Hej där! Jag vill ha ett par timmar av din tid!

Transkript

1 Mlmö högskol - Ingenjörsutilningrn Hej är! Jg vill h ett r timmr v in ti! - Hej, vi är lärre å Mlmö högskol! - Hej! - Vi vill örst e ig tt inte lär i resten v hätet men u läser enn si! - OK - Tk! Låt oss örj: Vet u v som är en störst skillnen melln högskolestuier oh t e stuier å gmnsiet? - Temot? - Temot å högskoln lir visserligen eter hn högre, men en störst skillnen är nog tt å högskoln tr u själv llt nsvr ör in stuier. - Hur menr u å? - Jo. Du estämmer själv när, vr oh hur u vill läs. Du kn gå å ll unervisning skoln ger eller låt li. Du kn lner in stuier eller strunt i et. - Klrt jg sk lner oh sånt. Men - Högskolns lärre vill gärn hjäl ig. Men u måste själv ställ u, nnrs unkr et inte. Det örst u i så ll skll gör är tt koll in mttekunsker. NU. - Vrör å? - Tvärr vet vi tt llt ör mång stuenter hr glömt en hel el v sin gml mttekunsker. Alltör mång år rolem eller slutr sin stuier å grun v ett! - Men et räker ju me Gokänt å Mtte D ör tt komm in? - Betget "Gokän" räker ör tt komm in. Men ör tt komm ut krävs et kunsker. - V sk jg h mtten till å? - Först oh rämst läser u en hel el mtemtikkurser. Oh et kommer igen i mång nr kurser i teknisk ämnen. Om u kn mtten r, år u lt även i nr ämnen! - Jg hr lrig vrit uktig i mtte. Dessutom är et svårt. - Ju mer u räknr, esto säkrre lir u. Du måste trän u gml kunsker oh trän ort gml elkunsker oh li säker å grunern, så u kn gå vire. Du kommer örhoningsvis okså tt utäk tt mtemtik är roligt! - Hm... - Börj me tt test v u kn nu. Räkn testet å näst si me hjäl v er oh enn. Räknre eller ormelsmling år u inte nvän. Skriv svren i rutorn till höger. Ställ en klok å 0 minuter, som är mti. Vän till si oh gör testet! Sommrmtemtik00.o, Ingress RTh/BS

2 Mlmö högskol Här kn u klräkn när u gör testet! Sommrmtemtik00.o, Ingress RTh/BS

3 Mlmö högskol Mtemtiktest Nr Ugit Ditt svr Förenkl så långt som möjligt Beräkn Beräkn, Uel i ktorer 0 Lös ekvtionen z z Lös ekvtionen 0 Lös ekvtionen Vilk v öljne tl är rtionell?, π π Bestäm störst väret hos unktionen 0, 0 Beräkn 00 Förenkl så långt som möjligt q Förenkl öljne uttrk q Lös ekvtionen Utvekl Skriv som en otens v h Beräkn h h 0 Ange ekt väret v rit gärn os 0 sin 0 Förenkl så långt som möjligt h z z Förenkl så långt som möjligt 0 Lös ekvtionen ln ln ln 0 På e siorn - i ett häte inner u svr oh lösningr å ugitern. Rätt örst ärligt in svr oh vän sen till sin. Sommrmtemtik00.o, Ingress RTh/BS

4 Mlmö högskol Resultt Du hr nu summert in rätt svr oh ått ett resultt i orm v ett tl melln 0 oh 0. Hr u - 0 rätt utn tt h uskt kn u t et lugnt. Du kommer ihåg et mest oh hr ortrne r räkneörmåg. Det är ok lrig el tt reeter lite till! Hr u - rätt är et gnsk OK. Felen kn ju vr nl slrvel. Men ett gott rå är tt u änå räknr ugitern i ett häte till tt örj me. Ägn ig seiellt åt e områen är u gjort el! Hr u - 0 rätt ser et inte så r ut. Du måste räkneträn mket - även om mång el r är slrvel. Vårt rå är tt u örjr å llvr me e se örst lektionern, oh sen eställer e två sist oh som vslutning kommer till mtteträningen i slutet v ugusti. Hr u 0 - rätt ser et ill ut. Hr u tt tget om mtten helt eller ligger en r i trä? Om u helt tt tget är et knske ättre tt ren nu sts å komvu ör tt lär ig en mtemtik u inte kn. Det inns ingen större hns tt läs in stor elr v gmnsiets mttekurs å egen hn vi sin om stuiern å en ingenjörslinje! Om in räkneörmåg ligger i trä: Du måste räkneträn så mket u kn. Vårt rå är tt u örjr å llvr me e se örst lektionern, oh sen eställer e två sist lektionern eller eställer om se näst si!. Plok äreter rm in mtteok rån gmnsiet om u hr en kvr, eller hör v ig så kn vi hjäl ig tt i nåt mer! Miss solut inte sommrmtteverksten!! Tk ör tt u tog ig ti oh teste in mttekunsker! Ett r eslut! OK, men är et verkligen növänigt me så mket mtemtik? All ingenjörsvetensker gger å en mtemtisk grun, vre sig u vill eräkn hur krter oh geometrier ungerr i en meknisk eller ggteknisk konstruktion eller eräkn hur et resulterne motstånet ser ut när u rllellkolr två motstån eller om u vill stuer oh örstå något nnt ingenjörsmässigt enomen. Go mtemtikkunsker åe unerlättr oh är növänig ör tt kunn örstå ll sorters teknisk rolem oh enomen. Behöver u räkn mer? På sin kn u välj vilk lektioner som ssr ig äst. Bok in tier i in lmnk ör tt ortsätt mtemtikträningen. Av rktisk skäl hr vi vlt tt hät iho ll elrn v mttekursen till ett häte. Del gärn u hätet i e inlene siorn, e mttereven oh elen me svr oh lösningr! Sommrmtemtik00.o, Ingress RTh/BS

