mn ställde sig på 1700-tlet, med denn definition v nlytisk funktioner, vr följnde. Låt f vr en funktion som är nlytisk när x = 0, och för vilk ll c i är lik med noll i denn punkt. Är det då så tt funktionen är noll överlt?

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 13 8. Hitt ett motexempel till uttlndet. Kn ni klur ut vem som kom med det först sådn exempel? Svårighet: ++

14 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 7. Trigonometrisk funktioner Vi ser på ett nnt sätt tt definier trigonometrisk funktioner genom tt nvänd differentilekvtioner. Sinus och cosinus uppfyller differentilekvtionern d sin t = cos t dt d cos t = sin t dt Vi sk nu vis tt vi kn t dess differentilekvtionern som definition v sinus och cosinus. Antg därför tt vi hr funktioner f, g som uppfyller { f (t) = g(t) g (5) (t) = f(t) 1. Vis tt om (f, g) löser (5) så är f 2 + g 2 konstnt. Vd betyder dett geometriskt? 2. Vis tt det finns högst en lösning med givn värden på f och g i någon punkt t 0. (Ledning: Vilket ekvtionssystem uppfylls v skillnden melln två lösningr?) Vi hr nu vist stsen Theorem 2. Begynnelsesvärdeproblemet f (θ) = g(θ) g (θ) = f(θ) f(θ 0 ) = f 0, g(θ 0 ) = g 0 hr för given begynnelsespunkt θ 0 oct givn begynnelsesdt f 0 och g 0 högst en lösning. Vi vill nu bevis tt det existerr ett pr v funktioner (S, C) som är entydig lösning till begynnelsesvärdeproblemet S (θ) = C(θ) C (θ) = S(θ) (6) C(0) = 1, S(0) = 0 (Beteckningrn hr nturligtvis vlts så tt S sk motsvr sinus och C sk motsvr cosinus.) Först sk vi härled någr egenskper hos funktioner som uppfyller sådn ekvtioner. 3. Vis tt S är udd och C jämn. (Ledning: Vis tt om f(x) = S( x) och g(x) = C( x) så uppfyller (f, g) ekvtion (5).)

4. Vis formlern PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 15 C(x + y) = C(x)C(y) S(x)S(y), S(x + y) = S(x)C(y) + C(x)S(y). (Ledning: Betrkt funktionern på vrder sidn om likhetstecknet som funktioner v x och undersök vilk differentilekvtioner dess uppfyller.) 5. Vis tt C 1 och tt S(x) x för x 0. (Ledning: Använd uppgift 1 (f 2 + g 2 = cst) respektive S = C.) 6. Vis tt 1 x 2 /2 C(x) 1 x 2 /2+x 4 /24. (Ledning: Upprepd integrtion v olikheten S(x) x. 7. Vis tt C hr ett först positivt nollställe θ 0 som uppfyller 1.4 θ 0 1.6. Nu när vi vet tt C hr ett nollställe θ 0, så kn vi nvänd formlern vi hittt ovn för tt vis tt S och C uppfyller smm sorts periodicitet som sinus och cosinus. 8. Vis tt S(x + θ 0 ) = C(x) och C(x + θ 0 ) = S(x) för ll x. Använd sedn dett för tt vis formlern S(x + 2θ 0 ) = S(x), C(x + 2θ 0 ) = C(x) och tt S och C båd hr period 4θ 0. Vi skll nu konstruer lösningr till (6). 9. Vis tt i intervllet [ θ 0, θ 0 ] hr S en invers vrs derivt är 1/ 1 x 2. Vi kn nu definier rcsin på ( 1, 1) som rcsin x = x 10. Vis tt rcsin x är injektiv på ( 1, 1). 0 dt 1 t 2. På dett sätt kn vi definier sin θ för θ [ θ 0, θ 0 ] som den invers funktionen till rcsin x. Vi definierr sedn sin θ = sin(2θ 0 θ) för θ [θ 0, 3θ 0 ], och slutligen sin θ för godtycklig θ genom fortsättning till en funktion med period θ 0. Vidre definierr vi cos θ som derivtn till sin θ. 11. Vis tt sin θ och cos θ definierde på dett sätt uppfyller (6). Svårighet: +++

