2. Beskrivning och analys av dynamiska system

Transkript

1 . Dyamka yem. Bekrvg och aaly av dyamka yem. Dyamka modeller dkouerlg form För yem med måga galer och måga ugaler MIMO-yem blr de bevärlg a arbea med överförgfukoer mella varje ugal och gal. Ma ökar e kompakare och mer överkådlg modellform. E åda modellform är e llådmodell. E llådmodell bygger på begreppe llådvarabler och aväder formalm hämad frå de ljära algebra marer och vekorer. För övrg är begreppe llådvarabler e aurlg begrepp. Tllådvarablera är.k. eva orheer, om bekrver llåde ho e yem. Tllådvarablera är ofa me e alld aurlga procevarabler åom ryck, emperaur, kocerao, ec. Reglerekk II Tllådmeoder 493

2 . Tdkouerlga dyamka modeller.. Grudläggade begrepp och defoer Aag a e yem llåd vd dpuke fullädg ka bekrva med e ädlg uppäg orheer,,,. Dea orheer kalla yeme llådvarabler. För a möjlggöra e kompak yembekrvg amla llådvarablera e llådvekor Vdare har v ormal e aal galer u, u,, um, om ka amla e galvekor u u u um u u um. Bekrvg och aaly av dyamka yem T T

3 .. Begrepp och defoer Yerlgare har v e aal ugaler y, y,, yp, om ka amla e ugalvekor y y T y y y yp yp För e dkouerlg dyamk yem ka ambade mella dea varabler krva om e yem av föra ordge dfferealekvaoer d d f, u, y h, u... Tdkouerlga dyamka modeller 3

4 .. Begrepp och defoer Med ledg av.. ka llådvarablera defera på följade ä: E yem llåd vd dpuke ge av de ma aale orheer,,,, om llamma med galera ll yeme för är ödvädga för a bekrva yeme beeede för alla. Tllådvarablera och yeme llåd får på dea ä e revlg fykalk olkg: Tllåde för e yem repreeerar de ma möjlga formao om yeme förhora om är ödvädg för a föruäga yeme framda beeede.. Tdkouerlga dyamka modeller 4

5 .. Begrepp och defoer Eempel. E ljär dvara yem med e gal och e ugal. V kall dea eempel llurera ekvvalee mella yembekrvgar med överförgfukoer och llådvarabler. Beraka e yem med överförgfukoe Y k G.. 3 U a aa3 eller 3 a aa3 Y ku..3 om geom ver Laplaceraformerg ger dfferealekvaoe y ay ay ay ku..4 med begyelellåde. 3 Vd llådvarabelrepreeao aväder ma dfferealekvaoer av föra ordge dervaor av högre ordg får e gå.. Tdkouerlga dyamka modeller 5

6 .. Begrepp och defoer V deferar därför,.e. y, y, 3 y..5 om a..4 ger a a a ku Ekvaoera..5 och..6 ger då ekvaoyeme a a a33 ku, 3 3 y 3..7 om är av de allmäa forme... Med marer och vekorer ka dea krva. Tdkouerlga dyamka modeller 6

7 .. Begrepp och defoer eller mera kompak a a a3 k u, y 3 där mare A kalla yemmare. A bu, T y c..8 V ka koaera, och de gäller allmä, a e överförgfuko av :e ordge movarar dfferealekvaoer av föra ordge. Syeme bekrv m.a.o. av ycke llådvarabler. Yerlgare bör beoa a v gjorde e godycklg val vd defoe av llådvarablera. Allmä gäller a llådvarablera e är uka!. Tdkouerlga dyamka modeller 7

8 . Tdkouerlga dyamka modeller.. Uppällg av modeller Procemodeller form av llådmodeller ka härleda ugåede frå balaekvaoer och llämplga kouva relaoer. Eempel på balaekvaoer är maere- och eergbalaer, meda de kouva relaoera är uryck för raporlagar, reakokek, o.dyl. V llurerar modellergprcpe med följade eempel. Eempel. Modellerg av e kemk reakor. I e fullädg åerbladad kemk reakor ker vd koa emperaur de kemka reakoera A B h A B r k c k mol/l h B D r k c k..9 V, c, c, c f Af Bf Df Reakor har e kouerlg llflöde V f och e V e, c, c, c kouerlg uflöde V e ehållade kompoeera A, B och D upplöa väka, å a dera koceraoer är c A, c B rep. c D. Koceraoera är relav låga, vlke ebär a v ka aa koa väkedee.. Bekrvg och aaly av dyamka yem 8 c c c A B D V A B D

