Kaptiel: lup Utall Hädelse aolikhet... Begreppe eperiet örsök hädelse utallsru saolikhet osv Diskreta/Kotiuerliga utallsru aasatta och betigade ( A B hädelser/saolikheter. ( A B ( A B ( B Bayes regel. ( A B Oberoede hädelser. ( B A ( A ( B Deiitio: Två hädelser A och B är oberoede o ( A B ( A ( B ör att två hädelser skall kua vara oberoede så åste A B Kobierade örsök/eperiet. periet örsök Utall Hädelse aolikhet Deiitio: Till varje öjlig hädelse A så associerar vi ett ickeegativt värde (A so kallas saolikhete ör hädelse A. Aio : Aio : Aio 3: ( ( A 0 ( A or all... ( A i A A elativ rekves: aolikhete ka deiieras so relativa rekvese att e hädelse iträar: li ( / ( A A där A är atalet gåger hädelse A iträar på örsök. aasatt och Betigad aolikhet Total saolikhet: Atag att vi har stycket ösesidigt uteslutade hädelser (ägder B vars uio är hela utallsruet B B... Då gäller öljade: B ( A ( A B ( B Kaptiel: tokastiska variabler Deiitio av e stokastisk variabel ördeligsuktio - deiitio och egeskaper Täthetsuktio - deiitio och egeskaper ågra olika ördeligar (ektagleördelig poetialördelig oissoördelig Bioialördelig oralördelige Betigade ördeligar Bayes regel: ( A B ( B A ( A ( B
tokastiska variabler Deiitio: stokastisk variabel ka deiieras so e uktio (reellvärd av eleete i utallsruet till ett eperiet (s. öljade åste gälla ör att e uktio skall vara e stokastisk variabel: uktioe år ite avbilda ett eleet s rå utallsruet till lera olika värde. uktioe ka däreot avbilda lera olika eleet på saa uktiosvärde. Mägde { z} åste otsvara e hädelse i ör alla reella z. aolikhete ör hädelsera {} och {-} åste vara oll: r( 0 r( 0 ördeligsuktio tokastiska variabler Deiitio: ördeligsuktio deiieras so saolikhete ör hädelse { s : ( s } ( { } Iblad kallas de också ör kuulativa ördeligsuktioe. araeter är ett godtyckligt reellt tal ella - och +. Ma ka härleda öljade egeskaper hos e ördeligsuktio: 0 ( 0 ( + ( ( ( o < { < } ( ( tokastiska variabler tokastiska variabler Täthetsuktio ör diskreta variabler koer täthetsuktioe att uttryckas so e sua av diracer: d ( ( eda öljer ågra egeskaper e täthetsuktio har: 0 ( ( ( ( y dy { < } ( oralördelige Täthetsuktioe ör e Gaussisk V ges av: ( ( Φ( ( e σ πσ ördeligsuktioe ör e Gaussisk V ges av: Där paraeter σ bestäer spridige (variase och bestäer var cetru på ördeligsuktioe haar (vätevärdet. e πσ ( ξ σ dξ
tokastiska variabler Betigad ördeligs- och täthetsuktio Deiitio: O vi betraktar saolikhete ör hädelse { } givet att hädelse B har iträat så ka vi deiiera de betigade ördeligsuktioe so: ( B De saasatta hädelse består av alla utall s sådaa att: ({ } B ( B { } B ( s och s B Kapitel 3: Moet Vätevärde Betigade ördeligar Vätevärde Moet varias stadardavvikelse äkeregler ör vätevärde och varias Trasoratio av stokastiska variabler De betigade ördeligsuktio är e oral ördeligsuktio vilket ger att öljade åste gälla: Deiitio: De betigade täthetsuktioe givet hädelse B deiieras so: d ( B ( B Vätevärde (edelvärde Moet och Varias µ [ ] ( [ g( ] g( ( [ B] ( B [ ] ( [( ] ( ( [ ] ( ( [ ] ( σ µ V [ ] + σ Vätevärde och Varias äkeregler: [ a + b ] a b + O och är oberoede så gäller också: [ g( h( ] [ g( ] [ h( ] V [ a + By] a V[ ] + b V[ ]
