löser differentialekvationen och 3 som är ett förstagradspolynom som inte är identiskt lika med differentialekvationens högerled.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "löser differentialekvationen och 3 som är ett förstagradspolynom som inte är identiskt lika med differentialekvationens högerled."

Elias Strömberg
för 7 år sedan
Visningar:

1 Lösninr nmn mm7 juni un d d S dluppi. D är smm dirnilkvion. c Svr: lösr dirnilkvionn och d ] [ som är örsrdspolnom som in är idnisk lik md dirnilkvionns hörld. Lå i säll rinln md hörn i och - ror krin =. Dnn roionskropp hr smm volm som dn ursprunli. Osrvr sdn kroppn är smmrisk krin pln = räkn örs volmn v dn kropp som uppsår då prllllrps md hörn i och rorr krin =. Linjn nom och hr kvionn Skivormln r volmn v dnn roionskropp urck i volmnhr är d d d Roionskroppn då rknln md hörn i och rorr krin = är n lind clindr md höjd och sns rdi l.. som hr volmn 7 h V v.. Sök volm är 7 v.. v smmri-skäl inss vrör rdinvkorn är prllll md linjn = som hr rikninsvkorn Svr: Nj! Urck undr rockn kn in vr niv. som rprsnrr n cirklskiv md rdi. och mdlpunk i orio.

2 Yn är n llipsoid md som hös punk. Tnnpln är d horisonll pln = c På smm sä år mn Tnnplns kvion kn skrivs vilk r Om nämnrn är dvs. på rndn v diniionsmändn å mn i säll vrikl nnpln. d Yn är övr dln v n llipsoidn. Ellipsoidn sr u unär som skl på sånd ä md ndpunk i orio Äskls skärninr md horisonll pln är cirklr.som lir mindr och mindr ju hör upp rån -pln som mn kommr. Tnrinspunkn mås li på cirkln i -pln. Pln d och pln = skär vrndr läns linjn d irkln och linjn skär vrndr i punk sådn =. vilk r d Svr: d och d är sådn l. Orio är in ns sionär punk och in hllr minimipunk. På linjn = - ällr som hr rrsspunk ör =. Orio är in minimipunk. c Förs undrsöks sionär inr punkr. D åd prill drivorn är smidi prcis då = och = dvs. i orio som illhör d inr v diniionsmändn Sdn undrsöks rndn Sä // D säs in i kvionn D inns r värdn välj mlln nämlin och. Svr: Sörs och mins värd är rspkiv d som är cirklr md mdlpunk i - och rdi

3 För = - år mn n urrd cirkl som r sår v mdlpunkn För = - lir rdin För = år mn n cirkl md rdin Unj nivåkurvorn rån dluppi d Mins värd rhålls i som är dn punk i kvdrn som lir närms - p och sörs värd i och som är d punkr i kvdrn som lir läns rån - p Värdmändn är hl inrvll [-] rsom unkionn är koninurli. Linjsck L hr ändpunkrn Kurvn lir i pln = och är där n dl v kurvn. Kurvns ändpunkr hr -koordidrn och. Yn hr d r hörnn och ränss v n horisonll linj ndrs vå vrikl linjr och övrs v ndrrdskurvn rn är lik md 7 d rnhr Linjsck L hr ändpunkrn och Kurvn lir i pln = och är där n dl v linjn och ändpunkrns -koordinr är och Yn är n prllllrps i pln = md hörnn.. och hr rn rnhr c d d d dd T. d d 7 d d d sin sin d +. är mindr än. och kn örsumms.. sin sin. sin sin c c c

4 ..... sin d d.d. Trmn sin d kn örsumms. Svr: Närmvärd. dur... lrniv lösnin ill uppi c d d d d d d ln d d k k k Osrvr k mås vr posiiv är posiiv Svr: J d år. Välj k = k lrniv lösnin ill uppi d d d hr krkrisiks kvion r r r d d som är dulro. Därör är lösnin ill dn homon kvionn Sä ins i d d d d r md unjnd v rlrn vilk in kn äll ör ll. Svr: Nj lrniv lösnin ill uppi : Uppin kn också löss md clindrskl-modn. lrniv lösnin nr ill dluppi d : Jämör plnn och d D kn ldri li lik d n pln är vrikl mn in d ndr. Mn ormln ör nnplns kvion ällr nds då är n unkion v och. och in ör vrikl nnpln då d prill drivorn in är dinird. dvs när Tnrinspunkn mås li i pln =. irkln mås nr

5 linjn d D mås sk på linjn = och d lrniv lösnin nr ill dluppi : Sä p och lå c vr nrinspunk. Ellipsoidn är nivå ill unkionn p. p c är normlvkor i punkn c ill nivån och ns nnpln i c Smidi sk äll nnpln sk kunn skrivs som d Om pln d sk nr llipsoidn mås nnpln h också som normlvkor. Normlvkorr ill och smm nnpln hövr in vr lik mn Åminson prllll och därör är drs vkorproduk nollvkorn. p irkln mås nr linjn d D mås sk på linjn = och d lrniv lösnin ill dluppi c Inr sionär punkr urds som idir. Mn år orio som sionär inr punk : Då är unkionsvärd. Mn rndn kn i säll undrsöks md hjälp v prmrisrin: cos sin cos sin cos sin... sin cos sk äll i inrssn punkr på rndn. Där sk också äll Mn år [ ] ] cos sin Fll : r = och = och = += är inrssn värd Fll : r = - och = - och = + = är inrssn värd.

6 Inrssn värdn är och vrv är mins och är sörs. lrniv lösnin ill dluppi p Sionär punkr skns i nivn dinionsmänd. Funkionns sörs och mins värd inns på rndn. I hörnpunkrn ällr p p p p : Rnd : som hr minimivärd - och mimivärdn i hörnpunkrn Rnd : 7 som hr minivärd 7 och mimivärd i hörnpunkrn. Rnd : som är n vänd unkion i inrvll och nr minimum och mimum i hörnpunkr. Rnd : som nr minimum och mimum i hörnpunkr. Inrssn värdn är och - vrv - är mins och sörs. Funkionn är koninurli och dss värdmänd på n kompk mänd är slu inrvll. Svr: Värdmändn är [-] lrniv lösnin ill uppi : hr i inrvll [] mins värd då = och sörs värd då = hr i inrvll [] mins värd - då = och sörs värd då = llr p hr i kvdrn mins värd p och sörs värd p p Funkionn är koninurli och dss värdmänd på n kompk mänd är slu inrvll. Svr: Värdmändn är [-]

Relevanta dokument

TENTAMEN. HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor ENAMEN HF9 Mmik EN Skrivid : 7: Frdgn jnuri nmn bsår v sidor Hjälpmdl: Udl ormlbld Räkndos j illån nmn bsår v uppgir som ol kn g poäng F är undrkän bg mn md möjligh ill komplring Komplringn kn nds görs