Avsnitt 6 INDUKTIVA OC DEDUKTIVA RESONEMANG Med induktion menr mn vnligen en mycket vnlig resonemngsmetod: mn gör fler observtioner, upptäcker ett mönster (eller något som mn tror är ett mönster) därefter formulerr mn en generlisering. I mång ordböcker över främmnde ord i svenskn finner mn följnde förklring v ordet inducer: slut från det enskild till det llmänn. Induktion är då ett resonemng då mn inducerr. Induktion förekommer mycket oft i vrdglig smmnhng. Tänk på ll ordspråk, tlesätt bondeprktiker De bygger oftst på mång observtioner långtgående generliseringr som t ex En grön jul gör en vit påsk eller När ktter hundr äter gräs blir det oväder. Mycket oft är dess generliseringr helt korrekt. Men iblnd slår de fel eftersom ingen regel utn undntg. ur är det i mtemtisk smmnhng? Induktionsmetoden nvänds också mycket oft för tt formuler förmodnden (hypoteser). Mn studerr oft olik specilfll försöker med hjälp v dess få en inblick i llmänn företeelser. Dett är gemensmt för mtemtik (ndr) nturvetenskper som t ex fysik, kemi eller biologi. Men en mtemtiker ccepterr ldrig en rgumentering som säger tt något måste gäll rent llmänt därför tt det gäller i ll hittills känd specilfll. Vrje experimentellt resultt, dvs en studie v olik specilfll måste kompletters med ett mtemtiskt godtgbrt resonemng. Sådn resonemng klls vnligen bevis bygger på deduktion. Ordet deduktion förklrs i ordböcker som logisk bevisföring. I dett vsnitt försöker vi förklr vd mn menr med deduktion vis tt induktion kn ge en värdefull ledning till formuleringr v mtemtisk resultt. Märk tt mtemtisk induktion är en v de deduktiv metodern. Innn vi börjr med exempel, låt oss noter tt ndr nturvetenskper oftst bygger sin llmänn teorier deduktivt (dvs med hjälp v logisk bevisföring) från mycket omfttnde observtioner (experiment). Dess teorier verifiers med hjälp v ny experiment eller ndr teorier. Om mn 1
2 INDUKTIVA OC DEDUKTIVA RESONEMANG stöter på motsägelser reviderr mn gällnde teorier. Mn kn säg tt ndr nturvetenskper består v fler lokl delr som visserligen utveckls deduktivt, men ders grunder hr en experimentell krktär. Mtemtiken hr en globl krktär den vilr på mycket tydlig grundförutsättningr (xiom) som utgör mtemtikens grunder. Dess grunder hr också ett experimentellt ursprung de bygger i stor utsträckning på människns erfrenhet med uppräkning v olik föremål med olik geometrisk former. Men mtemtisk observtioner teorier som vi sysslr med ligger från börjn inom mtemtikens område. Därför kn mn försök deducer (dvs motiver bevis) mtemtisk påståenden med utgångspunkt från mtemtikens spelregler. Vår slutstser hots inte v motsägelser om vår utgångspunter inte strider mot vrndr bevisen är korrekt. Men tt lär sig mtemtikens spelregler logisk bevisföring är inte helt lätt. Det är just ett v huvudsyften med mtemtikundervisningen på ll nivåer. Låt oss betrkt någr exempel som visr tt induktion i mtemtisk smmnhng kn både vr värdefull frlig som utgångspunkt till llmänn slutstser. (6.1) Exempel. () Betrkt bråken Vd kn mn säg om storleken v dess tl då? Vi gör ett litet experiment genom tt sätt in någr värden på : ger, ger, ger. Det verkr som tt det lltid gäller tt $ " $ Är dett snt? Troligen. Men vi måste bevis den olikheten därför tt vi inte hr någon grnti tt den gäller för ll nturlig tl. Genom tt multiplicer bägge leden i olikheten ovn med det positiv tlet " får vi tt den är är ekvivlent med: $ dvs % Denn olikhet förenkls till " % " & ) vilket onekligen är snt. Alltså är också den ursprunglig olikheten snn därför tt den är ekvivlent med den snn olikheten. Förklring. Beviset bygger på omskrivningr som hel tiden ger ekvivlent påståenden. Om * betecknr olikheten ) + olikheten är snn. Alltså måste * vr snn. ( så visr vi tt ekvivlensen *-, + är snn. Men +
