006-08-8 Tentaen i Mekanik 5C1107, baskurs S. OBS: Inga hjälpede föruto rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1. Probletentaen Ett glatt hoogent klot ed assan vilar ot två plana, hårda och glatta ytor enligt figuren. Bestä kontaktkrafternas storlek. (3p) ". En kraft P har en verkningslinje längs sidodiagonalen AB. a) Bestä kraftoentet ed avseende på origo. (p) b) Bestä kraftoentets koponent ed avseende på axeln! so enligt figuren saanfaller ed diagonalen CD. (1p) 3. 4. v 0 M En projektil ed assan har farten v 0 i en rak, horisontell bana när den träffar och fastnar i en vagn ed assan M. Vagnen står still på horisontellt underlag i linje ed projektilens bana före träffen. Beräkna andelen av den ursprungliga saanlagda rörelseenergin so finns kvar efter träffen? (3p) En vagn ed assa M so befinner sig i jäviktsläget enligt figuren ges plötsligt farten v 0 så att den påbörjar en svängningsrörelse. Fjädern so är fäst i vagnen har en känd fjäderkonstant k. Bestä vagnens axiala utslag från jäviktsläget. (3p)
5C1107 Mekanik, baskurs S 006-08-8 Teoritentaen 5 a) Figuren visar en trådrulle so står still på ett strävt lutande plan ed hjälp av en fastspänd tråd. Tråden löper ut horisontellt från cylindern ed radie r. Identifiera och rita ut de krafter so verkar på trådrullen. Ange varje krafts riktning och angreppspunkt så realistiskt so öjligt. (1p) b) Betrakta en kraft so angriper i punkten r A. Bevisa att kraftoentet av kraften ed avseende på en punkt r P inte ändras, o kraften förflyttas från r A längs sin verkningslinje till den nya angreppspunkten r B. (p) 6 a) O en kraftsua F och en oentsua M O för ett givet kraftsyste är vinkelräta ed origo so reduktionspunkt, är de då vinkelräta i någon annan reduktionspunkt? Ja eller nej! (1p) b) Definiera asscentru för ett partikelsyste. (1p) c) Ange uttrycket för accelerationen i ett cylindriskt syste av koordinater och otsvarande riktningar. 7. a) En partikel ed assa, läge r och hastighet v påverkas av kraften F. Några av följande kortfattade definitioner kan innehålla felaktiga ekvationer? Skriv o de felaktiga ekvationerna på ett korrekt sätt. i: Partikelns rörelseängd p = v. r!. ii: Kraftens ipuls I = F dr r 1 iii: Partikelns rörelseängdsoent H O = v! r. iv: Partikelns acceleration a = dv dt. (p) b) Ange uttrycket för potentiella energin till fjäderkraften F =!k ( x! l)e x, där k och l är konstanter och x är en koordinat. 8. a) Antag att en civilingenjör träffar på följande ekvation: x F +! nx = 0 sin!t, där! n, F0, och! är konstanter och t anger tiden. Vilken typ av beteende hos x(t) kan civilingenjören vänta sig. Förklara ed ord, sat ed ateatik. (1p) (1p) b) Vilka är de tre grundstorheterna i ekaniken? (1p) /KET (p)
5C1107 Mekanik, baskurs S 006-08-8 Problelösningar " 1) Ett glatt hoogent klot ed assan vilar ot två plana, hårda och glatta ytor enligt figuren. Bestä kontaktkrafternas storlek. Lösning: Kraftanalys: Det finns ingen friktion vid kontaktytorna enligt uppgift, endast tyngdkraften och noralkrafterna beaktas. Inför de två kontaktpunkterna A och B. Vi bestäer N A > 0 och N B > 0 på följande sätt. Den plana jävikten kräver: (vertikalt) N A cos" # g = 0, (horisontellt) N A sin" # N B = 0, dvs N A = g cos", N B = g tan".
