Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET
Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck.......................... Ekvationer och räta linjer............... Uppdelning av häfte Varje block innehåller delar som påminner och kompletterar varandra. Varje del i blocket är uppdelat i en -del och en B-del, där -delen är lite mer grundläggande medan B-delen är lite mer utmanande. Längst bak i detta häfte finns även facit för kontroll av uppgifterna. Block 5. Pythagoras sats och radianer............. 5. Trigonometri...................... 7. Trigonometriska uttryck................ 7. Trigonometriska ekvationer och grafer........ 8 Block 9. Faktorisering...................... 9. Kvadratkomplettering................. 9 Block 0. Potenser......................... 0. Logaritmer........................ Logaritm- och exponentialfunktioner......... 5 Facit 5. Block......................... 5. Block......................... 5. Block......................... 5 5. Block......................... 6
Uppgifter Block. Bråkräkning. Skriv på enklaste bråkform 6 9 (b) 8 7 (d) 5 00. Beräkna 5 + B. Beräkna ( 5 9 ) (b) 5 (d) 6 8 + 5 8 5 5 6 5. Placera ut <, > eller = mellan uttrycken 9 8 och 8 7 (b) 98 och 99 9 7 och 5 6. Finn ett bråk mellan uttrycken (b) 7 8 + (d) 5 5. Beräkna 7 (b) 5 5 6 5 6 5 (d) 8 5 55 5 och 8 9 (b) och 6. Uttryck 7. Förenkla uttrycket om det går (b) x +6x x +x 5x 7x +x (d) 0x x +x
B 8. Teckna ett uttryck för omkretsen för respektive figur (b) 9. Förenkla följande uttryck x+ ( x)(+x) (b) y + y t t+ + t t (d) ( K + K)(K K ) 5 x ( x)( x) 0. En cykeltillverkare räknar med att kostnaden för att tillverka c antal cyklar är 50 000+500c kr. v de cyklar som tillverkades skänktes 00 st till välgörenhet och resten går till försäljning. Ställ upp ett uttryck för produktionskostnaden per cykel som går till försäljning. (b) Hur stor blir produktionskostnaden per cykel som går till försäljaren om det tillverkas 500 st cyklar?. Förenkla uttrycket +x x + x+ x x+ x x x. För vilka x är följande uttryck ej definerat (b) x x x x+ 5x x (d) 7x+x x 8. Ekvationer och räta linjer. Lös följande ekvationer 6x + = x + 5 (b) 5x + = x x(x ) = 0 (d) (x + )(x ) = 0. Lös följande ekvationer x x+ = 0 (b) x x = 0 x+ x = (d) x + = 5. Rita den räta linjen beskriven av y = x + (b) y = x + x + y = (d) y =
6. Lös följande ekvationssystem Ledning: I uppgift (b) är a och b heltal { y + x = y + x = 8 { a b = 7 (b) a + b = 7 B 7. Lös följande ekvationssystem Ledning: I uppgift (d) är a och b heltal { x + y = x y = 9 { a + b = (b) b + a = 5 8. Lös följande ekvationer x +x+ x = x+ x (b) x + x = 5x 6 x+ 9 = (d) x = 5x 9. Beskriv med egna ord skillnaden mellan en ekvation och en funktion. 0. Lös ekvationen 5x+ x = x. Finn ekvationen för den räta linjen utifrån följande fakta Linjen passerar punkterna (,0) och (,) (b) Linjen passerar punkterna (-,) och (,-5) Linjen passerar punkterna (-,5) och (,) (d) Linjen passerar punkten (-,) och är parallell med en linje x y + 5 = 0. Finn skärningspunkten mellan linjerna y = x + 5 och y = x + (b) y = 7 och y + x = 0 y = ax + och y = x + a Block. Pythagoras sats och radianer. Bestäm längden x i triangeln (b) 5
