Föreläsning 11: Grafer, isomorfi, konnektivitet

Relevanta dokument
v v v v 5 v v v 4 (V,E ) (V,E)

Algoritmer och datastrukturer, föreläsning 11

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Noder (hörn) och bågar (kanter)

Laboration 1a: En Trie-modul

Nordic Light Roulett. Aluminiumpersienn. Nordic Light Roulett Installation - Manövrering - Rengöring. Aluminiumpersienn

F8: Logiska komponenter. Introduktion. Koder. Avkodare. Logiska komponenter

Making room for tomorrow

The Next Generation platform Snabbguide

Mitt barn skulle aldrig klottra!...eller?

Elementær diskret matematikk, MA0301, våren 2011

Tillståndsmaskiner. Moore-automat. Mealy-automat. William Sandqvist

Finaltävling den 20 november 2010

Robin Ekman och Axel Torshage. Hjälpmedel: Miniräknare

1. lösa differentialekvationer (DE) och system av DE med konstanta koefficienter

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic. Definition. Mängden av alla lösningar till en ekvation kallas ekvationens lösningsmängd.

F5: Vektorer (Appendix B) och Vektormodulation (Kap PE 2)

Headset för det Mobila kontoret

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2

SF1625 Envariabelanalys

VATEK Multifix kopplingar för alla rörtyper

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Vill veta kvaliteten hos våra vattenföringsdata?

Datastrukturer och algoritmer

Svar: a) i) Typ: linjär DE med konstanta koefficienter i homogena delen dy men också separabel ( y = 10 4y

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Trädstrukturer. Definitioner och terminologi. Informationsteknologi Tom Smedsaas 21 augusti 2016

Installatörens referenshandbok

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

Företagens synpunkter på skattesystemet, skattefusket och Skatteverkets kontroll

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER

Kontinuerliga fördelningar. b), dvs. b ). Om vi låter a b. 1 av 12

Hittills på kursen: E = hf. Relativitetsteori. vx 2. Lorentztransformationen. Relativistiskt dopplerskift (Rödförskjutning då källa avlägsnar sig)

SF1625 Envariabelanalys

Tentamen Programmeringsteknik II Skrivtid: Skriv läsligt! Använd inte rödpenna! Skriv bara på framsidan av varje papper.

Kontrollskrivning Introduktionskurs i Matematik HF0009 Datum: 25 aug Uppgift 1. (1p) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Räkneövning 1 atomstruktur

LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

24 poäng. betyget Fx. framgår av. av papperet. varje blad.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.

Kaffe 5 kr Bulle 5 kr Kaffe och bulle 8 kr

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

ACO VVS. industribrunn. EG Industribrunn

Generaliserade integraler

T-konsult. Undersökningsrapport. Villagatan 15. Vind svag nordvästlig, luftfuktighet 81%, temp 2,3 grader

Operativsystemets uppgifter. Föreläsning 6 Operativsystem. Skydd, allmänt. Operativsystem, historik

Innehåll. Om gasfjädrar 1. Modeller (1 dan = 1 kgf = 2.25 lbf) Cylinder. Initialkraft dan. diameter mm < 250 < < F INIT < < F INIT

ξ = reaktionsomsättning eller reaktionsmängd, enhet mol.

Induktion LCB 2000/2001

Där a mol av ämnet A reagerar med b mol av B och bildar c mol av C och d mol av D.

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

Sammanfattning av ALA-B 2007

13 Generaliserade dubbelintegraler

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Gör slag i saken! Frank Bach

V Ä G E N T I L L V A T T E N w w w. a v a n t i s y s t e m. s e

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

24 Integraler av masstyp

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.)

StyleView Scanner Shelf

Samling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018

Produktdatablad Januar 2016

Sammanfattning, Dag 9


Tryckkärl (ej eldberörda) Unfired pressure vessels

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

Lödda värmeväxlare, XB

Kan det vara möjligt att med endast

Ulefos Multifi x Rörkopplingar för alla rörtyper

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Dagens ämnen. Repetition: kvadratiska former och andragradskurvor Andragradsytor System av differentialekvationer

14 Spelteori Två-personers nollsummespel och konstantsummespel: sadelpunkt

Tentamen i Databasteknik

14. MINSTAKVADRATMETODEN

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN2 (Analys) Datum: 21 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15. Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Elias Said

Malmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.

Innan du kan använda maskinen ska du läsa den här Snabbguiden så att maskinen ställs in och installeras på rätt sätt.