5 Mlmö högskol Mtemtikträning Vi erjuer ig tt eltg i sommrens mtemtikträning som ungerr så här: Om u är ntgen i nr omgången hr u inte så mket ti till itt örogne. Men om u sätter igång irekt när ntgningseskeet kommer, hinner u igenom vår snkurs öre uroet. Omttning: Kursen är uel å utsän "lektioner. Omttningen är irk timmr er lektion, knske mer om u är oträn. T en lmnk oh rik in lektionern irekt! Se till tt u är ärig öre uroet, sen häner så mket tt u inte hinner! De se örst lektionern år u me i ett rev, e kn eställ e två sist me ett sluttest rån: mtemtikverksten@mh.se. En el lektioner är örse me lite teori oh ett ntl eemel. Svr inns till ll ugiter, lösningr till mång ugiter, rämst i e senre reven.. Allmän räkneärighet örst lektionen Här tittr vi å grunern oh reeterr rmör llt sierräkning me renteser oh enkl oh ul nämnre smt hur mn gör ör tt inn minst gemensmm nämnren mgn. Vi örjr okså me okstvsräkning oh rentesmultiliktion. Allmän räkneärighet nr lektionen Mer okstvsräkning me åe enkl oh ul nämnre. Fktorsuelning, konjugtregeln oh kvreringsreglern liksom ugiter är u måste inn mgn.. Allmän räkneärighet treje lektionen Reetition oh örjuning v öregåene. Någr n moment, l kueringsreglern.. Ekvtioner örst lektionen Förstgrsekvtioner, kvrtkomlettering oh någr nrgrre.. Ekvtioner nr lektionen Fler nrgrsekvtioner. Ekvtioner me i nämnren. Fktorisering som hjälmeel ör tt lös ekvtioner. Rotekvtioner.. Potenser oh rötter örst lektionen Grunern om rötter oh otenser. Båe sier- oh okstvsräkning. Geometrisk summ.. Potenser oh rötter nr lektionen Mer rötter. Potensekvtioner, viss eonentilekvtioner oh någr nttig tetugiter.. Logritmer oh lite lne övningr lektion, smt ett sluttest Logritmlgrn, logritmekvtioner oh mer om eonentilekvtioner. Kommentr: Vrje timm u räknr är ett lus! Vill u räkn ännu mer; let u in gmnsieöker hr u inte ått ehåll em kn u lån em eller nr å ilioteket Två snunkter om sommrreetition rån ett r stuenter rån Reetitionen v mtemtiken ik en å såret igen. Mn vr i en solkurv i örjn, men en svlne me hjäl v reetitionen. - Det vr r me reetition v grunern oh tt även re ut någr rågeteken som mn ht sen tiigre. Frågor: Besvrs å oh å om u skikr e-ost till mtemtikverksten@mh.se Sommrmtemtik00.o, Ingress RTh/BS

6 Mlmö högskol Svr till test Gotgr svr är unerstrukn i lösningrn nen! Vrje korrekt svr ger ig en oäng! Lösningr till test. [ ] mgn Att gör liknämnigt, örenkl, örkort oh å smm sätt mniuler uttrk me okstäver är et viktigste oh et skll vi reeter örst.,, 0,,.,. 0 Anr kvreringsregeln!. z z z z z z ±. 0 ±.. Följne tl är rtionell:, Dess tl smt e två övrig ingår ll i mängen reell tl. Det är viktigt tt kunn einitioner v ll mtemtisk egre!. Störst väret hos unktionen Svr: år mn när är som minst, vs å 0 Du kn givetvis okså eriver unktionen oh vis tt 0 ger minimum , Sommrmtemtik00.o, Ingress RTh/BS

