MÄLARDALENS HÖGSKOLA Inuonen för elekronk Daorövnng -3, Syem- och reglereknk: Laplaceranform och enkla regleryem De föra uppgferna yfar ll ränng Laplace-räknng. Lö varje uppgf nedan för hand. Fråga aenen om hjälp om du behöver. Använd därefer MAPLE om fac och korrgera evenuella fel! Uppgf. När man använder Laplaceranformen måe man regel göra paralbråkuppdelnng. Börja därför med a för hand paralbråkuppdela urycken 8 5 4 a) 3 3 b) 3 0 3 c) 3 Använd därefer MAPLE om fac! Du maar.ex. n funkonen > Y:=/(*(+)); Y om MAPLE gör paralbråkuppdelnng genom a du krver > conver(y,parfrac,);. Inverranformera urycken a), b) och c) för hand! Kolla mo MAPLE, där nver Laplaceranform beräkna genom a man krver > wh(nran): (behöver bara krva en gång!) > y:=nvlaplace(y,,);
.3 Ska funkonerna för hand! Vkga är var de börjar och luar. Beäm allå y0 och y. Verfera a luvärdeaen ger amma reula ( de fall y exerar). Vlka är abla, d.v.. går mo e ändlg värde då växer? Jämför med MAPLE använd > plo(y,=0..lu); där lu välj ll e lämplg värde. Uppgf. Lö för hand följande dfferenalekvaoner och verfera lönngen med MAPLE. MAPLE gör Laplaceranformerng enlg > y:=n(); (.ex.) > Y:=laplace(y,,); y a) 4y b) y 3y y 5y 6y c) e d) y 3 y y u u, u( ) (enheege). Ska funkonerna och verfera med MAPLE! Uppgf 3 3. Nu egrar v vårghegraden! Lö för hand dfferenalekvaonerna nedan och verfera med MAPLE: a) y 3y n 3 b) y y c) y y 9 cod 0
Uppgf 4 V ka nu bekana o med SIMULINK, om är e konbaera verkyg under MATLAB för mulerng av dynamka yem. I flen y.mdl på kurhemdan fnn en modell för yeme (a hem den ll dn hemkaalog m h a muen högerknapp och Spara mål om ) y y u e föra ordnngen yem, om v känner gen.ex. om modellen för en vaenank där u är ngnalen (nflöde) och y nvån anken. 4. Beäm egvare (u ) analyk och ka de! Verfera genom a köra mulerngen. 4. V ka nu göra föra anaen ll reglerng av yeme. Ta bor ngnalen och lägg en åerkopplngen med en jämförare följd av en förärknng, å a K r y u p (Blocken fråga fnn under Mah, aenen var!) Du har nu gjor en åerkopplng och få e lue yem. Här är r börvärde, om v låer vara lka med. V får då en P-regulaor. Smulera regleryeme för några olka värden på K,.ex.,,. Hur er luna yeme egvar u? Når ärvärde ( y de aka reglerfele lka med noll? p K p ) upp ll börvärde aonär llånd, d.v.. blr Slue yem = proceen ugnal åerkoppla ll en regulaor där den jämför med ärvärde. Regulaorn ugnal är proceen ngnal, om ockå kalla yrgnal. 4.3 Kompleera yeme å a en PI-regulaor erhåll. Då blr allå u K r y K r y p d Sä K p K och kör e egvar. Hur blr reulae? Blr aka reglerfele noll nu? Anmärknng: De fnn en färdg PID-regulaor. Den använder v dock ne än, eferom v ka räna o a bygga yem SIMULINK! 4.4 Juera K och K genom ral-and-error å a egvare blr nygg (dv. ne för "längg") p och konvergerar på ungefär ekund. 3
OBS: Aneckna de parameervärden du får. Spara även dn fl med PI-regulaor och proce. (Dea kommer v a använda enare uppgf!) Sammanfanng (Uppgf -4) Efer dea uppgfer bör du ha erhåll bra ränng Dfferenalekvaonlönng med Laplaceranform. Användande av MAPLE, pecell räknng med Laplaceranform. Grunderna SIMULINK. Enkel nällnng av PI-regulaor. Några nyckelord om du ka kunna förklara: Lnjär, dnvaran yem Ingnal, ugnal Dfferenalekvaon, ordnngal Laplaceranform, lönng Åerkopplng, lue yem Börvärde, ärvärde, yrgnal PI-regulaor Segvar Sak reglerfel 4
