c n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.

Relevanta dokument
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)

101. och sista termen 1

b 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.

Vad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?

Räkning med potensserier

Fourierserien. fortsättning. Ortogonalitetsrelationerna och Parsevals formel. f HtL g HtL t, där T W ã 2 p, PARSEVALS FORMEL

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV HÖGRE ORDNINGEN

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 22 oktober 2018 kl

i de fall de existerar. Om gränsvärdet ifråga inte skulle existera, ange i så fall detta med motivering.

Kompletterande kurslitteratur om serier

Ekvationen (ekv1) kan beskriva en s.k. stationär tillstånd (steady-state) för en fysikalisk process.

Tentamenskrivning, , kl SF1625, Envariabelanalys för CINTE1(IT) och CMIEL1(ME ) (7,5hp)

Svar till tentan

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Att repetera.

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a

Del A. x 0 (1 + x + x 2 /2 + x 3 /6) x x 2 (1 x 2 /2 + O(x 4 )) = x3 /6 + O(x 5 ) (x 3 /6) + O(x 4 )) = 1 + } = 1

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-6, 29/10-8/11, = m n

Problem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.

Induktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1

4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6

= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0

Kontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(

TNA001 Matematisk grundkurs Övningsuppgifter

Tenta i MVE025/MVE295, Komplex (matematisk) analys, F2 och TM2/Kf2

Inledande matematisk analys (TATA79) Höstterminen 2016 Föreläsnings- och lekionsplan

Borel-Cantellis sats och stora talens lag

Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].

Inledande matematisk analys. 1. Utred med bevis vilket eller vilka av följande påståenden är sana:

= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.

Lösningar till tentamensskrivning i kompletteringskurs Linjär Algebra, SF1605, den 10 januari 2011,kl m(m + 1) =

TAMS79: Föreläsning 9 Approximationer och stokastiska processer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Ekvationen (ekv1) kan beskriva vågutbredning, transversella svängningar i en sträng och andra fysikaliska förlopp.

Lycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =

Bertrands postulat. Kjell Elfström

Om komplexa tal och funktioner

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

UPPSKATTNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR. Med andra ord: Vi kan approximera integralen från båda sidor

Tentamen i Envariabelanalys 1

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist

θx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars

Uppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis

TFM. Avdelningen för matematik Sundsvall Diskret analys. En studie av polynom och talföljder med tillämpningar i interpolation

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Föreläsning 10: Kombinatorik

Linjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes

Genomsnittligt sökdjup i binära sökträd

RESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex

1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x

Visst kan man faktorisera x 4 + 1

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I

Icke-lineära ekvationer

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Statistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?

Introduktion till statistik för statsvetare

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08

För att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ

F10 ESTIMATION (NCT )

1. Test av anpassning.

Ekvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.

Analys av algoritmer. Beräkningsbar/hanterbar. Stora Ordo. O(definition) Datastrukturer och algoritmer. Varför analysera algoritmer?

Kompletterande material till kursen Matematisk analys 3

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Plan rörelse, kinematik och kinetik

Grafisk analys av en skalär rekursion

Resultatet av kryssprodukten i exempel 2.9 ska vara följande: Det vill säga att lika med tecknet ska bytas mot ett plustecken.

Tentamen i Linjär Algebra, SF december, Del I. Kursexaminator: Sandra Di Rocco. Matematiska Institutionen KTH

NEWTON-RAPHSONS METOD (en metod för numerisk lösning av ekvationer)

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

TAMS15: SS1 Markovprocesser

a) Beräkna E (W ). (2 p)

Formelblad Sannolikhetsteori 1

Datastrukturer och algoritmer

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. använder vi oftast induktionsbevis.

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

Minsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera

Trigonometriska polynom

APPROXIMATION AV SERIENS SUMMA MED EN DELSUMMA OCH EN INTEGRAL

Sida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.

TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 HL Z x x x

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl

Andra ordningens lineära differensekvationer

Av Henrik 01denburg\ Radikaler. För att lösa ekv.: x n = a (n helt, pos. tal) konstruerar man kurvan

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

FUNKTIONSLÄRA. Christian Gottlieb

vara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n = grad( P(

Datorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys

Tentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl

SANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.

Föreläsning G04: Surveymetodik

Föreläsning 2: Punktskattningar

Tentamen i matematisk statistik, Statistisk Kvalitetsstyrning, MSN320/TMS070 Lördag , klockan Lärare: Jan Rohlén

Induktion och Binomialsatsen. Vi fortsätter att visa hur matematiska påståenden bevisas med induktion.

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

Fouriertransformen. Faltning, filtrering och sampling

2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.

Tolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n

Transkript:

P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt värde på x får vi e umerisk serie, som ka vara koverget eller diverget. P.. Sats (Existes av och beräkig av kovergesradie). Till varje potesserie c x fis ett etydigt bestämt R, R, kallat kovergesradie, sådat att c x är { absolutkoverget om x < R diverget om x > R Om lim c existerar, så säger det s.k. rotkriteriet att lim c R. Om lim c + c existerar, så säger det s.k. kvotkriteriet att lim c + c R. (P.) (P.) Om ågot av dessa gräsvärde är eller ska det tolkas som att R respektive R. Bevis av Sats P. i ett specialfall. Vi ska här visa specialfallet att om lim c existerar, så fis R med de öskade egeskapera och sambadet (P.) gäller; det allmäa fallet utelämas. Atag att G lim c existerar, och att < G <. Välj (ett midre tal) M och (ett större tal) S sådaa att < M < G < S <. Då fis ett heltal N (som beror på M och S) sådat att För fixt x med x r gäller därför M c S, d.v.s. M c S, för alla N. (P.3) (Mr) c x (Sr) för alla N. Om u Mr > får vi alltså att talföljde {c x } N är obegräsad, så potesserie är diverget; om å adra sida Sr < är c x (Sr) (Sr)N, och därmed är potesserie absolutkoverget. Sr N N Alltså, för varje par av tal M och S med < M < G < S < gäller att potesserie { c x absolutkoverget om x < /S är diverget om x > /M Me om x < /G fis S med x < /S < /G, och om x > /G fis M med x > /M > /G, och därför gäller att { c x absolutkoverget om x < /G är diverget om x > /G

och därmed uppfyller R /G egeskapera i satse. Om G ka vi hitta S (me ite M), och potesserie är absolutkoverget är x < /S, me eftersom S > ka göras hur lite som helst är potessserie alltså absolutkoverget för alla x. Om G ka vi hitta M (me ite S), och potesserie är diverget är x > /M, me eftersom M < ka göras hur stor som helst är potessserie alltså diverget för alla x. P.. Amärkig. Variabel x ka mycket väl vara komplex, därav amet kovergesradie. P.3. Amärkig. I själva verket ka vårt resoemag i beviset geomföras oförädrat om vi i (P.3) edast kräver att olikhete M c ska gälla för oädligt måga N (till skillad frå alla N). Detta är samma sak som att säga att lim sup c G (till skillad frå lim c G), där lim sup, limes superior, övre gräsvärdet, är det största möjliga gräsvärdet av ågo delföljd. Detta gräsvärde existerar alltid, och R /G, alltid. Observera att satse ite säger ågot om kovergese då x R. I själva verket ka allt häda; se Exempel P.4 eda. I tillämpigara är de reella radpuktera x ±R dock sälla av itresse. (I komplex aalys är dock det samlade beteedet över hela radcirkel itressat.) P.4. Exempel. De tre potesseriera s (x) x, s (x) x och s (x) har alla kovergesradie R, vilket eklast ses med kvotkriteriet; t.ex. får vi för s c + c (+) ( + då. ) R Alltså är seriera absolutkovergeta för x < och divergeta för x >. Om x ± iträffar olika saker: serie s är diverget i båda puktera, serie s är (absolut)koverget i båda, meda serie s är diverget i x me koverget (dock ej absolutkoverget) i x. P.5. Exempel. För att udersöka om de positiva serie ( + ) är koverget ka vi bestämma kovergesradie R för potesserie ( + ) x 7 7 och seda se efter om x / ligger iaför eller utaför. Rotkriteriet verkar eklast att aväda i detta fall: ( + ) ( + ( l( + exp ) ) ) exp e då, så R /e, och eftersom / > /e är serie diverget. P.6. Exempel. För att bestämma kovergesradie för potesserie ()! x3 ka vi istället betrakta potesserie ()! t, där t x 3. Kvotkriteriet ger för t-serie c + c ( + ( ) ) ()! + (( + ))!...... ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + då, ) x