Trasoratio av e stokastisk variabel Kapitel 4: lerdiesioella stokastiska variabler Lijär trasoratio: Låt b+a. Bestä ördelige ör. ( y ( y ( a + b y ( y y b a y b a a y b a Deiitio av e lerdiesioell V aasatt ördeligsuktio aasatt täthetsuktio aolikhete ör e geerell hädelse Betigade ördeligar Oberoede stokastiska variabler ua av stokastiska variabler Mooto trasoratio: O g( är e ooto uktio (avtagade eller väade så har de stokastiska varibel g( täthetsuktioe: ( dy ( y g ( y aasatt ördeligsuktio Deiiera två hädelser A{ } B{ }. De saasatta ördeligsuktioe ör de tvådiesioella stokastiska variabel ( deiieras utirå de saasatta hädelse A B 0 y ( A B ( y De saasatta ördeligsuktioe har öljade egeskaper: ( 0 ( y 0 0 ( y y ( < y < y y + y y y ( y ( y ( är e strägt ickeavtade uktio i både och y Margialördelig ördeligsuktioera ör de eskilda variablera och kallas ör argialördeligsuktioera: y y ( y ( y ( aasatt täthetsuktio geskaper y ( ξ ψ y ( < y < y ( ξ ψ 0 ( y dy ( y y y ( y ( y dy y dξdψ y dξdψ
aolikhete ör e geerell hädelse (( A ( y A Betigade ördeligar Bayes egel: ( y ( y Oberoede variabler: y ( y ( y ( ( y och är oberoede o och edast o: ( y ( ( y y ( ( y y ( ( y ( y ( ( y ( y ua av stokastiska variabler: Deiiera e stokastisk variabel Z so sua av två adra variabler ( dvs Z+. ördeligsuktioe ör Z ges då av: Z ( z ( Z z ( + z ( z z y dy O och är oberoede så ka a visa att täthetsuktioe ör Z+ ges av: ( z ( ( y ( ( z Z * ( y ( z y dy Kapitel 5: Operatioer på lerdi V Vätevärde Korrelatio - ortogoalitet Kovarias okorrelerade Betydelse av oberoede variabler äkeregler lerdiesioell (ultivariat( ultivariat- oralördelig tokastiska vektorer och kovariasatriser Vätevärde ( g( g y ydy ( y dy ( Korrelatio och Kovarias Deiitio: Korrelatioe ella och ( y ( ydy Deiitio: Kovariase ella och deiieras so ( ( ( ( ( Kov Deiitio: Korrelatioskoeiciete ( ( ρ σ σ σ σ / Okorrelerade variabler: ( ( 0 Oberoede iplicerar okorellerade e ej tvärto Ortogoala variabler: 0 ( (
äkeregler V V ( + V( + V( + Kov( ( V( + V( Kov( Betigade ördeligar ( ( ( ( V( ( + ( V( V ( a + a + a3 3 V( + av( + a3v( 3 + aa Kov( a a Kov( + a a Kov( V a + V Kov Kov Kov Kov Kov 3 3 i i ai V + i i i< j ( V( ( a b abkov( ( a + b c + d ackov( ( a + b cz ackov( Z + bckov( Z i 3 a a i i b j j aib jkov i j i j 3 ( i aia jkov( i j ( j tokastiska vektorer lerdiesioella stokastiska variabler skriver a ota på vektoror. T [( ( ] ( i i OB! Kovariasatrise är alltid syetrisk. Multivariat oralördelig ördelige bestäs etydigt av vätevärdesvektor och kovariasatrise O e oralördelig är okorrelerad så är de också oberoede. Varje argialördelig till e oralördelig är e oralördelig. Varje lijär trasoratio av e oralördelig är e oralördelig. Lijär trasoratio ( ( A + b A b + A A T y ( π e T ( (
