11 Egnvärdn och gnvktorr 82 Egnvktor och gnvärd: dfinition 83 Egnvktorr och gnvärdn för projktionr, spglingar och rotationr i 2 och 3 dimnsionr 84 Karaktäristiskt polynom, karaktäristisk kvation och gnvärdn 85 Egnvktorr hörand till olika gnvärdn är linjärt obrond Sålds, om antalt olika gnvärdn dimnsionn, så finns n bas av gnvktorr 86 Diagonalisring 87 Komplxa gnvärdn och komplxa gnvktorr kan man (bhöva) arbta md, ävn om matrisn ndast har rlla lmnt Övningar 111 112 LåtMathmaticaräknautgnvärdnochgnvktorr md Eignsystm[] 113 F (u) λu F 2 (u) F (F (u)) F (λu) λf (u) λ (λu) λ 2 u 88 Symmtriska linjära avbildningar och symmtriska matrisr 89 En rll symmtrisk matris, llr (allmännar) n komplx matris A som uppfyllr A T A har ndast rlla gnvärdn 9 Spktralsatsn: Varj symmtrisk linjär avbildning har n ON-bas av gnvktorr Varjrllsymmtriskmatris kan diagonalisras md n ortogonal matris 91 Hur man md diagonalisring kan skaffa sig formlr för rkursionföljdr / lösa diffrnskvationr 92 Hur man md diagonalisring kan lösa systm av linjära diffrntialkvationr md konstanta kofficintr: ½ u au + bv v cu + dv ½ u au + bv v cu + dv och motsvarand för systm md flr kvationr 16-17, 112-114, 119 Egnvärdn och gnvktorr md Mathmatica! Rotationsmatrisr har ävn komplxa gnvärdn/gnvktorr, så dn gomtriska tolkningn är int lika omdlbar Jag har skrivit ihop n dl s sid27ff, mn dt blv int så transparnt som jag hoppads 23
114 (Nu sr jag att räkningn finns i toribokn, sid155) Utnyttja att dtrminantn är linjär i varj kolonn Btckna kolonnrna i A md A 1,A 2,, A n och kolonnrna i E md E 1,E 2,, E n dt (A λe) dt(a 1 λe 1,A 2 λe 2,, A n λe n ) dt(a 1,A 2,, A n )+ λ dt (E 1,A 2,, A n ) λ dt (A 1,E 2,, A n ) dt (A 1,A 2,, E n ) µ +λ 2 dtrminantr där 2 av kolonnrna är från E µ λ 3 dtrminantr där 3 av kolonnrna är från E +( 1) n 1 λ n 1 n X k1 dt (E 1,, E k 1,A k,e k+1,, E n ) Å andra sidan, om tt polynom av grad n, md ldand koff 1, har nollställna λ 1, λ 2,, λ n, så kan dt faktorisras (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ) ochutvcklingavparntsrnagr λ n (λ 1 + λ 2 + + λ n ) λ n 1 + +( 1) n λ 1 λ 2 λ n Motsvarand kofficintr måst vara lika: λ 1 + λ 2 + + λ n a 11 + a 22 + + a nn λ 1 λ 2 λ n dta 115 Visa först att A och A T altid har samma gnvärdn : dt A T λe dt(a λe) T dt(a λe) Så vi kan lika gärna tänka oss att summan av lmntn ivarj rad är 1 Mn då är (1, 1,, 1) n gnvktor md gnvärdt 1, ftrsom a 1 a 2 a n b 1 b 2 b n c 1 c 2 c n 1 1 1 a 1 + a 2 + + a n b 1 + b 2 + + b n c 1 + c 2 + + c n +( 1) n λ n dt E 116 Obsrvra att Enligt förutsättn finns invrtrbar matris T sådan att dt (E 1,, E k 1,A k,e k+1,, E n )a kk λ 1 Karaktäristiska kvationn är alltså kvivalnt md T 1 λ 2 AT D ( 1) n dt (A λe) λ n (a 11 + a 22 + + a nn ) λ n 1 + +( 1) n dt A λ n där D är diagonal md ick-ngativa tal i diagonaln (gnvärdna till A) Vi har att Sätt så är 117a A TDT 1 λ1 λ2 D ³T DT 1 2 λn T DT 1 T DT 1 ³ T D 2 T 1 TDT 1 A 24
118a Induktionsbvis: H k 2tH k 2kH k (1) är sann för k Antag att dn är sann för k, 1, 2,, n Undrsök, hur dt är md k n +1: (En variant måhända finns smidigar altrnativ?) Dn rkursiva dfinitionn sägr H n+1 2tH n Hn (2) Hn+1 (2tH n Hn) 2H n +2tHn Hn Hn+1 (2H n +2tHn Hn) 2Hn +2Hn +2tHn H n (3) 4Hn +2tHn H n (3) Å andra sidan, drivation av dt antagna sambandt (1) för k n gr så H n (3) 2Hn 2tHn 2nHn 2Hn +2tHn H n (3) 2nHn (3) Hn+1 2tHn+1 4Hn +2tHn H n (3) 2t (2H n +2tHn Hn) [utnyttja (1) och (3)] 2Hn +2tHn H n (3) +2Hn 2t (2H n +2nH n ) 2nHn +2Hn 2(n +1)2tH n [rk df (2)] 2(n +1)Hn 2(n +1)(H n+1 + Hn) 118b Obsrvra att (Fu,v) d 2 u dt 2 2tdu dt d µ du t2 dt dt t2 (u 2tu ) v t2 dt d µ du t2 dt dt t2 µ d du dt dt t2 vdt v t2 dt [partill intgration] µ Z du µ du dv dt t2 v dt t2 dt dt Z du du dv dt t2 v dt dt t2 dt lim (polynom) t ± t2 du dv dt dt t2 dt Låtr vi u och v byta plats i dnna räkning, får vi samma intgral du dv (u, Fv) dt dt t2 dt Alltså har vi n symmtrisk avbildning : (Fu,v)(u, F v) 2(n +1)H n+1 119-1113 Utnyttja Mathmatica till gnvärd-/gnvktorbräkningarna! 25
1117 En projktion F är ortogonal om och ndast om för alla v V gällr: Fv v Fv dvs (Fv,v Fv) Om-dln : Om F är n symmtrisk projktion, så är dn ortogonal, ftrsom (Fv,v Fv) [F symmtrisk] (v, F (v Fv)) v, Fv F 2 v [F projktion] (v, Fv Fv) (v, ) Endast öm -dln: Vi antar att och vill visa att F 2 F (Fv,v Fv) för alla v (4) (Fu,v)(u, F v) för alla u, v Av (4) följr att, för alla u och v (F (u + v), (u + v) F (u + v)) (Fu,u Fu) +(Fv,v Fv)+ +(Fv,u Fu)+ +(Fu,v Fv) (Fv,u Fu)+(Fu,v Fv) Byt ut u mot Fu : Alltså Fv,Fu F 2 u + F 2 u, v Fv (Fv,Fu Fu)+(Fu,v Fv) (Fu,v Fv) Låt u och v byta plats : (Fu,v)(Fu,Fv) (Fv,u) (Fv,Fu) (u, F v) (Fu,Fv) Eftrsom högrldn är lika, så måst ävn vänstrldn vara lika : (Fu,v)(u, F v) 1118 1119 Rkursionssambandt på matrisform : µ ak+1 a k a k+1 ba k + ca k 1 1 Upprpad användning gr Om µ ak+1 kan diagonalisras så är Produktn a k A S 1 AS A SDS 1 µ ak 1 1 a k 1 k µ a1 a µ λ1 D λ 2 k 1, 2, A k SDS 1 SDS 1 SDS 1 SDS 1 SD k S 1 µ λ k S 1 λ k S 1 2 1 k µ a1 a kommr alltså att ha lmnt av typn c 1 λ k 1 + c 2λ k 2 När är då A diagonalisrbar? Karaktäristiska kvationn b λ c 1 λ λ (λ b) c λ 2 bλ c Så om dnna har två olika röttr, så är matrisn säkrt diagonalisrbar 1121-1122 26
Rummt C n Bgrppt skalärprodukt gnralisrads till R n så här (x 1,x 2,, x n ) (y 1,y 2,, y n ) x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n Dt går att gnralisra vidar till C n rummt av alla n-tiplar av komplxa tal, mn då skall man konjugra na vktorns lmnt: (z 1,z 2,, z n ) (w 1,w 2,, w n ) z 1 w 1 + z 2 w 2 + + z n w n Dtta för att bhålla dn grundläggand gnskapn att skalärpoduktn av n vktor md sig själv alltid gr tt ick-ngativt tal, som kan tolkas som (avstånd) 2 : (z 1,z 2,, z n ) (z 1,z 2,, z n ) z 1 z 1 + z 2 z 2 + + z n z n z 1 2 + z 2 2 + + z n 2 md likht då och ndast då z nollvktorn Unitära matrisr Motsvarightn till ortogonala matrisr i dt komplxa fallt, alltså matrisr md komplxa tal som lmnt, vars kolonnr är ortogonala och normrad md avsnd på dn komplxa skalärproduktn ovan, är d sk unitära matrisrna d kvadratiska matrisr som uppfyllr U U I UU dvs U 1 U där nu btcknar transponring och konjugring : µ 2 i 3 2+2i 2+i i 3 4i i 4i 1 2 2i 1 93 Övrtyga dig om att dt allmänt gällr (AB) B A ilikhtmd (AB) T B T A T Analogt modifiras skalärproduktn för funktionr Z b a till f (x) g (x) dx Z b a f (x) g (x)dx om man skull vilja arbta md komplxvärda funktionr som ix Prist man får btala är att skalärproduktn int längr är kommutativ : (u, v) (v, u) Vissa formlr komplicras n aning av dtta, mn i princip är skillnadrna små Dssutom: oftast är dn viktiga frågan, om skalärproduktn är llr int, och då splar dt ingn roll i vilkn ordning man multiplicrar Hrmitska matrisr För n linjär avbildning F : C n C n är villkort (KGA, sid161) (Fu,v)(u, F v) kvivalnt md följand för avbildningsmatrisn A : (Ax) y x (Ay) och på samma sätt som i KGA kommr man fram till att dnna likht