Integraler och statistik

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

TENTAMEN. HF1903 Matematik 1 TEN2 Skrivtid 13:15 17:15 Fredagen 10 januari 2014 Tentamen består av 3 sidor

LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 2

Kurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning innebär approximation. Kurvanpassning jfr lab

Medborgarnas synpunkter på skattesystemet, skattefusket och Skatteverkets kontroll

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Tentamen 2008_03_10. Tentamen Del 1

Virkessortiment. Tabell 9. Virkesåtgång löpmeter per kvm (exkl. spill) 18 Att välja trä

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

Materiens Struktur. Lösningar

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN

Diskreta stokastiska variabler

Belöningsbaserad inlärning. Reinforcement Learning. Inlärningssituationen Belöningens roll Förenklande antaganden Centrala begrepp

ICKE-HOMOGENA DIFFERENTIALEKVATIONSSYSTEM ( MED KONSTANTA KOEFFICIENTER I HOMOGENA DELEN)

definitioner och begrepp

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten

x = x = x = x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x = = 20 x = 65 x + 36 = 46

Transkript:

Förläsning 11: Grfr, isomorfi, konnktivitt En orikt nkl grf (V, E) står v hörn, V, oh kntr, E, vilk förinr istinkt nor: ing pilr, ing öglor, int multipl kntr mlln hörn. Två hörn u,v V är grnnr om t finns n knt mlln u oh v. Dss är å änpunktr v. Grn v tt hörn v, g(v), är ntlt kntr som hr v som änpunkt. Hnskkningstormt: För G = (V,E) gällr 2 E = v V g(v) Ty vrj knt irr två gångr till summn v hörngrrn. Exmpl: Om n grf hr fm hörn, kn vrj hörn h gr tr? Gr fyr? För gr tr är summn 3 5 = 15, vs u oh ärför omöjligt. För gr fyr är summn 4 5 = 20, så möjligt om grfn hr 10 kntr. Spill nkl grfr Kompltt grfr, K n : nkl grfr m n hörn oh n knt mlln vrj pr v hörn. För mximum runns i lokl nätvrk (LAN) oh prossorkopplingr i prllll mskinr. K 5 är n nklst ik-plnär grfn, n kn int rits i plnt utn tt kntr skär vrnr. Cyklr, C n är n grf m n hörn i n ykl. LAN konfigurrs iln som ring-nätvrk. Hjul, W n : r tt hörn till C n oh kntr från vrj hörn till ny hörnt. Gr runns i LAN. n-kur, Q n : grf m 2 n hörn rprsntrn itsträngr v läng n. Hr knt mlln två hörn som skiljr i n itposition. Vnligt sätt tt koppl ihop prllll prossorr, t x Intl Hypru 00 01 11 10 011 101 010 000 100 111 110 1

Biprtit grfr Grf G är V kn ls upp i två isjunkt lmängr V 1 oh V 2 så tt vrj knt i G förinr tt hörn i V 1 m tt hörn i V 2. Os: t finns ing kntr mlln hörn i V 1 llr mlln hörn i V 2. En iprtit grf är kompltt om t finns n knt från vrj hörn i V 1 till vrj hörn i V 2. Btkns K m,n, är m = V 1, n = V 2. Exmpl: V 1 = stuntr på DAT501, V 2 = uppgiftr tt lös. Kntr ngr löst uppgiftr. Exmpl: Ett stjärnnätvrk är n iprtit grf K 1,n. Här m n = 4: Exmpl: C k är iprtit för jämn k: lägg hörn m jämn nummr i V 1, hörn m u nummr i V 2. Är följn grf iprtit? Om V 1 så måst,, V 2 (Vrför?) Då kn plrs i V 1 utn konfliktr. Gnom tt rrngr om grfn rhålls K 2,3 : Ny grfr från gml (W,F) är n lgrf v G = (V,E) om W V oh F E. Om G 1 oh G 2 är nkl så är G 1 G 2 = (V 1 V 2,E 1 E 2 ) okså nkl. Exmpl: Konstrur unionn v grfrn G 1 oh G 2 nn. f f g g 2

Grfrprsnttion oh isomorfi Vill kunn vgör om två grfr är intisk, ortstt från numrring v hörn. För tt rprsntr grfr nväns närhtsmtrisr A: A ij = 1 om t finns knt från hörn i till hörn j (vs, i oh j är grnnr), nnrs A ij = 0. Exmpl: Närhtsmtrisr för två grfr G 3 oh G 4 u1 u2 v5 v1 v2 v3 u5 u4 u3 v4 G 3 = 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0, G 4 = Enkl grfr G 1 = (V 1,E 1 ) oh G 2 = (V 2,E 2 ) är isomorf omm 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 t xistrr n ijktion f : V 1 V 2 för ll u oh v i V 1 gällr tt om u oh v är grnnr i G 1 så är f(u) oh f(v) grnnr i G 2 Os: Dtt är svårt tt vgör gnrllt. För tt vis isomorfi måst vi normlt konstrur f. Invrintr som G 1 oh G 2 måst h gmnsmm för tt vr isomorf: smm ntl hörn smm ntl kntr grr v motsvrn hörn måst vr smm om n grf är iprtit måst n nr vr t om n är kompltt måst n nr vr t, t. Exmpl: Avgör om grfrn G 3 oh G 4 ovn är isomorf. hr smm ntl hörn = 5, hr smm ntl kntr = 8 oh hr lik mång hörn v smm gr: tt m gr 2, två m gr 3 oh två m gr 4. försök hitt isomorfin f mh hörngrrn: g(u 3 ) = g(v 2 ) = 2, så f(u 3 ) = v 2 är n möjlightn g(u 1 ) = g(u 5 ) = g(v 1 ) = g(v 4 ) = 3, så ntingn (i) f(u 1 ) = v 1 oh f(u 5 ) = v 4, llr (ii) f(u 1 ) = v 4 oh f(u 5 ) = v 1 Knsk fungrr å möjlightrn. 3