Kapitel 6: tokastiska processer Deiitio och tolkigs av e Oädlig diesioell V Deiierar e V i varje tidpukt Diskreta/Kotiuerliga processer Gausprocesser A/MA-processer Moet och Vätevärde Medelvärdesuktio Medeleekt Autokorrelatiosuktio Kovariasuktio Korskorrelatiosuktio korskovarias... tatioaritet svagt/strikt vagt statioär kostat edelvärde ak beror ej på tide. rgodisk processer Tidsedelvärde sebleedelvärde Beteckigar av sabad ella stokastiska processer stokastiska variabler realiserigar och estaka värde. t variabel s variabel t variabel ss i i tt i i s variabel tt i i ss i i Tolkig tokastisk process realiserig deteriistisk uktio tokastisk variabel tt visst värde ullstädig beteckig ( t s ( t s i ( t s j ( t j s i örkort. beteck. ( t ( t i ( t j i ( t j Vätevärde vid tidpukte t. ( t ( ( t ( t ; Kvadradiskta edelvärdet vid tidpukte t (edeleekte ( ( t ( t ( t ; Variase vid tidpukte t. σ [ ] ( t ( t ( t ( ( t ( t Kovariasuktio (kovariaskära: ( t t Kov( ( t ( t Autokorrelatiosuktioe (ak: ( t t ( ( t ( t ( t t + τ ( τ ( τ Autokorrelatiosuktioe (ak: ( t t [ ( t ( ] t svagt statioära processer ( t t + τ ( τ [ ( t ( t + τ ] ( τ ( 0 ( τ ( τ ( 0 [ ( t ] σ + O (t har e periodisk kopoet så har också ak:e e periodisk kopoet ed saa period. ör e ergodisk process uta ågo periodisk kopoet så gäller li τ τ ( O (t är ergodisk har vätevärde oll och ige periodisk kopoet så gäller li τ τ ( 0
Korskorrelatiosuktioe ( t t [ ( t ( ] t vagt saasatt statioära processer t t + τ τ [ t t + τ ( ( ( ( ] ( τ ( τ ( τ ( 0 ( 0 ( τ ( 0 ( 0 + Kapitel 7: pektraltäthet Deiitio och tolkigs av pektraltäthete ör e stokastisk process abadet ella ak och spektraltäthet geskaper hos spektraltäthete Deiitio av vitt brus kostat spektraltäthet Korsspektru Korskovariasuktioe ( t t + τ ( τ ( τ Okorrelerade processer ( τ ( τ 0 Ortogoala processer ( τ 0 Deiitio: pektraltäthete hos e tidskotiuerlig stokastisk process deiieras so: T T j πt ( li ( t e dt T pektraltäthete ager hur edeleekte i processe är ördelad på olika rekveser. ör svagt statioära processer ka spektraltäthete uttryckas ouriertrasore av ak:e j τ ( ( τ e π dτ pektraltäthete har öljade egeskaper: ( ( 0 ( ( 0 ( jπτ ( τ ( e d T är reelloch jä d Diskreta processer Korsspektru: jωk ( Ω [] k e ( Ω ( Ω 0 ( Ω π [ k] ( Ω är reell och jä är periodisk ed periode π π k π dω π ( [] k ( Ω ( ( ( ( τ π π j τ π τ e dτ j τ e π dτ * ( ( ( ( ( 0 o ( O ( t och ( t ( ( δ ( dω t och ( t är ortogoala är okorrelerade så gäller
Kapitel 8: tokastiska processer i lijära syste tokastiska processer i Lijära yste iltrerig av stokastiska processer abad ör ak ella i och utprocess abad ör spektraltäthet ör i och utprocess - uperorel aplig av stokastiska processer ( I (t ( H ( ( h(t (t ( I ( τ ( τ ( τ ( τ t + t ( h t ( h t dtdt H( h( t dt H (0 σ ( ( ( 0 0 d ats: vagt statioär process i ger svagt statioär process ut i lijära syste. ats: Gaussprocess i ger Gaussprocess ut i lijära syste. aplig av tokastiska rocesser aplig av deteriistiska sigaler: aplig av tokastiska rocesser aplig av stokastiska sigaler: c ( t c ( ω vagt stat. proc. ( t T s ( t p eller [] -T 0 T p ( t T t t π T s W W p ( ω W π T s ω ω Vätevärde: ( [ ( ( Ts ] ak: [ k] ( [ ] [ + k] ( ( Ts ( Ts + kts ( kt pektraltäthet: s y[] ( Ω Ω πk jω ( Ω [] e Ts k Ts - 0 π WTs π Ω Motsvarade tidskotiuerliga spektraltäthet: p p πk ( ( ω ωts ω Ts k Ts