Matematsa Isttutoe, KTH VT 996 Aders Björer KINESISKA RESTSATSEN och STRUKTURSATSER I vssa fall a algebrasa uträgar delas upp på flera mdre uträgar som a utföras parallellt och seda sättas samma för att ge svaret. V sall här studera ågra vtga fall av detta.. Kessa Restsatse. Följade resultat lär ha vart ät Ka på 200-talet och specalfall reda 000 år tdgare: Sats. Låt m, m 2,..., m vara postva tal så att SGDm, m j = för alla < j. Då har systemet av ogrueser där alla a Z x a mod m x a 2 mod m 2 x a mod m e lösg, och dea är u modulo m = m m 2... m. Bevs. Låt M = j m j = m m. Av SGDM, m = följer exstes av tal b sådaa att b M Eftersom följer mod m,. Låt x = a b M + a 2 b 2 M 2 + + a b M. 2 { mod mj b j M j 0 mod m, j, x = a b M }{{} + + a b M + + a }{{} b M a }{{} mod m, 0 0 så x löser systemet. Om äve x är e lösg, så x x a a = 0 mod m m x x, för. Me eftersom m är relatvt prma måste då m m 2... m }{{} x x, = m d.v.s. x x mod m. Algortms aspet. Ovaståede bevs ger samtdgt e effetv algortm att pratst lösa system av typ. Arbetet lgger framför allt att bestämma tale b, de multplatva versera tll M modulo m. Detta a göras effetvt med Euldes algortm.
2 Mär att om flera system av typ med ola högerled a = a,..., a sall lösas, så behöver tale b bara bestämmas e gåg. Vtera y = b M a seda lagras dators me och varje dvduellt system har el. 2 lösge x = a y + a 2 y 2 + + a y mod m. Exempel. V löser systemet: x mod 4 x 2 mod 3 x 4 mod 5 V har M = 3 5 = 5, M 2 = 4 5 = 20, M 3 = 4 3 = 2, och vll lösa y = 5 b mod 4 y 2 = 20 b 2 mod 3 y 3 = 2 b 3 mod 5 Tale b, b 2, b 3 a som ämts alltd bestämmas med Euldes algortm, me sådaa här ela fall går det regel sabbare att dret htta lösge geom tral ad error. Geom att söa geom små multpler av 5, 20 resp. 2, httar v följade lösg y = 5 y 2 = 20 y 3 = 36 varav: x = 5 + 2 20 + 4 36 = 89 29 mod 60. Svar: x 29 mod 60. 3 4 Kommetarer:. Tale b, b 2, b 3 och därmed y, y 2, y 3 är te etydgt bestämda. Exempelvs sulle y = 45, y 2 = 40 och y 3 = 24 la gära uat avädas. Om b, b 2, b 3 och b, b 2, b 3 båda löser systemet 4 gäller att b b mod 4, b 2 b 2mod 3 och b 3 b 3 mod 5 2. Mär att lösge tll systemet 3 bara a bestämmas modulo 60 = 4 3 5. V a alltså te uta ytterlgare formato veta om x = 3, x = 29, x = 89, eller ågot av oädlgt måga adra möjlga x-värde är e ågot särslt fall avsedd lösg. 2. Strutursats för Z. V börjar med att defera begreppe somorf och dret produt för rgar. Motsvarade begrepp för grupper dsuteras Bggs 3.5 och 3.6. E avbldg f : R R 2 mella två rgar allas e rgsomorf om f är e bjeto d.v.s., jeto + surjeto fa + b = fa + fb, a, b R, fab = fafb, a, b R.
Rgara R och R 2 är då ur matemats syput helt detsa, och allas somorfa. Övg: Kotrollera att f0 = 0, f =, f a = fa, och om a exsterar för a R, så fa = fa. Låt R, R 2,..., R vara rgar. Det elaste sättet att sätta hop dem tll e större rg är att ta de dreta Cartessa produte som mägder R R 2 R = {a, a 2,..., a a R, } och på de defera addto och multplato oordatvs a,..., a + b,..., b = a + b,..., a + b a,..., a b,..., b = a b,..., a b. Detta gör R R 2 R tll e rg Övg: verfera rgaxome som allas de dreta produte av rgara R. Exempel. R = Z 8 Z 9 Z 5 är e rg med 8 9 5 = 360 elemet. Här är två exempel på algebrasa operatoer R : 4, 6, 3 + 6, 6, 2 = 2, 3, 0 4, 6, 3 6, 6, 2 = 0, 0, Obs! I första oordate räar v modulo 8, adra modulo 9, etc. Sats 2. Atag att = p e p e 2 2... p e. Då är avbldge f : Z Z p e Z p e 2 2 Z p e deferad av [ a ] [ a ] p e, [ a ] p e 2 2,..., [ a ] p e är prmfatorsuppdelge av talet e rgsomorf. Bevs. [ a ] = [ b ] a b mod a b mod e p [ a ] p e = [ b ] p e, f [ a ] [ ] = f b. De framåtrtade mplatoera vsar att avbldge f är väldeferad. De baåtrtade mplatoera vsar att f är jetv. För att vsa att f är e rgsomorf måste v verfera: f är e bjeto: Eftersom f är jetv och de två rgara har samma atal elemet måste f vara e bjeto. Kommetar: Detta resoemag är sabbt me dålgt ur de sypute att det te ger ågo algortm för beräg av de versa futoe f. Me e såda alogrtm har v reda: Kessa restsatse! Mer om detta strax. f respeterar addto: f [ a ] + [ b ] [ ] = f a + b = [ a + b ] p e,..., [ a + b ] p e = [ a ] p e + [ b ] p e,..., [ a ] p e = [ a ] p e,..., [ a ] [ ] p e + b + [ b ] p e p e,..., [ b ] p e = f [ a ] [ ] + f b. f respeterar multplato: Helt aalogt. 3
