Förläsning 11: Grfr, isomorfi, konnktivitt En orikt nkl grf (V, E) står v hörn, V, oh kntr, E, vilk förinr istinkt nor: ing pilr, ing öglor, int multipl kntr mlln hörn. Två hörn u,v V är grnnr om t finns n knt mlln u oh v. Dss är å änpunktr v. Grn v tt hörn v, g(v), är ntlt kntr som hr v som änpunkt. Hnskkningstormt: För G = (V,E) gällr 2 E = v V g(v) Ty vrj knt irr två gångr till summn v hörngrrn. Exmpl: Om n grf hr fm hörn, kn vrj hörn h gr tr? Gr fyr? För gr tr är summn 3 5 = 15, vs u oh ärför omöjligt. För gr fyr är summn 4 5 = 20, så möjligt om grfn hr 10 kntr. Spill nkl grfr Kompltt grfr, K n : nkl grfr m n hörn oh n knt mlln vrj pr v hörn. För mximum runns i lokl nätvrk (LAN) oh prossorkopplingr i prllll mskinr. K 5 är n nklst ik-plnär grfn, n kn int rits i plnt utn tt kntr skär vrnr. Cyklr, C n är n grf m n hörn i n ykl. LAN konfigurrs iln som ring-nätvrk. Hjul, W n : r tt hörn till C n oh kntr från vrj hörn till ny hörnt. Gr runns i LAN. n-kur, Q n : grf m 2 n hörn rprsntrn itsträngr v läng n. Hr knt mlln två hörn som skiljr i n itposition. Vnligt sätt tt koppl ihop prllll prossorr, t x Intl Hypru 00 01 11 10 011 101 010 000 100 111 110 1
Biprtit grfr Grf G är V kn ls upp i två isjunkt lmängr V 1 oh V 2 så tt vrj knt i G förinr tt hörn i V 1 m tt hörn i V 2. Os: t finns ing kntr mlln hörn i V 1 llr mlln hörn i V 2. En iprtit grf är kompltt om t finns n knt från vrj hörn i V 1 till vrj hörn i V 2. Btkns K m,n, är m = V 1, n = V 2. Exmpl: V 1 = stuntr på DAT501, V 2 = uppgiftr tt lös. Kntr ngr löst uppgiftr. Exmpl: Ett stjärnnätvrk är n iprtit grf K 1,n. Här m n = 4: Exmpl: C k är iprtit för jämn k: lägg hörn m jämn nummr i V 1, hörn m u nummr i V 2. Är följn grf iprtit? Om V 1 så måst,, V 2 (Vrför?) Då kn plrs i V 1 utn konfliktr. Gnom tt rrngr om grfn rhålls K 2,3 : Ny grfr från gml (W,F) är n lgrf v G = (V,E) om W V oh F E. Om G 1 oh G 2 är nkl så är G 1 G 2 = (V 1 V 2,E 1 E 2 ) okså nkl. Exmpl: Konstrur unionn v grfrn G 1 oh G 2 nn. f f g g 2
Grfrprsnttion oh isomorfi Vill kunn vgör om två grfr är intisk, ortstt från numrring v hörn. För tt rprsntr grfr nväns närhtsmtrisr A: A ij = 1 om t finns knt från hörn i till hörn j (vs, i oh j är grnnr), nnrs A ij = 0. Exmpl: Närhtsmtrisr för två grfr G 3 oh G 4 u1 u2 v5 v1 v2 v3 u5 u4 u3 v4 G 3 = 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0, G 4 = Enkl grfr G 1 = (V 1,E 1 ) oh G 2 = (V 2,E 2 ) är isomorf omm 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 t xistrr n ijktion f : V 1 V 2 för ll u oh v i V 1 gällr tt om u oh v är grnnr i G 1 så är f(u) oh f(v) grnnr i G 2 Os: Dtt är svårt tt vgör gnrllt. För tt vis isomorfi måst vi normlt konstrur f. Invrintr som G 1 oh G 2 måst h gmnsmm för tt vr isomorf: smm ntl hörn smm ntl kntr grr v motsvrn hörn måst vr smm om n grf är iprtit måst n nr vr t om n är kompltt måst n nr vr t, t. Exmpl: Avgör om grfrn G 3 oh G 4 ovn är isomorf. hr smm ntl hörn = 5, hr smm ntl kntr = 8 oh hr lik mång hörn v smm gr: tt m gr 2, två m gr 3 oh två m gr 4. försök hitt isomorfin f mh hörngrrn: g(u 3 ) = g(v 2 ) = 2, så f(u 3 ) = v 2 är n möjlightn g(u 1 ) = g(u 5 ) = g(v 1 ) = g(v 4 ) = 3, så ntingn (i) f(u 1 ) = v 1 oh f(u 5 ) = v 4, llr (ii) f(u 1 ) = v 4 oh f(u 5 ) = v 1 Knsk fungrr å möjlightrn. 3
