TENTAMEN I FINIT ELEMENTMETOD MHA JANUARI 2016

Transkript

1 Insttutonn för tllämpd mknk, Clmrs Td oc plts: Hjälpmdl: TNTAMN I FINIT LMNTMTOD MHA JANUARI M ust Ordöckr, lxkon oc typgodkänd räknr. Lösnngr Lärr: Ptr Möllr, tl ( Bsökr sl c. 5 smt 6 3. Lösnngr: Anslås på nslgstvln, vdlnngn för dynmk, /; s ävn kursmsdn. Btygsättnng: n fullständg oc korrkt lösnng på n uppgft gr poäng nlgt vd som ngs på uppgftslppn. Smärr fl ldr tll poängvg. Ofullständg lösnng (svr på ställt prolm skns llr omfttnd fl gr nt något poäng. Mxml poäng är. Dt krävs 8 poäng för tyg 3; poäng gr tyg 4; för tyg 5 krävs 6 poäng. Osrvr tt ovnstånd är tygssättnng på nrt tntmn; för godkänd xmnton krävs dssutom godkänd nlämnngsuppgftr. Rsulttlst: Anslås snst 5/ på smm ställ som lösnngrn. Rsulttn sänds tll tygsxpdtonn snst 9/ för kursdltgr som nt r ll nlämnngsuppgftr godkänd vd dtt tllfäll nrpportrs tygt U (undrkänd. Grnsknng: tsdg 6/ 4 smt onsdg 7/ 3, Insttutonn för tllämpd mknk, pln 3 Ny M ust. Tänk på: Skrv så tt dn som sk rätt kn läs oc förstå ur du tänkr. Dn som rättr tntmn gssr nt llr ntr nt vd du mnr/tänkr ndst vd som vrklgn skrvs r tydls vd dömnngn v n lösnng. Förklr/dfnr nförd tcknngr. Rt tydlg fgurr. Ang förkommnd fll vd som är postv/ngtv rktngr (på t.x förskjutnngr oc krftr. Gör du ntgndn utövr d som ngs uppgftstxtn, så ng dtt xplct oc förklr dss. 6 /PWM

2 Btrkt tt tjockvägggt rör md rdn oc ålts rd. Om rört är lstt md tt nr tryck p oc tt yttr tryck p y, oc om plnt u p y r spännngstllstånd nts, så kn dn rdll förskjutnngn gnom tt lös rndvärdsprolmt räkns p d d -- [ ru] r du p ( ν ν u ( r du p y ( ν ν u ( r där oc ν är mtrlts lstcttsmodul rspktv tvärkontrktonstl. : Inför tstfunktonn (vktsfunktonn v v( r oc ärld dn svg formn v rndvärdsprolmt (vrtonsprolmt; du övr nt ng rgulrttskrv på funktonrn. Osrvr tt ntgrtonn ör görs övr n volym: L ( π rdθ dz πl r där L är rörts längd oc θ n vnklkoordnt dt vsd snttt. (p : F formulr prolmt md tstfunktonr vld nlgt Glrkns mtod. (p c: Antg tt prolmt dskrtsrs md 3 lk lång lmnt, , oc tt nodrn numrrs md stgnd r koordnt. V får då tt kvtonssystm K f md 4 nodvrlr vk- 3 torn. Vs ur lstvktorn f sr ut smt ng gt tll styvtsmtrsn K från d två rndvllkorn. (p Lösnng : Multplcr dffrntlkvtonn md n tstfunkton L π oc ntgrr övr voly- mn: d d v -- [ ru] rdθ d d dz πl v. Prtlntgrton gr: r -- [ ru] r r v( r d d d d d ( vr -- [ ru] v [ ru] -- r [ rv] [ ru] r V måst utvckl rndtrmrn för tt dntfr ur rndvllkorn kommr n: 6 /PWM