4 Tllämpad aspet. Om p e är mycet mdre ä så ser berägar rge Z e p sabbare ä Z. Eftersom artmete e dator ser Z för ågot mycet stort tal och ej Z, av det ela sälet att de oädlga mägde Z ej a represeteras e dator, så vsar Sats 2 på e möjlghet att utföra artmete måga små rgar Z e. T.ex. a = p pe p e 2 2... p e > 5 0 42 väljas så att p e < 00 för. Tll exempel, om a b sall beräas modulo så a v aväda följade algortm: [ a ] [ b ] [ c ] f [ a ] p e,..., [ a ] p e f [ b ] p e,..., [ b ] p e f [ c ]p e,..., [ ] c p e med oordatvs multplato vlet ger a b c mod. Beräg av f a se effetvt med dvsosalgortme dvso av a med respetve p e ger som rest te oordate av f [ a ], och beräg av f ser effetvt med essa restalgortme. Om stora mägder addtoer, subtratoer och multplatoer av stora tal sall utföras Z a avsevärda tdsvster göras med dea metod. Alla gåede tal överförs va f tll Z e p... Z e p, där seda alla operatoer görs. Slutlge överförs svaret va f tllbas tll Z. Dea metod är sabb av två säl: a evetuellt utföras par- berägar Z e p är sabbare ä Z 2 berägara de ola små rgara Z e p allellt. Lägg märe tll att för fxt = p e... p e fxa, och beräg av f så är modul p e,, ocså med essa restalgortme a göras ytterst sabbt med förlagrade vter y se ommetare efter Sats. Det bör påpeas att de ssserade metode för artmet Z te är bra om aat ä rgoperatoer går, t.ex. vd dvso och storlesjämförelser mella heltal. För e detaljerad dsusso av dea och adra metoder för så allad sabb artmet, se Kuth 98. Tyvärr är det svårt att exemplfera ovaståede med ågot realstst exempel. Prcpe framgår ädå av följade ågot orealstsa problem. Exempel. Beräa determate 27 8 0 D = 5 9 3 26 25 4 mod 30 Determate beror bara av rgoperatoer multplatoer och addtoer, tä på deftoe så v a utyttja rgsomorf Sats 2 med 30 = 2 3 5 :
5 f [ D ] 0 0 0 2 3 0 30 =,, 0 3 0 0 2 3 0 [ ] =, [ 2 ], [ 3 ]. 2 3 5 Här har determatera beräats med gägse regler frå ljär algebra me modulo 2, 3 resp. 5. Exempelvs: 2 3 0 0 3 0 2 0 0 = 0 3 5 = 2 3 5 där v första steget adderat oloera och 2. 5 = 2 + 3 5 3, 5 Att beräa f [ ], [ 2 ], [ 3 ] 2 3 5 är evvalet med att lösa systemet av ogrueser x mod 2 x 2 mod 3 5 x 3 mod 5 vlet v a göra med essa restalgortme: y = 5 b mod 2 Systemet y 2 = 0 b 2 mod 3 y 3 = 6 b 3 mod 5 har e lösg y = 5, y 2 = 0, y 3 = 6, så x = 5 + 2 0 + 3 6 = 53 23 mod 30 löser systemet 5. Alltså: f [ ], [ 2 ], [ 3 ] [ ] 2 3 5 = 23, vlet ger svaret: D 23 mod 30. 30 Avslutgsvs vll v påpea att sabb artmet av detta slag Sats 2 + Kessa Restsatse är mycet avädbar för exat lösg av stora ljära evatossystem med heltalsoeffceter. Detta fs besrvet Kaptel av Macw 985. 3. Strutursats för ädlga Abelsa grupper. Om v bara betratar de addtva struture så säger Sats 2 att Z = Zp e Z p e som addtva grupper. Därav sluter v att varje ädlg cyls grupp är somorf med e dret produt av cylsa grupper av prmtalspotes-ordg. Detsamma gäller själva veret för varje ädlg Abels grupp, elgt följade strutursats som vart äd seda slutet av 800-talet. Sats 3. Låt G vara e ädlg Abels grupp. Då exsterar e u multmägd prmtalspoteser {p e, p e 2 2,..., p e } så att G = Z p e Z p e 2 2 Z p e. 6