5 A A = 9 6 5 I (6.1) 3 (b) Betrkt nu tlen /. Vd kn mn säg om storleken v dess två tl? 0 1 ger 2 3, 4 ger "5 46, för 7 4 hr vi 46 8 :9, för 7 ;5 är < >= 5 4=5. Det verkr som om. är mindre än i vrje fll om mn bortser från, dvs för @?. Kn vi lit på vår iktgelser? Test någr ytterligre värden på. Mn får 1: A B C A. Det är fortfrnde A. Mn :: konstterr vidre tt :D, E, %F %G <. Men JI %5 K4 ännu tydligre ; 5L6MK4 : >. Nu kn vi börj tro på motstsen, dvs tt. K1 för ll N?. Och dett påstående är verkligen snt Bevis den olikheten på smm sätt som Övning E i vsnittet om mtemtisk induktion. (c) Ett v de mest berömd misstgen i mtemtiken är Fermts påstående tt tlen O. 4 P Q är primtl då. Mn hr tt R S ;, UT N V A, XW V 3 C9, Y S 4 A 9, Z [ V = A:A :9 ll är primtl. Pierre Fermt påstod på 1600-tlet tt ll tl O. är primtl, men X\ ] 3 ; ^ 15_ =L9 100 år senre visde Leonhrd Euler tt tlet O 9 är delbrt med 641 (vi visde Eulers påstående som övning i vsnittet om restritmetiker). Det intressnt är tt mn inte hr hittt någr ny primtl O. utöver de som Fermt kände (dvs O till O ). All känd Fermttl O. med `K@5 är smmnstt mn kn snrre tro på motstsen till Fermts förmodn. En sådn gissning (dvs en generlisering v de känd experimentell resultten) kn dock vr helt felktig. (d) Pythgors ekvtion cb d hr mång heltlig lösningr som t ex den mest berömd mång ndr: c5 " C > 6 " A C9 = N=5L6 26 >= osv. I själv verket hr denn ekvtion oändligt mång heltlig lösningr. Formlern e &f gbh 4 /eijkd] 2e c där e är reltivt prim heltl med motstt pritet, ger ll sådn lösningr med b jämnt b reltivt prim (se vidre övningr). Denn ekvtion är ett exempel på så kllde diofntisk ekvtioner ekvtioner med heltlig koefficienter som mn försöker lös i heltlen (eller i rtionell tlen). Ett mycket berömt exempel är Fermts ekvtion:.s bl.m 2d%.
4 INDUKTIVA OC DEDUKTIVA RESONEMANG där är ett positivt heltl större än 2. Den frnske mtemtikern Pierre de Fermt studerde den ekvtionen år 1637 trodde under en tid tt hn hde bevist tt i vrje heltlig lösning måste minst ett v tlen nbod vr lik med 0. Dett påstående visdes den 17 september 1994 v den engelske mtemtikern Andre Wiles efter 357 år v söknde efter ett bevis. Då stsen visdes visste mn tt Fermts påstående vr snt för ll qpr5 ::::. Alltså trodde mn på tt Fermts ekvtion sknde heltlig lösningr med bdts, men trots denn tro sökte mn efter ett bevis. Wiles bevis är mycket långt omfttr när 120 sidor bygger på fler tusen sidor v ndr mtemtisk resultt. Men det finns en när besläktd ekvtion b Nd "u som betrktdes v Leonhrd Euler under 1700 tlet. ns gissning vr tt den ekvtionen, precis som Fermts, sknr heltlig lösningr med bd%uvs. I dtoråldern försökte mn kontroller Eulers påstående. Mn fnn då ing lösningr till ekvtionen, vilket stödde Eulers förmodn. Men år 1988 hittde Nom Elkies, då en mycket ung mtemtiker vid rvrd i USA, följnde identitet: >6L9 =:9= N =:6L %55 A := A = 4 = A =L9% vilket visr tt Euler inte hde rätt. Elkies lösning är den minst i lämplig mening. Dett visr ännu en gång tt ett mtemtiskt påstående kn vr flskt (eller snt) trots tt mycket tlr för (eller emot) dess riktighet. (e) Ett nnt exempel kommer från R.K. Guys rtikel The Strong L of Smll Numbers i Americn Mthemticl Monthly 95(1988) innehållnde fler exempel på förhstde slutstser som bygger på mtemtisk experiment. Tlen :: :: ::: :::: ::: :::: är ll primtl, men tlet 333333331 är smmnstt 333333331 är delbrt med 17 (kontroller). Trots vår exempel leder oft mtemtisk experiment (induktion) till korrekt gisningr hr därmed ett mycket stort värde. Efter en experimentserie formulerr mn oft en förmodn (en hypotes) därefter försöker mn bevis dess riktighet. Vi ger ett ntl exempel på olik deduktiv mtemtisk resonemng. Mn kn inte ge någr llmänn recept på hur mn resonerr bevisr mtemtisk snningr. Att lär sig dess tekniker tr vnligen gnsk lång tid kräver mycket övning. Men det viktig är tt förstå behovet v deduktiv motiveringr få en känsl för vd ett bevis innebär. Vi ger någr exmpel på deduktiv resonemng smtidigt försöker vi förklr hur mn resonerr när mn bevisr olik påståenden. (6.2) Exempel. () Vis tt kvdrten v ett udd heltl är udd.