7 Mlmö högskol Sommrmtemtik00.o, Ingress RTh/BS. mgn. q q q q q q q För tt el u nämnren måste u kunn konjugtregeln.. 0 ± ± ± Formeln ör lösning v nrgrsekvtionen är ett måste!. Det är okså tillåtet tt nvän kuregeln oh å svret irekt.. h h h h h h h h eller sin 0 0 os Om u inte kn vären ör sinus, osinus res tngens ör vinklrn 0º, 0º, º, 0º, 0º et måste u kunn t rm om me hjäl v enhetsirkeln eller rätvinklig tringlr, i ett ll en me vinklrn 0º, 0º, 0º.. z z z z z z. Två lterntiv: eller 0., 0 ln 0 ln ln 0 ln ln ln0 ln e e Logritmlgrn måste u okså kunn! Det inns ler sätt tt lös enn ugit.

8 Mlmö högskol - Ingenjörsutilningrn Sommrmtemtikkursen - Innehållsörtekning Hej är! Jg vill h ett r timmr v in ti! Här kn u klräkn när u gör testet! Mtemtiktest Mtemtikträning 0 Omttning: 0 Två snunkter om sommrreetition rån ett r stuenter rån 00. Lösningr till test Sommrmtemtikkursen - Innehållsörtekning. Först lektionen, ALLMÄN RÄKNEFÄRDIGHET. Anr lektionen, ALLMÄN RÄKNEFÄRDIGHET. Treje lektionen, ALLMÄN RÄKNEFÄRDIGHET. Fjäre lektionen, EKVATIONER, el Innehåll. Teori oh eemel.. Förstgrsekvtionen.. Kvrtkomlettering... Anrgrsekvtioner. Ekvtioner.. Förstgrsekvtioner mm, övningr.. Kvrtkomlettering, övningr.. Anrgrsekvtioner, övningr. Femte lektionen, EKVATIONER, el 0 Innehåll 0. Teori oh eemel 0.. Anrgrsekvtioner 0.. Anr ekvtioner. Mer övningr å ekvtioner.. Anrgrsekvtioner, övningr.. Ekvtioner me i nämnren.. Ekvtioner som kn löss me hjäl v ktorisering... Rotekvtioner mm. Sjätte lektionen, Rötter oh otenser, el Innehåll. Någr inlene eemel. Deinitioner oh ormler.. Potenslgrn me oh som ositiv tl oh reellt.. Rotlgrn som kn härles irekt ur ovnståene; n oh m är ositiv heltl. Rötter oh otenser, örst lektionen SVAR oh viss lösningr till lektion - Innehåll Svr till Allmän räkneärighet, lektion : Svr till Allmän räkneärighet, lektion : 0 Svr till Allmän räkneärighet, lektion : Svr till Ekvtioner, lektion : Svr till Ekvtioner, lektion : Svr till Rötter oh otenser, lektion : Någr lösningr till lektion, llmän räkneärighet: 0 Någr lösningr till lektion, llmän räkneärighet: Sommrmtemtik00.o, Innehåll RTh/BS

9 Mlmö högskol Någr lösningr till lektion, ekvtioner el : Någr lösningr till lektion, ekvtioner el : Någr lösningr till lektion, rötter oh otenser: 0 Sommrmtemtik00.o, Ingress RTh/BS

10 Mlmö högskol - Ingenjörsutilningrn Först lektionen, ALLMÄN RÄKNEFÄRDIGHET Ugitern i enn lektion som i övrig lektioner skll löss utn någr som helst hjälmeel. Svren hittr u i sert svrshäte. En örutsättning ör tt kunn lös ugitern är ok en viss skunsk om räknelgrn ör e reell tlen. Här öljer ärör en örtekning v viss mer eller minre självklr oh hos vi välkän räknelgr.,,,,, /,, konjugtregeln Os tt ugitern növänigtvis inte är uställ i svårighetsorning, oh ej heller llti i logisk orning. Ugitern är mer eller minre retsmm, oh et är reis et u ehöver; ugiter v ll slg som hjäler ig tt å igång räkneärigheten! Nu örjr vi: Beräkn oh örenkl så långt som möjligt q q s s e g g z z. Förenkl q q q s r t t t t r s. Bestäm koeiienten ör oh koeiienten ör å mn multilierr iho rentesern Sommrmtemtik00.o, AllmRäkneärighet-lektion RTh/BS

