Lösigsförslag till tetamesskrivig i Matematik IV, 5B0 Torsdage de 6 maj 005, kl 0800-00 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Hadbook Redovisa lösigara på ett sådat sätt att beräkigar och resoemag är lätta att följa Svare skall ges på reell form Del är avsedd för betyg och omfattar 6 moduler (uppgifter) För godkät krävs att 5 moduler är godkäda Del är avsedd för högre betyg, 4 och 5, och omfattar 0 poäg Poägfördelig på del : -4 ger 5 poäg vardera För betyg 4 krävs förutom godkät på del äve mist 9 poäg på del För betyg 5 krävs förutom godkät på del äve mist 5 poäg på del OBS! GODÄNDA MODULER TILLGODORÄNAS ENDAST FRÅN VÅREN 005 OBS! Detta sker eligt följade: Godkäd modul r i ger uppgift r i godkäd, i=,,6 Bouspoäg frå våre 005 får tillgodoräkas på del --------------------------------------------------------------------- Modul, LS apitel - i ZC Modul, INL apitel 7 i ZC Modul, LS apitel 4, 8 och 0 i ZC Modul4, INL apitel - i ZC Modul5, LS apitel 9 i EP Modul6, LS4 apitel 0- i EP --------------------------------------------------------------------- Del Modul Lös begyelsevärdesproblemet x y + 4y = x 4 y, y() = Vi har e differetialekvatio av Beroulli typ Omforma differetialekvatioe: xy y + 4y = x 4 Gör substitutioe z = y, z = y y vilket ger x z + 4z = x 4 Vi har erhållit e lijär differetialekvatio vilke löses med hjälp av itegrerade faktor Skriv först ekvatioe på stadardform z 4 x z = x, e itegrerade faktor är x 4 Multiplicera med itegrerade faktor: x 4 z 4x 5 z = x, (x 4 z ) = x Itegratio med avseede på x ger: x 4 z = l x + C Vi återsubstituerar: x 4 y = l x + C Villkoret ger C = Hyfsig ger y = Dea lösig är defiierad då x 0 och x e x 4 ( l x) Lösiges existesitervall är { x : 0 < x < e } SVAR: De sökta lösig ges av y = då 0 < x < e x 4 ( l x) Modul Lös itegralekvatioe y(t) + si(t u)y(u)du = t Laplacetrasformera Y(s)+ s + Y(s) = s Lös ut Y(s): Y(s) = s + s (s + 4) t 0
Partialbråksuppdela: Y(s) = s + s (s + 4) = Återsubstituera: y(t) = 4 t + 8 sit 4 s + 4 s + 4 SVAR: De sökta lösige är y(t) = 4 t + 8 sit Modul E lösig till differetialekvatioe x y (x +) y + (x + )y = 0, x >0 ges av y (x) = e x Bestäm e aa lösig y (x) som är lijärt oberoede av y (x) Det lijära oberoedet skall verifieras Age också de allmäa lösige Vi aväder reduktio av ordig Isättig av y = e x z i differetialekvatioe ger x(e x z + e x z + e x z) (x +)(e x z + e x z) + (x + )e x z = 0, x( z + z ) (x +)( z ) = 0 Säk ordige geom att sätta u = z, u = z : x u u = 0 Löses som lijär eller separabel: u = C x eller z = C x x Itegrera med avseede på x: z = C + C De allmäa lösige till differetialekvatioe är y = (C x + C )e x Det lijära oberoedet visas med hjälp av Wroskiae: W(e x,e x x ) = ex e x x e x e x x + e x x = e x x 0, x > 0 e x x och e x är lijärt oberoede SVAR: De allmäa lösige är y = (C x + C )e x Modul4 Bestäm e fuktio u(x,y) som uppfyller differetialekvatioe u x = u y +u och villkoret u(x,0) = e 5x + e x Vi aväder variabelseparatio Sätt u(x,y) = X(x)Y(y) Isättig ger: X (x)y(y) = X(x) Y (y)+ X(x)Y(y) X (x) Dividera med X(x)Y(y): X(x) = Y (y) Y(y) + = De partiella differetialekvatioe har omformats till ett system av X (x) = X(x) ordiära differetialekvatioer vilket skrives Y (y)= ( )Y(y) X(x) = Ae x Detta har lösige och således u(x,y) = ABe x+( )y Y(y) = Be ( ) y Det giva villkoret ger oss lösige u(x,y) = e 5 x+4 y + e x 4y SVAR: De sökta lösige u(x,y) = e 5 x+4 y + e x 4y