. Omvandla till grader 5. Bestäm avståndet mellan punkterna och B π (b) 5π. Omvandla till radianer 70 (b) 5 B. En rätvinklig triangel har sina hörnpunkter i (,-), (,) och (6,-). Ledning: Skissa triangeln. Beräkna längden av hypotenusan (b) Beräkna längden av katetrarna Beräkna arean 6
. Trigonometri 6. För följande vinklar, ange värdet för uttrycken sin(v), cos(v) och tan(v) v = π (b) v = π v = 0 (d) v = 50 7. nge både antalet grader och antalet radianer för vinklarna a, b, c, d och e. 9. Bestäm konstanten k så att cos(v + π) = k cos(v) (b) cos( v) = k cos(v) sin( v) = k sin(v) 0. nge utifrån triangeln ett uttryck för x (b) cos(u) sin(u) (d) sin (u) + cos (u) B 8. Låt (x,y) vara koordinaterna för en punkt med motsvarande vinkel v i det polära systemet. Bestäm värdet för uttrycken cos(v) och tan(v) om sin(v) = (b) sin(v) = sin(v) = och (x,y) ligger i första kvadranten och (x,y) ligger i tredje kvadranten (d) sin(v) = och (x,y) ligger i andra kvadranten. Trigonometriska uttryck. nvänd additionssatserna för cos(u + v) och sin(u + v) och visa att cos(v) = cos (v) sin (v) (b) sin(v) = sin(v)cos(v) 7
B. Skriv i termer av cos(v) och/eller sin(v) cos(v π) (b) cos(v π ) cos(v 7π 6 ) (d) sin( π + v). Beräkna värdet för uttrycket sin(v) med hjälp av trigonometriska ettan samt följande fakta cos(v) = och 0 < v < π (b) cos(v) = 5 6. Visa att sin(v) cos(v) = cos(v) +sin(v) och π < v < π 5. Beräkna π π. nvänd detta samt de trigonometriska additionssatserna för att beräkna cos( π ) (b) cos( π ) sin( 7π ) (d) tan( 5π ) 6. nvänd enhetscirkel för att härleda den trigonometriska additionssatsen för cos(u v) Ledning: Rita ut vinklarna u, v och u-v. Trigonometriska ekvationer och grafer B 7. nge alla x för vilka cos(π + x) = (b) sin(x π ) = 0 cos( 5x ) = (d) cos(5x π ) = 8. Skissa följande funktioner och ange perioden f(v) = cos(v π ) (b) g(x) = sin(x) 9. Låt f(x) = sin(x), g(x) = cos(x) och h(x) = sin(x π ) vara funktioner. Skissa f, g och h noggrant och bestäm utifrån grafen för vilka x sin(x) = cos(x) (b) sin(x) = sin(x π ) cos(x) = sin(x π ) 0. Skissa f(x) = + sin(x + π ) samt ange funktionens period och amplitud.. Förenkla cos(x)cos(x) + sin(x)sin(x) och skissa kurvan. nge alla lösningar till cos(x)cos(x) + sin(x)sin(x) = 0.. nge maxvärdet (dvs max(f(x)) för funktionen f(x) = + cos(x) + ( + tan(x)) sin(x) utan att derivera. 8
