MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 juni Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt poäng. För betyget godkänd krävs en erhållen poängsumma om minst poäng. Om den erhållna poängen benämns S, och den vid tentamen TEN erhållna S, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs av villkoren S, S och S + S 4 godkänd g) S + S 5 väl godkänd vg) Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i.. Bestäm till kurvan γ : y = lnx) ekvationen för den tangent τ som är parallell med den räta linjen λ : x = ey ). Skissa även kurvan, tangenten, och den räta linjen.. Lös ekvationen = sin π ) cosx) + cos π ) sinx).. Antag att a, b, c >. Förenkla uttrycket 4 a bc 5 a 5 b 7 c a b 4 c så mycket som möjligt. 4. Förklara vad ekvationen 5 + 8y + x) = x + )x ) beskriver, och skissa grafen. 5. Ange en ekvation för den trigonometriska funktionskurva som är ritad i nedanstående figur. Förklara speciellt hur du resonerar dig fram till de olika delarna i ekvationen.. Funktionen f är definierad genom relationen fx) = g5x 8) där g är en funktion definierad på intervallet [, 7]. Förklara och ange definitionsmängden för funktionen f. ) 7. Lös ekvationen logx + ) = + log. x + 5 8. Åskådliggör i en figur det begränsade område som precis innesluts av de två kurvorna y + x = och x = y +. Beräkna sedan arean av området. 9. Vilka är de exakta värdena på cosx) och cos4x) då cosx) =?
MMA Matematisk grundkurs TEN BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: / Tentamen TEN --4 POÄNGSPANN maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter. τ : x = ey p: Korrekt bestämd x -koordinat x för den punkt P : x, y ) i vilken tangenten τ tangerar kurvan γ p: Korrekt bestämd ekvation för tangenten τ till γ i P p: Korrekta skisser av de tre kurvorna γ, λ, och τ Den som genom grafisk prövning och därmed med en viss grad av osäkerhet i bestämningen) har hittat tangeringspunkten, får ingenting av den första poängen. π π. x = + nπ ) x = + nπ ), där n Z π p: Korrekt omskrivit ekvationen på formen = sin x + ) p: Korrekt inkluderat x = π + n π som lösningar till ekvationen p: Korrekt inkluderat x = π + n π som lösningar till ekvationen Den som till lösningar endast har angivit två representativa π π grundvinklar, t.ex. x = ) x = ), dvs inte tagit med n π, får totalt p av de två poäng som motsvarar specifikationen av lösningsmängden.. 9 9 a bc) = a bc) p: Korrekta tolkningar och utvecklingar enligt 4 5 5 / 4 4 4 5 4 a bc = a bc ) = a b c, 5 7 5 7 / 5 7 a b c = a b c ) = a b c, 4 4 / 4 a b c = a b c) = a b c p: Korrekta ihopsamlingar av exponenterna för respektive 4+ 5 4+ 7 4 5 4+ bas, dvs kommit till uttrycket a b c p: Korrekta sammanräknade exponenter 4. 5 y + = x 4), dvs en med y-axeln parallell och uppåtvänd parabel med vertex i punkten 5, ) 4 Scenario p: Korrekt omskrivning av ekvationen till tolkningsbar form p: Korrekt gjord tolkning att ekvationen beskriver en parabel med vertex i punkten i 5, ) Scenario 4 p: Korrekt tolkning av ekvationen som en för en parabel, samt korrekt bestämning av x-koordinaten för vertex p: Korrekt funnit y-koordinaten för vertex Den tredje poängen i bägge scenarierna p: Korrekt gjord tolkning att ekvationen beskriver en med y-axeln parallell och uppåtvänd parabel, samt korrekt skissat parabeln )
MMA Matematisk grundkurs TEN BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: / Tentamen TEN --4 POÄNGSPANN maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter 5. y = 8cos 5 4 x) p: Korrekt avtolkad grundfunktion p: Korrekt avtolkad amplitud p: Korrekt avtolkad vinkelfrekvens Notera vad gäller grundfunktionen att det med hjälp av kompenserande) faser finns oändligt många funktionsuttryck att välja bland. Exempelvis är sin 5 π 4 x + ) ett fullgott alternativ till cos 45 x ).. D f = [,5] = { x : x 5} p: Korrekt konstaterat att de x som tillhör f :s definitionsmängd måste vara sådana att 5x 8 tillhör g :s definitionsmängd p: Med olikheter korrekt formulerat villkoret för att 5x 8 ska tillhöra g :s definitionsmängd, dvs skrivit ned dubbelolikheten 5x 8 7 p: Korrekt bestämt f :s definitionsmängd på explicit form Den som har angivit rätt definitionsmängd, men som inte har inkluderat någon förklaring, får totalt p. 7. x = 4 p: Korrekt omformulerat ekvationen till att lyda log[ x + ) x + 5)] = x + 5 > p: Korrekt omformulerat ekvationen till att lyda x + ) x + 5) = x + 5 > p: Korrekt angivit ekvationens lösning 8. x x ) ) dx = 4 + dvs A = 4 + ) a.e. p: Korrekt skiss av det inneslutna området och korrekt uppställd integral p: Korrekt bestämt en primitiv till integranden p: Korrekt insättning av gränser och korrekt utförd summering 9. cos x ) = cos 4x ) = 9 p: Korrekt bestämt värdet på cos x ) utifrån omskrivningen cosx ) = cos x) p: Korrekt bestämt av värdet på cos 4x ) utifrån omskrivningen cos4x ) = cos x) )