Överförngfunkon, mpul- och egvar Följande uppgfer yfar ll vdare ränng räknng med Laplaceranformen, nu ydlg lllämpad på dynamka yem. Lö varje uppgf nedan för hand am verfera med MAPLE och MATLAB! Du övar ockå på a genom ral-and-error älla n paramerarna en PIDregulaor. Uppgf 5 5. Beäm analyk (för hand) mpul- och egvaren för de yem om bekrv av nedanående överförngfunkoner. Då du är klar med amlga, verfera med MAPLE (e uppgf.x). a) 5 d) b) e) 6 4 3 c) f) 3 8 5 5. Beäm överförngfunkonerna poler och nollällen. Ugående därfrån, ka grova drag mpul- och egvaren. Verfera därefer reula med MATLAB, där mpul- och egvar beräkna med funkonerna f, mpule och ep. Skrv help f, help mpule rep. help ep å er du hur de fungerar! Svara därefer på frågorna: Vlka yem är aympok abla? (Varför blr de de och hur er man de?) Vlka yem är vllkorlg abla? (Hur er man de mpul- och egvaren?) Vlka av de vllkorlg abla yemen ger e rampforma egvar? (Varför blr de å?) Vlka av egvaren har luvärde noll? (Varför blr de noll?) I MATLAB fnn verkyge lvew, använd gärna dea. 5
Uppgf 6 6. I fguren va pol-nollälledagram för re andra ordnngen yem. I amlga fall gäller a G0. a) b) - - - - -0.5 c) - - Beäm överförngfunkonerna am beäm analyk (för hand) egvaren. Ska dem ockå, am verfera med MAPLE och MATLAB a du gjor rä. Bekrv hur nollälle placerng nverkar på reulae. Vad kalla e yem där nollälle lgger om c)? Uppgf 7 V foräer med a reglera e andra ordnngen yem. Sara SIMULINK och ladda n flen med PI-regulaor och proce från uppgf 4.4. 7. By u proceen mo yeme G (dubbelklcka på yeme å er du hur). Kompleera därefer regulaorn å a du får en PID-regulaor (där e r y ). u K e K e d p K d de d (Derverngblock fnn under Connuou.) 7. E bra regleryem (lue yem) ka vara abl (nga krafga ocllaoner eller värre), noggran (nge ak reglerfel) och nabb (kor gd). 6
Redan de föra uppgferna alade v om ak reglerfel. Om aka reglerfele ne är noll är allå noggrannheen dålg. Dock ka de ne heller a för lång d a nå upp ll luvärde (nabbhe) och de ka ke nygg (able). "Lek" med regulaorparamerarna K, K och K! Sräva mo a de re egenkaperna ovan p uppnå. ("Snabb" kan få vara en gd på 0.5 - ). Expermenera å mycke a du kan vara på följande frågor: d Kan du ha någo parameerval om ger e nabl lue yem? Vlken del regulaorn (P, I eller D) nverkar pecell negav på ableen? Bekrv hur egvare ändrar g om öka le/mycke. Vlken/vlka egenkap(er) K p (able, noggrannhe, nabbhe) yr av P-delen? Bekrv hur egvare ändrar g om K mnka rep. öka. Vlken/vlka egenkap(er) påverka av I-delen? Gör amma ak för K d! 7.3 Sammanfaa reulae från 7. en kor rappor (max dor). Sammanfanng (Uppgf 5-7) Efer dea uppgfer bör du ha bäre föråele för Sambanden överförngfunkon-poler/nollällen-mpulvar/egvar. Sambanden mellan PID-regulaorn re delar (paramerar) och ueende av luna yeme egvar. Några nyckelord om du ka kunna förklara och redogöra för: Överförngfunkon Impulvar Segvar Aympok able Vllkorlg able Sable, noggrannhe, nabbhe P-verkan, I-verkan, D-verkan 7
Blockchemaräknng, frekvenanaly Syfe här är a räna räknng med blockcheman och frekvenfunkoner, am ableanaly av åerkopplade yem. Uppgf 8 8. Prncpen för e åerkoppla yem llurera fguren nedan. r + F u G y G k H De är enkel a härleda urycke för de luna yeme G c från r ll y. Gör de! 8. Mnneregeln för beräknng av e åerkoppla yem överförngfunkon är följande. Seg : Beäm kreöverförngen, om är oala överförngfunkonen run loopen (uan a lua den), vlke va med den reckade kurvan fguren ovan. V har G k F G H Seg : Beäm den dreka överförngfunkonen G 0 från ngnal ll ugnal (uan a lua loopen). Om v låer r vara ngnal och y ugnal enlg fguren ovan få G 0 F G Seg 3: Sluna yeme överförngfunkon ge därefer av G c G0 G k Verfera a du med denna regel får amma uryck om 8.. 8