Block. Faktorisering. Utveckla (x + )(x ) (b) (x + 5)(x 5) (5 x)(5 + x) (d) (y z)(y + z). Utveckla (x + ) (b) (x ) ( x) (d) (8 + x). Faktorisera x (b) 5 x 9 + 6x + x (d) x + 6x + 6 B. Faktorisera x 8 (b) 50x x 9x (d) 8x 5. Förenkla så långt som möjligt x+6 x +x (b) x 5 x+0 x 6x x (d) z 5 5 z 6. Förenkla så långt som möjligt b a a b a b (b) a b ab a b +a y y y (d) b b b 6. Kvadratkomplettering 7. Kvadratkomplettera uttrycket. Bestäm c så uttrycket blir en jämn kvadrat x + x + c (b) y 0y + c z + 7z + c (d) w 0w + c 8. Skriv om uttrycket som en skillnad mellan två kvadrater x + x (b) x 6x x + x (d) x 0x 9
B 9. Skriv om uttrycket som en skillnad mellan två kvadrater Ledning: nvänd resultatet i föregående uppgift x + x 5 (b) x 6x + 5 x + x + 6 (d) x 0x 0. Faktorisera x + x (b) x 0x + x + 6x + 5 (d) x 0x + 9. Faktorisera a + 6a + (b) 8y + + y r r (d) t 8t 8. Encirkels ekvation har formen (x c ) + (y c ) = r där (c, c ) är cirkelns mittpunkt och r är radien. nge mittpunkt och radie för följande cirklar Block. Potenser. Beräkna (b) ( ) ( ) (d) 8. Beräkna ( + 5) (b) + 5 + 5 (d) ( 5). Skriv på potensfrom med basen 8 (b) (d) 9 x + y x + y = (b) x + y y x + = 0 0
B. Förenkla a a a (b) 5 9 5 8 ( 8 ) ( (d) (a 0 b 5 ) 5 5. Lös ekvationen (5 ) x = 5 (b) ( π ) 5x = 6 x = 7 (d) x 8 = 6 ) 6. Skriv utan rotuttryck i nämnaren (b) + 5 5+. Logaritmer 7. Skriv talet 0000 som en potens med basen 0 (b) Bestäm lg 0000 Skriv talet 0, 0 som en potens med basen 0 (d) Bestäm lg 0, 0 B 8. Lös ekvationen lg x = (b) lg x = lg x = 0 (d) lg x = 9. Förenkla lg + lg 5 (b) lg lg 6 5lg lg (d) ln + ln 5 0. Bestäm log 6 (b) log 6 log (d) log. Lös ekvationen lg x = lg + lg (b) lg (x + 5) = lg lg 6 lg x + lg (x + ) = lg (d) lg x lg ( + x) =. Förenkla uttrycket och svara uttryckt i ln x och ln y ln x ln y (b) ln xy ln x y ln x y + ln y x
. Logaritm- och exponentialfunktioner. Lös ekvationen x = (b) x = 6 x = 6 (d) x =. Lös ekvationen (e x ) (e x ) = 0 (b) e x e x = 0 5. Lös ekvationen 7. Finn ett tal k så att 0 x = e kx (b) 00 x = 0 kx x = kx 8. År 000 uppgår Sveriges BNP per capita till 50 miljoner SEK. ntag att BNP ökar med % per år. Hur hög är Sveriges BNP per capita år 000 + t? (b) Vilket år uppnår Sveriges BNP per capita 00 miljoner SEK? (nvänd den naturliga logaritmen i ditt svar) Hur lång tid tar det för Sveriges BNP per capita att fördubblas? Spelar det någon roll vilket startdatum man använder? log x = (b) ln x = log x = 0, 5 (d) log a x = b B 6. Lös ekvationen lg x = 5 (b) ln x = ln x lg x = + lg (d) lg x = + lg x
5 Facit 5. Block. (b) (d) 9 0. 9 5 (b) 9 (d) 0. (b) (d). (b) (d) 8 5. < (b) > < 6. 6 9 (b) 7. x +x (b) Går ej 5 7x+ (d) 5 x+ 8. 0x (b) πx (+x) ( x)( x)(+x) (b) +y y 9. t t (d) K +K K 0. 50000+500c c 00 Förutsatt att mer än 00 cyklar produceras. Då c=00 ger division med noll. (b) 50 kr. x6 x +x x. x = (b) x = x = och (d) x = och. x = (b) x = 7 x = 0, x = (d) x =, x =. x = (b) Saknar lösningar x = 5 (d) x = 7
