LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601 Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi (, p ) P (X = x) = ( x) p x (1 p) x x = 0, 1,..., p p(1 p) Hypergeometriskfördelig Hyp(N,, p) P (X = x) = ( Np )( Nq x x ) ( N ) x = 0, 1,..., p N p(1 p) N 1 Poissofördelig, Po(l) l lx P (X = x) = e x! x = 0, 1,,... l l Normalfördelig, N(m, s) f (x) = 1 (x m) e s < x < m s ps Rektagelfördelig, R(a, b) f (x) = 1 b a a < x b a + b (b a) 1 Expoetialfördelig, Exp( 1 l ) f (x) = l e lx x 0 1/l (1/l) Saolikhetsteori Saolikhetsteoris gruder Additiossatse för två hädelser: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). P(A B) Betigad saolikhet: P(B A) =. P(A) Satse om total saolikhet : P(A) = P(A H k )P(H k ), k=1 där hädelsera H 1,...,H är disjukta och H k = W. k=1 A och B är oberoede P(A B) = P(A)P(B). Edimesioella stokastiska variabler Fördeligsfuktio för X : F(x) = P(X x). Saolikhetsfuktio för e diskret s.v. X : p(k) = P(X = k).
Frekvesfuktioe för e kotiuerlig s.v. X : f (x) = df(x) dx. b f (x) dx om X är kotiuerlig, a P(a < X b) = F(b) F(a) = b p(k) om X är diskret. k=a+1 Kvatile x a defiieras av F(x a ) = 1 a Percetile L p defieras av F(L p ) = Vätevärde och variaser Vätevärdet av X : k p(k) k E(X ) = x f (x) dx Vätevärdet av g(x ): g(k) p(k) k E(g(X )) = g(x) f (x) dx p 100 om X är diskret, om X är kotiuerlig om X är diskret, om X är kotiuerlig Vätevärde är lijära, dvs E(ag(X ) + bh(x )) = ae(g(x )) + be(h(x )). Varias: V (X ) = E[(X E(X )) ] = E(X ) E[(X )]. Stadardavvikelse: D(X ) = V (X ). Variatioskoefficiet: R(X ) = D(X ) E(X ). Mode eller typvärdet maximerar frekvesfuktioe. Vätevärde för lijärkombiatioer av oberoede slumpvariabler: E(a 1 X 1 + a X + + a X ) = a 1 E(X 1 ) + a E(X ) + + a E(X ) V (a 1 X 1 + a X + + a X ) = a 1V (X 1 ) + a V (X ) + + a V (X ) Normalfördelig och cetrala gräsvärdessatse Om X 1,..., X oberoede och N(m 1, s 1 ),..., N(m, s ) och c 1,..., c R, gäller att c i X i N c i m i,. c i s i Cetrala gräsvärdessatse (CGS): Om X 1, X,..., X är oberoede och likafördelade med E(X i ) = m och D(X i ) = s, så gäller då att X 1 +... + X m s () Med utyttjade av CGS gäller följade approximatioer AsN(0, 1). Bi(,p) Po(p) om p 0.1 och 10. Bi(,p) N(p, p(1 p)) om pq 10. Po(l) N(l, l) om l 15.