så R, d.v.s. t-serie är koverget för alla t, och därmed är de ursprugliga x-serie koverget för alla x. Att multiplicera och/eller dividera e potesseries koefficieter med polyom påverkar ite kovergesradie, vilket beror på att lim p() för alla ollskilda polyom p. Vi preciserar: P.7. Propositio. Om p och q är polyom (båda skilda frå ollpolyomet), så har potesseriera c x p() och q() c x samma kovergesradie. p() Speciellt har alla potesserier av forme q() x kovergesradie. Vi har u kommit till huvudresultatet för potesserier: P.8. Sats (Termvis deriverig och itegrerig). Atag att f(x) c x c + c x + c x + c 3 x 3 +... har kovergesradie R >. Då är f kotiuerlig och deriverbar i ] R, R[, och och x f (x) f(t) dt c x c + c x + 3c 3 x +... c + x+ c x + c x + c x 3 + c 3x 4 +..., 3 4 båda då x < R. Potesseriera för derivata och itegrale har också kovergesradie R. För att visa dea cetrala sats behöver vi e tekisk hjälpsats. P.9. Hjälpsats. Om a r och x r, så gäller Om dessutom x a så gäller också x a x a Bevis. Beviset bygger på idetitete x a r x a,,,... (P.4) a ( ) r x a,, 3,... (P.5) x a (x a)(x + x a + x 3 a +... + x a 3 + xa + a ) (P.6) som ises geom direkt utvecklig av högerledet. Eftersom det fis precis termer i de högra paretese och alla termer där har belopp högst r får vi x a x a ( x + x a +... + x a + a ) x a r, och därmed är (P.4) bevisad. 3

Aväder vi seda (P.6) då x a och (P.4) upprepade gåger får vi x a x a a x + x a +... + xa + a a och därmed är beviset klart. (x a ) + (x a )a +... + (x a)a x a + x a a +... + x a a x a ( )r + x a ( )r 3 r +... + x a r x a (( ) + ( ) +... + )r x a ( ) r, Bevis av Sats P.8. Propositio P.7 medför geast att potesseriera också har kovergesradie R. c x och Fixera a med a < R. Välj seda r så att a < r < R; då ger Propositio P.7 att seriera ( ) och c r är kovergeta. Om x < r får vi eligt Hjälpsats P.9 f(x) f(a) c x c a c (x a ) c x a x a c r, c + x+ c r där de sista serie kovergerar och summa är oberoede av x. Alltså får vi att f(x) f(a) då x a, så f är kotiuerlig i a. Om x a får vi också, återige frå Hjälpsats P.9, f(x) f(a) c a ( x a ) c x a x a a c x a x a a ( ) x a c r, där de sista serie, som är oberoede av x, kovergerar, så f f(x) f(a) (a) lim c a. x a x a Beviset för termvis itegrerig lämas som Övig P.. Geom att aväda termvis deriverig upprepade gåger och seda sätta x, får vi P.. Följdsats. Om f(x) c x har kovergesradie R >, så har f kotiuerliga derivator av alla ordigar i x < R, och c f () (),,,,....! Speciellt är potesseries koefficieter etydigt bestämda av potesseries summa. 4

P.. Exempel. De geometriska serie ka ju beräkas: Termvis deriverig av dea ger + x + x + x 3 + x 4 +... + x + 3x + 4x 3 +... x d dx och därmed ka vi t.ex. räka ut följade umeriska serie: 3 3 x, x <. x ( ) x, x <, ( x) ( 3 ) /x 3 /, iaför kovergesradie 3 ( 3 3 ) 4. Å adra sida ger termvis itegrerig av de geometriska serie att x + x + x3 3 + x4 4 + x5 5 +... och därmed att t.ex. / Byt idex, k + x + x + / k dt l( x), x <, t ( )k+ k + l( ) l l. Om ma, som e approximatio till l, tar de tio första termera, säg, får ma l, så l + +... +, där felet i approximatioe, svase, ka uppskattas t.ex. så här: < < 4. Av detta ka ma dra slutsatse att l,693 med tre korrekta decimaler. Lösig av differetialekvatioer med hjälp av potesserier P.. Exempel. Ett sätt att härleda potesserie för expoetialfuktioe e x är att utyttja att dea fuktio är de etydiga lösige till differetialekvatioe Asätt därför y y y, y(). c x. Iaför (de äu okäda) kovergesradie R gäller y c x ( + )c + x, 5

så y y om och edast om ( + )c + c för alla, och eftersom c y() får vi c, c c, c c, c 3 c 3 3,..., c c!. Alltså blir y x, och kovergesradie R, ty! c + c (+)!! då. + x!. De termvisa deriverige är alltså tillåte för alla x, och därmed har vi visat att e x P.3. Exempel. Vi asätter e potesserielösig y c x till differetialekvatioe ( x )y xy + y, y(), y (), och får alltså iaför (de äu okäda) kovergesradie R och därför y c x och y ( )c x, ( x )y xy + y ( x ) ( )c x x c x + c x ( )c x ( )c x c x + c x (( + )( + )c + ( )c c + c ) x ( ( + )( + )c+ ( ) + )c x, x < R, där vi i steg * har bytt summatiosidex frå till + i de första serie så att vi äve där får x ; observera också att summora ( )c x och c x lika gära ka börja i, eftersom de extra termera ädå är. Vår potesserie löser alltså differetialekvatioe då x < R precis då alla koefficieter är, och detta tillsammas med begyelsevillkore ger d.v.s. ( + )( + )c + ( + )c,,,... c y() c y () c + + ( + )( + ) c ( + )( ) ( + )( + ) c + c,,,,..., c, c. Vi får således för jäma idex c c, c 4 3 c 3, c 6 3 5 c 4 5,..., c,,,,..., 6

