Arcusfunktioner ENVARIABELANALYS NÅGRA EXTRA UPPGIFTER. Potenser och logaritmer
|
|
- Ludvig Pettersson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 ENVARIABELANALYS NÅGRA EXTRA UPPGIFTER Ärligt talat, så tvivlar jag på att de här kommer att upplevas som mycket lättare än gårdagens, men jag tycker ändå att de är värda att ägna litet tid åt (när man gått igenom de ordinarie övningarna i det röda häftet). Georgi Fredag kl.8- finns jag i D505 (rymmer 50 pers) Arcusfunktioner 5. Visa med figurer varför följande likheter är sanna för alla mellan och. (Varför inte för andra?) Det är lämpligt att dela upp i två fall: 0 resp. 0. arcsin ( ) arcsin arccos ( ) π arccos 6. Samma som föregående, men för nedanstående likheter, som är sanna för alla, även > och < : arctan ( ) arctan arccot ( ) π arccot 7. Förklara varför ½ arccos, 0 arcsin arccos, 0 8. Låt 0 <<och betrakta en rätvinklig triangel med hypotenusa ochenkatetsomär l.e. Vilken vinkel är arccos? Vilken vinkel är arcsin? Uttryck arccos +arcsin sin (arccos ) cos (arcsin ) tan (arcsin ) Potenser och logaritmer. Avgör, med motivering, om följande påstående är sant eller falskt:. Visa att e (ln ) (ln) för alla >0 ln e + ln e ln e + e. För vilka är 4. Bestäm för alla ln ³ e cos < 0? ln lim (ln ) som algebraiska funktioner av, d.v.s. endast med de fyra räknesätten och rotutdragningar, inga trigonometriska eller arcusfunktioner! Hur modiferas resultaten, när <0? 9. Låt >0 och betrakta en rätvinklig triangel med kateter resp. l.e. Vilken vinkel är arctan? Vilken vinkel är arccot? Uttryck arctan + arccot cos (arctan ) sin (arctan ) cot (arctan ) sin (arccot ) som algebraiska funktioner av. Hur modifieras resultaten då <0?
2 Analys av funktionsgrafer 0. Visa att följande ekvation har eakt en lösning + ln arctan, >. Skissa, med bestämmande av lokala etrempunkter och ev. asymptoter, kurvan y 4. Följande olikhet har en geometrisk tolkning, som bör få dig att genast inse dess riktighet, om du bara tänker på hur grafen y e sett ut alla gånger du sett den uppritad Optimering. Badaren Bosse springer söderut längs en väg parallell med badstranden. En km söderut ligger badbryggan 00 m väster om vägen. Bosse springer 50% snabbare påvägenänidenförrädiskasanden. Vilkenväg (stranden saknar hinder för löpare) skall han springa för att nå bryggan så fort som möjligt? 4. Betrakta figurer bestående av en liksidig triangel ovanpå en rektangel. Bestäm förhållandet mellan rektangelns höjd och bas för den figursomharstörst area för en given omkrets. e >e a + e a ( a), för alla 6 a (a) Försök komma på den tolkningen. (b) Ge någon annan motivering som inte hänvisar till maskinuppritade grafer. 5. En staty är a m hög och står på en b m hög piedestal.hur långt bort från piedestalens fot skall du stå för att statyn skall uppta största möjliga vinkel i din kamera? Anta att kameran hålls c m ovanför marken, att markplanet är helt plant och att c<b.