16 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 8. To kroppsproblemet I dett projekt tänkr vi undersök en v Kepplers lgr för plnetrörelse, den som säger tt en plnet rör sig i en elliptisk bn. Först måste vi se på polär koordinter i plnet. Istället för tt nge en punkt i plnet genom koordinter (x, y), kn den beskrivs entydigt genom tt nge vinkeln mot x-xeln och distns från origo: 1. Om θ [0, 2π) är den vinkel som linjen från (0, 0) till (x, y) bildr med den positiv x-xeln, och r är vståndet till origo, vis tt x = r cos θ, y = r sin θ och r = x 2 + y 2. En ellips är definierd som de punkter i ett pln sådn tt summn v vstånden från punkten till två fix punkter i plnet är konstnt. Låt oss nt tt brännpunkten till ellipsen är i origo respektive (2c, 0), och tt summn är 2 > 0. Använder vi polär koordinter kn ekvtionen (r cos θ + 2c, r sin θ) = 2 + r härledes. 2. Vis tt ekvtionen för en ellips kn skrivs som r = 1 e2 1 e cos θ. Här är e = c/ excentriciteten till kurvn. 3. Noter tt c > måste gäll om vi skll få en ellips på dett sätt. Vilk kurvor upkommer om e = 1 eller e < 1? (Använd gärn Mple för tt undersök dett.) Antg tt det finns två prtiklr i rymden med positionsvektorer U och V och mss m respektive M. Enligt Newtons grvittionslg påverkr mssorn vrndr med en krft som är proportionell mot mssorn v de två prtiklern, och omvänt proportionell mot kvdrten på distnsen: Alltså F = GMmx/ x 3. Här är G en konstnt som klls grvittionskonstnten. Newtons ndr lg säger tt en kropps ccelertion är proportionell mot krften som verkr på den: F = m. 4. Om vi bortser från ll ndr krfter än de som nämnts ovn, vis tt rörelsesekvtionern för de två prtiklrn är mü MẄ + GMm (U W ) U W 3 = 0, + GMm (W U) U W 3 = 0. Vi definierr nu systemets tyngdpunkt som vektorn T = m m + M U + M m + M V. 5. Vis tt tyngdpunkten hr konstnt frt.

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 17 6. Att frten är konstnt betyder tt vi kn låt tyngdpunkten hel tiden befinn sig i origo i vårt koordintsystem. Gör dett vribelbytet, lltså u = U T och w = W T, och vis tt rörelsesekvtionern nu blir mü + G Mm u u = 0 3 Mẅ + GM m w w = 0 3 Dett betyder tt vi kn betrkt de två rörelsern seprt kring tyngdpunkten. Vi fokuserr därför på en prtikel med position u och mss m vrs rörelse kring origo styrs v ekvtionen mü + GMm u = 0. (7) u 3 (Observer tt dett är formeln vi urspringligen får om en v mssorn är i origo.) Vi visr först tt rörelsen måste ske i något pln: 7. Vis tt u u är en konstnt vektor. Här betyder x y vektorprodukten melln vektorern x = (x 1, x 2, x 3 ) och y = (y 1, y 2, y 3 ), och ges v x y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). 8. Vis tt vektorn u(t) för ll t ligger i ett och smm pln genom origo. (Ledning: vilken är plnets normlvektor?) Eftersom bnn är pln så är det ingen inskränkning tt nt tt den ligger i xy-plnet. Vi inför polär koordinter (r, θ) i dett pln. 9. Vis tt när vi byter koordinter så är (7) ekvivlent med ekvtionern { r 2 θ = C r r( θ) 2 + GMr 2 = 0. Vi önskr nu eliminer tiden från denn ekvtion, för tt br h en ekvtion melln r och θ, som vi sedn kn härled plnetens bn från. Vi gör nu vribelbytet ρ = 1/r, och låter ρ vr derivtn v ρ med vseende på θ. 10. Vis tt ṙ = Cρ. (Ledning: nvänd kedjeregeln.) 11. Vis tt r = C 2 ρ ρ 2. 12. Sätt u = ρ GM/C 2, och vis tt mn får ekvtionen u +u = 0. Lös denn för u och vis tt r = C2 /GM 1 e cos θ. Svårighet: +++

