Drivaans iniion DERIVATANS DEFINITION Dfiniion Lå y f vara n givn funkion som är inirad i punkn a f a f Om gränsvärd israr som rll al sägr vi a funkionn är drivrbar i punkn a Gränsvärd kallas drivaan av funkionn y f i punkn a oc bcknas f Allså: f f f a Ekvivalna iniionr : f a f f a, f f a f Ekvivalna bckningar för f : df d f f D f d d VÄNSTERDERIVATA OCH HÖGERDERIVATA Dfiniion Lå y f vara n givn funkion som är inirad i n punk a Om gränsvärd f a f israr kallas da kallas da gränsvärd för vänsrdrivaa av funkionn y f i punkn a oc bcknas f Allså: f f a f av 9
Drivaans iniion Dfiniion b Lå y f vara n givn funkion som är inirad i n punk a Om gränsvärd f a f israr kallas da gränsvärd för vänsrdrivaa av funkionn y f i punkn oc bcknas f Allså: f f a f a Anmärkning : Funkionn y f är drivrbar i punkn a om oc ndas om ögr- oc vänsrdrivaan i punkn a israr oc ar samma värd Anmärkning : Man användr ofas iniionr a oc b för a bsämma vänsr/ ögr drivaan i ändpunkr sam för drivaor i dlinrvalls ändpunkr för syckviss inirad funkionr Empl : Lå f Använd drivaans iniion iniionn in formlblad oc bräkna f f f f Svar: f Empl : Visa a funkionn f INTE är drivrbar i punkn Vi bräknar av 9
Drivaans iniion f f / ± j rll al Gränsvärd är in rll al mdför a funkionn saknar drivaan i punkn Grafn ill y f För a ärlda användbara drivringsformlr brakar vi n godycklig mn fi punk oc bräknar f md jälp av iniionn f f f Uppgif Använd iniionn in formlblad oc bvisa följand forml Lösning V S B Uppgif Använd iniionn in formlblad oc bvisa följand rsula: b av 9
Drivaans iniion Lösning b Uppgif Använd sandardgränsvärd, oc drivaans iniion för a bvisa formln Lösning V S B Uppgif 4 Använd sandardgränsvärd, dn rigonomriska formln cos v u v u v u oc drivaans iniion för a bvisa formln cos Lösning 4 av 9
Drivaans iniion cos cos cos cos V S B Anmärkning: Vi ar bckna / oc använ s gränsvärd: / Uppgif 5 Använd sandardgränsvärd [ ] ln formln Lösning ln { subsiuion : ln, oc drivaans iniion för a bvisa ln ln ln /, dvs där om } / / [ ] ln{ [ ] / ln } ln / / VÄNSTERDERIVATA OCH HÖGERDERIVATA Uppgif 6 Använd drivaans iniion för a bräkna i punkn i ögr drivaan ii vänsrdrivaan ill funkionn f om om < 5 av 9
Drivaans iniion iii Är funkionn drivrbar i punkn? i Förs kollar vi om gräsvärd f a f israr i punkn a: f f frsom ar vi < oc Allså vänsrdrivaan ill israr i punkn oc ar värd f ii f f frsom ar vi > oc därmd Därmd israr också ögrdrivaan ill i punkn mn ar in samma värd, uan f iii Funkionn y är in drivrbar i punkn frsom ögrdrivaan oc vänsrdrivaan ar in samma värd i dnna punk Vi kan s på ovansånd graf a vänsr oc ögrdrivaan är in lika i punkn Anmärkning; funkionn är drivrbar i alla punkr Uppgif 7 Lå f om om < 6 av 9
Drivaans iniion Är funkionn koninurlig i punkn? b Är funkionn drivrbar i punkn? Lösning f 4 f 4 f 4 Funkionn är koninurlig i punkn frsom b f f f 4 Vänsrdrivaan: f f 4 4 4 4 Högrdrivaan: f f 4 Funkionn är in drivrbar i punkn frsom ögrdrivaan oc vänsrdrivaan in ar samma värd i dnna punk Vi kan s på ovansånd graf a vänsr oc ögrdrivaan in är lika i punkn Anmärkning: Funkionn är drivrbar i alla punkr Uppgif 8 Lå om < f 4 4 om Är funkionn koninurlig i punkn? b Är funkionn drivrbar i punkn? 7 av 9
Drivaans iniion Svar ja b ja f 4, f 4 oc därmd f 4 Uppgif 9 Lå f a om < om Bsäm a om möjlig så a funkionn blir koninurlig i punkn b Är, för da funkionn drivrbar i punkn? f a, f, f Därför f f f, om a Svar Om a blir funkionn koninurlig i punkn b nj vänsrdrivaan, ögrdrivaan Vi ar sä i uppgifr 6 7, oc 9 a n funkion, som är koninurlig i n punk a, bövr in vara drivrbar i samma punk I ndansånd uppgif visar vi a omvän implikaion gällr d v s om n funkion är drivrbar i a så mås dn vara koninurlig i a Uppgif Bvisa följand påsånd: Om n funkion y f är drivrbar i punkn a så mås funkionn vara koninurlig i samma punk Bvis 8 av 9
Drivaans iniion Lå y f vara n funkion som är drivrbar ar drivaan i punkn a oc lå f ' A Enlig iniionn av drivaan är funkionn inirad i a oc dssuom gällr a f f a A * För a bvisa a funkionn är koninurlig i punkn a mås vi bvisa a f a f llr kvivaln f f a ** Vi skrivr om ovansånd uryck, f a f a f f a a f f a a användr * A vad skull bvisas nlig ** 9 av 9