3 d v [ ru] v( u( v du u + r vr u -- du + du du v( u( + v( v( u( v( r v( ( ν p y v( ( ν p νv( u( v( u( νv( u( ν ( v( p v( p y + ( ν ( v( u( v( u( Multplkton md ν gr då ν -- d d [ rv] [ ru] ( v( u( v( u( v( p r + ν v( p y Lösnng : Approxmr u N där N N ( r N ( r N n ( r är vld sfunktonr oc u T n. Tstfunktonn väljs sdn nlgt Glrkns mtod som v N, N,, N n. V r då ν -- d d [ rv] [ rn] ( v( N( v( N( v( p r + ν v( p y v N, N,, N n llr md kvtonrn smld rdvs tll tt kvtonssystm ν -- d T d [ rn ] [ rn] ( N T ( N( N T ( N( N T ( p r + ν N T ( p y Lösnng c: Md d 4 nodrn numrrd från vänstr (( r mot ögr ( r r v N( N ( N ( N 3 ( N 4 ( oc pss N(. Högrldt gr nu lstvktorn som f N T ( p N T ( p y p T p y T p p y. T Rndvllkorns g tll styvtsmtrsn gs v n oc trdj trmn vänstldt md N T ( N( oc N T ( N( fås v ( N T ( N( N T ( N( + ν ν ν 3 6 /PWM

4 Btrkt värmldnngsprolmt y u dv( k u u g på Γ nt k( u T n α( u u på x Här är u, g, k > oc α > gvn konstntr, mdn u u( x, y är dn oknt tmprturn. Områdt är nlgt fgurn tll ögr; oc Γ nt är yttr rspktv nr rndn tll, mdn n är n normlvktor md längd rktd ut från. Γ nt : ftrsom prolmt är symmtrskt md vsnd på fyr xlr, kn mn välj tt lös rndvärdsprolmt på /8 dl v områdt. Formulr rndvärdsprolmt så tt dtt lr möjlgt. (p : Vrtonsformulr prolmt (dvs ärld dn svg formn v rndvärdsprolmt. (p N N s Ldnng: om q är n vktorvärd funkton oc φ är n sklär funkton, så kn Grn Guss sts skrvs φdv( q d Γ φq T ndγ ( φ T qd c: F formulr prolmt md tstfunktonr (vktsfunktonr nlg Glrkns mtod. (p Γ nt d: Antg tt v dlr n områdt md lnär lmnt oc trkt n lmntsd md längd utmd dn konvktv rndn (s llustrton. Inför n lokl koordnt s oc räkn lmntsdns g tll styvtsmtrsn oc lstvktorn p.g. dt konvktv rndvllkort. (p Lösnng : Låt Γ sym måst vr noll. V r då tckn symmtrrändrn; drvtn v tmprturn tvärs dss rändr dv( k u u g på Γ nt k( u T n α( u u på ( u T n på Γ sym Lösnng : V multplcrr dffrntlkvtonn md n nästn godtycklg tstfunkton v v( x, y oc ntgrrr övr områdt: vdv( k u d. Grn Guss sts gr då ( v T k ( u d vk( u T ndγ Γ Utvckl nu rndntgrln: Γ vk( u T ndγ vk ( u T ndγ + vk ( u T ndγ + vk( u T ndγ Γ nt Γ sym 4 6 /PWM

5 På är drvtn ( u T n oknt, så v gränsr vlt v tstfunktonr tll sådn tt v Γ nt på dnn dl v rndn; på kn v sätt n rndvllkort så tt ntgrndn lr vα( u u ; på symmtrrändrn lr ntgrndn noll nlgt symmtrvllkort. V r då vrtonsprolmt: tt u så tt ( v T k( u d + αvudγ αvu dγ u g, v på Γ nt Lösnng c: Inför pproxmtonn u N där N N ( x, y N n ( x, y är n rdvktor md u vld sfunktonr oc n T är oknt nodvrlr. Insättnng vrtonsprolmt N N n gr ( v T kbd + αvndγ αvu dγ, där B N x x. V väljr sdn tst funkto- N N n y y nn nlgt Glrkns mtod, dvs v N, N,, N n, oc får då lk mång kvtonr som oknt nodvrlr; kvtonrn smls rdvs tt kvtonssystm, vrvd v får B T kbd αn T T + NdΓ αn u dγ (ltrntvt: låt v vr n godtycklg lnärkomnton v d vld sfunktonrn v c T N T, där c T c c c n väljs godtycklgt, llr K f där K B T kbd + αn T NdΓ f αn T u dγ. Lösnng d: Bgt tll lstvktorn lr f αn s T N u ds αu ds αu αu ds N s -- (ntgrlrn v sfunktonrn räkns är nklst som rn mlln s xln oc rspktv funktons grf. Bgt tll styvtsmtrsn fås som αn T N dγ α ---- ( s s s ( ds ( s s s α /PWM