3 Implicit derivation 6. En sfärisk ballong pumpas upp med p volymsenheter luft per tidsenhet. Hur fort ökar ballongradien? Det beror naturligtvis på hur stor den redan är ange radiens ökningstakt som funktion av dess aktuella värde. Tidigare utdelad stencil. Kedjeregeln framlänges 7. Givet två tal, a och b, båda 6 0, bildar vi f () arctan a + b b a, 6 b a Visa att derivatan f 0 () faktiskt är oberoende av såväl a som b! 8. Derivera f () arcsin ³ p arcsin och visa speciellt att f 0 () 0för alla med < /
4 Kedjeregeln baklänges I var och en av nedanstående frågor visas tre integraler. I en av de tre har integralen, så när som på en konstant, formen f (g ()) g 0 () Därför får man en klart lättare integral, om man substituerar Alltså t g () dt d g0 () dt g 0 () d f (g ()) g 0 () d f (t) dt Avgör vilken av de tre har denna form och skriv upp hur integralen ser ut efter variabelbytet. 9. sin cos d sin cos d sin d Primitiva funktioner Bestäm primitiva funktioner till. f () 4 ( + ) Tips: Du kan förenkla en del av arbetet, om du observerar att med t är 4 ( + ) t ( + t). Välj ut och beräkna en av dessa integraler 0 0 e d e d 4. Beräkna 4 ln + d 5. Bestäm e e + d 0. d d d. ln d ln d +ln d 4
5 Integraler: tillämpningar 6. Beräkna volymen av den kropp som begränsas av det plan och den yta, som genereras, när linjen y och grafen y, 0, roterar kring y-aeln. Linjära diff.ekvationer 7. Ange samtliga lösningar till y 0 (t)+πy(t) c e t + c e t + c e t c,c,c givna konstanter 8. Hitta den funktion y (t), som uppfyller y 00 (t)+4y(t) 0 y (0) y 0 (0) 8 och bestäm det största värdet som y (t) kan anta. 9. Bestäm en funktion y (t) som är definierad och kontinuerlig för alla t, begränsad, samt uppfyller ½, för t>0 y 0 (t)+y(t), för t<0 0. När Sherlock Holmes anlände till gården, höll lord Baskervilles döda kropp temperaturen C. En timme senare hade den hunnit kallna till C. Mästerdetektiven antog att kroppstemperaturens ändringstakt är proportionell mot differensen mellan kroppens och omgivningens temperatur, att omgivningens temperatur varit konstant, 0, hela tiden, samt att lorden varit frisk och feberfri, när han mördades, och lyckades uppskatta när mordet begåtts. Vilken uppskattning får du, om du tillämpar Holmes metod? 5
6 Olinjära separabla diff.ekvationer. Bestäm den allmänna lösningen till y 0 () K ³+y () K given konstant. Pelle cyklar från Navstad till Däckrunda längs Ekerstigen en sträcka på hela 7 km. Första hälften av vägen håller han jämn fart, 4 km/h, men sedan sätter mjölksyran in och hastigheten börjar avta proportionellt mot den totala tillryggalagda sträckan. Hur lång tid tar det för Pelle att komma fram? (Underförstått är att farten ändrar sig kontinuerligt utan språng.) Gränsvärden, Taylorutveckling. Bestäm 4. Bestäm 5. Bestäm approimationer, lim lim sin lim 0 sin 6. Låt N vara ett positivt heltal. Vad är sin (N) sin ungefär lika med när 0? 7. En pendel svänger i ett vertikalplan. Pendeln har längden L och vi betecknar maimala utslagsvinkeln med θ. Visa att för små utslag är pendelns maimala höjd över jämviktsnivån (avståndet mellan de horisontella linjerna i figuren) ungefär Lθ / 8. Bestäm, utan maskin, ett närmevärde till med 5 decimalers noggrannhet. (Tips: Det blir relativt lätt att räkna för hand om man observerar att 4 ) 6