e (6.2) 5 Bevis. Innn vi börjr beviset måste vi tänk en stund vd mn menr med ett udd heltl. Svret är tt det är ett heltl som lämnr resten 1 vid division med 2. Ett sådnt tl måste kunn skrivs som ; +, där + betecknr kvoten. Nu börjr vi beviset. Låt vr ett udd heltl. Dett betyder tt lämnr resten 1 vid division med 2, dvs 4 + ", där + är ett heltl. Vi räknr: + "5 + 5 + " x 2 + + Nu ser vi tt även lämnr resten 1 vid division med 2, därför tt 4 yz t, där y1 ; + - + ( y är kvoten då mn dividerr med 2). Alltså är ett udd heltl. Förklring. Resonemnget ovn är ett exempel på ett mycket vnligt direkt bevis. Mn kn genomför resonemnget på ndr sätt formuler tnkrn nnorlund (möjligen något kortre). Observer tt vi hr vist tt impliktionen är ett udd heltl { är ett udd heltl är snn. (b) Vi skll vis tt tlet inte är rtionellt, dvs kn inte skrivs som ett bråk med heltlig täljre nämnre. e Bevis. Vi ntr motstsen, dvs vi ntr tt m där både är positiv heltl "s. Vi förutsätter tt minst ett v tlen e}n är udd därför tt mn lltid kn förkort bråket om täljren nämnren hr en gemensm fktor 2. Den sist likheten ger 4 % Den innebär tt tlet är jämnt således måste vr jämnt (ty kvdrten v ett udd udd). Vi kn skriv e ; %e~, där ei~ är ett heltl. Insättningen v %et~ i stället för ger är /e ~ " Nu ser vi tt även måste vr jämnt ty är jämnt. Men dett är en klr motsägelse det visr sig tt både e är jämn, medn vi förutstte tt minst ett v dess tl vr udd. Denn motsägelse visr tt ekvtionen inte kn gäll, dvs är inte ett rtionellt tl. Förklring: Vi vill vis tt utsgn är inte ett rtionellt tl är snn. Vi utgår ifrån dess motsts är ett rtionellt tl. Denn utsg medför mycket lätt utsgn ƒ minst ett v tlen e}n är udd. Efter någr omskrivningr kommer vi till dess motsts: ƒ bägge
, 6 INDUKTIVA OC DEDUKTIVA RESONEMANG tlen e}u är jämn. Då konstterr vi tt vår utgångsutsg är snn. måste vr flsk, dvs utsgn Med hjälp v bokstäver kn situtionen beskrivs på följnde sätt: gäller. Då drr vi slutstsen tt vr snn. ƒ 7 ƒ. Alltså måste 2{ ƒ2 0 (ƒ är en flsk utsg därför tt den medför en flsk utsg (6.4) Anmärkning. Resonemnget ovn förekommer i olik vrinter. Mn vill vis. Mn ntr tt motstsen gäller. Efter ett resonemng kommer mn frm till tt implicerr både ƒ ƒ, vilket är orimligt mn får en motsägelse. Då konstterr mn tt ntgndet tt gäller vr felktigt, dvs måste vr snn. Resonemg v den här typen klls oft för motsägelsebevis. De bygger på följnde tutologi: (vis som övning tt den är riktig). 4{ ƒ 7 ƒ ˆ { (c) Vi skll återkomm till exempel () vis tt är ett udd heltl då endst då udd heltl. är ett Förklring. I () hde vi en impliktion, medn vi här hr en ekvivlens. Låt beteckn utsgn är ett udd heltl. I () visde vi tt impliktionen är ett udd heltl ƒ utsgn 2{ ƒ är snn. Nu vill vi vis ekvivlensen ", ƒ. Vi hr tutologin: Xˆ ", ƒ 2{ ƒ ƒ { som visr tt vi nu sknr den ndr impliktionen ƒ {. Bevis. Ekvivlensen som skll viss kn ersätts v två impliktioner: udd { udd udd { udd. Den först impliktionen hr redn vists i () ovn. Det återstår tt vis den ndr. Vi vet tt är udd. Antg tt är ett jämnt heltl. Då är där ~ är ett heltl. Alltså är Š5: ~ impliktionen: jämnt { 4 % ~. Den likheten visr tt är jämnt. Vi hr lltså vist jämnt. Dett innebär tt udd { udd. Det ltinsk nmnet på motsägelsebevis är reductio d bsurdum. Den engelsk termen är proof by contrdiction.