18 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 9. En olikhet Låt λ 1 0 och λ 2 0 vr två reell tl sådn tt λ 1 + λ 2 = 1. Om x 1 och x 2 är två ndr reell tl så klls tlet λ 1 x 1 + λ 2 x 2 för en konvex kombintion v tlen x 1 och x 2. 1. Vis tt givet två reell tl, x 1 < x 2, så gäller, för vrje konvex kombintion v dess, tt λ 1 x 1 + λ 2 x 2 [x 1, x 2 ]. Vis också tt om x [x 1, x 2 ] så är x en konvex kombintion v x 1 och x 2, dvs det finns λ 1 0 och λ 2 0 sådn tt λ 1 + λ 2 = 1 och x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2. En funktion φ : R R klls för konvex om φ(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) λ 1 φ(x 1 ) + λ 2 φ(x 2 ) (8) för ll x 1, x 2 R och ll λ 1, λ 2 0 med λ 1 + λ 2 = 1. I den resternde delen v denn skrift kommer φ tt beteckn en konvex funktion. Noter tt denn definition v en konvex funktion skiljer sig något från den given i [AE]. Där definiers en funktion som konvex om dess derivt är en växnde funktion. Vi hr inte gjort något ntgnde om tt funktionen sk vr deriverbr. I de fll då funktionen är deriverbr smmnfller de båd definitionern. 2. Vis tt om x 1 < x 2 så gäller φ(x) φ(x 1 ) + (x x 1 ) φ(x 2) φ(x 1 ) x 2 x 1 (9) för ll x [x 1, x 2 ]. Tolk dett resultt grfiskt. (Ledning: Skriv x som en konvex kombintion v x 1 och x 2.) 3. T hjälp v den grfisk tolkningen v resulttet i föregående övning för tt ge ett exempel på en funktion som är konvex, men inte deriverbr. För tt nlyser en konvex funktion med vseende på deriverbrhet behöver vi följnde olikheter. 4. Låt x 1 < x 2 < x 3. Bevis olikhetern φ(x 2 ) φ(x 1 ) x 2 x 1 φ(x 3) φ(x 1 ) x 3 x 1 (10) φ(x 2 ) φ(x 1 ) φ(x 3) φ(x 2 ) (11) x 2 x 1 x 3 x 2 Tolk även dess grfiskt. Låt nu x R vr ett fixt tl. Definier för h > 0 funktionen φ(x + h) φ(x) φ (h) = (12) h 5. Vis tt funktionen φ (h) är en vtgnde funktion genom tt nvänd (10) med ett lämpligt vl v x 1, x 2, x 3. Vis tt funktionen dessutom är nedåt begränsd genom tt nvänd (11) med ett nnt lämpligt vl v x 1, x 2, x 3.

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 19 Eftersom vi nu vet tt φ (h) är en vtgnde funktion som också är nedåt begränsd, så vet vi tt gränsvärdet lim h 0 + φ (h) existerr. Dett betyder tt funktionen φ hr en högerderivt i x, dvs gränsvärdet φ(x + h) φ(x) lim h 0 + h = φ +(x) (13) existerr. Noter tt vi gjort denn räkning för ett fixt x R, men tt vlet v x inte påverkr vår räkningr. Därför kn vi nu konstter tt en konvex funktion φ hr högerderivt i vrje punkt. Genom tt nvänd ett snrlikt resonemng kn vi även vis tt φ hr vänsterderivt i vrje punkt. Eftersom räkningr för tt vis dett blir identisk med de vi redn gjort ovn, vstår vi här från tt utför dess. I de fll då φ är deriverbr så är det inte speciellt svårt tt vis tt φ är en växnde funktion. Dett följer v (11). Det går också tt vis tt om en funktion hr växnde derivt så är den konvex enligt definitionen ovn. Ett välkänt fktum som vhndlts i denn kurs är tt om en funktion är deriverbr så är den också kontinuerlig. Deriverbrhet visr sig dock vr ett onödigt restriktivt villkor. 6. Vis tt om en funktion f hr höger- och vänsterderivt i en punkt x så är f kontinuerlig i x. Vi formulerr de resultt vi nåt hittills som en sts. Sts 1. Låt φ vr en konvex funktion. Då är φ kontinuerlig. Om φ dessutom är deriverbr så är φ en växnde funktion. Vi sk nu härled ett resultt för integrler och någr konsekvenser. Vi behöver först ett lemm. Lemm 1. Låt φ vr en konvex funktion. Då är n n φ( λ i x i ) λ i φ(x i ) (14) i=1 för ll x 1, x 2... x n R och ll λ 1, λ 2... λ n 0 sådn tt n i=1 λ i = 1. Ett tl n i=1 λ ix i där λ 1, λ 2... λ n 0 och n i=1 λ i = 1 klls för en konvex kombintion v tlen x 1, x 2... x n R. 7. Bevis ovnstående lemm. (Ledning: För n = 2 är dett br definitionen v konvexitet.) För en Riemnnintegrerbr funktion f : [, b] R gäller tt lim n n i=1 i=1 b n f(c i(n)) = f(x)dx (15)

