Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda på hur tillförlitlig dea skattig är ka vi beräka s/ som är de vvr skattige av stadardavvikelse för x. Dea iformatio ka äve utyttjas för kofidesitervall och hypotestest. Eftersom vi vet värdet av µ beräkar vi x me vi kaske också vill veta mella vilka gräser µ ligger med ågo viss saolikhet säg α. Dessa gräser utgör ett kofidesitervall kof.it.. Eftersom gräsera, C och C, beräkas m.h.a. X och S, är C och C stokastiska variabler och itervallet ett stokastiskt itervall. Defiitio E itervallskattig är ett itervall med stokastiska gräser. Kofidesgrade är saolikhete att itervallet iehåller parameter i fråga. Ett kofidesitervall är e observatio av e itervallskattig. På samma sätt som p = P a X b betyder att variabel X hamar iom eller träffar itervallet a, b med saolikhet p, ka ma säga att om C, C är e itervallskattig för µ med kofidesgrad α så iehåller eller träffar det µ med saolikhet α. Kofidesitervall för mediae m vid kotiuerlig fördelig Exempel Låt X vara tide det tar för e elev att skriva e provräkig. Atag att vi har det stokastiska stickprovet X, X,..., X 0, skrivtider för olika elever. Vilke kofidesgrad har itervallet mi i X i, max i X i för mediae m? Hur stor kofidesgrad har itervallet med de äst mista och de tredje största observatioe som gräser? Lösig: Kom ihåg defiitioe av mediae: m är det tal sådat att P X m = P X > m = 0.5. Atag att vi sorterar stickprovet: X, X,..., X 9, X 0. Då är mi i X i max i X i P X m X 0 = P X m, X 0 m { } C = P {X m} {X 0 m} = P {X > m} {X 0 < m} disjukta hädelser! = P X > m + P X 0 < m I II
I = P mi i X i > m = P X > m,..., X 0 > m = P X > m 0.5 P X 0 > m = 0.5 0. 0.5 På samma sätt är äve II = 0.5 0 varmed P X m X 0 = 0.5 0 0.998, dvs X, X 0 är e itervallskattig för m med kofidesgrad 99.8%. Med de äst mista och tredje största observatioe som gräser meas itervallet X, X 8. Detta har kofidesgrad P X m X 8 = P m X 8 P m X = P X m P X 8 m I II där I = P X > m = P högst obs. m = = P 0 obs. m + P obs. m = 0.5 0 0 0.5 0 = 0.5 0. och II = P högst obs. > m = P 0 obs. > m + P obs. > m + P obs. > m = = 0.5 0 + 0 0.5 9 0.5 + 0 0.5 8 0.5 = 56 0.5 0. Därmed är kofidesgrade I II = 0.5 0 56 0.5 0 = 67 0.5 0 = 0.9346 dvs X, X 8 är e itervallskattig med kofidesgrad 93.5%. Kofidesitervall för µ då σ är kät Atag att σ kät. Då är C, C ett α kof.it. egetlige itervallskattig för µ om α = P C µ C. Atag u att C och C ska ligga symmetriskt krig µ, dvs att att P µ < C = P µ > C = α. Eftersom X är det bästa vi ka utgå ifrå då vi ite käer µ, låt C = X a och C = X + a. Då är α = P µ < C = P C µ = P X a µ = P X µ + a X µ = P σ/ µ + a µ σ/ a = Φ σ/ a dvs Φ σ/ varmed a σ/ = λ α/, där λ α/ är ormalfördeliges α -percetil, dvs λ α/ är det x-värde bortom vilket α av α/ area uder täthetsfuktioe ligger, dvs x-värdet sådat att Φx = α λ α/ X + σ λ α/ e itervall- Därmed är a = σ λ α/ och C, C = X σ λ α/, skattig av µ med kofidesgrad α.
t-fördelige = 5 = 3 = Likar väldigt mycket stadard ormalfördelige. Eda parameter till t-fördelige är atalet frihetsgrader. Värde för dess fördeligsfuktio fås frå tabell med rätt frihetsgradstal. t ager t-fördelige med frihetsgrader. t α/ ager α -percetile av t-fördelige med frihetsgradstal. T.ex. får ma med α = 0.05 och = 0 percetile t α/ = t 0.05 9 =.6. χ -fördelige uttalas tji-två-fördelige = 3 = 4 = 5 Äve χ -fördelige har edast e parameter, frihetsgradstalet och percetilvärde för de fås geom att slå i tabell. χ ager χ -fördelige med frihetsgrader. χ α ager α-percetile av χ -fördelige med frihetsgradstal. T.ex. fås med α = 0.05 och = 0 percetilvärdet χ α = χ 0.059 = 3.33. 3
Kofidesitervall för µ då σ är okät Atagadet att σ är kät är aturligtvis i pricip aldrig realistiskt. Dea situatio var med bara som ett trappsteg mot de mer tillämpbara situatioe där såväl µ som σ atas vara okäda och ma vill göra e itervallskattig av vätevärdet µ. X µ S/ Resoemaget blir i pricip detsamma me de stokastiska variabel blir ej ormalfördelad uta t-fördelad eftersom σ i ämare bytts mot skattige S. Därmed blir procedure desamma som förut fast σ byts mot S och ormalpercetile λ α/ byts mot t-percetile t α/ som alltså äve beror på stickprovsstorleke. Summa av kardemumma är att e itervallskattig av µ med kofidesgrad α u är X S S t α/, X + t α/ Kofidesitervall för σ I detta fall atas både µ och givetvis σ vara okäda. E itervallskattig av σ med kofidesgrad α är då 0, S χ α Exempel Vid ett sjukhus förlöses havade kvior. Vid 5 slumpvis valda förlossigar var tidera 5.3 6.5 3.8 4.7 3.9 timmar. Vad blir ett 95% kofidesitervall a för de förvätade förlossigstide om σ är kät =? b för de förvätade förlossigstide om σ är okät? c för variase av förlossigstide? Lösig: a x = 5.3 + 6.5 + 3.8 + 4.7 + 3.9 = 4.84 5 σ λ α/ = 5.96 = 0.876. Därmed blir itervallet 4.84 0.876, 4.84 + 0.876 3.96, 5.7. Observera att uder gräse avrudas edåt och övre gräse avrudas uppåt! b s = 5 5.3 + 6.5 + 3.8 + 4.7 + 3.9 5 4.84 =.38 =.3 s t α/ =.3 5.776 =.38. Därmed blir itervallet 4.84.3, 4.84 +.3 3.45, 6.3. Observera återige avrudigspricipe!! c Itervallet blir 0, s χ = 0, 4.38 = 0, 0.5. α 9.49 4
Exempel Koldioxidhalte är approximativt ormalfördelad med stadardavvikelse 0.. Ma vill bilda ett 98% kofidesitervall för vätevärdet. Hur måga observatioer måste ma ha för att itervallet ska bli 0. brett? Lösig: X Nµ, σ och σ kät varmed kofidesitervallet är x σ λ α/, x + σ λ α/ varmed bredde blir x + σ λ α/ x σ λ α/ = σ λ α/ vilket ska vara = 0.. Om vi ur detta löser ut fås = σλ α/ 0. = 0..363 0 = 3.7... dvs ma måste ha mist 3 observatioer. Observera avrudige uppåt för att kofidesitervallet garaterat ska ha kofidesgrad 98%. 5