7 Potenser och logaritmer: lösn.. Falskt. Eftersom ln och därmed (ln ) antar alla reella värden, så är påståendet faktiskt ekvivalent med att e för alla. Alternativt kan man tänka på att enklaste tänkbara värde på som man kan sätta in,, ger e 0 ivänsterledetoch0 0 i högerledet. OBS. Blanda inte in ln ln här (ln ) är någonting annat! Skulle man vilja skriva om vänsterledet med utnyttjande av logaritmoch potenslagar så får det bli e (ln ) e ln (ln ) e ln (ln ) ln ln ln ln Arcusfunktioner 5. Att likheterna inte kan vara sanna för andra än, är klart redan från början därför att arccos och arcsin inte är definierade för andra det finns inga vinklar med sin- /cos-värden > eller <. Första likheten: Avsätt talet på y-aeln. Dra en horisontell linje genom den avsatta punkten. Markera dess skärning med enhetscirkeln. Var finns nu vinklarna vars sin-värde är lika med det givna? Vilken av dessa vinklar är den som betecknas med arcsin? Gör nu samma sak med i stället för. Konstatera att vinklarna arcsin och arcsin ( ) alltid är spegelbilder av varandra i -aeln.. ln e ³ e ln / lne ln e ln e + ln e + ln e ln e + e e ln e + e ln e + e. För nästan alla. Logaritmen ger negativa värden då argumentet är <, och eftersom eponentialfunktionen är positiv för alla, så har vi att e cos <. Men å andra sidan är logaritmen väldefinierad endast för positiva argument. Eftersom cos 0, är är e cos och därmed e cos 0, men likhet antas för de för vilka cos 0. Alltså: vänsterledet är < 0 för alla utom för ± π, ± π, ±5 π,... då det inte är definierat. 4. ln (ln ) ln (ln ) (ln ) 0, eftersom ln Utnyttja de två figurerna med enhetscirkeln i Persson&Böiers, sid.8. Men, till skillnad mot där, har du nu i stället för tan resp. cot, medan vinklarna är arctan resp. arccot i stället för. Glöm inte att kontrollera att likheterna stämmer även när tan- /cot-värdena är negativa! 7. Låt θ arcsin. Det gäller π θ π sin θ p cos θ sin θ p (Plustecken p.g.a. att θ ligger i intervallet π, π.) Alltså arccos p arccos (cos θ) som skall vara den vinkel i intervallet [0, π] som har samma cos-värde som θ. Om 0 θ π, d.v.s. 0, så är arccos (cos θ) θ arccos p arcsin 7
8 Om däremot π θ 0, så är arccos (cos θ) θ arccos p arcsin för θ och θ har samma cos-värde och det är nu θ som tillhör intervallet [0, π]. 8. Vinkeln mellan hypotenusan och -kateten är arccos, den andra vinkeln som är < 90 är arcsin. 