8.3 Vad blr överförngfunkonen från från r ll u? 8.4 Beraka de åerkopplade yeme fguren nedan. l r F r + e F + G l + G w + + y H Beäm överförngfunkonerna från a) r ll y b) l ll y c) l ll e d) w ll y. Redova reulaen för aenen, om konrollerar a de är korreka! Uppgf 9 9. Beäm uryck för belopp- och fafunkonerna j överförngfunkoner: G och arg Gj för nedanående a) b) e c) 0 Kolla mo MAPLE! Skrv n funkonerna enlg följande exempel: e > G:=exp(-)/(*++); > Gw:=ub(=I*w,G); > Gab:=evalc(ab(Gw)); > Garg:=evalc(argumen(Gw)); 9
Av nree: Funkonen evalc nruerar MAPLE a behandla alla varabler om reella, uom där de år I. MAPLE arcan-funkon är le pecell. Skrv?arcan å får du en förklarng. Ger MAPLE enkla möjlga uryck fall b)? Vad kalla e yem av ypen b)? 9. Beäm med MATLAB amplud- och fakurvorna för funkonerna a) och c) 9.. Använd > w=0:0.:0 om ger en frekvenaxel med 0 punker för > [bel,w]=freq(b,a,w); > mag=ab(bel); > fa=angle(bel); 0 0, am där a och b är nämnar- och äljarpolynom överförngfunkonen. (Använd help freq.) Reulae ploa upp med > ubplo() (ger vå föner på höjden) > plo(w,mag) (beloppe) > ubplo() (ger undre fönre) > plo(w,fa*80/p) (argumene grader) Vad är bandbredderna de bägge fallen? Vad kalla den uppenbara kllnaden mellan G j fallen a) och c)? Vad kalla egenkapen c) för? Använd ockå funkonen bode om ger Bodedagrammen för a) och c). Vad är den aympoka avrullnngen repekve fall? Hur er man de G? Tdgare preenerade verkyge lvew. 0
9.3 Tag upp egvaren för a) och c) ovan med MATLAB-funkonen ep. Vad är gderna och produkerna gd x bandbredd de vå fallen? Vad ka den produken bl deal? Sämmer de? 9.4 En gnal u n3 kör n på yeme 9. c). V ve a ugnalen då blr y An 3 Beäm A och för hand och kolla mo MAPLE eller MATLAB. 9.5 Verfera reulae 9.4 genom a bygga upp yeme SIMULINK. Tappa av ngnal, ugnal och d ll MATLAB med To Workpace och ploa upp kurvorna. Sämmer de med 9.4? Faen beäm enkla genom a både n- och ugnal ploa amma dagram: > plo(,u,,y) Uppgf 0 Nyqu ablekrerum är e ä a med hjälp av kreöverförngen G kolla ableen ho de åerkopplade yeme G c : G0 Gc G om är abl om och enda om alla poler lgger väner halvplan. Dea är ne ällan bevärlg a kolla. Man använder g älle av Nyqukurvan för och behöver då ne all beämma G. c k G k k 0. Syeme G 3 åerkoppla med en P-regulaor enlg fguren nedan. Implemenera dea luna yem SIMULINK. Sara med K och juera edan upp K ll yeme jälvvänger med konan amplud. Noera värde på K och jälvvängnngen perodd. r + _ K u G y
0. Verfera med Nyqukrere a dea ämmer. Ska för hand Nyqukurvan för G j, om är denamma om för kreöverförngen G k K G med K. Kolla mo MATLAB med funkonen nyqu. Vd vlken punk kär Nyqukurvan negava reella axeln? Hur or kan K göra nnan luna yeme blr nabl? Få amma värde om 0.? För vlke värde på (kalla ) nräffar kärnngen? Hur är relaera ll jälvvängnngen perodd 0.? 0.3 Var lgger polerna luna yeme när man får jälvvängnng med konan amplud? Fnn e uryck för de luna yeme överförngfunkon: K G G c K G med G gve enlg 0.. Sä n värde på hjälp av MATLAB-funkonen roo. Sämmer de? Tag ockå e någo mndre rep. någo örre värde på K. Var hamnar polerna repekve fall? 0.4 Erä SIMULINK-proceen 0. med K du fck 0. och lö yeme poler med G. Underök genom mulerng om de fnn någo rmlg värde (dv ej exrem or) på K om ger jälvvängnng. Ra G Nyqukurva med MATLAB och förklara med de hjälp reulae av mulerngen. 0.5 Kompleera yeme 0.4 med en dfördröjnng Tranpor Delay SIMULINK, på denhe (ekund). Då blr allå G e För vlke värde på K får man nu jälvvängnng med konan amplud? Hur nverkar en dfördröjnng på luna yeme able? 0.6 Fnn e uryck för luna yeme, gve G 0.5. Kan man beämma polerna?