9 .. Uppällg av modeller V ka uppälla de oala maerebalae där deeera förkora bor d f d V e.. am de parella maerebalaera Uvecklg av dervaora elg prcpe am elmerg av d V /d d VcA Vc f Af Vc e A Vr d d VcB Vc Vc VrVr d d VcD Vc f Df Vc e D Vr d f Bf e B.. d Vc A d A d V c c V A.. d d d med.. och komberg med..9 ger. Tdkouerlga dyamka modeller 9

10 .. Uppällg av modeller d ca V V f caf ca V kca d d cb V V c c V k c V k c d d cd V V f cdf cd V kcb d f Bf B A B..3 Med defoera c A, cb, 3 cd och u c Af, u c B f, u3 c D f, 4 f dea ekvaoer uder aagade av koa reakorvolym,.e. pga reglerg av forme f,, 3, u, u, u3, u4 eller kompakare f, u..4 om är av de allmäa forme... u V är Dea är e yem av oljära föra ordge dfferealekvaoer. För a kua uyja de ljära algebra aaly- och degmeoder behöver v dock ljära DE:r.. Tdkouerlga dyamka modeller

11 . Tdkouerlga dyamka modeller..3 Ljärerg av yem av DE:r Såom ova framgck, blr e llådmodell härledd frå fykalka och kemka lagar ofa oljär. V kall här va hur e åda ka ljärera. Beraka de oljära llådmodelle dm, dm u m, dm y p f, u y h, u V ka ljärera de geom Taylorereuvecklg krg e aoärllåd u,..5 geom a ebar beaka ermer upp ll föra ordge dervaor ereuvecklge. För de :e llådvarabel ger ambade f, u då f, u f, u f u, u u u u u u u..6 där paraldervaora m.a.p. vekorera och u blr radvekorer e.e. TG: formelamlg å a. Bekrvg och aaly av dyamka yem

12 ..3 Ljärerg av yem av DE:r f u, f u, f u, f u, f u, f u,, u u u Om, u, u är e aoärllåd, där f, Om v vdare för beeckgara. Tdkouerlga dyamka modeller..7, gäller elg..6 u..8, u u u..9 och oberverar a får v f, f, u u u u.. u u u u För y gäller vd aoärllåde u, a y hu., För y j få, då y y y, hj, u hj, y j u u u u u u u..

13 ..3 Ljärerg av yem av DE:r Då varje llåd och ugal y j beaka, ka.. och.. ammaälla ll A Bu.. y C Du där f, u /, f, / f u u u u f, u/ u u A h, u /, h, / h u u u u hp, u / u u C,, f, u/ u, f, / f u u u u u u f, u / u u u B h, u/ u, h, / h u u u u u u hp, u / u u u D..3 där A har dmeoe, B dmeoe m, C dmeoe p och D dmeoe p m. Ofa är D.. Tdkouerlga dyamka modeller 3

14 ..3 Ljärerg av yem av DE:r Övg.. Ljärera de kemka reakor, om bekrv av ekv...3, krg de forfarghellåd om ge av c Af mol l, cbf cdf mol l, V 3 3 e 3m h, V, 5 m. Skrv de ljärerade modelle på llådform.. Tdkouerlga dyamka modeller 4

15 . Tdkouerlga dyamka modeller..4 Epermeell modellerg geom procedeferg Ova härledde på eorek väg e oljär modell för e kemk reakor om äve ljärerade geom Taylorereuvecklg krg e gve drfllåd. V ka koaera a modellbygge ugåede frå ebar eoreka fykalk-kemka ambad om regel är rä bevärlg modelle blr ofa komplcerad och får lä e åda form.e. oljär a de e är drek lämplg för regulaordeg Om procee eerar dv f drf och om de ökade modelle kall aväda för regulaordeg, är de ofa lämplgare a beämma modelle epermeell geom procedeferg. Eperme aväd äve för a ea eoreka modeller beämma dålg käda paramerar. Bekrvg och aaly av dyamka yem 5

