LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Linjär differenialekvaion (DE) av försa ordningen är en DE som kan skrivas på följande form ( = Q( () Formen kallas sandard form eller normaliserad form E sä a lösa ekvaionen är a muliplicera () med en så kallade inegrerande fakor = F Ae Ofas väljer vi ( för enkelhes skull) A= dvs följande inegrerande fakor F = e () Efer muliplicering får vi ekvaionen F ( F Q(, som kan skrivas på formen ( F ) Q( Härav F = F Q( och sluligen ( F Q( d () Man kan även skriva formel ( ) på följande sä: ( Q( e d () Eempel Lös följande differenialekvaion med avseende på ( ( =, > 0 Förs delar vi ekvaionen ( = med ( = (sandard form) Därefer besämmer vi P ( och Q ( : =, Q( = För a besämma inegrerande fakor F beräknar vi
Lägg märke ill a en konsan redan finns i formel () så a vi behöver endas en primiiv funkion = = ln = [efersom > 0] = ln och därför F e ln = = Den inegrerande fakorn subsiuerar vi i formel () ( F Q( d ( ( F Q( d ( = ( d ( = ( d = ( ( = ( = Svar: = Eempel (svår) Lös följande differenialekvaion med avseende på ( ( = sin( cos (, π 0 < < =, Q( =, sin cos = = = = = sin sin cos sin cos an cos cos [subsiuion an =, = d cos d = ln ( ) = ln an = ln(an ( noera a redan finns i formeln ) π Anmärkning : an = an efersom 0 < < Anmärkning : I några kurser finns inegralen = ln an på formelblad sin Inegrerande fakor F: ln(an F = an
Den inegrerande fakorn subsiuerar vi i formel () ( F Q( d ( ( F Q( d sin = ( an d = ( an cos d an cos cos = { Inegralen beräknar vi med subsiuionen : sin = d sin d = = = } cos cos = ( ) an cos Svar: = an cos Uppgif Beraka följande differenialekvaion med avseende på ( ( =, > 0 Besäm den lösning som saisfierar villkore ( ) = Vi använder formeln ( Q( e d Förs beräknar vi = = ln = ln ( anagande >0) Formeln ger ln ln ( e d = ( == ) ( Villkore ( ) = ger = och därför ( = Svar: ( = ) = Uppgif Lös följande DE med avseende på a) ( =, > 0
b) ( cos = sin cos, a) Förs delar vi ekvaionen ( = med ( = (sandard form) Därefer besämmer vi P ( och Q ( : =, Q ( = För a besämma inegrerande fakor F beräknar vi Lägg märke ill a en konsan redan finns i formel () så a vi behöver endas en primiiv funkion = = ln = [efersom > 0] = ln och därför F e ln = = Den inegrerande fakorn subsiuerar vi i formel () ( F Q( d ( ( F Q( d ( = ( d ( ) = ( ) ( = ( ) = ( ) = Svar a) = b) Från ekvaionen ( cos = sin cos får vi = cos, Q( = sin cos = cos = sin Inegrerande fakor F: sin F Den inegrerande fakorn subsiuerar vi i formeln ( F Q( d
( ( F Q( d = sin sin e ( sin cos e d { Inegralen beräknar vi med subsiuionen : sin cos e e d = sin = [par in] = e e = sin e sin sin sin ( sin e e ) sin = e sin sin e sin sin = cos = d } sin Svar b) = e sin Uppgif Lös följande DE med avseende på ( e, ( 0) = = =, Q ( = ( = Inegrerande fakor F: F Den inegrerande fakorn F subsiuerar vi i formeln = ( e e e d ( d ( F Q( d ( ( den allmänna lösningen) Begnnelsevillkore, ( 0) =, ger 0 ( 0) = Svar: ( Uppgif Besäm den allmänna lösningen ill differenialekvaion
= Vi använder formeln ( F Q( d där P ( =, Q( = Förs beräknar vi Lägg märke ill a en konsan redan finns i formel () så a vi behöver endas en primiiv funkion P ( = = Allså F Dea subsiueras i formeln ( F Q( d och fås ( ( e d ( Inegral löses med subs: = ) = ( e ( e ) ( = e Svar: ( = e Uppgif Använd subsiuionen z ( = ln( ) för a lösa följande (icke-linjära) ekvaion ln( ) = 0 med avseende på Vi anar a >0 och ( > 0 z ( = ln( ) z = Om vi dividerar DE med får vi ln( ) = 0 (*) Subsiuion i ekvaionen (*) ger en linjär DE med avseende på z z z = 0 eller
7 z z = (**) ln F Vi använder formeln z( ( F Q( d ln ln z( ( e d = ( ) = ( z( Efersom z ( = ln( ) har vi dvs Svar: ) = 7