H009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi LINJÄRA OCH ANDRAGRADSEKVATIONER Inlening: Definition. Mängen v ll lösningr till en ekvtion klls ekvtionens lösningsmäng. Eemelvis är {-, } lösningsmängen till ekvtionen. Definition. Ekvivlent ekvtioner. Två ekvtioner är ekvivlent om e hr smm lösningsmäng Me nr or är två ekvtioner ekv oh ekv ekvivlent om vrje lösning till ekv är okså en lösning till ekv oh vrje lösning till ekv är okså en lösning till ekv. I ett fll eteknr vi ekv ekv. Eemel En följ v ekvivlent ekvtioner hr vi nen: 6 6 ------------------------------------------------ Mn kn förenkl en ekvtion vs få en enklre ekvivlent ekvtion me hjäl v följne oertioner:. er ett tl till å leen.. multilier å leen me ett tl skilt från 0. el å leen me ett tl skilt från 0. Då hr en ny ekvtionen ekt smm lösningr som en ursrunglig ekvtionen. Eemel Lös ekvtionen. Lösning: Vi multilierr ekvtionen me minst gemensmm nämnren 0 oh får 0 0 vs 0 eller 0 Nu elr vi me oh får 0 vs 0. Svr: 0 v 0
H009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi Viktigt: Om vi kvrerr å leen i en ekvtion å får vi en ny ekvtion som kn h fler lösningr än en ursrunglig ekvtionen. Därför måste vi kontroller lösningr som vi får me hjäl v kvrering genom tt sustituer vrje erhållen lösning i en ursrunglig ekvtionen. Alltså L H L H noter tt vi nväner teknet imlier efter kvrering vs vrje lösning till L H är okså en lösning till L H men en sist ekvtionen kn h fler lösningr än en först LINJÄRA EKVATIONER Definition. En ekvtion me vseene å v följne ty 0 klls linjär. Någr eemel me linjär ekvtioner oh ekvtioner som kn förenkls till linjär ekvtioner. Eemel. Lös ekvtionen me vseene å Lösning: 0. 0 multilier å leen me 0 minst gemensmm nämnre 0 0 0 0 förkort förenkl er å leen förenkl el å leen me Svr. Eemel. Lös ekvtionen me vseene å är,, oh - är skil från 0. Lösning: multilier å leen me minst gemensmm nämnre v 0
H009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi förenkl ryt ut i vänsterleen el å leen me Svr. Ugift. Lös följne ekvtioner me vseene å, Lösning Lösning Vi multilierr ekvtionen me 0 oh får Svr: Ugift. Lös ekvtionen me vseene å. Bestäm y ur formeln y Vi ntr tt,,,, oh y är ositiv tl. Lösning Vi multilierr ekvtionen me 6 oh får 8 6 8 Lösning y y y y v 0
H009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi Svr: y Ugift. Lös ekvtionen. Bestäm ur formeln Vi ntr tt,,,, oh är ositiv tl. Lösning Vi multilierr ekvtionen me 0 oh får 7 0 0 6 0 Lösning Svr: Ugift. Lös följne ekvtion Lösning 0 Svr. Kvrtkomlettering. Me kvrtkomlettering v menr vi tt skriv uttryket å formen B A. Eemel. Uttryket q kvrtkomletters enligt fäljne: q q q. Eemel. Kvrtkomletter uttryket 0 6. v 0
H009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi Svr: Eemel. Kvrtkomletter uttryket 0. 0 [ ] [ ] Svr. 0. ANDRAGRADSEKVATIONER Definition. En ekvtion me vseene å v följne ty q 0 klls nrgrsekvtion. Seiell fll i q 0 oh ii 0 klls ofullstänig nrgrsekvtioner. Ofullstänig nrgrsekvtioner löser vi å ett enkelt sätt, utn tt nvän s.k. q-formeln, som vi visr nen. Någr eemel me ofullstänig nrgrsekvtioner Ugift. Lös följne ofullstänig nrgrsekvtioner 0, 0 0 0 e 0 f 0 g 0 Lösning e 0 / ± / f 0 / ± / ± i / v 0
H009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi Svr. ± ± i ± ± i e ± f ±i g ± 0 Ugift 6. Lös följne ofullstänig nrgrsekvtioner 0, 8 0 0 0, är 0 Tis: Bryt ut. Lösning. 0 0 Här v 0 oh 0 /. Två lösningr 0, Svr: 0,, 0 8 0 0, 0, En fullstänig nrgrsekvtion q 0 kn mn lös me hjäl v formeln, ± q. Anmärkning. Vi kn härle "q- formeln" me hjäl v kvrtkomlettering: q 0 q 0 q ± q ± q v skulle eviss. Anmärkning. För tt lös ekvtionen 0 är 0 elr vi först me oh ärefter nväner "q- formeln". En lterntiv lösningsmeto för 0 är tt irekt nvän formeln 6 v 0
H009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi, ±. Ugift 7. Använ "q- formeln" för tt lös följne nrgrsekvtioner 6 8 0 6 0 0 0 6 8 0 el me 0, ± 9, ±, ±, ±, Svr:,, i, i, Ugift 8. Lös ekvtionen., Svr. 0 9 ± oh 6,, ± 6 Ugift 9. Lös ekvtionen. 0 ± ± 6 ± ±, 7 v 0
H009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi Svr., Ugift 0. Lös ekvtionen 0 0 ± 6 ± 6 ±, Svr., Ugift. Lös ekvtionen 6 8 0 Tis. Bryt ut. Ugift. 6 8 0 6 8 0 0 eeeeeeeeee 6 8 0 Därför 0 oh, ± 9 8 ±,. Svr: 0,,. Ugift. Lös ekvtionen 0 Lösning. 0 0 0 eeeeeeeeee 0 Därför 0 oh, ± ±,. Svr: 0,,. Ugift. Lös ekvtionen 9 Tis. fktoriser först 8 v 0
H009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi 9 ekv: 0 9 0 9 0 ekv 9 0 9 ± ± Svr.,,. Ugift 6. Lös ekvtionen 0 0 0 0 eller 0, ±, Svr,,. Ugift 7. Lös ekvtionen me hjäl v en lämlig sustitution 0.. Sustitutionen t i ekvtionen 0 ger t t 0 t, t, ±, ± Svr. ±,, ± Fktorisering v uttryket Uttryket trinom formeln är,. kn fktorisers me hjäl v är lösningr till ekvtionen 0. Ugift 8. Fktoriser uttryket 9 v 0
H009, Introuktionskurs i mtemtik Armin Hlilovi 0 6 Svr. 0 6 Ugift 9. förkort följne råk 6 8 Tis. Fktoriser täljren oh nämnren. Lening Täljren 8... 6 6 8 Svr: 0 v 0