0.7 För yeme med dfördröjnng är Nyqukrere de enda äe a underöka able. V verferar 0.5 genon a a upp Nyqukurvan för G. Pga exponenalfakorn kan v dock ne använda MATLAB nbyggda funkon. Skrv älle > w=0:0.:0; (frekvener från 0 ll 0) > =j*w; > G=exp(-)./(.*+*+); > plo(g, - ) (plo av komplex funkon) Var korar kurvan negava reella axeln? Sämmer de med K-värde från mulerngen? Sammanfanng (Uppgf 8-0) Efer dea uppgfer bör du ha bra kunkap Blockchemaräknng Frekvenfunkoner Nyqu ablekrerum (de förenklade). Några nyckelord om du ka kunna förklara och redogöra för: Frekvenfunkon Amplud Fa Bandbredd Relaonen bandbredd-gd Kreöverförng Nyqudagram Nyqukrere Bodedagram Självvängnng 3
PI- och PID-degn I kommande uppgfer är menngen a du ka få ränng a dmenonera PI- och PIDregulaorer för dvere olka proceer med meoderna IMC (och lead/lag-kompenerng appendx Procereglerngkompende). Varje uppgf redova munlg ll aenen. Du ka kunna vara på frågor och va upp räknngar och mulerngreula. Hela övnngen ammanfaa edan en rappor. Uppgf : Föra ordnngen proce.: PI-degn med IMC I uppgf 4.4 reglerade v proceen G med PI-regulaor (SIMULINK-flen y.mdl). Regulaorparamerarna kulle välja å a egvare ne blev för längg och konvergerade på ungefär ekund. Nu ve v a IMC är en bra meod för PI-degn. Dmenonera allå en PI-regulaor F K med IMC å a luna yeme gd blr 0.8 ekunder (dea borde ge en konvergend på ungefär ekund). Vad är generella urycke för regulaorn F gven va IMC om proceen G är av föra ordnngen Va a du får en PI-regulaor för proceen ovan. p K Hur ka då välja och vad blr regulaorparamerarna? Jämför med de regulaorparamerar du fck genom ral-and-error vd :a övnngpae. Överenämmer de? Vad är relaonen mellan och luna yeme bandbredd? B Implemenera de nya luna yeme SIMULINK och verfera a du får rä gd! 4
. IMC är en meod om ger mycke bra ableegenkaper. Beäm famargnalen om få med regulaorn.! Tag allå fram e uryck för kreöverförngen G k F G och använd dea för a beämma m. Du kan göra dea åväl analyk om genom a ra upp Nyqukurvan MATLAB..3: PI-degn med lag-kompenerng En alernav meod ll IMC är lag-kompenerng. Då urycker v PI-regulaorn om F T K K T K T där T enlg umregel välj om 5 och K välj å a j c G blr lka med, d v k c F j G j c c Vlken relaon fnn mellan kreöverförngen kärfrekven och luna yeme bandbredd? B c Hur ka v allå välja för a få amma gd om uppgf.? c Dmenonera allå en PI-regulaor enlg lag-kompenerngmeoden och kör en mulerng! Hur blr reulae jämför med de uppgf.? Blr gden denamma? Skljer g egvaren ueenden på någo v?.4: Analy Evenuell kllnad mellan egvaren ueenden kan förklara genom a yemen uppgferna. och.3 har olka famargnal. Beäm allå famargnalen även dea fall! Hur påverkar famargnalen luna yeme upprädande? 5
Uppgf : Andra ordnngen proce I denna uppgf ka v reglera proceen G..: PI-reglerng PI-reglerng fungerar umärk för proceer av föra ordnngen. Man kan deal e, åmnone få e hur nabb lue yem om hel. För andra ordnngen proceer och högre får man dock problem. Förök a genom ral-and-error a ha en PI-regulaor om för proceen G ovan ger en gd på ½ ekund. Kan dea uppnå amdg om egvare är nygg d.v. uan ora överlängar? Hur kor gd kan du uppnå förua a överlängen ne får bl örre än 5%?.: PID-reglerng med IMC-degn Med PI-reglerng kan ne hur bra preanda om hel uppnå om