Matematisk statistik TMS063 Tentamen

Relevanta dokument
θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars

b) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p)

Antalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).

(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna.

a) Beräkna E (W ). (2 p)

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

För att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

Grundläggande matematisk statistik

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

Avd. Matematisk statistik

1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera

Formelblad Sannolikhetsteori 1

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen med lösningar

TENTAMEN Datum: 16 okt 09

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

TAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer

Skattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

Intervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

Sannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

F19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden

Tentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

Uppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik

Tentamen i matematisk statistik

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

1. Test av anpassning.

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl

TAMS15: SS1 Markovprocesser

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

Sannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00. Kap 2: Sannolikhetsteorins grunder

Normalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in.

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)

Introduktion till statistik för statsvetare

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp

Lösning till tentamen för kursen Log-linjära statistiska modeller 29 maj 2007

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl

P (A) = k A P (A ) = 1 P (A) P (A B) P (B) P (M i ) = 1 P (A) P (X = k) = p X (k) p X (k) = 1 P (A B) p X (k)

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, annars är det detta datum som gäller:

Stokastiska variabler

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000

Matematisk statistik

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np.

Föreläsning 2: Punktskattningar

4.2.3 Normalfördelningen

Tentamen i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyrning, MSN320/TMS070 Lördag , klockan Lärare: Jan Rohlén

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan

SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

F10 ESTIMATION (NCT )

Föreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin

Tentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl

S0005M V18, Föreläsning 10

KOM IHÅG ATT NOTERA DITT TENTAMENSNUMMER NEDAN OCH TA MED DIG TALONGEN INNAN DU LÄMNAR IN TENTAN!!

Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00

Matematisk statistik

(a) på hur många sätt kan man permutera ordet OSANNOLIK? (b) hur många unika 3-bokstavskombinationer kan man bilda av OSANNO-

Tentamen i Tillämpad Matematik och statistik för IT-forensik. Del 1: Matematik 7.5 hp

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp,

English Version P (A) = P (B) = 0.5.

Statistik för bioteknik SF1911 // KTH Matematisk statistik // Formler och tabeller. 1 Numeriska sammanfattningar (statistikor)

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

Föreläsning G04: Surveymetodik

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp,

Tentamen i Elektronik, ESS010, del 2 den 14 dec 2009 klockan 14:00 19:00.

Vid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då

F3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index.

Föreläsning G70 Statistik A

Statistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten

Tentamentsskrivning: Tillämpad Statistik 1MS026 1

Tentamen i Krypteringsmetoder och Säkring av Datasystem 7.5 hp

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp

Studentens personnummer: Giltig legitimation/pass är obligatoriskt att ha med sig. Tentamensvakt kontrollerar detta.

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II

Tentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH

Jag läser kursen på. Halvfart Helfart

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Transkript:

Matematisk statistik TMS063 Tetame 208-05-30 Tid: 8:30-2:30 Tetamesplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamlig och tabell samt Chalmersgodkäd räkare. Kursasvarig: Olof Elias Telefovakt/jour: Olof Elias, 0762026293. Till sale ca 9.30 och.30 Betygsgräser: För betyg 3, 4 resp. 5 krävs mist 2, 8 resp. 24 poäg. För att bli godkäd på kurse krävs godkät på teta och godkät resultat på båda flervariabel-duggora. Till varje uppgift skall fullstädig lösig lämas!. Låt A B C vara tre hädelser med P (A) = 0.2, P (B) = 0.4, P (C) = 0.6. (a) Beräka saolikhete av att alla tre hädelser iträffar. (2 poäg) (b) Beräka saolikhete av att exakt två hädelser iträffar. ( poäg) (c) Beräka saolikhete av att exakt e av hädelsera iträffar. ( poäg) (Ledig: Rita ett Ve-diagram av hädelsera.) (a) Eftersom A B C så iebär det att om A iträffar så måste äve B och C iträffa. Vilket iebär att saolikhete av att alla tre hädelser iträffar ges av saolikhete att A iträffar. Alterativt så observerar ma: P ( A,B,C iträffar) = P (A B C) = P (A). (b) Samma resoemag ger att P ( Exakt två av hädelsera iträffar ) = P (B\A c ) = P (B) P (A) = 0.2. (c) Med hjälp av samma resoemag som tidigare så ser ma följade. Om C iträffar me ite B, så ka ite A iträffa heller eftersom A B. Detta ger oss att P (Exakt e av A, B, C iträffar ) = P (C B c ) = P (C) P (B) = 0.2. 2. E mackapär består av 30 likadaa elektriska kompoeter som fugerar oberoede av varadra. Livslägde (i år) för varje eskild kompoet ka atas vara expoetialfördelad med parameter λ = /5. (a) Beräka saolikhete att e give kompoet håller i mer ä 0 år? (2 poäg) (b) Vad är saolikhete att mist av kompoetera lever lägre ä 0 år? (2 poäg)