5C1107 Mekanik, baskurs S 006-08-8 En kraft har en verkningslinje längs sidodiagonalen AB. a) Bestä kraftoentet ed avseende på origo. b) Bestä kraftoentets koponent ed avseende på axeln!. Lösning: a) Riktningen på diagonalen AB. ( 0, b, c)! a, b, 0 e A B = ( ) = (!a, 0, c ) a + c a + c. Kraftvektorn blir:!a, 0,c F = ( )P. a + c Det spelar ingen roll för oentet var kraften angriper längs verkningslinjen. Räkna ed angreppet i A. e x e y e z P M O = r! F = a b 0 a + c "a 0 c = ( bc,!ac, ba) M C = ( r! r C ) " F = P a + c. b) Koponenten ap axeln kräver oentvektorn någonstans på axeln e x e y e z P a 0 0!a 0 c a + c ( 0,!ac,0)P =. a + c och en skalärprodukt ed axelriktningen. ( a, 0, c) " 0, b, 0 e! = ( a, "b, c) = a + b + c a + b + c Vi får M! = M C e! = abc P a + b + c a + c. -------------------------------
3 v 0 M 5C1107 Mekanik, baskurs S 006-08-8 Proble: En projektil ed assan har farten v 0 när den träffar och fastnar i en vagn ed assan M. Vagnen befinner sig i vila före träffen. Beräkna andelen av den ursprungliga saanlagda rörelseenergin so finns kvar efter träffen. Lösning: På grund av att kraftpåverkan ellan projektil och block är ösesidig ändras inte totala rörelseängden. före: efter: v 0 + 0 = v + Mv, dvs sluthastigheten blir v = + M v. 0 O vi jäför kinetiska energier före och efter so en kvot, erhålls 1 T e = ( + M)v = T f 1 v 0 ------------------------------- + M
4 5C1107 Mekanik, baskurs S 006-08-8 En vagn ed assa M so befinner sig i jäviktsläget enligt figuren ges plötsligt farten v 0 så att den påbörjar en svängningsrörelse. Fjädern so är fäst i vagnen har en känd fjäderkonstant k. Bestä vagnens axiala utslag från jäviktsläget. Lösning: Bara fjäderkraften F =!kx i rörelseriktningen. Konservativ kraft. Newtons :a lag: M x =!kx Mekaniska energin bevaras. Jäför energier i jäviktsläget och vid axutslaget. 1 Mv 0 = 1 kx ax M dvs axutslaget blir x ax = v 0 k. Alternativ lösning: Svängningsekvationen: x + k M x = 0 Naturliga vinkelfrekvensen för svängningen: k! n = M. Tidsberoendet är x(t) = A cos! n t + B sin! n t, där A =0 enligt begynnelsevläget och B = v 0! n enligt begynnelsehastigheten. Svängningsutslaget x(t) = v 0! n sin! n t har sitt största positiva värde x ax = v 0! n = v 0 M k.
Teoridelen 5C1107 Mekanik, baskurs S 006-08-8 5a) T=trådkraft, N=noralkraft, g=tyngdkraft, och f =friktionskraft. ( ) " F respektive M' P = ( r B! r P ) " F. b) Definitionen av kraftoent ger M P = r A! r P Skillnaden blir M P! M' P = ( r A! r B ) " F. O r A och r B ligger på saa verkningslinje so kraften så är vektorn r A! r B parallell ed kraften F. Kryssprodukten för två parallella vektorer blir nollvektorn. Alltså M P = M' P. 6a) Ja! Val av reduktionspunkt påverkar inte den del av oentet so är parallell ed kraften (so här var 0 i en viss reduktionspunkt). b) r G = N! i r i i=1 N! i i=1, där i är assan för partikeln so befinner sig i r i. c) a = ( r! r " )e r + ( r " + r " )e " + z e z. 7a) i: Partikelns rörelseängd: p = v t!. ii: Kraftens ipuls I = Fdt iii: Partikelns rörelseängdsoent H O = r! v. iv: Partikelns acceleration a = dv dt.. b) Enligt definitionen av potentiell energi: r t 1 V ( r) =! " (!k ( x! l)e x ) dr = k ( x! l) + konst. fix 8a) Ord: Superposition av naturlig fjädersvängning och en respons från en haroniskt tidsberoende yttre kraft, öjlig resonans. F Mateatik: Ekvationen har lösningen x(t) = A cos! n t + B sin! n t + 0! n "! sin!t, ( ) där A och B beror av begynnelsevillkoren. Sista teren är responsen so kan bli stor och kan byta tecken. 8b) Läge, assa och tid.
5C1107 Mekanik, baskurs S 006-08-8 5C1107 Mekanik Bedöningar OBS: Alla ekvationer skall otiveras!! Följande brister i redovisning av uppgifter 1-8 ligger till grund för poängavdrag. En viss tolerans gällande bedöningar M, B och S finns. Helhetsbedöningen av skrivningen kan innebära att ett poängavdrag (gällande M, B och S) drabbar bara ett av flera bristfälliga svarsredovisningar. M : Otydliga otiveringar, otsägelsefulla ekvationer, odefinierade syboler, felaktiga definitioner, issuppfattning. -1p B : Vilseledande, ologiska beteckningar. Koposanter i stället för koponenter etc. -1p S : Ofullständigt svar, ''införda beteckningar'' kvar i svaret, svar innehåller obestäda storheter etc. -1p L : Ologiska ateatiska operationer. -1p K : Bristfällig kraftanalys eller kineatisk analys. -1p D : Diensionsfel i svar eller viktiga ekvationer. -1p
5C1107 Mekanik, baskurs S 006-08-8