16 ..4 Procedeferg För beämg av e dyamk modell räcker e daa för e eller flera aoärllåd kräv daa om bekrver raea förlopp Dea ebär a procee måe öra eller ecera. Iblad ka aurlga örgar procee vara llräcklg. Normal måe dock avklga örgar föra. Ofa aväda ecaoer är eg olka yper av puler,.e. mpuler De f e or mägd olka ekker för modellbeämg ugåede frå de epermeella reulae. I grudkure har ekla grafka meoder behadla. Vd mer krävade modellerg aväd umerka opmergmeoder för apag av e modell ll epermeella daa.. Tdkouerlga dyamka modeller 6

17 ..4 Procedeferg Alla prakka yem är mer eller mdre oljära, me v vll ofa ädå ha e ljär modell.e. för regulaordeg. Ma bör då räva ll a ecera procee alla rkgar dv både uppå och edå krg e öka drfllåd för a på å ä erhålla lämplga medelvärde för de oljära procee paramerar e ljär modell om väl bekrver procee vd drfpuke fråga. Tdkoaer ka.e. beämma om medelvärde av dkoaera vd e egförädrg uppå och edå e fg. För proceparamerar om krafg påverkar de uppåelga reglerkvalee,.e. dödder, ka de vara förufg a välja e mera ogyam värde för a på å ä e äveyra äkerhemargaler vd regulaordeg.. Tdkouerlga dyamka modeller 7

18 ..4 Procedeferg Vd avädg av umerka opmergmeoder för modellbeämg behöver ma e begräa g ll ekla eg och puler om ecerggaler. Ma ka älle aväda galer om bäre ecerar procee raea egekaper bekrver procee ypka beeede vd reglerg. E åda galyp är.k. PRBS-galer Peudo Radom Bary Sequece, om har de egekape a gale värde välar mella vå olka värde å a övergåge mella dem prcp ker lumpmäg.. Tdkouerlga dyamka modeller 8

19 . Dyamka yem Modelle Följade vå eempel llurerar a de kappa f ågo om MODELLEN för e yem. Eempel olka egvar: Beraka yeme med överförgfukoera G a med a = -,, a =, a =,. I övre dele av fgure ll väer e egvare öppe kre. I edre dele e egvare för de re yeme lue kre med eheåerkopplg, dv u = r y. I följade eempel å får v moa beeede Öppe kre Slue kre a=-. a= a= Ljära llådmodeller 9

20 Eempel lkadaa egvar: Beraka yeme med överförgfukoera G T T med T =, T =,5, T =,3. I övre dele av fgure ll väer e egvare öppe kre. I edre dele e egvare för de re yeme lue kre med åerkopplge u = r y..5. Dyamka yem Öppe kre Slue kre T= T=.5 T= Ljära llådmodeller

21 . Dyamka yem Orake ll a v har olka beeede öppe och lue kre är yeme är a beeede vd låga frekveer är domerade vd egvar, meda beeede vd överkorgfrekvee är mera releva lue kre. Neda ge Bode-dagram för dea eempel: 5 Olka egvar Lkadaa egvar a= a= a= T= T=.5 T= Ljära llådmodeller

22 . Dyamka yem. Ljära dkouerlga llådmodeller Tllådform E ljär, dvara, dkouerlg och kaual yem ka allmä bekrva med llådmodelle A Bu.. y C Du där A,, m B, m u, y p C, p D kalla yeme llådvekor, A kalla yemmar; blad kalla B galmar och C ugalmar. pm E yem krve på llådform ka e förkora A, B, C, D.. Ljära llådmodeller

23 . Ljära llådmodeller.. Frå blockchema ll llådmodell Eempel: Serekopplg u b b +a +a G G V väljer delyeme ugaler om llåd, vlke beyder a de vå yeme ka krva om a bu repekve a b. Dea ka u krva marform a b u b a Deuom har v ugale y, vlke ger modell av forme.... Bekrvg och aaly av dyamka yem 3

