Institutionn för tknisk mknik, Chlmrs tknisk högskol TNTAMN I FINIT LMNTMTOD (M3) MHA 0 4 MARS 00 Tid och plts: 8 45 45 i M hust Hjälpmdl: Ordöckr, lxikon och typgodkänd räknr. Lärr: Ptr Möllr, tl (77) 505 Lösningr: Anslås på nslgstvln vid ingångn till institutionns loklr snst 5/3. S ävn kursns www sidor på http://www.m.chlmrs.s/sv/vlkommn.html följ länkn Utildning/Grundutildning. Btygsättning: n fullständig och korrkt lösning på n uppgift gr poäng nligt vd som ngs på uppgiftslppn. Smärr fl ldr till poängvg. Ofullständig lösning (svr på ställt prolm skns) llr omfttnd fl gr int något poäng. Rsulttlist: Mximl poäng är 0. Dt krävs 8 poäng för tyg 3; poäng gr tyg 4; Lösningr för tyg 5 krävs 6 poäng. Osrvr tt ovnstånd är tygssättning på nrt tntmn; för godkänd xmintion krävs dssutom godkänd inlämningsuppgiftr. Anslås snst /3 på smm ställ som lösningrn. Rsulttn sänds till tygsxpditionn snst 8/3 för kursdltgr som int hr ll inlämningsuppgiftr godkänd vid dtt tillfäll inrpportrs tygt U (undrkänd). Grnskning: /3 0 00 00 i hållfsthtslt. Tänk på: Skriv så tt dn som sk rätt, kn läs och förstå hur du tänkr. Dn som rättr tntmn gissr int llr ntr int vd du mnr/tänkr ndst vd som vrklign skrivs hr tydls vid poängsättningn. Förklr/dfinir införd tckningr. Rit tydlig figurr. Ang i förkommnd fll vd som är positiv/ngtiv riktingr (på t.x förskjutningr och krftr). Gör du ntgndn utövr d som ngs i uppgiftstxtn, så ng dtt xplicit och förklr dss. 00 03 4/PWM
Btrkt tt tjockväggigt rör md rdin och hålts rdi. Om rört är lstt md tt inr tryck och tt yttr tryck, och om p i p y p y r plnt spänningstillstånd nts, så kn dn rdill förskjutningn räkns gnom tt lös rndvärdsprolmt u p i d d -- [ ru] 0 r σ r ( ) p i σ r ( ) p y När u är känd, kn rdill och tngntill spänningr räkns som σ r ------------- du ν + ν u -- σ r ϕ ------------- u ν -- r ν du + : Låt v v( r) vr n tstfunktion (viktsfunktion) och vis tt dn svg formn v rndvärdsprolmt kn skrivs ------------- ν d d -- [ vr] [ ur] ----------- [ v ( )u ( ) v ( )u ( )] r + ν v( )p i v( )p y (p) : Antg tt prolmt F diskrtisrs md linär lmnt så tt u N + N på tt lmnt, smt tt tstfunktionrn väljs nligt Glrkin. Vis tt lmntstyvhtsmtrisn för tt lmnt md nodkoordintr r j och r j + lir K ------------- ν r j + r j ( N ) dn dn ------------- + N r + r dn N N dn ------------- + N r + N + r dn N N dn ------------- + N r + N + r ( N ) ------------- + N r + r om < r j < r j < +. (p) 00 03 4/PWM
c: G n fysiklisk förklring till vrför styvhtsmtrisn K (för dt givn rndvärdsprolmt) lir positivt dfinit, trots tt dt int finns någr väsntlig rndvillkor. (p) Lösning : Multiplicr diffrntilkvtionn md n tstfunktion vr ( ) och intgrr övr ytn: π d d d d v -- [ ru] rdθ 0 π v. Prtilintgrr: r -- [ ru] r 0 r 0 d d ( vr) -- [ ru] r d v [ ru] d d -- [ rv] [ ru]. Utvckl nu rndtrmn: r d v [ ru] ν v du u+ r vr u -- du + vr ν u r -- du + + ( ν) u r -- r ------------- vr ------------- ν ν u -- du r + + ( ν) u -- r ν ------------- vr σ + r ( ---------------- u + ν) -- r ν ------------- v( )σ r ( ) ( ( + ν) + )v ( ) v( )σ r ( ) ( ( + ν) )v ( ) ν ------------- v( )p i v( )p y + ( ( + ν) ( )v ( ) u ( )v ( )) Vi hr lltså d d d -- [ rv] [ ru] v [ ru] 0, vilkt ftr utvckling v rndtrmn och r multipliktion md ------------- gr ν ------------- ν -- d d [ rv] [ ru] ----------- ( u ( )v ( ) u ( )v ( )) v( )p r + ν i v( )p y Lösning : Låt N N och, så tt på lmntt. Sätt in N T N dtt i vritionsformulringn och välj viktsfunktion nligt Glrkin, d v s v och N v N. Sml d två vln i n kolumnvktor; då fås: 3 00 03 4/PWM
------------- ν -- d r ( N ) T d [ ] [ r ( N )] r r j + d ------------- ν -- r ( N ) T d [ ] [ r ( N )] r r j K. Vi d hr tt [ r ( N )] N dn + r dn smt på smm sätt tt N + r N + r d [ r ( N ) T ] ( N ) T d( N ) T + r N dn + r N + r T. Intgrndn lir lltså: d -- r ( N ) T d [ ] [ r ( N )] r -- dn dn r N + r N + r N + r N + r T ( N ) dn dn ------------- + N r + r dn N N dn ------------- + N r + N + r dn N N dn ------------- + N r + N + r ( N ) ------------- + N r + r vrur rsulttt följr. Lösning c: Prolmt är rottionssymtriskt så dt finns int md någr stlkroppsförskjutningr. I t x uttryckn för spänningrn finns dt md n trm u r, så ävn i tt fll då u c (konstnt) uppträdr spänningr och därmd dformtionr. 4 00 03 4/PWM
Btrkt rndvärdsprolmt u f i R u 0 på Γ g ( u) T n h på Γ h där är Lplc oprtorn ( ), n utåtriktd normlvktor x + y u div( u) n ( n ) till områdt, smt f och h är givn funktionr. : Använd Guss Grns torm, vdivqd vq T ndγ ( v), för tt vritions- T qd formulr prolmt. Dt sk klrt frmgå hur rndvillkorn kommr in i formulringn. Ang också rgulrittskrv på d ingånd funktionrn. Finit lmntformulr sdn prolmt vis spcillt B mtrisns utsnd. (3p) Γ : Vilk villkor måst F nstsn uppfyll för tt pproximtionn säkrt sk konvrgr mot dn xkt lösningn u? (p) c: Vis tt styvhtsmtrisn K lir singulär om d väsntlig rndvillkorn int ts md i prolmt ovn. (p) Lösning : Multiplicr diffrntilkvtionn md n tstfunktion v v( x, y) och intgrr övr områdt: v( u) d vf d. Låt q u, så tt u divq och nvänd Guss Grns torm på vänstrldt; då fås ( v) T ( u) d v ( u ) T ndγ + vf d. Γ På dn dl v rndn där ( u) T n är givn (nturligt rndvillkor) kn rndintgrln räkns då v vlts, mn på Γ g (där u 0 ) är ( u) T n oknt; vi måst därför välj v så tt v 0 på Γ g. Vi måst vi kräv tt u 0 på Γ g för tt t hänsyn ävn till dt väsntlig rndvillkort. 5 00 03 4/PWM
För tt intgrlrn sk kunn räkns måst funktionrn vr kvtiskt intgrrr och h kvtiskt intgrrr först drivtor (rgulrittskrv). Om vi dfinirr funktionsrum- mt V v v( x, y):v 0påΓ g v d ( v) T, <, ( v) d<, så kn vritionspro- lmt lltså formulrs: Bstäm u V så tt ( v) T ( u) d vhdγ + vf d v V Γ h Finit lmntformulring: Approximr u md N, där N N N n är n sfunktionr vld ur V ( N i T V ) och n är (oknt) nodvrilr. Bsfunktio- nrn är n s för F rummt V h : V h v v( x, y):v v i N i. Mn hr tt V h V N i n i ftrsom V. Sätt in pproximtionn i vritionsprolmt och låt likhtn vr uppfylld för vln v N i, i,, n (Glrkins mtod); vritionskvtionn lir då stisfird för ll v V h. Vi får lltså F formulringn Bstäm V h så tt ( v) T ( ) d vhdγ + vf d v Vi sättr nu in N och smlr d n vln v tstfunktion i n vktor: Γ h V h ( N) T ( N) d llr, där N T h d Γ + N T f d K f Γ h f N T hdγ + N T f d och K ( N) T ( N) d Γ h B T Bd. Alltså hr mn: B N x N N n y N x N y N x N y N n x N n y 6 00 03 4/PWM