9. arccos +arcsin π sin (arccos ) p cos (arcsin ) p tan (arcsin ) Fallet <0 kan vi återföra till det här med hjälp av resultaten i frågor 5 och 6: arccos ( ) + arcsin ( ) π arccos arcsin π π π igen sin (arccos ( )) sin(π arccos ) sin (arccos ) p q ( ) så även den andra likheten är sann för alla. arctan + arccot π cos (arctan ) sin (arctan ) + + cot (arctan ) sin (arccot ) + Funktionsgrafer: lösn. 0. Betrakta differensen mellan vänster- och högerled: + f () ln arctan Ett tal är lösning till den givna ekvationen om och endast om det är ett nollställe till f (). Men f 0 () + + > 0 för > + Alltså är f () väande för >. Med tanke på att f () ln arctan arctan < 0 lim f () (ty arctan % π +, medan ln % ) så måste grafen av f korsa -aeln eakt en gång.. Polynomdivision (utan uppställning): ger direkt att y är asymptot när ±. En rationell funktion är definierad och kontinuerlig och begränsad i alla punkter utom i ev. nollställen till nämnaren. Här är det enda nollstället och det kompenseras inte av något nollställe i täljaren, så är en lodrät asymptot. f 0 () 4 4 ( ) 6 4 ( ) 4 ( ) f f % 0 & & 4 4 %
9 . a) Högerledet är ekvationen för tangenten till y e ipunkten(a, e a ). I alla bilder av grafen y e, som du sett, buktar eponentialkurvan så att den ligger över var och en av sina tangenter det är också det olikheten säger. b) Sätt Optimering: lösn.. Låt v Bosses hastighet i sanden. f () e e a ( a) e a ½ f 0 () e e a < 0, för <a är > 0, för >a Alltså har f minimum i a, d.v.s. f () f (a) 0 med likhet endast för a. Det ger olikheten. Om hanq först springer meter längs vägen och sedan snedar 00 + (000 ) m i sanden rakt mot bryggan, så blir den totala löptiden q.5v (000 ) v Vilket gör detta uttryck minimalt? är frågan. Av fysikaliska skäl är det klart att det finns ett minimum i intervallet 0 <<000. Där måste derivatan vara 0. Konstanten v inverkar inte kan brytas ut och strykas. Vidare blir räkningarna enklare, om vi arbetar med s 000 : f (s) 000 s + p s f 0 (s).5 + s 00 + s f 0 (s) 0.5 s 00 + s 00 + s.5 s s 00/.5 79 m Således skall Bosse först springa 8 m längs vägen ochsedansnedainmotbryggan. 4. Låt h rektangelns höjd b triangelns sida Omkretsen Arean L b +h bh + b b b L b + b b 9
10 Ã! bl + 4 b Ã! bl b 4 {z } >0 Derivera m.a.p. b : Ã! L b 4 Maimum fås då Ã! 4 b h b (b +h) ³ 4 + h b Implicit derivation: lösn. 6. V 4 πr dv 4 dr πr dt dt p 4πr dr dt dr dt p 4πr 5. Låt det horisontella avståndet från kamera till piedestal. Vinkeln är då arctan a + b c arctan b c f () så vårt problem är att bestämma maimum av f () när >0. Sätt b c d och studera derivatan f 0 () + a+d a + d + d d (a + d) +(a + d) + d [gör liknämnigt] + d ³ +(a + d) (a + d) + d d ³ +(a + d) ( + d ) Nämnaren är > 0 så det räcker att titta på täljaren: (d (a + d)) + d (a + d) (a + d) d a + d (a + d)((a + d) d) a + d (a + d) a Den är < 0 för små, > 0 för stora, och 0då p d (a + d) p (b c)(a + b c) vilket alltså ger maimum och är det sökta avståndet. (Kontrollera gärna att svaret har dimensionen längd!) 0
11 Kedjeregeln framlänges Kedjeregeln baklänges 7. f 0 () 8. +³ a+b b a a + b (b a) +(a + b) a + b (a + b )(+ ) + ³ D arcsin ³ p q D b (b a) (a + b)( a) (b a) ³ p sin cos d sin t cos d dt t dt d t d dt dt t p 4 ( ) p + ( ) ln d ln t d dt t dt Vår derivata är alltså Skall det här vara 0, så måste uttrycket inom parenteserna vara 0, d.v.s vilket är ekvivalent med ½ > 0 Men detta är ju faktiskt sant då < / < /, d.v.s.