11 Mlmö högskol - Ingenjörsutilningrn Sommrmtemtik00.o, AllmRäkneärighet-lektion RTh/BS. Anr lektionen, ALLMÄN RÄKNEFÄRDIGHET Ugitern i enn lektion skll okså löss utn någr som helst hjälmeel. Svren hittr u i sert svrshäte. Vi ortsätter tt test räknelgrn! jämör lektion Oserver tt räknelgrn llti ungerr åt å hållen, t e Ekvivlensilen inneär tt uttrken å ömse sior om ilen eter smm sk. Bln lrig smmn ekvivlensilr oh likhetsteken!!. Är en ktor i öljne uttrk? Om itt svr är j, nge en nr ktorn.. Förenkl e. Förenkl e. Förenkl 0 0 z z z z 0. Förkort om möjligt e. Skriv som ett råk å så enkel orm som möjligt e

12 Mlmö högskol - Ingenjörsutilningrn Treje lektionen, ALLMÄN RÄKNEFÄRDIGHET Ugitern i enn lektion skll okså löss utn någr som helst hjälmeel. Svren hittr u i sert svrshäte. Vi ortsätter tt test räknelgrn! jämör lektion oh Ytterligre ett r nvänr räkneregler örsök örstå hur e är ugg i stället ör tt lär ig utntill - Övning:: z z z z Kueringsregeln 0 Övning: Multilier smmn rentesern ör tt veriier resulttet i rutn ovn! 0 Eemel: Vis tt Lösning: Multilier iho rentesern! eter örenkling 0 Eemel: Gör liknämnigt: 0 Lösning: När vi hr lite mer komliere nämnre kn öljne tell örst gör vi vänsterslten uirån oh ner oh sen högerslten vr till hjäl. 0 mgn 0 0. Utvekl kvrtern Utvekl q w k. Förenkl Sommrmtemtik00.o, Ekvtioner-lektion RTh/BS

13 Mlmö högskol. Utvekl Uel i ktorer e g h i. Förenkl utn räknre! 0 e 0. Utnttj konjugtregeln ör tt örenkl öljne uttrk, så tt e år en rtionell nämnre:. Förenkl så långt som möjligt uttrket Beräkn äreter uttrkets väre om.. Förenkl e Sommrmtemtik00.o, AllmRäkneärighet-lektion RTh/BS

14 Mlmö högskol. Fjäre lektionen, EKVATIONER, el Innehåll. Fjäre lektionen, EKVATIONER, el. Teori oh eemel Förstgrsekvtionen Kvrtkomlettering. Anrgrsekvtioner. Ekvtioner.. Förstgrsekvtioner mm, övningr.. Kvrtkomlettering, övningr.. Anrgrsekvtioner, övningr. Teori oh eemel.. Förstgrsekvtionen Att lös en örstgrsekvtion gger å e kunsker om llmän räkneärighet u reetere i lektion - smt å ull örståelse ör hur u nväner ekvivlensilen oh likhetsteknet! 0 Eemel: Lös ekvtionen Lösning: Kvrtkomlettering. Du kn lär ig ormeln eller tekniken se lösningen å eemel 0! q q q 0 Eemel: Kvrtkomletter Lösning: 0 Eemel: Kvrtkomletter Sommrmtemtik00.o, AllmRäkneärighet-lektion RTh/BS

15 Mlmö högskol Sommrmtemtik00.o, AllmRäkneärighet-lektion RTh/BS Lösning:.. Anrgrsekvtioner Formeln ör tt lös nrgrsekvtioner år u rm me hjäl v kvrtkomlettering. Men et är smrtst tt lär sig lösningen utntill! 0 0 q q q q ± vs q q ± 0 0 Eemel: Lös ekvtionen 0 Lösning: 0 0 ± ± ± Etersom vi inte nväner räknre i en grunläggne mtemtiken å ingenjörslinjern å Mlmö högskol nöjer vi oss me ett svr. Vi hr inget ehov v närmevären. Men et kn änå vr intressnt tt uner å storleken å e å röttern som huvuräkning e är knske okså nollställen till en unktion. Då kn mn ju råg sig om å röttern är ositiv eemelvis. Är / > roten ur /? Det verkr ju svårt, men lir lättre tt vgör om u kvrerr. > > En gissning interoltion ger å tt roten ur / lir,. Röttern som ligger smmetriskt kring, lir å 0, oh,.