Lösning : För tt konvrgns säkrt sk fås, måst F pproximtionn vr konform, d v s kompltt och komptil. lmntn är kompltt om mn kn välj nodvrilr så tt lir konstnt (övr lmntn) smt välj nodvrilr så tt först drivtorn (v ) lir konstnt. lmntn är komptil om är kontinurlig övr lmntgränsrn. Lösning c: ftrsom vi hr tt 0 på Γ g så gällr tt om c (konstnt), så måst 0 i (d v s tt om är n konstnt, så måst konstntn vr noll, p g dt väsntlig rndvillkort). Om rndvillkort int kts, så kn vi h c 0, så tt ( N) B 0. Dtt gr tt K B T Bd T B 0d, så tt 0 T K 0 trots tt 0 (ftrsom c 0 ). Alltså är K singulär. 7 00 03 4/PWM
3 n tunn dulsymmtrisk plåtit hr tt pr kntsprickor (inr öppningsvinklr π ) och utsätts för gning i y ld nligt figurn. Mn önskr räkn spänningstillståndt i komponntn gnom tt lös lsticittskvtionrn md finit lmntmtod. Plnt spänningstillstånd nts och mtrilts lsticittsmodul är och Poissons tl är ν. Dtljns tjocklk är konstnt och tckns t. H y x σ : Skiss tt lämpligt lmntnät för dn önskd spänningsräkningn. Använd något llr någr 0 tl lmnt och skriv md någon rd txt vrför du konstrurt lmntnätt som du gjort. Smtlig rndvillkor på smtlig dl rändr v dn nlysrd itn sk också frmgå v lösningn. (3p) σ W : Antg tt dt kvtionssystm K f som F modlln gr upphov till, sk löss md n dirkt mtod (d v s gnom tt fktorisr styvhtsmtrisn). Bskriv i ord hur nodvrilrn äst ör numrrs md hänsyn till räkningsrtt. (p) c: Spänningsintnsittsfktorn är proportionll mot spricköppningn r ( ) K I ( ) och omvänt proportionll mot r, där r är vståndt från ( ) spricksptsn: K I ----------. Gnom tt pproximr ( ) md nodförskjutningrn nligt F räkningn, kn mn få n r uppskttning v. Vilkt är troligst: tt dt uppskttd värdt på är högr llr lägr än tt nlytiskt räknt värd? Svrt sk motivrs! (p) K I 8 00 03 4/PWM
Lösning : Utnyttj symmtrin och diskrtisr /4 dl v skivn, så tt äst möjlig pproximtion kn fås för tt givt ntl frihtsgrdr. lmntstorl- u x 0 t y 0 y t 0 σ kn görs min kring spricksptsn, ftrsom mn hr n spännings-koncn- t 0 trtion (singulrittn i xkt lösningn) här. Rndvillkor: Prolmt skrivs v t x 0 u y 0 x styckn ordningns diffrntilkvtionr, så dt krävs villkor på vrj dl t 0 v rndn. Låt t x n x σ x + n y σ xy och t y n x σ xy + n y σ y tckn komponntrn v trctionvktorn (krft/yt). På d fri olstd rändrn gällr tt normlspänningn ( llr σ y ) och tngntilspänningn (här lik md σ xy ) är noll, så mn får villkorn t 0. På dn lstd rndn gällr, σ xy 0, n x 0 och n y, så här fås t x 0 smt σ y σ σ x t y σ. På symmtrirändrn gällr tt förskjutningn vinklrätt mot rndn sk vr noll smt tt skjuvspänningn längs rndn sk vr noll; dtt ldr till d