proceen ordnngal överger, om v ydlg åg uppgf.. I många prakka fall är ne nabbhekrave överdrve or, och då går de bra a använda PI-reglerng även för proceer med hög ordnngal. (Preandagräner för olka regulaorer udera kuren Syem- och reglereknk fk.) Är nabbhekraven höga måe man dock gå över ll PID-reglerng. PIDregulaorn beäm av fyra paramerar och kan krva om F K T Se vdare Procereglerng-kompende. f T T d () Ockå för PID-reglerng är IMC en bra degnmeod. Vlken relaon fnn mellan parameern och de luna yeme bandbredd B dea fall? Hur kall v välja för a få 0.5 ekunder gd? Beäm med hjälp av IMC e uryck för F gve G ovan. Skrv om urycke på formen () och denfera paramerarna K, T f,t och T d. Implemenera regularorn SIMULINK och mulera luna yeme! Verfera a du får korrek gd. Tp: Skrv om F om F K T TTd T T och använd edan Tranfer Fcn-blocke. f 6
.3: Analy Beäm famargnalen för yeme.! Uppgf 3: Proce med dödd I uppgf 0.5 P-reglerade v en proce med dödd: G e och fann a nable lä uppår. Proceer med dödd är våra a reglera. IMC ger en regulaor om föröker kompenera för dödden. V ka dock denna uppgf e om lagdegn är en framkomlg väg. Proceen dödd är ekund. V föröker få a luna yeme gd ockå blr ekund. Dmenonera en PI-regulaor enlg lag-kompenerng. Smulera! Beäm eorek famargnalen. Kom håg: j e arggj arg arcan j Relaera gen famargnal ll egvare ueende! radaner! Dmenonera nu med hjälp av IMC en döddkompenerng. Implemenera denna SIMULINK. Smulera! Hur blr reulae. Uppgf 4: Sevoyem och kakadreglerng, OBS, exra mån av d!!! I poonervon har man ofa, le förenkla, e yem om beår av e anal negraorer kakad u y y Här har v allå en enkelnegraor från ngnalen u ll föra ugnalen y och en dubbelnegraor vdare ll y 4.: En enda regulaor V föröker reglera proceen med en enda regulaor, om allå åerkopplar y : r u F + _ y y 7
Eferom proceen g har negralverkan behöver ne regulaorn ha de. Tea allå PDreglerng: Td F K. T f Underök om de fnn några värden på K och T om ger e abl lue yem! (Sä le.) Om ne, förklara dea med hjälp av proceen Nyqukurva. 4.: Kakadreglerng (En förenklad modell av kulbanan ) d T f Eferom v kan mäa även ugnalen y är kakadreglerng en umärk meod: r + _ F + _ u F y y Lå o äga a v vll ha en bandbredd på rad/ oala luna yeme (vad blr gden då?). Då är de lämplg a (e vdare kompende) låa den nre reglerloopen med regulaorn F ha en dekad högre bandbredd. Dmenonera allå F å a dea uppfyll! (Åergen räcker de med P-reglerng, eferom proceen har negraon.) Implemenera SIMULINK, mulera för bara den nre loopen och verfera a du får rä gd. V dmenonerar nu den yre reglerloopen. Eferom den nre reglerloopen är 0 gånger nabbare än den yre kan v hel enkel glömma bor den. Den proce v ar på är. Lå F vara en PD-regulaor och använd lead-degn (Appendx Procereglerng) för a a fram paramerarna. Välj lämplg famargnal. Smulera de oala luna yeme. Få bra preanda nu? Redovnng Skrv en kor rappor där du drar luaer från uppgferna -4. Du behöver ne redova egvar och ffervärden, men du kall med egna ord beräa var vårgheerna lgger a reglera föra och andra ordnngen yem, yem med dödd och ervoyem med flera negraorer. Rapporen ka ge var på ex när PI- rep. PID-reglerng fungerar och vad fördelen med kakadreglerng. Ge ockå le av dna egna värderngar: Vad är lä/vår? Vad har du få u av uppgfen? 8