Additiosformler Om X 1 och X oberoede så gäller: X 1 Bi( 1, p), X Bi(, p) X 1 + X Bi( 1 +, p). X 1 Po(l 1 ), X Po(l ) X 1 + X Po(l 1 + l ). X 1 N(m 1, s 1 ), X N(m, s ) X 1 + X N(m 1 + m, s 1 + s ). X 1 q (f 1 ), X q (f ) X 1 + X q (f 1 + f ) Gauss approximatiosformler E variabel Flera variabler E [ g(x 1 ) ] g(m 1 ) E [ g(x 1, ) ] g(m 1,..., m ) V [ g(x 1 ) ] ( g (m 1 ) ) V [X1 ] V [ g(x 1, ) ] ( ) d g (m 1,..., m ) V [X i ] d X i där X 1,..., X är oberoede s.v. och E [X i ] = m i, i = 1,.... Statistisk teori Puktskattigar vid ormalfördelig och helt okäd fördelig Ett stickprov Låt x 1,..., x vara observatioer av oberoede och likafördelade s.v. med vätevärde m och stadardavvikelse s. Vätevärdesriktiga skattigar av m och s är då m obs = 1 x i = x (s obs ) = 1 Om X i N (m, s) så m N (m, s ) (x i m) då m käd. Om X i N (m, s) så (s ) q () (s obs ) = s = 1 1 Flera stickprov (x i x) = Q 1 Låt x i1,..., x ii vara ober. obs. frå N (m i, s) då i = 1,..., k. Då är då m okäd. Om X i N (m, s) så Q s q ( 1) s (s obs ) = s = Q f = ( 1 1) s 1 + + ( k 1) s k ( 1 1) + + ( k 1) Eftersom X ij N (m i, s) så Q s q (f )
Kofidesitervall Modell: x i oberoede observatioer frå N(m 1, s 1 ), i = 1,,..., 1. y i oberoede observatioer frå N(m, s ), i = 1,,...,. (s 1) =s1 = 1 ( x i 1 ( ) ) xi 1 1 1 (s ) = ( 1 1)s1 + ( 1)s 1 + I m1 = [ x ± l a/ s 1 / ] 1 I m1 = [ x ± t a/ ( 1 1) s 1 / ] 1 [ 1 I m1 m = x y ± l a/ s + 1 ] 1 ] I m1 m = [x y ± t a/ ( 1 + ) s + 11 1 om s 1 = s = s och s okäd om s 1 är käd om s 1 är okäd om s 1 = s = s och s käd om s 1 = s = s och s okäd Modell: x i oberoede observatioer frå N(m i, s 1 ), i = 1,,...,. y i oberoede observatioer frå N(m i + D, s ), i = 1,,...,. z i = y i x i, i = 1,,...,. ] I D = [z ± l a/ s 1 + s / om s 1 och s är käda I D = [ z ± t a/ ( 1) s z / ] om s 1 och s är okäda Kofidesitervall Det allmäa fallet Låt θ vara e parameter, och låt θ vara e vätevärdesriktig puktskattig av θ, såda att θ är (approximativt) ormalfördelad med vätevärde E [(] θ ) = θ och stadardavvikelse D(θ ). Då gäller att I θ = ( θ l a/ D(θ ), θ + l a/ D(θ ) ) om D(θ ) är käd och oberoede av θ, t.ex. D(m ) = s/ med kät s. I θ = ( θ l a/ d(θ ), θ + l a/ d(θ ) ) om D(θ ) beror på θ, t.ex. D(p ) = p(1 p)/. I θ = ( θ t a/ (f ) d(θ ), θ + t a/ (f ) d(θ ) ) om D(θ ) = s c där s är okäd och skattas med s = Q/f, t.ex. D(m 1 m ) = s 1/1 + 1/. Om θ bara är approximativt ormalfördelad ka t a/ (f ) bytas ut mot l a/. Lijär regressio y i oberoede observatioer frå N(m i, s), där m i = a + bx i = a + b(x i x), i = 1,,...,. S xx = (x i x) = xi 1 ( ) xi S yy = ( yi y ) = y i 1 ( ) yi S xy = (x i x) ( y i y ) = x i y i 1 ( ) ( ) xi yi a = y, b ( = S xy /S xx, s ) ( ) 1 = S yy S xy S xx
I a = [ a ± l p/ s/ ] I b = [b ± l p/ s/ ] S xx I a = [ a ± t p/ ( ) s / ] I b = [b ± t p/ ( ) s / ] S xx om s är käd om s är käd om s är okäd om s är okäd Hypotesprövig Modell: x i oberoede observatioer frå N(m, s), i = 1,,...,. Testfuktio: u = x m 0 s/ om s är käd. Test Beslut H 1 : m m 0 Förkasta H 0 på sigifikasivå a om u > l a/. H 1 : m > m 0 Förkasta H 0 på sigifikasivå a om u > l a. H 1 : m < m 0 Förkasta H 0 på sigifikasivå a om u < l a. Testfuktio: t = x m 0 s/ om s är okäd. Test Beslut H 1 : m m 0 Förkasta H 0 på sigifikasivå a om t > t a/ ( 1). H 1 : m > m 0 Förkasta H 0 på sigifikasivå a om t > t a ( 1). H 1 : m < m 0 Förkasta H 0 på sigifikasivå a om t < t a ( 1).