6 Bevset för Sats 3 lgger utaför rame för dea urs. Observera att det här är tllåtet att p = p j och t.o.m. p e = p e j j för j, därför aväder v ordet multmägd stället för mägd. Av 6 följer att G = p e p e 2 2... p e. Av Sats 3 följer därför att ma lätt a age alla täbara somorftyper för Abelsa grupper av ordg det fs e såda typ för varje sätt att srva som produt av prmtalspoteser. Exempel. Varje Abels grupp av ordg 4 är somorf med Z 4 eller med Z 2 Z 2. I detta fall a ordet Abels tas bort, se övg 3.5.2 och 3.6.4 Bggs. 2 Varje Abels grupp av ordg 00 är somorf med e av följade fyra grupper: Z 4 Z 25 Z 2 Z 2 Z 25 Z 4 Z 5 Z 5 Z 2 Z 2 Z 5 Z 5. Vle av dessa är somorf med Z 00? Svar elgt Sats 2: Z 4 Z 25. Avslutade ommetar. Satsera 2 och 3 är exempel på e typ av satser som är mycet vtga matemate. De säger att vssa mer omplcerade struturer på ett oret sätt är uppbyggda av elare struturer som moleyler är uppbyggda av atomer. För att förstå de omplcerade struturera a ma då rta sg på att dels förstå de elare struturera för dessa a det rävas e lassfato och dels på hur dessa ela struturer sätts samma tll de omplcerade struturera besrvet av e strutursats. Sats 3 säger exempelvs att de ela Abelsa gruppera är de cylsa gruppera av prmtalspotesordg. Adra väläda exempel är:. Artmetes Fudametalsats säger att varje postvt heltal på ett ut sätt a srvas som produt av prmtal. Dea väläda strutursats säger specellt att de ela heltale är prmtale. 2. Algebras Fudametalsats säger att varje omplext most polyom pz på ett ut sätt a srvas som produt av mosa förstagradspolyom pz = z a... z a, a C. 3. Betrata mägde av alla reella futoer f : R R med perod 2π d.v.s. fx + 2π = fx, x R. Om e såda futo är tllräclgt välartad exempelvs om dess dervata exsterar och är otuerlg överallt så gäller elgt e sats av Drchlet-Fourer fx = a 0 + a cos x + b s x, = för alla x R. Detta a uppfattas som e strutursats som säger att omplcerade perodsa futoer f t.ex. vbratoer alltd är uppbyggda av ela harmosa sväggar cos x och s x geom överlagrg. Om u de Abelsa grupperas strutur är äd, åtmstoe det ädlga fallet, så är det aturlgt att fråga om ågot motsvarade resultat fs det ce-ommutatva fallet. Svaret är stort sett egatvt, ga allmäa strutursatser fs. Me två fall är stuatoe ädå mycet postv.
. För vssa vtga lasser av geometrsa trasformatosgrupper Legrupper, Coxeter-grupper fs detaljerade strutursatser och lassfato av de ela gruppera om lassera. Studet av sådaa grupper har vart e mycet vtg gre av 900-tals-matemate. 2. I börja av 980-talet fullbordades e lassfato av alla ädlga ela grupper, som sysselsatt måga matemater årtode. E fullstädg utsrft av alla delar av dea lassfato med bevs sägs räva 0.000-20.000 sdor. Begreppet eel har här e ågot svagare ebörd ä Sats 3, och godtyclga ädlga grupper är sammasatta av dessa ela grupper på ett mer omplcerat sätt te som dret produt. 7 Refereser D.E. Kuth: The art of computer programmg, Vol. 2 Semumercal algorthms, Addso-Wesley, 969, 98. G. Macw: Applcatos of abstract algebra, Wley & Sos, New Yor, 985. Övgar:. Bestäm alla tal x sådaa att 300 x 600 och x mod 5 x 3 mod 6 x 5 mod 7 2. Bestäm alla tal x sådaa att 0 x 2000 och x mod 7 x 6 mod x 5 mod 3 3. Låt f : Z 60 Z 3 Z 4 Z 5 vara avbldge Sats 2. a Bestäm f och f0. b Bestäm f, 0, 0, f 0,, 0, f 0, 0,. c Aväd de metod för sabb artmet som ssserades att med hjälp av f och f beräa 2 + 4 + 9 + 7 Z 60. 4. Hur måga somorftyper av Abelsa grupper av ordg 24 fs det? Ge ett exempel av varje typ. 5. De multplatva gruppe Z 2 av vertbla elemet Z 2 är Abels. Bestäm de produt av cylsa grupper som Sats 3 med vle de är somorf. 6. Vsa att varje Abels grupp av ordg 30 är cyls.
8 Svar:. 4 2. 52 och 53 3. a,,,, 2, 0 b 40, 45, 36. 4. 3 somorftyper: Z 8 Z 3, Z 4 Z 2 Z 3, Z 2 Z 2 Z 2 Z 3. 5. Z 2 = {[], [5], [7], []} och alla elemet har ordg 2, så Z 2 = Z 2 Z 2. 6. 30 = 2 3 5 så elgt Sats 3 exsterar bara e somorflass, ämlge för de cylsa gruppe Z 30 = Z2 Z 3 Z 5.