16 Mlmö högskol. Ekvtioner En liten åminnelse är å sin lts. Vi söker i enn lektion enrt ekvtionerns reell lösningr! Svren hittr u i sert svrshäte. Kom ihåg tt inte nvän räknre. Du ehöver även träning å huvuräkning eller räkning me er oh enn vi ehov... Förstgrsekvtioner mm, övningr Lös ut h ur öljne ormler En ormel innehåller ett likhetsteken oh är lltså en ekvtion En etr gulstjärn till en som listr ut vilk geometrisk smn ormlern eskriver! A h M π rh h A V π r Lös öljne ekvtioner v örst gren h e g h i j,, 0, 0, 0 Lös ut ur öljne ekvtion. Beräkn äreter -väret ör,;,; m, oh n, Utn räknre örstås, nnrs kn et kvitt! m n Ett lösningsmeel innehåller,0 % volmsroent lkohol oh resten vtten. Om vi hr,00 liter v ett lösningsmeel, hur mket vtten skll å tillsätts ör tt vi skll å 0,0 % lkoholhlt? Ett klsstem rmmer 0 liter. Vätskn är vtten me volms-roent glkol. För tt ök glkolhlten till 0 % ts en viss mäng vätsk ur vreter ren glkol lls å. Hur mket glkol går åt till ett? Sommrmtemtik00.o, AllmRäkneärighet-lektion RTh/BS

17 Mlmö högskol.. Kvrtkomlettering, övningr Kvrtkomletter e q överkurs.. Anrgrsekvtioner, övningr Lös öljne ekvtioner 0 0 e g h 0 Fler nrgrsekvtioner inner u i lektion! Frågor: Besvrs å oh å om u skikr eost till: mtemtikverksten@mh.se. Sommrmtemtik00.o, AllmRäkneärighet-lektion RTh/BS

18 Mlmö högskol. Femte lektionen, EKVATIONER, el Innehåll. Femte lektionen, EKVATIONER, el 0. Teori oh eemel 0 Anrgrsekvtioner 0 Anr ekvtioner. Mer övningr å ekvtioner Anrgrsekvtioner, övningr Ekvtioner me i nämnren Ekvtioner som kn löss me hjäl v ktorisering. Rotekvtioner mm. Teori oh eemel.. Anrgrsekvtioner Formeln ör tt lös nrgrsekvtioner titte vi å i lektion. q 0 ± q 0 Eemel: Lös ekvtionen Lösning: ± ± Du minns säkert tt tlet uner rotteknet kn li negtivt. För tt kunn lös även sån ekvtioner einierr mn en imginär enheten: i. Lösningrn ovn kn å skrivs ± i. Dess s k komle lösningr ingår inte i sommrkursen. Vi söker enst reell rötter till nrgrsekvtionern. Därme är vårt svr å eemlet: Ekvtionen sknr reell rötter.. Anr ekvtioner Först någr ekvtioner me i nämnren. Det är ju inte konstigre än tt et står ett tl i nämnren. Du ilr minst gemensmm nämnren oh örlänger ekvtionens å le me en! se eemel 0 Du måste iln uner över v som häner om nämnren lir noll 0 Eemel: Lös ekvtionen Sommrmtemtik00.o, AllmRäkneärighet-lektion RTh/BS

19 Mlmö högskol Lösning: Multilier me mgn: mgn Noter tt ett inte kn görs me "ull ekvivlens". Det är i ett ll inte tillåtet tt multilier me mgn om ntr något v vären 0, eller -. Skulle någon v ess -vären k u i lösningen till ekvtionen måste u röv röttern i en ursrunglig ekvtionen, å u snnolikt ått en lsk rot. 0 0 ± ± Nu tr vi någr ekvtioner som kn löss me hjäl v ktorisering. En llmän meto tt lös ekvtioner är tt sml smtlig termer å en sin likhetsteknet, örslgsvis till vänster. Sen stuerr u uttrket till vänster. Iln kn et els u i ktorer å ett mer eller minre enkelt sätt glöm inte konjugtregeln, en är r tt h! oh å hr u lösningrn till ekvtionen som i en liten sk. Följne gäller llmänt: oh q är olnom: q 0 är en lösning rot till ekvtionen 0 Om 0 Eemel: Lös ekvtionen Lösning: Sml termern t v 0 Nu kn ktorn rts ut. Däreter ger konjugtregeln öljne: 0 Svret kn nu skrivs irekt 0; ; Ekvtionen hr sålees r rötter, vrv en är uel. En ekvtion v n:e gren hr llti n rötter, men et är inte llti säkert tt ll är reell, som i ett llet. Men i enn sommrkurs är et r reell rötter vi är å jkt eter. För tt lös en rotekvtion måste u "i ort" roten. Genom tt kvrer å leen örsvinner rotteknet. Men när u kvrerr e å leen i en ekvtion gäller inte utn teknet vilket inneär tt röttern llti måste rövs! Sommrmtemtik00.o, AllmRäkneärighet-lektion RTh/BS

