Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel TAYLORS FOREL Tylors ormel krig pukte Om uktioe oh dess + örst derivtor är kotiuerlig i det slut itervllet [, ] eller [,], dvs vi tillåter < då gäller. som ligger mell oh är ett tl oh! där!!! R R b Tylors polyom v ordig T!!! Tylors serie! eller kortre!! T T Speiellt ll då = klls ot ör luris ormel polyom, serie. luris ormel. som ligger mell oh är tl oh! där!!! R R Amärkig. Etersom ligger mell oh k vi skriv där är ett tl som stisierr. Därmed hr vi ett ekvivlet sätt tt ge restterme:! R Amärkig : Ibld beskriver vi! R på kortre sätt B R där B är begräsd i ärhete v. Vi k beskriv R äve med big O betekig O R.
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel Amärkig : Noter tt Tylors polyom v ordig T!! hr grd oh tt grde blir < om....! ============================================================ b luris polyom v ordig!!! luris serie Om restterme ör it i luris ormel går mot då hr vi eller kortre!!! Viktig luriutvekligr: e!!!! R si!!! R! os R!!! l R p p! p p! p p p! p p p! R Eempel. Bestäm Tylorpolyomet v ordig yr till uktioe l, krig pukte =. Lösig: Vi beräkr uktioe oh derivtor i pukte.
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel l l Värde substituerr vi i ormel ör Tylors polyom v ordig T!!! oh år T l!!! Dett ger T l. Svr: T l ====================================================. ÖVNINGAR Uppgit. Bestäm Tylorpolyomet v ordig krig pukte 8 ör uktioe y. Lösig:, 8 8 /, 8 /, 8 9 8 /, 8 7 Tylors polyom v ordig : T! 8 8 8 88 7! Svr:
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel T 88 7 8 8 8 Uppgit. Bestäm luripolyomet =Tylorpolyomet krig pukte v ordig ör uktioe y os. b Aväd ör tt bestämm luripolyomet v ordig 8 till uktioe y os Lösig os, si, os, si, os,.!!!!!!. Alltså os R b Eligt hr vi os t t t R Om vi substituerr t år vi 8 os R Svr: b 8 Uppgit. Aväd ormel si...!!! R! ör tt bestämm luripolyomet v ordig ör uktioe y si. Lösig:
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel t t Etersom si t R, substitutio!! si R R!! Svr: luripolyomet v ordig är t ger. Uppgit. Aväd ormel e... R!!!! ör tt bestämm luripolyomet v ordig ör uktioe y e. Lösig: t t t Etersom e t R, substitutio t ger!!! 9 9 e R = R!!! Svr: luripolyomet v ordig ör uktioe y e är 9 9. Uppgit. Bestäm luripolyomet =Tylorpolyomet krig v ordig ör uktioe y e. b Bestäm luriserie ör uktioe Lösig: e, e, e, e, y e.!!!!!! Svr b
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel!!!... =!... Svr b... =! Svr: b! Uppgit. Bestäm luripolyomet =Tylorpolyomet krig pukte = v ordig ör uktioe y b Beräk pproimtivt. med hjälp v Tylorpolyomet. Uppsktt elet med hjälp v ormel ör restterm: R= ett tl mell oh.!, där är Lösig: /,, /,,,. 8 Eligt Tylors ormel krig gäller R!! där R, är ett tl mell oh! P =.!! 8 Svr P 8 /, 8 / b För tt beräk. substituerr vi =. i uktioe y, som vi pproimerr med polyomet P : 8.. P.... 9. 8 Svr b.. 9
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 7 Tylors ormel För elet gäller R = = 8!! Svr R <. /. =. /... Uppgit 7. Bestäm luripolyomet p v ordig till uktioe / oh uppsktt elet R, då. b Aväd ör tt bestämm luripolyomet till uppsktt elet g / oh Lösig: /,,,!! / 9 /, där ligger mell oh. p R. / 9 9 b 9 Vi bryter ut Först utveklr vi Frå hr vi 9 / 9 / / oh öreklr g / med hjälp v dele: t t t / 9 /, där ligger mell oh t Härv vi substituerr t / = = där ligger mell oh t= / 9 7