villkor som ngs i figurn. Lösning : Nodrn (llr snrr frihtsgrdrn/nodvrilrn) sk numrrs i topogrfiskt kortst ld, så tt skillndn mlln högst och lägst nummr på vrj lmnt lir tt så litt tl som möjligt. Härignom lir styvhtsmtrisns ndd B litn, vilkt är fördlktigt ftrsom räkningsrtt är proportionllt mot B n, där n är ntlt oknt nodvrilr. Lösning c: n konform F modll är styvr än dt kontinurlig prolmt, så d räknd förskjutningrn lir i gnomsnitt för små. Mn måst då förvänt sig tt spricköppningn ( ( )) nligt F lösningn lir undrskttd, vilkt ldr till tt för lågt värd på spänningsintnsittsfktorn. 9 00 03 4/PWM
4 Figurn visr tt D lsticittsprolm vrs lösning mn vill pproximr md n konform finit lmntmtod. Antg tt mn utgår från n gnsk grov diskrtisring md linär 3 nods lmnt (CST lmnt) och nvändr n dptiv h mtod för tt pproximr lösningn. : Rdogör för vd som mns md dptivitt och förklr vd h mtod tydr. (p) m 3 m 3 m 3 σ n 0,5 MP 96 GP ν 0.3 Plnt spänningstillstånd : I vilkt llr vilk områdn förväntr du dig tt tt dptivt F progrmmt sk gnrr d till storlkn minst lmntn? Motivr svrt. (p) m 3 m 3 m 3 c: n konform F diskrtisring v prolmt ldr till kvtionssystmt K f, där styvhtsmtrisn K är symmtrisk och positivt dfinit. Vis tt lösningn K f minimrr dn potntill nrgin Π( v) --v T Kv v T f, d v s vis tt Π( ) Π( v), md Π( ) Π( v) ndst om v. (p) Lösning : Md dptivitt mns tt F progrmmt kn uppsktt diskrtisringsflt och, om dtt är störr än någon ngivn tolrns, kn än diskrtisringn i nlight md n uppskttning v flts fördlning övr områdt så tt flt minskr. Gnom tt upprp dnn procdur kn diskrtisringsflt rducrs nr till (undr) dn givn tolrnsn. h mtod innär tt mn minskr diskrtisringsflt gnom tt nvänd lmnt md min storlk (d v s flr lmnt). Lösning : Md tt dptivt progrm som nvändr sig v h mtod förväntr mn sig tt få d till storlkn minst lmntn i d områdn först drivtorn vrirr snt (n drivtorn är stor). I tt lsticittsprolm fås singulär punktr där spänningrn (först 0 00 03 4/PWM
drivtor) vrirr snt l vid inåtvänd hörn och där rndvillkor äns rupt. I dt givn prolmt finns 5 sådn punktr (s mrkringr i figurn rvid). Lösning c: Låt v vr n litn godtycklig vrition v vktorn v och räkn vritionn Π i punktn v : Π( v) Π( v + v) Π( v) -- ( v + v) T Kv ( + v) ( v+ v) T f --v T Kv v T f -- v T Kv --v T + K v+ -- v T K v v T f Trmn där v ingår kvtiskt försumms i jämförls md d trmr där v ingår linärt ftrsom vritionn är litn. Vi är v T Kv v T K v ftrsom K är symmtrisk. Vi hr lltså tt Π( v) v T Kv v T f v T ( Kv f). Mn sr då tt md v K f, så fås Π 0 (för godtycklig (mn litn) vrition v ), d v s F lösningn gör Π sttionär. För tt vis tt dn sttionär punktn är tt minimum, måst vi vis tt n vritionn är positiv. Vi hr: ( Π) Π( v + v) Π( v) v T [ Kv ( + v) f ] v T ( Kv f ) v T K v ftrsom K är positivt dfinit så gällr v T K v > 0 (för v 0 ), så n vritionn är positiv och, lltså, dn sttionär punktn tt minimum. ntydight i lösningn ( Π( ) Π( v) ndst om v) följr trivilt v tt K är positivt dfinit. 00 03 4/PWM