5. Kontrollera ditt svar med proppläraren 6. x =, y = (b) a =, b = 7. x =, y = (b) a =, b = 9 8. x = 0 (x= är en falsk lösning!) (b) x = x = (d) x = 0, x = 5, x = 5 9. En ekvation har lösningar, alltså dvs. den gäller bara för vissa variabler. En funktion gäller för alla värden på variabeln inom sin definitionsmängd. 0. x, =, x =. y = x 6 (b) y = x + y = x + (d) y = x +. (, ) (b) ( (, 7) ) a a, a 6 a 5. Block. 06 (b) 7 7. 5 (b) 00. π (b) π. 0 = 0 l.e. (b) 0 = 5 l.e. 0 a.e. 5. 8 l.e. (b) 6 l.e. 6. Svar i ordning sin(v), cos(v) och tan(v),, (b),,,, (d),, 7. 5 = π rad (b) 60 = π rad 0 = π 6 rad (d) 60 = π rad (e) 0 = π 6 rad 8. Svar i ordning cos(v) och tan(v), (b), 0, ej def. (d),
9. (b) 0. x = b a (b) cos(u) = a b sin(u) = x b (d) sin (u) + cos (u) =. Kontrollera ditt svar med proppläraren Ledning: v = v + v. cos(v) (b) sin(v) cos(v) sin(v) (d) cos(v) sin(v). (b) 6. Kontrollera ditt svar med proppläraren Ledning: I VL: förläng med konjugatet. Förenkla uttrycket med trigonometriska ettan 5. 6+ (b) 6+ 6+ (d) 6+ 6 6. Kontrollera ditt svar med proppläraren Ledning: Ställ upp uttryck för cos(u-v) och sin(u-v). nvänd trigonometriska ettan. 7. x = ± π + πn, där n är ett heltal (n Z) (b) x = π 6 + πn, där n är ett heltal (n Z) x = ± π + πn 5, där n är ett heltal (n Z) (d) x = ± 7π 60 + πn 5, där n är ett heltal (n Z) 8. Period = π (b) Period = π 9. x = π + πn, där n är ett heltal (n Z) (b) x = π + πn, där n är ett heltal (n Z) x = π + πn, där n är ett heltal (n Z) 0. mplitud =, P eriod = π. cos(x)cos(x) + sin(x)sin(x) = cos(x) Lösningar till ekvationen är x = π + πn, där n=0,,.... max(f(x)) = Ledning: Skriv om tan(x) samt cos(x) och förenkla 5. Block. x (b) 9x 5 5 x (d) y z. x + x + (b) x 6x + 9 x + x (d) 6 + x + x 5
. (x + )(x ) (b) (5 x)(5 + x) ( + x) (d) (x + ). (x )(x + ) (b) x(5 x)(5 + x) (x )(x + ) (d) (9x )(9x + ) 5. x (b) x 5 x(x+6) (d) z 5 6. b + a (b) a b y (d) b +b 7. c =, (x + ) (b) c = 5, (y 5) c = 9, (y + 7 ) (d) c = 00, (w 0) 8. (x + ) (b) (x ) (x + 7) 7 (d) (x 0) 0 9. (x + ) (b) (x ) (x + 7) ( ) (d) (x 0) ( 0) 0. (x + )(x ) (b) (x )(x 7) (x + )(x + 5) (d) (x 9)(x ). (a + 7)(a + + 7) (b) (y + 5)(y + + 5) (r 5)(r + 5) (d) (t + 9 )(t ). Mittpunkt = (, ), Radie = (b) Mittpunkt = (, ), Radie = 5. Block. 8 (b) 8 9 (d) 6. 6 (b) 8 (d) 5. (b) 5 eller ( ) 5 (d) 0 6
. a (b) 6 (d) a 6 b 5. x = (b) x = 6 5π x = (d) x = 9 6. + (b) 5 6 5 5 7. 0 (b) 0 (d) 8. x = 00 (b) x = 000 x = (d) x = 0 9. lg 0 (b) lg 0 (d) ln 0 0. (b) (d). x = (b) x = x = (d) x = 5. ln x ln y (b) ln y 0. x = (b) x = 6 x = 6 (d) x =. x = ln och x = 0 (b) x = ln 5. x = 8 (b) x = e x = (d) x = a b 6. x = 0 5 (b) x = x = 0 (d) x = 0, 0 7
7. k = ln 0 (b) k = k = log 8. 50, 0 t MSEK (b) År 000 + ln 8 5 ln,0 ln ln,0 år. Nej det spelar ingen roll Bra jobbat! Nu när du har gått igenom matteproppen är du redo för dina studier vid Uppsala Universitet. Lycka till med allt och glöm inte att ha roligt på vägen! :) /Propplärarna 8