Modul5 Beräka dubbelitegrale e -x dx dy 0 y Itegratiosområdet ges av {(x, y): y x, 0 y } Detta område ka äve beskrivas som {(x, y): 0 y x, 0 x } Vi byter itegratiosordig i dubbelitegrale x [ ] e -x dx dy = e -x dy dx = x e -x dx = 0 y x = 0 y= 0 e-x = e = e e x =0 x=0 SVAR: Dubbelitegrale är lika med e -x dx dy = e e 0 y Modul6 Beräka flödet av vektorfältet v = grad (z ) ut ur kroppe give av olikhetera x + y + z 4, z 0 Flödet ut ur kroppe ges av flödesitegrale Φ = v ˆ d, där S är kroppes yta och ˆ dess utåtriktade ehetsormal Vi aväder divergessatse och överför ytitegrale till e trippelitegral över de aktuella kroppe Formel för divergessatse lyder Φ = v ˆ d = divv dxdydz, där är de iesluta kroppe Vektorfältet v = grad (z ) = (0,0,z ) och dess diverges divv = 6z Flödet Φ = 6z dxdydz Itegrera först i z-led: 4 x y Φ = 6z dxdydz= 6zdz dxdy = (4 x y )dxdy D xy z= 0 D xy där D xy = {(x, y): x + y 4} S S, Iför polära koordiater: Φ = (4 r )rdrd = ( 4 4 ) = 6 4 = 4 SVAR: Flödet ut ur kroppe är Φ = 4 D r Del I e stock, som har forme av e rät cirkulär cylider, med radie 0 cm, gör ma två sågskär Det första går i rät vikel mot cyliders axel, det adra bildar 60 vikel med det första Bestäm volyme av det bortsågade stycket om skäre möts på e rät lije geom cyliders axel Sätt radie lika med r och lät stocke ha ekvatioe x + y r samt låt sågskäre ha ekvatioera z = 0 respektive z = x Vi erhåller då volyme av det bortsågade stycket
Dea blir V = dxdydz = (x 0)dxdy r r y V = (x 0)dxdy = xdx dy = D y = r x =0 r V = (r y )dy = (r r ) = r y = 0, där D = (x, y): x + y r, x 0 D r y= r (r y )dy { } Isättig av det umeriska värdet på radie ger följade volym: V = 6 SVAR: Det bortsågade stycket har volyme V = 6 dm dm Ett icke-homoget system av differetialekvatioer ka skrivas x = Ax + f Härled e partikulärlösig, då e fudametalmatris till systemet ges av Φ(t) Age äve de allmäa lösige Tillämpa därefter ovaståede på systemet x = 4 0 x + et e t De allmäa homogea lösige ges av x h = Φ(t)C, där C är e kostat kolovektor Vid härledig av e partikulärlösig asätter vi att partikulärlösige har forme x p = Φ(t)U(t) Isättig i det ihomogea systemet x = Ax + f ger Φ (t)u(t) + Φ(t) U (t) = AΦ(t)U(t) + f Φ(t) är e fudametalmatris vars koloer uppfyller det homogea systemet x = Ax, dvs Φ (t) = AΦ(t) Vi får då Φ(t) U (t) = f Multiplicera ekvatioe frå väster med iverse till fudametalmatrise Dea existerar ty det Φ(t) 0 eftersom fudametalmatrise består av lijärt oberoede koloer som är lösigar till det homogea systemet Systemet blir U (t) = Φ (t)f Itegrera med avseede på t : U(t) = Φ (t)fdt Partikulärlösige blir: x p = Φ(t) Φ (t)fdt Systemets allmäa lösig ges av x = x h + x p = Φ(t)C + Φ(t) Φ (t)fdt Nu över till tillämpige Först bestämmer vi e fudametalmatris Bestäm först egevärdea till matrise A = 4 0 Dessa fås ur ekvatioe 0 = det(a I) = 4 = + = ( )( ) 0 Matrises egevektorer fås ur ekvatioe 4 v = 0 0