och för udda idex c 3 c, därmed c 3 c 5 c 7..., så y x x + x x x4 3 x6 5 x8..., x < R. 7 Geom att sätta t x ser vi att kovergesradie m.a.p. t är och därmed att R. I itervallet x < är alltså ovaståede räkigar giltiga, och därmed är vår potesserie e lösig till differetialekvatioe i detta itervall. Övig P.. Bevisa de del av Sats P.8 som hadlar om termvis itegrerig geom att aväda resultatet för termvis deriverig. Övig P.. Härled potesserie för cos x geom att aväda att dea fuktio är de etydiga lösige till y + y, y(), y (). Härled seda potesserie för si x. Kovergesradier? Övig P.3. Härled potesserie för l( + x) geom att itegrera potesserie för dess derivata. Övig P.4. Härled potesserie för arcta x. Övig P.5. Härled potesserie för ( + x) α geom att lösa differetialekvatioe ( + x)y αy, y(). Övig P.6. Bestäm e potesserie som löser differetialekvatioe Räka speciellt ut koefficietera c,..., c 7. y + xy + y, y(), y (). Potesserier för elemetära fuktioer (Maclauri-serier) I föregåede avsitt härleddes edaståede serier i exempel eller i övigar. Alla dessa serier är helt ekelt de valiga Maclauri-utveckligara utsträckta i oädlighet. Vi sammafattar: e x cos x si x arcta x l( + x) ( + x) α x! ( ) x ()! ( ) x + ( + )! ( ) x + + ( ) + x ( ) α x + αx + + x + x! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + x6 6! + x7 7! +..., R, x! + x4 4! x6 6! +..., R, x x3 3! + x5 5! x7 7! +..., R, x x3 3 + x5 5 x7 7 +..., R, x x + x3 3 x4 4 + x5 5 x6 6 +..., R, α(α ) x + α(α )(α ) x 3 +..., R. 3 P.4. Exempel. Med x i stället för x i expoetialutvecklige, som ju har oädlig kovergesradie, får vi (där * idikerar termvis itegrerig): I e x dx ( x ) dx! ( ) x ( ) dx!!( + ). 7

Eftersom dea umeriska serie är altererade och!( + ) växer mot får vi med Leibiz t.ex. 4 I ( )!( + ) < 5!( 5 + ) < 3, d.v.s. I 3 + 4 + 6 med fel midre ä 3. Övig P.7. Sätt formellt i ix i stället för x i expoetialutvecklige och tag real- och imagiärdelar. Slutsats? Övig P.8. Beräka arcta 3 med ett fel av högst 4. Övig P.9. Härled potesserieutvecklige för arcsi x. Age m.h.a. dea e umerisk serie som beskriver talet π, och beräka de första termera i dea serie. Övig P.. Skriv l som e serie geom att välja x lämpligt i l + x. Tycker du att dea serie är x bättre eller sämre ä de som härleddes i Exempel P.? Vilke serie kovergerar sabbast mot l? Övig P.. Visa att potesserie för att därigeom beräka potesseries summa. x satisfierar differetialekvatioe ()! y y, y(), y (), Övig P.. Beräka summa av följade potesserier: Övig P.3. Som framgår ova är (a) x 4 (4)! l( x) x + x + x3 3 + x4 4 +..., R. Vad ka du säga om potesserie x + x 4 + x3 9 + x4 6 +...? (b) x 3 (3)! Svar till ågra övigar P.6 y + ( ) 5 9... (4 3) x x ()! + 5x4 4 x6 6 +..., R P.8 arcta 3 3 3 3 +, med abs(fel) < 3 5 35 7 3 < 7 4 ( ) / ( ) x + P.9 arcsi x, R ; + ( ) / ( ) (/) + π 6 3 + 3 3 5... 3 + +! ( + ) 4 8 + 9 64 + 5 768 +... P. l 3 + 3 3 3 + 5 3 5 + 7 3 7 +... P. y cosh x ex + e x cosh x + cos x P. (a) (b) 3 ex + 3 e x/ cos x 3 x l( t) P.3 dt, R t LA ovember 4 8