6 3 Fgurn vsr tt D lstcttsprolm vrs lösnng mn vll pproxmr md n konform fnt lmntmtod. Antg tt mn utgår från n gnsk grov dskrtsrng md lnär 3 nods lmnt oc nvändr n dptv mtod för tt pproxmr lösnngn. : Rdogör för vd som mns md dptvtt oc förklr vd mtod tydr. (p : I vlkt llr vlk områdn förväntr du dg tt tt dptvt F progrmmt sk gnrr d tll storlkn mnst lmntn? Motvr svrt. (p m 3 m 3 m 3 σ n,5 MP 96 GP ν.3 Pln spännng c: n konform F dskrtsrng v prolmt ldr tll kvtonssystmt K f, där styvtsmtrsn K är symmtrsk oc postvt dfnt. Vs tt lösnngn Π( v K f m 3 m 3 m 3 mnmrr dn potntll nrgn --v T Kv v T f, d v s vs tt Π( Π( v, md Π( Π( v ndst om v. (p d: Bsfunktonrn för tt v d trngulär lmntn gs v N ( x, y [ x A y + ( y x + ( x 3 x y] N ( x, y [ x A 3 y x + ( y x + ( x y] N 3( x, y [ x A y x y + ( y y x + ( x x y] y ( x, y x A ( x 3, ( x, y där A -- ( x är lmntytn oc är koordntn för nod. y + x + x 3 y x x y y ( x j, y j j Vs tt lmntt är kompltt. (p Lösnng 3: tt dptvt F progrm uppskttr dskrtsrngsflts storlk. Om flt är störr än någon ngvn tolrns, änr progrmmt F dskrtsrngn; md mtod mns tt flr (tll storlkn mn lmnt nvänds. Procssn fortgår tll dss tt dn önskd noggrnntn uppnåtts. Lösnng 3: Md n dptv mtod förväntr mn sg d tll storlkn mnst lmntn områdn där förstdrvtorn lösnngn vrrr som mst (d.v.s områdn där ndrvtor är stor. I tt lstcttsprolm får mn sngulär punktr där spännngrn (förstdrvtor äns snt övr kort sträckor vd t.x nåtvänd örn, oc vd rupt föränngr rndvllkor. I dt gvn prolmt fnns 5 sådn punktr, som vss fgurn är rvd. Lösnng 3c: Låt vr lösnngn tll kvtonssystmt K f så tt potntll nrgn F pproxmtonn lr -- T K T f. Btrkt nu n godtycklg vk- tor v oc låt w v. V r då Π( 6 6 /PWM

7 Π( v Π( w + -- ( w + T K( w + ( w + T f -- T K -- T Kw --wt + + K + --w T Kw w T f T f T Kw w T { K ty K är sym. } Π( + --w T Kw + w T ( K f { K f så K f } Π( + --w T Kw Mn w T Kw > (för w, ty K är postvt dfnt; lltså gällr Π( v Π( md lkt ndst då w, d.v.s då v Lösnng 3d: Låt oc tckn d prmärt oknt lstcttsprolmt. lmntt är u x u y kompltt om dt går tt välj nodvrlvärdn (oc så tt nstsn på lmntt lr n godtycklg konstnt (pss för, smt välj värdn så tt grdntn (oc u y lr konstnt. Dt snr vllkort är trvlt uppfyllt ftrsom d lnär sfunktonrn y r konstnt grdntr: u x y x 3 y y x y + + x (nlogt för u y. x 3 x x x x u y x y u x 3 xn u x För tt vs tt dt först vllkort är uppfyllt väljr v nodvrlrn tll n oc smm godtycklg konstnt c v r då u x c c c( N + N + N ( x A y + x 3 y x + x y x y A c A (oc på smm sätt sr v tt kn vr n godtycklg konstnt. u y 7 6 /PWM