Slutlign, g(u 2 ) = g(u 4 ) = g(v 3 ) = g(v 5 ) = 4, så ntingn (i) f(u 2 ) = v 3 oh f(u 4 ) = v 5, llr (ii) f(u 2 ) = v 5 oh f(u 4 ) = v 3 Pröv först m (i) i å flln: 3 2, 1 1, 5 4, 2 3, 4 5. Avil hörnn i G 3 nligt funktionn för tt rhåll G 4 : v1 v3 Därm är G 3 oh G 4 isomorf. v4 G 4 = Notr tt t är joigt tt koll isomorfi för hn! v5 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 v2 = G 4 I xmplt finns tr möjlig prmuttionr till. V hänr t x om vi försökr öp om hörnn nligt ltrntivn (ii) ovn? Konnktivitt (smmnhng) Finns väg v 0,v 1,...,v n från hörn v 0 till hörn v n om t finns kntr som förinr hörnn i skvnsn, oh som kn följs från v 0 till v n. Vägns läng är n. Cykl innär tt vägn örjr oh slutr i smm hörn. Enkl väg innhållr ingn knt mr än n gång. Dt är oft ointrssnt tt trvrsr n knt frm oh tillk tt gotykligt ntl gångr. Exmpl: i G 3 ovn finns t mång vägr frånu 1 till u 3 : 1. u 1,u 4,u 2,u 3 : nkl väg v läng 3 2. u 1,u 5,u 4,u 1,u 2,u 3 : nkl väg v läng 5 som innhållr ykln u 1,u 5,u 4,u 1 3. u 1,u 2,u 5,u 4,u 3 : nkl väg v läng 4 En nkl grf är smmnhängn om t finns n väg mlln vrj pr v hörn. Smmnhängn komponntr (llr r komponntr) är mximl smmnhängn lgrfr v G. Om mn kn stryk tt hörn (oh ll nslutn kntr) oh prour n grf m flr komponntr, klls hörnt n rtikultionspunkt. Om strykningn v n knt skpr flr komponntr klls kntn n ro. Exmpl: I tt stjärnnätvrk är ntrumnon n rtikultionspunkt. All kntr är ror. Exmpl: I G 1 oh G 2 på sin 2 är vrj knt n ro. I unionn G 1 G 2 finns ingn ro. Hörnt är rtikultionspunkt i ll tr grfrn. 4
Vägr oh isomorfi Isomorf grfr måst h isomorf vägr. Om n grf hr n nkl ykl v läng r, så måst n nr grfn okså h t. Givt närhtsmtrisn M för grfn G så ngr (i,j) i M r ntlt vägr v läng r från hörn i till hörn j. M r är vnlig potns v M, int oolsk proukt. Bvis v tormt följr nn. Först tt Exmpl för G 3 ovn: 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 M = 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1, M2 = 1 1 0 1 0 Bvis m inuktion. Bs: snt för vägr v läng 1, nligt närhtsmtrisn. 3 2 2 2 2 2 4 1 3 2 2 1 2 1 2 2 3 1 4 2 2 2 2 2 3, M3 = Inuktionshypots: Antg M r (i,j) är ntlt vägr v läng r från hörn i till hörn j. Notr tt M oh ll ss potnsr är symmtrisk. Vis tt M r+1 (i,j) är ntlt vägr v läng r + 1 från i till j. 6 9 4 9 7 9 8 7 9 9 4 7 2 7 4 9 9 7 8 9 7 9 4 9 6 Dt gällr tt n M r+1 = M r M oh M r M(i,j) = M r (i,k)m(k,j) k=1 är M r (i,k)m(k,j) är ntlt vägr v läng r + 1 från i till j vi hörnt k. Så totl ntlt vägr v läng r + 1 från i till j rhålls gnom tt r ntlt vägr vi ll möjlig mllnhörn k. 5