Slutlign, g(u 2 ) = g(u 4 ) = g(v 3 ) = g(v 5 ) = 4, så ntingn (i) f(u 2 ) = v 3 oh f(u 4 ) = v 5, llr (ii) f(u 2 ) = v 5 oh f(u 4 ) = v 3 Pröv först m (i) i å flln: 3 2, 1 1, 5 4, 2 3, 4 5. Avil hörnn i G 3 nligt funktionn för tt rhåll G 4 : v1 v3 Därm är G 3 oh G 4 isomorf. v4 G 4 = Notr tt t är joigt tt koll isomorfi för hn! v5 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 v2 = G 4 I xmplt finns tr möjlig prmuttionr till. V hänr t x om vi försökr öp om hörnn nligt ltrntivn (ii) ovn? Konnktivitt (smmnhng) Finns väg v 0,v 1,...,v n från hörn v 0 till hörn v n om t finns kntr som förinr hörnn i skvnsn, oh som kn följs från v 0 till v n. Vägns läng är n. Cykl innär tt vägn örjr oh slutr i smm hörn. Enkl väg innhållr ingn knt mr än n gång. Dt är oft ointrssnt tt trvrsr n knt frm oh tillk tt gotykligt ntl gångr. Exmpl: i G 3 ovn finns t mång vägr frånu 1 till u 3 : 1. u 1,u 4,u 2,u 3 : nkl väg v läng 3 2. u 1,u 5,u 4,u 1,u 2,u 3 : nkl väg v läng 5 som innhållr ykln u 1,u 5,u 4,u 1 3. u 1,u 2,u 5,u 4,u 3 : nkl väg v läng 4 En nkl grf är smmnhängn om t finns n väg mlln vrj pr v hörn. Smmnhängn komponntr (llr r komponntr) är mximl smmnhängn lgrfr v G. Om mn kn stryk tt hörn (oh ll nslutn kntr) oh prour n grf m flr komponntr, klls hörnt n rtikultionspunkt. Om strykningn v n knt skpr flr komponntr klls kntn n ro. Exmpl: I tt stjärnnätvrk är ntrumnon n rtikultionspunkt. All kntr är ror. Exmpl: I G 1 oh G 2 på sin 2 är vrj knt n ro. I unionn G 1 G 2 finns ingn ro. Hörnt är rtikultionspunkt i ll tr grfrn. 4

Vägr oh isomorfi Isomorf grfr måst h isomorf vägr. Om n grf hr n nkl ykl v läng r, så måst n nr grfn okså h t. Givt närhtsmtrisn M för grfn G så ngr (i,j) i M r ntlt vägr v läng r från hörn i till hörn j. M r är vnlig potns v M, int oolsk proukt. Bvis v tormt följr nn. Först tt Exmpl för G 3 ovn: 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 M = 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1, M2 = 1 1 0 1 0 Bvis m inuktion. Bs: snt för vägr v läng 1, nligt närhtsmtrisn. 3 2 2 2 2 2 4 1 3 2 2 1 2 1 2 2 3 1 4 2 2 2 2 2 3, M3 = Inuktionshypots: Antg M r (i,j) är ntlt vägr v läng r från hörn i till hörn j. Notr tt M oh ll ss potnsr är symmtrisk. Vis tt M r+1 (i,j) är ntlt vägr v läng r + 1 från i till j. 6 9 4 9 7 9 8 7 9 9 4 7 2 7 4 9 9 7 8 9 7 9 4 9 6 Dt gällr tt n M r+1 = M r M oh M r M(i,j) = M r (i,k)m(k,j) k=1 är M r (i,k)m(k,j) är ntlt vägr v läng r + 1 från i till j vi hörnt k. Så totl ntlt vägr v läng r + 1 från i till j rhålls gnom tt r ntlt vägr vi ll möjlig mllnhörn k. 5