12 Primitiva funktioner: lösn.. Partialbråksuppdela t ( + t) A t + B t + C +t At ( + t)+b ( + t)+ct Sätt in t 0, så fås B Sätt in t, så fås C Sätt in, t.e. t, så fås A Alltså (sätt nu t i uppdelningen) 4 ( + ) d 4 ( + ) arctan + C. e är eempel på en funktion vars primitiv inte kan uttryckas med elementära funktioner, se [PB, sid.65]. e däremot går bra, eftersom faktorn är, så när som på en konstant, derivatan av eponenten: 0 e e ( ) De D e X e d lim e d X 0 lim e X X 0 lim X e X ln ln ( ) + ln ln ln e e t e + d e d dt Partialbråksuppdelning med ansats ger t t + A t + B t + t dt t +t t + dt t ( ln t + ln t )+C ln e + ln e + C ln e + + C Alternativ: Förkorta med e ochkännigenettuttryck av typen f 0 () /f () D ln f () (övn. LTH,5.9c) e e e + d e e + e d ln e + e + C 4. Byt integrationsvariabel först så att integranderna ser enklare ut: + t (t ) t +, 4 t + 4 d (t ) dt 4 ln + d Partiell integration ger nu h i (t ) ln t 4ln ln 4ln ln t + t (t ) ln tdt (t ) t dt dt t t +lnt
13 Integraler: tillämpningar: lösn. 6. V 0 π dy π y y 4 dy 5 π Linjära diff.ekvationer 7. y y h + y p Ae πt + c π e t + c π e t + c π A godtycklig konstant 8. Karaktäristiska ekvationen r +40 har rötterna ±i. Alltså är den allmänna lösningen y (t) A cos t + B sin t Begynnelsevillkoren är uppfyllda omm ½ A B 4 Enligt hjälpvinkelomskrivningen (PB, sid.77), finss vinkel δ, sådan att Härur avläses att 9. Utnyttja att där A cos t + B sin t p A + B sin (t + δ) 5sin(t + δ) y ma 5 y y h + y p, y h (godtycklig konstant) e t (eftersom r + är karaktäristiskt polynom), samt att en ekvation av typen y 0 + ay b, a, b konstanter uppenbarligen har partikulärlöningen y b/a, så fås y (t) ½ Ae t +, t > 0 Be t, t < 0 A, B konstanter Eftersom e t när t, så krävs att B 0, för att funktionen skall vara begränsad. Då är alltså y för alla negativa t, och för att få kontinuitet i t 0, skall Ae t +, när t 0. DetgördetnärA. Svar: ½ e y (t) t +, t 0, t 0
14 0. Låt y (t) kroppstemperaturen som funktion av tiden t, där t 0 svarar mot tiden för polisens ankomst. Kroppstemperaturens ändringstakt ges av derivatan y 0 (t) och vi antar alltså att y 0 (t) k (y (t) 0), k konstant Kan lösas med y h + y p, eller med integrerande faktor, eller som en separabel ekv., eller genom att betrakta z y 0 som obekant funktion och observera att (y 0) 0 y 0 och utnyttja vad man borde kunna utantill att Inte riktigt nära 4 p.g.a. att 5/ inte är så litet (jämfört med ). Men ta med en term till i utvecklingen av täljaren, ln ( + ) : ln + 5 ln + 5 ln 5 5, som skiljer sig från 4 med endast /4! z 0 (t) kz (t) har lösningen z (t) z (0) e kt Alltså (y 0) 0 k (y 0) y 0 ( 0) e kt Vi vet nu att, om vi mäter tiden i timmar, så skall y (), d.v.s. 0 e k e k k ln och söker t sådant att y (t) 7(levande människas kroppstemperatur) 7 0 e kt kt ln 7 t ln 7 ln 4 visar det sig, om man utnyttjar maskin Negativt tal p.g.a. vårt val av nollpunkt. Om vi utnyttjar att ln ln (/), så kan vi formulera svaret: ln 7 / ln timmar före polisens ankomst skulle NN ha mördats, om alla våra antaganden håller. Anm. Jag passar på att visa hur Taylorutveckling skulle kunna utnyttjas till att få ett närmevärde på kvoten: ln 7 ln ln + 5 ln [ln ( + ) ] 5 5 4
15 Olinjära diff.ekvationer. En separabel ekvation: y 0 +y K dy +y Kd dy +y Kd arctan y K + C y tan (C K), C godt. konst. Gränsvärden, Taylorutveckling approimationer,. För stora har vi och + (/) (/) 0 när, så det hela. Låt t 0svara mot tidpunkten då Pelles fart börjar avta. Sätt s (t) vid tiden t tillryggalagd sträcka. Pelles fart ges då av s 0 (t), alltså skall det enligt förutsättningen gälla s 0 (t) k s (t),t>0, s (0) 6 kkonstant, En separabel diff.ekvation - syns kanske bättre om vi använder det alternativa skrivsättet för derivata: ds dt k s sds kdt sds kdt s kt + C, där C 6 fås ur s (0) 6 Prop.konstanten k kan vi få genom att utnyttja att farten ändrar sig kontinuerligt, alltså sin sin när, eftersom 0 då sin och lim 0 alternativt med Taylorutveckling: sin à B ()! B () sin så sin 0 när 0 k s (0) s0 (0) 4 k 6 4 Frågan är nu: när blir s 7: t + 6 t ( 6) Den andra halvan tar alltså timmar och en kvart. Den första halvan tar 6/4 en och en halv timme. Totalt: tre timmar och tre kvart. 6. sin (N) sin eftersom sin sin (N) N N, N så kvoten närmar sig talet N, när närmar sig Den omtalade höjden är L L cos θ L ( cos θ) L θ +... Lθ ommanendasttarmeddetvåförstatermernaitaylorutvecklingen av cos. 5
16 8. Sätt in 0 5 i Taylorutvecklingen ( + ) / Addera termer så länge de är stora nog att inverka de första 5 decimalerna: , vilket blir svaret Resterande termer är för små för att vara intressanta. 6
x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merx 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.