20 Mlmö högskol 0 0 Eemel: Lös ekvtionen Lösning: 0 ± ± Av e två röttern är uenrligen en ositiv oh en negtiv. Den negtiv roten kn inte stisier ekvtionen VL i ekvtionen är en rot oh ärme llti ett ositivt tl. Den ositiv roten kn äremot stämm. Vi sätter in oh rövr: VL: HL: Bå tlen är tligen ositiv - liksom tlet uner rotteknet i VL. De ser ungeär lik stor ut, men vi vill vr säkr! Vi kn ärör kvrer utn tt jämörelsen öränrs: HL: vilket är smm sk som vi år om vi kvrerr VL Svr:. Mer övningr å ekvtioner Svren hittr u i slutet v ett häte. Kom ihåg tt inte nvän räknre. Du ehöver även träning å huvuräkning eller räkning me er oh enn vi ehov... Anrgrsekvtioner, övningr Lös öljne ekvtioner 0 0 e 0 h 0 g 0 i 0 j Sommrmtemtik00.o, AllmRäkneärighet-lektion RTh/BS

21 Mlmö högskol k 0 l.. Ekvtioner me i nämnren Lös öljne ekvtioner 0 e g 0.. Ekvtioner som kn löss me hjäl v ktorisering. Lös öljne ekvtioner me hjäl v ktorisering 0 0 e 0 g h 0 i 0 j 0.. Rotekvtioner mm Vi vslutr me någr rotekvtioner oh ett r trejegrsekvtioner som kn ktorisers me hjäl l kuregeln tillåtet tt slå u. Lös öljne ekvtioner e 0 Frågor: Besvrs så ot jg kn om u skikr mil till: mtemtikverksten@mh.se. Sommrmtemtik00.o, AllmRäkneärighet-lektion RTh/BS

22 Mlmö högskol - Ingenjörsutilningrn Sommrmtemtik00.o, Svr oh lösningr-lektion RTh/BS. Sjätte lektionen, Rötter oh otenser, el Innehåll. Sjätte lektionen, Rötter oh otenser, el Innehåll. Någr inlene eemel. Deinitioner oh ormler Potenslgrn me oh som ositiv tl oh reellt Rotlgrn som kn härles irekt ur ovnståene; n oh m är ositiv heltl. Rötter oh otenser, örst lektionen. Någr inlene eemel Låt oss örj me tt lek lite grn me -or ör tt erinr oss hur heltlsotensern ungerr. E 0 Se vrje r som en ivision me rån öregåene r. Noter tt eonenten minskr me Det rr iho sig! ll gäller ör 0 ll gäller ör 0 - Nu måste vi einier negtiv otenser! - Så här kn vi ortsätt tills vi lir trött. - Oh ortsätter vi i oänlighet går et mot noll... E E 0 E 0

23 Mlmö högskol. Deinitioner oh ormler n är en otens me sen oh heltlseonenten n gotkligt reellt tl, n ositivt heltl r D:o me eonenten r > 0 r gotkligt reellt tl Ekvtionen n, är > 0 oh n är ett ositivt heltl hr ekt en ositiv lösning som klls n:e roten ur n klls ot rotine oh etekns Om n är ett jämnt ositivt heltl inns även en negtiv lösning n n E 0 e E 0 ± n n n n m n m n m n eter n:e roten ur, som är ositivt tl Om n är u kn vr negtivt ositivt reellt tl, m oh n ositiv heltl. enklre me otensräkning E 0 g E 0 h E 0 i 0 E 0 j E 0 k Så et är gs tt reeter otenslgrn:.. Potenslgrn me oh som ositiv tl oh reellt Me smm s Me smm eonent Multiliktion Multiliktion Division Potenshöjning v otens Division För ll reell gäller: > 0 Sommrmtemtik00.o, Svr oh lösningr-lektion RTh/BS

24 Mlmö högskol.. Rotlgrn som kn härles irekt ur ovnståene; n oh m är ositiv heltl Me smm "s" Me smm rotine Vi hr ing seiell lgr utn gör om röttern till otenser. För en treje lgen nväner vi otst n m nm Roten ur roten ur Multiliktion Division n n n n n n Dessutom n n n n m oh n m Någr seilll som är vär tt lägg å minnet: 0 0, 0, Betekningen eter eloet v, vs om är < 0, nnrs.. Rötter oh otenser, örst lektionen Som vnligt är grunién tt u inte nväner räknre. Till viss ugiter inns även lösningr. Dess är mrkere me L i teten. Förenkl så långt som möjligt svr me reell tl e 0 0,0 0 0 Skriv som en otens örenkl så långt som möjligt L L e Förenkl så långt som möjligt 0 L 0 0 L 0 e Förenkl så långt som möjligt z z z z t t t Sommrmtemtik00.o, Svr oh lösningr-lektion RTh/BS