Vi startar med egevärdet = Isättig ger: 0 4 0 v = 0, v = 0 Egevärdet = ger: 4 0 0 v = 0, v = 4 E fudametalmatris ges av Φ(t) = et 4e t e t 4e t Iverse till fudametalmatrise blir Φ (t) = e t = e t 4e t 0 e t 0 e t E partikulärlösig är x p = et 4e t e t 4e t et dt = et 4e t dt = et 4e t t ( t 4)et = 0 e t e t e t e t e t De allmäa lösige ges av x = x h + x p = et 4e t ( t 4)et C + e t SVAR: För härledige se ova De allmäa lösige är x = x h + x p = et 4e t ( t 4)et C + e t Värmeledigsproblemet u x = u t u(0,t) = 0, u(,t) = 0 ka lösas geom att ma sätter v(x,t) = u(x,t) 0x u(x,0) = 0 a Visa att v(x) uppfyller v x = v t v(0,t) = 0, v(,t) = 0 v(x,0) = 0x b Lös PDE-problemet för v och bestäm seda u u a Isättig av v(x,t) = u(x,t) 0x i x = u v ger t x = v t, v ty t = u och v t x = u x 0, v x = u x Vidare erhålles: v(0,t) = u(0,t) = 0, v(,t) = u(,t) 0 =0 0 = 0 och v(x,0) = u(x,0) 0x = 0 0x = 0x Därmed är a visad b Vi aväder variabelseparatio Sätt v(x,t) = X(x)T(t) Isättig i de partiella differetialekvatioe ger: X (x)t(t) = X(x) T (t)
X (x) Dividera med X(x)T(t): X(x) = T (t) T(t ) = kostat = Vi erhåller ett system av lijära okopplade differetialekvatioer: X (x) X(x)= 0 T (t) T(t) = 0 "T-ekvatioe" har lösige: T(t) = Ce t För "X-ekvatioe" behadlas tre olika fall: > 0, = 0 och < 0 > 0, =, R = 0 < 0, =, R X(x) = A e x + B e x X(x) = A x + B X(x) = A cos x + B si x Villkore v(0,t) = v(,t) = 0 ger tillsammas med variabelseparatioe att X(0)T(t) = X()T (t) = 0 Detta skall gälla för alla t : X(0) = X() = 0 Isättig ger: > 0, =, R = 0 < 0, =, R 0 = X(0) = A + B 0 = X(0) = B 0 = X(0) = A 0 = X() = A e + B e 0 = X() = A + B 0 = X() = A cos + B si A = 0 Triviala lösige Triviala lösige = X(x) = B si x Motsvarade "T-lösigar" blir: > 0, =, R = 0 < 0, =, R Vi har erhållit < 0, =, R T(t) = C e ( v(x,t) = B si x C e ( ) t Lijärkombiatioer av lösigar är lösig De lösig som uppfyller de giva radvillkore är på forme: v(x,t) = b si x e ( ) t = Begyelsevillkoret v(x,0) = 0x ger: 0x = v(x,0) = = b si x oefficietera är: b = 0x si xdx = 0 x cos x 0 x = 0 Vi får 0( ) v(x,t) = si x e ( ) t = Vilket ger u(x,t)= 0x + v(x,t) = 0x + SVAR: a Se ova [ ] cos x = 0 0( ) si x e ( ) t dx = 0 cos ) t = 0( ) b De sökta lösige ges av 0( ) u(x,t ) = 0x + v(x,t) = 0x + si x e ( ) t =
4 Om ige fisk tas upp ur e sjö så varierar mägde fisk, y(t) [to], i sjö med tide t [ år] eligt differetialekvatioe y = y a y b, y > 0, där a = 4 [ år] och b = 80 [to] Nu börjar ma fiska ut c [to] fiskar per år, (c är e positiv kostat) a Age differetialekvatioe för y som då gäller b Age det kritiska värde på c som ite får överskridas om det skall fias ågo jämviktslösig > 0 c Då c ligger uder detta kritiska värde fis det e stabil jämviktsivå y 0 > 0 för mägde fisk Bestäm y 0 som fuktio av c a De korrigerade differetialekvatioe blir y = y a y b c Med de giva värdea på kostatera får vi y = y 4 y y(80 y) y(80 y) 0c 80 c = c = = f (y) 0 0 b Jämviktslösig erhålles då f (y) = 0 Då är y 80y +0c = 0, (y 40) = 600 0c = 0(5 c) Reella lösigar och större ä oll erhålles då c 5 För c > 5 existerar iga jämviktslösigar Jämviktslösigara är y = 40 ± 0(5 c) c Vi bestämmer de stabila jämviktslösige y 0 geom att studera tecket hos f (y 0 ) Jämviktslösige är stabil om f (y 0 ) < 0 och istabil om f (y 0 ) > 0 80 y f (y) = = 40 y och isättig av jämviktslösigara ger 0 60 0(40 c) f (40 + 0(5 c)) = < 0 stabil jämviktslösig 60 0(40 c) f (40 0(5 c)) = > 0 istabil jämviktslösig 60 SVAR: a De ya differetialekvatioe är y = b Det kritiska värde på c är c = 5 c Jämviktsivå y 0 = 40 + 0(5 c) y(80 y) 0 c