, { { { (6.4) 7 Förklring. Vi visr impliktionen ƒ {. Vi ntr. Då får vi (ƒ, dvs vi visr tt impliktionen ;{ är snn. Vi drr slutstsen tt impliktionen ƒ<{œ (kontroller den). ƒ { (ƒ 2{ är snn. är utnyttjs tutologin: ƒ Eftersom högerledet i ekvivlensen visde sig vr snt, så måste också vänsterledet vr snt. Impliktionen { ƒ klls oft kontrpositionen v ƒ {. Det fktum tt en impliktion dess kontrpositiv form lltid är ekvivlent utnyttjs oft i mtemtisk resonemng. (d) Vilket v tlen är störst? Ž 9 A A ;= Mn kunde beräkn Ž på en miniräknre, men kn mn lit på miniräknre? Vi skll försök lös problemet bevis förhållndet melln Ž (svret är inte självklrt). Låt oss nt tt Ž`p (vårt ntgnde kn vis sig vr flskt då är det tvärtom Ž7K ). Vi gör ett ntl omskrivningr: 9 A p"= { A 9 A hp"= AB{ 9 A p = A =: c 9 A p8 >6 5hp"=L9 { 5 p"=l9 : C = pr55l6 Den sist olikheten är flsk. Alltså måste den först olikheten vr flsk därför tt ll impliktioner är snn. Dett betyder tt Ž-K, dvs ndr tlet är mindre. Förklring: Dett är också ett exempel på ett motsägelsebevis. Vi ntr tt ŽQp (utsgn ). Då får vi tt > = : p<5:5l6 (utsgn ƒ ), vilket ger en motsägelse eftersom C = K 55L6 (utsgn ƒ ). Vi drr slutstsen tt vår utgångsutsg Ž$p är flsk, dvs Ž$K är snn. är i verkligheten ekvi- måste vr Observer dock tt mn kn resoner på ett nnt sätt. All pilr { vlenser,. Den flsk olikheten C = : pš5:5l6 säger tt den ursprunglig Žp flsk. Därför gäller Ž-K. (Mn kunde börj med Ž$K då skulle resonemnget förenkls.)
A 8 INDUKTIVA OC DEDUKTIVA RESONEMANG sig orimlig eftersom gäller likheten 2? Nej, likheten ter 1. Räcker dett (e) Är det snt tt för ll reell tl 8 8, medn till höger hr mn resonemng som bevis? En sådn rgumentering är mycket när ett formellt bevis, men mn kn komm med invändningr tt två uttryck ser nnorlund ut behöver inte innebär tt de inte är lik ändå. T t ex N f N. Dess två uttryck hr olik utseenden, men de är lik för ll : " f f f " S " : Rent formellt undrr vi om följnde utsg är snn: o " : Vi vill vis tt den är flsk, vilket betyder tt " s : Snningen v den sist utsgn följer om vi ger ett end exempel på tt det finns s ". Välj då t ex ;. Då är s " : r @š så tt Dett är vårt bevis. Mn säger oft i liknnde smmnhng tt mn konstruerr ett motexempel. Betrkt ett nnt exempel. Är det snt tt för ll rell tl Ž gäller det tt Žv Žx? Vi vet mycket väl tt så är inte fllet. ur bevisr vi dett? Det räcker tt konstruer ett motexempel: Tg Ž, 3 =. Då hr mn: VL " >=^ L >=^ ;9l Alltså är L s VL, vilket visr tt det åtminstone i dett fll gäller ŽV s Vi återkommer i övningr till ndr exempel på bevis. Låt oss noter tt det mycket sälln finns färdig recept på mtemtisk bevis. Det är en stor utmning iblnd en mycket svår uppgift tt bevis mtemtisk stser. Men det finns en del bevismetoder mycket generell principer. Att h en bevismetod betyder dock inte tt mn kn utomtiser bevisprocessen (dett gäller inte minst mtemtisk induktion). Det finns dock undntgsfll då mtemtisk bevis kn utomtisers. Ett sådnt sällsynt exempel är bevis v tutologier i stslogik (mn hr ju snningstbeller ) bevis v olik identiteter för likheter melln mängder (som kn översätts till uttryck i stslogik se motsvrnde exempel i vsnittet om mtemtikens språk). Žx