25 Mlmö högskol t t t t t t e L t t Skriv som en otens v L e L L Förenkl så långt som möjligt Formeln ör en geometrisk summ: u u u u u n n s k k... k k s summn, k kvoten s n k k n ntlet termer örst termen Använ ormeln ör tt eräkn öljne summor L L L I öljne ugiter är et tillåtet tt slå u ormler ör eräkning v ränt om u inte minns oh även tt nvän räknre ör tt å ett närmeväre v et ekt svret. L L En erson sätter in 000 kronor i örjn v vrje år å ett konto som ger % ränt ränt läggs till enst vi årsskitet. Hur stort kitl hr hn eter 0 år, vs eter sin elte insättning? Ett shkräe kn nväns till mket. Vi skll lägg engr å et å så sätt tt vi lägger ettöring vi ntr tt e ortrne inns oh är vär ett öre å en örst rutn, öre å en nr rutn, öre å en treje, öre å en järe et till ll rutorn ått sin mäng ören. Hur mket engr går et åt till ett? Svr i kronor i grunotensorm. Sommrmtemtik00.o, Svr oh lösningr-lektion RTh/BS

26 Mlmö högskol SVAR oh viss lösningr till lektion - Om et inns lösning till en ugit mrkers ett me L i svren nen! Om u vill h en lösning till eller hr uneringr om en nnn ugit nen sän ett mil till: mtemtikverksten@mh.se. Du år svr så snrt vi hinner! Innehåll SVAR oh viss lösningr till lektion - Svr till Allmän räkneärighet, lektion : Svr till Allmän räkneärighet, lektion : 0 Svr till Allmän räkneärighet, lektion : Svr till Ekvtioner, lektion : Svr till Ekvtioner, lektion : Svr till Rötter oh otenser, lektion : Någr lösningr till lektion, llmän räkneärighet: 0 Någr lösningr till lektion, llmän räkneärighet: Någr lösningr till lektion, ekvtioner el : Någr lösningr till lektion, ekvtioner el : Någr lösningr till lektion, rötter oh otenser: 0 Svr till Allmän räkneärighet, lektion :. 0..., unvik ok tt skriv så, kn missörstås! q s s 0 0 s s e 0 g g g z. q q q q rs t. res. 0 res. res. res. hel olnomet lir Sommrmtemtik00.o, Svr oh lösningr-lektion RTh/BS

27 Mlmö högskol Sommrmtemtik00.o, Svr oh lösningr-lektion RTh/BS Svr till Allmän räkneärighet, lektion :.,,, J J Nej J. e L e. 0 0 e L. z z. e. L, e Svr till Allmän räkneärighet, lektion :. 0. qw w q w q k k k... e i h g. e L,e nnt svr eroene å smmnhng : 0 L. L

28 Mlmö högskol.. L,, e oh e Svr till Ekvtioner, lektion : A M. h h π r Rektngelns Are Mntelren hos en rät irkulär liner A h Are rllelltrets V h π r Volmen hos en irkulär kon. 0 e 0, 0 g h Tis i 0, h Anr termen kn örkorts me. Det gör e ortstt räkningrn enklre. j, n m m n., n m m n 0 Förlängning me mgn är som vnligt kortste vägen till målet. Eter insättning oh örlängning me 00 kn u rt ut ur å termern i täljren.., liter L Lösning till ugit. liter L Lösning till ugit. eklgr ologisk numrering! Sommrmtemtik00.o Svr oh lösningr-lektion RTh/BS

29 Mlmö högskol Lös ning e L q L.. ± e, 0 ± g ± h Svr till Ekvtioner, lektion :. Anrgrsekvtioner ± ± 0 e 0 g Reell lösningr skns h Reell lösningr skns i Reell lösningr skns j k Ekvtionen är orimlig l 0. Anr ekvtioner ± Lösning skns L e ± g ± I elugit är en ev rot lsk!!. Fktoriserere ekvtioner Konjugtregeln! 0 Mrker en uel- eller trielrot i svret! 0 e 0 g h 0 i Konjugtregeln ggr! j Kvreringsregeln ehövs: Sommrmtemtik00.o Svr oh lösningr-lektion RTh/BS

30 Mlmö högskol 0 smt imginär rötter. Rotekvtioner mm --- Du kom väl ihåg tt röv röttern?. 0 0 Lösningr skns e L Svr till Rötter oh otenser, lektion : L e L 0, L e 0. Ett tis är tt koll rotlgrn oh el u tlen i rimktorer. L 0 L e. Utn go kunsker om otenslgrn kn ett vr svårt. Oserver soluteloen i.. z z z t e t z L t t Kn ej örenkls å nåt vettigt sätt.. Det är OK tt svr me rötter i någr ll; e är ju okså en otens v., 0,., 0, e L L L Ugitern - hittr u lösningr till i slutet v hätet L. 0000,0, kr L L 0 Bnkkonto eimler! L Sommrmtemtik00.o Svr oh lösningr-lektion RTh/BS