20 PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) där punktern c i (n) väljs i intervllet [ + i 1(b ), + i (b )]. Riemnnintegrerbr funktioner innefttr dels kontinuerlig funktioner, men även begränsde n n funktioner som inte är diskontinuerlig lltför oft. Vi hr nu verktygen för tt bevis vårt huvudresultt, kllt Jensens olikhet. Sts 2. Låt f : [, b] R vr en Riemnnintegrerbr funktion, och φ : R R vr en konvex, positiv funktion. Om dessutom intervllet [, b] hr längden 1 så gäller tt φ( f(x)dx) Noter tt längden v intervllet [, b] ges v b. φ(f(x))dx (16) 8. Bevis Jensens olikhet. (Ledning: Approximer integrlen till vänster med en Riemnnsumm. Använd konvexitet och jämför med Riemnnsummn för integrlen till höger.) Exempel 1. Det enklste exemplet på en tillämpning v Jensens olikhet är den så kllde tringelolikheten för integrler. Denn säger tt om f är Riemnnintegrerbr över [, b] så är f(x)dx f(x) dx (17) Ett sätt tt vis dett är tt nvänd Jensens olikhet med φ(x) = x. fn så länge fungerr dock dett bevis br om b = 1. 9. Bevis tringelolikheten för integrler även i fllet då b 1. (Ledning: Använd konvex kombintioner för tt gör ett vribelbyte.) Vi kommer nu till ett vslutnde exempel på en integrlolikhet, klld Hölders olikhet. Denn olikhet är ett mycket nvändbrt verktyg inom nlys. Sts 3. Låt p, q (1, ) vr två tl sådn tt 1 + 1 = 1. Låt f, g : [, b] R p q vr två kontinuerlig funktioner. Då gäller tt f(x) g(x) dx ( f(x) p dx) 1 p ( g(x) q dx) 1 q (18) Ett tl pr (p, q) sådnt tt 1 + 1 = 1 klls för Hölderkonjugert. q q Vi kommer nu tt bevis Hölders olikhet. Dett involverr fler steg och är tt betrkt som en gnsk svår uppgift. Det först steget är tt nt tt funktionen g inte är konstnt lik med 0 på något delintervll. Intuitivt kn dett motivers med tt ett delintervll där g 0 inte bidrr till någon v sidorn i olikheten ovn. Kontkt dett projekts upphovsmn vid önskemål om en mer precis motivering. Det ndr steget är tt nt tt g(x) q dx = 1 (19)

PROJEKT - ANALYS 1 (PRELIMINÄR VERSION) 21 10. Vis tt om Hölders olikhet är snn under ntgndet (19) så är den snn även för godtycklig funktioner g. (Ledning: Inför tlet g q = ( g(x) q dx) 1 q (20) Inför därefter den normliserde funktionen h(x) = g(x) g q (21) Denn ny funktion h uppfyller villkoret (19).) Inför nu funktionen G(y) = y g(x) q dx (22) för y [, b]. Noter tt G() = 0, G(b) = 1 smt tt G (y) = g(y) q som är positiv förutom i enstk punkter. Därför är G en inverterbr funktion. Det tredje steget är tt gör omskrivningen f(x) g(x) dx = f(x) g(x) 1 q g(x) q dx (23) 12. Gör vribelbytet y = G(x) i integrlen ovn. Använd sedn Jensens olikhet med φ(t) = t p. Gör därefter det invers vribelbytet x = G 1 (y). Beräkn slutligen tlet (1 q)p + q. Efter tt h gjort denn räkning blir resulttet ( f(x) g(x) dx) p Därmed hr vi bevist Hölders olikhet. References f(x) p dx (24) [AE] R.A. Adms, C. Essex: Clculus - A Complete Course, 7th Ed, Person Cnd (2010) Svårighet: +++