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 8 Tylors ormel Vi multiplierr med oh år: Därör g / För elet vid de här utveklige gäller 9 R. / 9 9 9 Svr: p oh R 9 b p där R 9 Amärkig: Som vi ser i b dele är elet litet: R. 9 Om vi t e beräkr med e miiräkre / g ör =. år vi g... Beräkig med luris polyom p ger äst smm värde, p... Uppgit 8. Vis tt e t! t! t! t e, där ligger mell oh t. b Aväd ör tt utvekl oh. Fuktioe beräk Lösig: e e d e oh vis tt e /!!! e, där ligger mell skr elemetär primitiv puktio. Aväd b ör tt pproimtivt oh uppsktt elet vid pproimtioe. Aväd luris ormel b Om vi substituerr t i dele dvs i ormel t t t t e e, där ligger mell oh t år vi omedelbrt b dele dvs!!! e e, där ligger mell oh t.!!! e d e d d!!!!!! e d Vi pproimerr e d med Felet vidpproimtioe blir R d!! e d. Därör! 8
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 9 Tylors ormel R e d! e! d e vi hr vät e e oh e Alltså R 7 d e! e Uppgit 9. Tre uktioer g oh h hr vi edståede luris utvekligr. B 7 g B 7 8 9 B h där B, B, B är begräsde då går mot Hur vet vi tt uktioer hr e sttioär pukt =? b Avgör ör vrje uktio om pukte = är mimipukt, miimipukt eller terrsspukt. Lösig: Eligt deiitioe, e pukt är e sttioär pukt ör uktioe om =. I luris ormel R!! står örst derivt rmör term. Fuktioe B skr de lijär terme som betyder tt =. Därör är = e sttioär pukt ör uktioe. Smm resoemg gäller ör g oh h. b i B B Etersom B går mot då går mot hr vi tt om är är. Vi ser tt om är är smt ör > ör både egtiv oh positiv. Därör hr uktioe miimum mi = i pukte =. 7 ii g B B Etersom B går mot då går mot hr vi tt g om är är. Vi ser tt g om är är smt ör < ör både egtiv oh positiv. Därör hr uktioe mimum g m = i pukte =. 7 8 iii Frå h 9 B hr vi 7 9 om är är. h 9
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel Fuktioe h k t både större värde ä, om >, oh midre värde ä, om < 7 etersom 9 k h både positiv oh egtiv värde. Därör är pukte = e terrspukt. si Uppgit. Bestäm luriserie ör uktioe Lösig: 7 7 si!!! 7!!! 7!! Svr:!! 7! Uppgit. Vi beräkr tlet med hjälp v luris polyom. Hur måg termer i luris utveklig e R!!!! sk vi väd ör så tt elet blir midre ä.? Lösig: Felet beräks med hjälp v ormel! För uktioe gäller,,., Därör! 7!!!! där ligger mell oh. Härv!!! Nu är kvr tt bestämm ör vilket turligt tl =,,,. gäller! eller ekvivlet! Såd olikheter löser vi geom tt test värde =,, tills vi år örst som stisierr olikhete. + 7 +! 7 Som vi ser i tbelle, 7 dvs stisierr olikhete. Svr: Amärkig ör dett blir.78!!
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel Uppgit. [I de här uppgite väds lyses huvudsts ] Fi ett tredjeordigspolyom p sådt tt p, p, p oh p där e t t dt Lösig: Lägg märke till tt itegrle skr e elemetär primitiv uktio luripolyomet v ordig till,!! stisierr krvet.! Vi beräkr,, oh : t t lyseshuvudsts = e dt d e d e., Därör!!!. :, Uppgit. [I de här uppgite väds lyses huvudsts] Är e god pproimtio till. Lösig: Lägg märke till tt uktioe skr e elemetär primitiv uktio Vi bestämmer luripolyomet v ordig till,!!! Vi beräkr derivtor,,, oh :
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel Därör,,,!! Alltså. Svr: Etersom är lik med luripolyomet v ordig till k m säg tt r e br pproimtio till. BEVIS FÖR TAYLORS FOREL ED HJÄLP AV ROLLES SATS Nedståede bevis är INTE OBLIGATORISKT i kurse. Sts Tylors ormel Atg tt uktioe oh dess örst derivtor är kotiuerlig i det slut itervllet,, oh tt derivt eisterr i det öpp itervllet,b. Då gäller!!! Bevis. Först bildr vi e uktio F som uppyller villkor i Rolles sts:. F är kotiuerlig i. F är deriverbr i,b. F= oh Fb= Låt!!!!!!! Eligt tgde i stse om derivtor är kotiuerlig i de slut itervllet, oh deriverbr i det öpp itervllet, Det är okså ekelt tt kotroller tt oh. Därmed är ll villkor ör Rolles sts uppylld. Eligt Rolles sts is det ett tl mell oh b sådt tt. Först bestämmer vi :!!!
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Tylors ormel!!!! Eter öreklig i dr rde år vi!!! Nu leder till!!!!! Vi delr med oh år!! som k skrivs som! vd skulle beviss.!!!!!