. Beräkna följande gränsvärden: a. lim 2 5 + 6 2 2. b. lim 2 5 + 4 3 + 2 4 2. c. lim 0. d. lim 2 3 + 3 2 + 4 + 5 2 + + 3 + 2 2 + 3 + 4. 2. Kan funktionen f definieras i punkten = så att f blir kontinuerlig
Läs merMA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den januari 6 Skrivtid: 9.-3. Inga jälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt oc skriv namn på varje papper.
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merRepetitionsuppgifter. Geometri
Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna
Läs mer1. Förklara, utifrån definitioner, trigonometriska samband samt det faktum att π 12 = 1 2 π6, varför följande likhet måste gälla exakt : p 2+ arccos
HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy 8 augusti, 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare, dock endast för test och kontroll av resultat. Betygsgränser: p. för Godkänd, 8p. för
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merDenna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som
Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.6, 4 april 04 Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk Analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag:
Läs merLösningar kapitel 10
Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merf(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =
Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om
Läs merKOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK
KOMPLETTERANDE UPPGIFTER TILL MATEMATISK ANALYS - EN VARIABEL AV FORSLING OCH NEYMARK ELIN GÖTMARK MATS JOHANSSON INSTITUTIONEN FÖR MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK UMEÅ UNIVERSITET Date: 3 augusti 202.
Läs merUppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim
Tentamen (TEN) i MATEMATIK, HF 7 dec 7 Tid :-7: KLASS: BP 7 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst, en formelsamling och ett bifogat formelblad. Denna lapp lämnar du in
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs merPlanering för kurs C i Matematik
Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b
Lösningsförslag till Tentamen i Inledande matematik för E, (TMV57), 203-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) För vilka tal gäller 2 + > cos2 ()? Lösning:
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merProv i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs mermed angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Envariabelanalys, 10 hp STS, X 010-10-7 Genomgånget på föreläsningarna 11-15. Föreläsning 11, 4/11 010: Här kommer vi in i kapitel 4, som handlar om
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merd) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin
d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.
TENTAMENSSKRIVNING Endimensionell analys, B1 010 04 06, kl. 8 1 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. 1. a) Lös ekvationen cos sin + 1 = 0. (0.) b) Lös
Läs mer6.2 Implicit derivering
6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta
Läs mer1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)
Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning ITE/MPE-lab MA2 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Fredagen den 3 januari 27 35-6722 Skrivtid: 5.-2. Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget fullständigt och skriv namn
Läs mer601. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning 2 till följande uttryck. Resttermen ges på ordoform.