31 Mlmö högskol. 00, 0 kronor L jiu Sommrmtemtik00.o Svr oh lösningr-lektion RTh/BS

32 Mlmö högskol Sommrmtemtik00.o Svr oh lösningr-lektion RTh/BS Någr lösningr till lektion, llmän räkneärighet: Ugit e, lösning e mgn Vilket svr u väljer, eror å v u skll h resulttet till! Om inget nnt sägs nses et uelt unerstrukn svret "enklre". Ugit, lösningr Bråkivision! mgn i åe nämnre oh täljre Konjugt- oh kvreringsreglern! Brt ut oh ktorsuel! Som men lite klurigre

33 Mlmö högskol Sommrmtemtik00.o Svr oh lösningr-lektion RTh/BS e Divier, rt ut oh ktorsutel Noter tt 0 Ugit, lösningr till oh mgn Jämör lektion! mgn Någr lösningr till lektion, llmän räkneärighet: Ugit, lösningr till, e oh mgn 00 Misströst inte om u räknt el å enn ugit. Du är i gott oh stort sällsk! Men jo å tills et lir rätt, et är ot viktigt me ekthet!

34 Mlmö högskol e 0 mgn orts Hur inner mn en sist örkortningen? Du måste let eter en! Du vet tt nämnren innehåller ktorern, oh. Test om i tur oh orning.. Förkort me mgn 0 Ugit, lösning till Ugit, lösning till,,e, e se e! Sommrmtemtik00.o Svr oh lösningr-lektion RTh/BS

35 Mlmö högskol Någr lösningr till lektion, ekvtioner el : lösning i tellorm Tot volm liter % lkohol Volm lkohol liter Volm vtten liter Före,00 0,,00 0,,00 Tillsätt 0 Eter,00 0 0,,00 0,,00 0,0,00 0,0,00 Prolem v liknne slg lir överskålig i en tell, är mn eter hn ller i givn ugiter. I e två sist ellern i neerst ren kn "Volmen lkohol eter tillsättning" ils å två sätt eller om u hellre känner ör tt räkn å vttnet går et okså r, vilket ger ekvtionen:,00 0,,00,00 0,0,, liter 0,0 lösning i tellorm Tot volm liter % glkol Volm glkol liter Volm vtten liter Före 0 0, 0 0, 0 T ort 0, 0, Tillsätt 0 Eter 0 0 0, 0-0, 0 0, 0,0 0 0,0 0 Jämört me öregåene rolem är en r tillg. Vttnet ger ekvtionen: 0, 0 0, 0,0 0 liter Ugit, lösning till e oh e q q Sommrmtemtik00.o Svr oh lösningr-lektion RTh/BS

36 Mlmö högskol orts q q Någr lösningr till lektion, ekvtioner el : 0 0 Mult me tillåten om 0 0 ± Dvs ekvtionen tks h två rötter: oh Den örst roten är enligt tiigre ej tillåten så et återstår enst lt Det är tillåtet tt ivier me en nr rentesen som är ett ositivt tl. Mn övertgr sig lätt om tt 0 sknr reell lösningr. Om mn inte kn ll kuregler så kn 0 även löss som otensekvtion me lösningen Någr lösningr till lektion, rötter oh otenser: Enklst me otensräkning Alterntiv: Ugiten kn löss å ler sätt. Enklst är tt gör om llting till tiootenser oh sen nvän otenslgrn Sommrmtemtik00.o Svr oh lösningr-lektion RTh/BS

37 Mlmö högskol Sommrmtemtik00.o Svr oh lösningr-lektion RTh/BS En rmkomlig vägen är tt gör om röttern till otenser. Kom å llti ihåg tt ett rotteken hr en ingg rentes. Vi skulle som ett lterntiv tl om tt rt ut roten ur 0 0 e t t t t t t t t t t Du hr väl inte glömt hur mn rter ut ur otensuttrk? e Om u uttr vrje rotteken som en rentes oh tr et lugnt ett steg i tget så unkr et! - : Använ ormeln k k s n Ientiier, n oh k! , 000, s s n k

38 Mlmö högskol, k, n s s, k, n s s s som sätts in år 0 lir me ränt år 0: 000,0 kronor Smm eräkning ör ll åren ger tt u skll summer: 0 S 000,0 000,0 K Vän orningen! 000, k,0, n s,0 000,0 s, ,0 0000,0, Ett korrekt svr är s kronor. Bnken vrunr nog inte uåt, men u år givetvis rätt även ör kronor liksom ör svret ovn. Beloet kn skrivs : S K, k, n S 00 00, 0 kr Sommrmtemtik00.o Svr oh lösningr-lektion RTh/BS