(c) Aväd cetrala gräsvärdessatse för att approximativt beräka saolikhete att de sammaslaga livslägde av alla kompoeter är lägre ä 50 år? (2 poäg) Lösig (a) Livslägde är expoetialfördelad med parameter λ = /5 vilket ger att om vi låter X vara livslägde för e give kompoet så söks P (X 0) = e 0/5 = e 2. (b) Om vi låter Y vara atalet kompoeter som lever lägre ä 0 år så är Y Bi(30, e 2 ). Vilket iebär att vi söker P (Y ) = P (Y = 0) = ( e 2 ) 30 (c) Låt W = 30 i= X i vara de totala livslägde, då har vi E[W ] = 30 E[X ] = 30 5 = 50, Var(W ) = 30 Var(X ) = 30 5 2 = 750, vilket ger att det vi söker ges av ( ) W E[W ] 50 50 P (W 50) = P Var(W ) 750 CLT P (Z 0) = 0.5 3. E Poisso process har egeskape att de har så kallade oberoede ökigar. Detta iebär att om vi har fyra tidspukter t < t 2 < t 3 < t 4 så är de stokastiska variablera N(t 4 ) N(t 3 ) och N(t 2 ) N(t ) oberoede och Poissofördelade med parameter λ(t 4 t 3 ) respektive λ(t 2 t ). (a) Beräka saolikhete (2 poäg) P (N(4) N(3) = 0, N(2) N() = 0). (b) Vad är de gemesamma täthete för variablera N(4) N(3) och N(2) N(). (2 poäg) (a) Eftersom N(4) N(3) och N(2) N() är oberoede stokstiska variabler så ges saolikhete av P (N(4) N(3) = 0, N(2) N() = 0) = P (N(4) N(3) = 0)P (N(2) N() = 0) = e λ e λ där de sista likhete fås av att N(4) N(3) Po(λ) och N(2) N() Po(λ). 2

(b) Eftersom N(4) N(3) och N(2) N() är oberoede så fås de gemesamma täthete av produkte av de eskilda fördeligara. Låt X = N(4) N(3) och låt Y = N(2) N() då fås de gemesamma täthete f X,Y av: ( ) ( ) λ x λ y f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) = = λx+y x! e λ y! e λ x!y! e 2λ 4. Låt f(x α) = α, x, xα+ vara e täthet för e kotiuerlig stokastisk variabel X där α > är e okäd parameter. Låt x = (.853,.000,.047,.2724,.077,.973,.3335,.0298,.0807,.039) vara ett observerat stickprov frå fördelige. Beräka Maximum likelihoodskattare och mometmetodsskattare av α. (Beräkigshjälp: x =.260, 0 i= log(x i) = 2.05, = 0) (2 poäg för mometmetode och 4 poäg för maxmimum likelihoodmetode. Totalt 6 poäg.) Vi börjar med mometmetode. Låt x = (x, x 2,..., x ) vara ett observerat stickprov frå X, eftersom vi bara har e parameter vi vill skatta räcker det med att betrakta ekvatioe x = E[X] = x α dx = α xα+ Om vi löser ekvatioe för α får vi ˆα = x x. x α dx = α α. Sätter vi i våra värde får vi att ˆα = 4.8452. Nu väder vi oss till maximumlikehood-metode. Låt x vara som ova och bilda likelihoodfuktioe L(α x) = f(x i α) = i= i= Log-likelihoodfuktioe ges därefter av ( α x α+ = α i ) α+. x i l(α x) = log(l(α x)) = log(α) (α + ) log(x i ) och dess första och adra-derivata ges av l (α x) = α log(x i ), l (α x) = α 2. 3

Eftersom l (α x) < 0 så är l kokav vilket iebär att l har sitt maximum där derivata är oll: α log(x i ) = 0 α = / log(x i ) dvs. maximum-likelihood skattare ges av α = / log(x i ). Sätter vi i våra värde får vi i detta fall α = 4.9626. 5. Ley och Carl siglar slat med varadra, visar de kroa bjuder Carl på ästa ruda meda om de visar klave så bjuder Ley. Eftersom Ley och Carl är så goda väer så vill dom försäkra sig om att mytet dom kastar är rättvist, dvs att proportioe av kroa och klave är lika, och ber Moe testa det. Moe gör 00 slatsigligar och skriver er om de visar kroa eller klave. Efter hudra kast har mytet visat kroa 43 gåger och klave 57 gåger. Hjälp Moe med att testa hypotese om mytet är rättvist: H 0 : p = 0.5 H : p 0.5, geom att ställa upp ett kofidesitervall för proportioe p med sigifikasivå α = 0.05 och avgör om mytet är rättvist eller ej. (5 poäg) Låt ˆp = 43 00 vara de observerade proportioe av atalet kroa ( det går lika bra att betrakta proportioe av atalet klave). Kofidesitervallet ges av ˆp ± z α/2 ˆp( ˆp) = 0.43 ±.96 (0.43 0.57)/00 = [0.333, 0.527]. Eftersom 0.5 [0.333, 0.527] så ka vi ite förkasta H 0 vilket iebär att med e sigifikasivå på α = 0.05 så är mytet rättvist. 6. Låt x = (x, x 2,..., x ) vara ett observerat stickprov frå N(µ, 4), med x =.37, = 20. Testa hypotese H 0 : µ. H : µ >. med geom att beräka p-värdet och förkasta med lämpligt vald sigifikasivå. (5 poäg) Låt α = 0.05 och låt X = (X,..., X ) vara ett stickprov frå N(µ, 4), då gäller att Z = X µ σ/ N(0, ). 4

Vidare, låt z obs = x. 2/ 20 = 0.6 vara de motsvarade observerade kvatitete. Eftersom H 0 : µ. så ges p-värdet av p = P (Z > z obs ) = P (Z > 0.6) = 0.73 = 0.27. Då p > α så förkastar vi ite H 0. 5