Kap 4.8 4.9. Taylors formel, Lagranges restterm, stort ordo, entydigheten, approimationer, uppskattning av felet, Maclaurins formel, l'hospitals regel. 60. (A) Bestäm MacLaurinutvecklingarna av ordning
Läs merLösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer
Matematiska Institutionen Tentamensskrivning STOCKHOLMS UNIVERSITET kurskod: MM Eaminator: Åsa Ericsson 4-5-7 Lösningsförslag till Tentamen: Matematiska metoder för ekonomer 7 maj 4, kl. 9:-4:. (a) Integralen
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merBASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Läs mer5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm
VECKANS UPPGIFTER MENY FÖR HELA MOMENT 3 5B3 Amelia fr P och T ht 004 Uppgifter till Vecka 4. Förklara hur ett induktionsbevis fungerar.. Bevisa att 4 n är jämnt delbart med 3 för n =,, 3,... 3. Bevisa
Läs mercos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma4a ot-nummer Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej
Läs merSidor i boken Figur 1:
Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan
Läs merLektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.
Lektion 6, Envariabelanals den 4 oktober 999 Låt f vara en kontinuerligt deriverbar funktion vars graf är återgiven i figuren till höger. Besvara följande frågor. Låt oss krmpa f:s definitionsmängd till
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merStudietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips info r kommande tentamen TEN inom kursen TNIU3 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merMatematik D (MA1204)
Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merKap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.
Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merModul 5: Integraler. Det är viktigt att du blir bra på att integrera, så träna mycket.
Institutionen för Matematik SF625 Envariabelanalys Läsåret 27-28 Lars Filipsson Modul 5: Integraler Denna modul handlar om integraler. Det slås fast i en precis definition vad som menas med att en funktion
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merHögskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik
Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merFör att uttrycka den primitiva funktionen i den ursprungliga variabeln sätter vi in θ = arcsin 2x. Lektion 14, Envariabelanalys den 23 november 1999
Lektion 4, Envariabelanalys den november 999 6.. Beräkna d 4. Det första vi observerar i integralen är uttrycket i nämnaren, 4. När ett uttryck av den här typen förekommer i en rationell integrand kan
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs mer3.1 Derivator och deriveringsregler
3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,
Läs merHär finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition).
GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus av en funktion då går mot ett tal a ( s.k. epsilon delta definition. Definition. ( Cauchy Vi säger att funktionen
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merLösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys
Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys Måndagen den 4 maj, klockan 8:-3:. Bestäm gränsvärdena a) Ñ lnp 3 q b) Ñ8 lnp 3 q. Lösning..a) Gränsvärdet är på formen { så vi kan använda l Hospitals
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Modul 5 Integraler
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 5 Integraler Denna modul omfattar kapitel 5 och avsnitt 6.-6. i kursboken Calculus av Adams och Esse och undervisas på tre föreläsningar,
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i
Läs merTMV225 Kapitel 3. Övning 3.1
TMV225 Kapitel 3 Övning 3. Bestäm gränsvärdet och bestäm δ som funktion av ε. a) lim 3 [ 2 3 + 5] Vi har givet att 3, och då funktionen är kontinuerlig får vi gränsvärdet ȳ 5 genom att stoppa in. Per definition
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs merMatematik E (MA1205)
Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merLedtrå dår till lektionsuppgifter
Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN jan 06 Tid 5-75 Analys och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Inge Jovik Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär
Läs merNotera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.
SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition (Kontinuitet i en punkt { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim f ( a } a eller ekvivalent: { f ( är kontinuerlig i punkten a} { lim lim f ( a a a+
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merb) Vi använder cylindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt.
Viktiga tillämpningar av integraler b) Vi använder clindriska skal och snittar därför upp området i horisontella snitt. 7.. Finn volmen av kroppen S som genereras av rotation kring -aeln av området Ω som
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merSF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden
KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,
Läs merProv 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9
Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos
Läs mer1. Utan miniräknare, skissa grafen (bestäm ev. extrempunkter och asymptoter) y = x2 1 x 2 + 1
HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy april 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare. Betygsgränser: p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd (p. från propedeutiska kursen kan tillgodoräknas)
Läs merLösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson
, MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs mer