gällr för alla x och y omm A A Sådana matrisr kallas Hrmitska 3 och myckt av dt som är sant för rlla symmtriska matrisr förblir sant för Hrmitska Spktralsatsn är gntlign sann för alla Hrmitska matrisr, och man tvingas blanda in komplxa tal på tt llr annat sätt när man skall bvisa dn (som dt visar sig i KGA, sid16), mn i spcialfallt då A har rlla lmnt, så är Hrmitsk symmtrisk och man bhövr int s några komplxa tal i slutrsultatt (När man skrivr symmtrisk, så är dt oftast undrförstått att man inskränkr sig till rlla matrisr) 3 Eftr Charls Hrmit (1822-191), fransk matmatikr 27
Rotationsmatrisr och komplxa gnvärdn/gnvktorr 94 Först tt allmänt rsultat: Som bkant förkommr d komplxa nollställna till tt polynom md rlla kofficintr i komplxkonjugrad par Visa att motsvarand gällr d komplxa gnvktorrna till rlla matrisr : x, y rlla vktorr x + iy komplx gnvktor md komplxa gnvärdt λ σ + iω till avbildningn F md rll matris A x iy är gnvktor md gnvärdt λ σ iω till samma avbildning Lösning: Att F har n rll matris är kvivalnt md att F avbildar rlla vktorr på rlla vktorr Därför F (x iy) F (x) if (y) [F (x) och F (y) är rlla] F (x)+if (y) F (x + iy) (σ + iω)(x + iy) (σ iω)(x iy) 95 Vrifira att n rotationsmatris i 2 dimnsionr µ cos θ sin θ sin θ cos θ har gnvärdn ± md tillhörand gnvktorr (±i, 1) Notra att gnvktorrna är ortogonala, så matrisn kan diagonalisras md n unitär matris 96 Är omvändningn till förgånd rsultat sant måst varj rll 2 2-matris A md gnvärdn av formn ± och ortogonala (i komplx mning) gnvktorr svara mot rotation vinkln θ? Svar: Ja Motivring: Dt räckr att visa att A är ortogonal nl torin, sid148, har vi då antingn rotation llr spgling, mn spgling kan dt int vara frågan om, ftrsom spglingar har gnvärdna 1 och 1 Om vi bildar n unitär matris U md gnvktorrna, normrad, som kolonnr så U 1 AU A U µ µ U 1 A T A [A rll] A A U 1 U µ µ U U A µ µ U U U U [U U E] µ µ E E Ettmradirktaltrnativ: (som dock visad sig svårar än jag trodd kansk finns någon nklar väg som jag int sr?) Vi utgår från µ A U U 1 Här är µ µ 1 cosθ 1 Inför J och därmd cosθ E +sinθ J µ i +sinθ i µ i i A cosθ UEU 1 +sinθuju 1 cosθ E +sinθuju 1 28
Obsrvra nu tr sakr om UJU 1 : i) ii) A rll UJU 1 rll UJU 1 (UJU ) (U ) J U U ( J) U UJU 1 µ UJU 1 iα z z iβ Mn UJU 1 skull vara rll, så µ UJU 1 x x iii) α, β rlla x rllt UJU 1 UJU 1 UJ 2 U 1 U ( E) U 1 E Alltså µ x x µ x x vilkt gr x ±1 µ 1 1 Därmd har vi att µ cos θ sin θ A sin θ cos θ llr µ cos θ sin θ sin θ cos θ µ cos ( θ) sin ( θ) sin ( θ) cos ( θ) Jag kan int avgöra rotationns riktning, mn rotation är dt 97 Hur är dt md rotationsmatrisr i 3 dimnsionr? Vi tänkr oss först tt ortogonalt basbyt så att rotationsaxln sammanfallr md z-axln : cos θ sin θ T 1 AT sin θ cos θ 1 En sådan matris har som gnvärdn 1 samt gnvärdna till µ cos θ sin θ sin θ cos θ dvs gnvärdna måst vara 1,, ª Mn gnvärdna bror int på koordinatsystmt, så dssa är gnvärdna ävn till dn ursprungliga rotationsmatrisn Egnvktorr till T 1 AT är som är ortogonala (,, 1) (i, 1, ) ( i, 1, ) Om T 1 AT u λu så AT u λtu dvs multiplikation av ovanstånd tr vktorr md T gr gnvktorrna till A och d måst vara ortogonala d också, ftrsom ortogonala matrisr bvarar skalärproduktn Omvänt, n rll 3 3-matris md gnvärdn 1,, och ortogonala gnvktorr måst vara (insr man som för 2 2-matrisr) ortogonal, svarar mot n isomtri, och nl KGA, sid15-152, måst bskriva rotation, ftrsom dt andra altrnativt rotation åtföljd av spgling i origo har tt gnvärd 1 29