24 .. Frå blockchema ll llådmodell Mera allmä gäller om G och G är gva llådformer A, B, C, D repekve A, B, C, D å få erekopplge llådform elg A B u B C ABD y DC C DDu... Ljära llådmodeller 4

25 .. Frå blockchema ll llådmodell Eempel: Parallellkopplg u b +a G y b +a G Add Ugalera frå de eklda yeme defera ge om llåd, varvd dfferealekvaoera a bu repekve a bu få. Vlke ka krva marform a b u a b Deuom har v a y, vlke kombera med ovaåede är av llådforme.... Ljära llådmodeller 5

26 .. Frå blockchema ll llådmodell Om G och G är gva llådformer A, B, C, D repekve A, B, C, D å få erekopplge llådform elg A B u AB..3 y C C DDu. Ljära llådmodeller 6

27 .. Frå blockchema ll llådmodell Eempel: Åerkopplg u b y dffere G +a G Ige defera ugale frå överförgfukoe G om llåd, vlke ger upphov ll följade dfferealekvao a b u. Vlke ge ka omformulera på adardform ab bu, om kombera med y, är av forme... A fudera på relaera ll ovaåede eempel:. Vad är dkoae och förärkge för G?. Vad är dkoae och förärkge för de åerkopplade yeme? 3. Blr yeme abbare eller lågammare av åerkopplge? 4. För vlka värde på a och b är G repekve de åerkopplade yeme abla?. Ljära llådmodeller 7

28 .. Frå blockchema ll llådmodell Om G och G är gva llådformer A, B, C, D repekve A, B, C, D å behöver age D eller D vara. Om D å är de åerkopplade yeme A BDC BC B u B C A..4a y C Och om D å är de åerkopplade yeme llådform A BC B u B C A BD yc DC Du..4b Om bägge D-marera är olk å uppår e algebrak lga, om leder ll a marera blr ll erer, om aolk kovergerar, me behöver e göra de. Algebraka lgor är ypk e realka, de ka uppkomma geom föreklade aagade. För mulergädamål å ka ma brya lga geom a föra e le era dkoa lga.. Ljära llådmodeller 8

29 . Ljära llådmodeller.. Frå llådmodell ll överförgmar Laplaceraformerg av e modell på llådform Vdare ger..5 A Bu X AX BU..5 y C Du Y CX DU om a..6 ger är yeme överförgmar, dv e mar av överförgfukoer.. Bekrvg och aaly av dyamka yem 9..6 I A X BU X IA BU Y C IA C IA BU DU Om begyelellåde där Y få C I A B D U G U..7 G C I A B D..8

30 . Ljära llådmodeller..3 Syrbarhe och oberverbarhe Är A, B, C, D och G alld ekvvalea? Eempel: u u y u y u Här har v e llådekvao av adra ordge med e gal och e ugal. Överförgfukoe blr G I dv G ro a yeme är av adra ordge! Förklarg: beror på u, och y beror på, me och har ge kopplg.. Bekrvg och aaly av dyamka yem 3

31 ..3 Syrbarhe och oberverbarhe Syrbarhe E llåd är yrbar om de f e yrgal u om på ädlg d överför llådvekor ll orgo, dv ll. E yem är yrbar om alla llåd är yrbara. Oberverbarhe E llåd är cke-oberverbar om, då och u,, ugale y,. Eferom dea äve gäller för, å beyder de a ma dea fall e med äkerhe ka beämma alllåde på bae av ugale. E yem är oberverbar om de akar cke-oberverbara llåd. Noera a gale är mycke releva dea ammahag, och a de formella defoe av oberverbarhe egelge har ebar med alllåd a göra: Om ma käer både gale och alllåde å behöver e yeme vara oberverbar för a ma kall kua beämma llåde. Om ma e käer ll alla galer eak å hjälper de e a yeme är oberverbar, ma ka ädå e beämma llåde.. Ljära dkouerlga llådmodeller 3

32 ..3 Syrbarhe och oberverbarhe Kalma uppdelga E ljär yem S på llådform ka uppdela fyra delyem E delyem S co om är yrbar corollable och oberverbar E delyem S cu om är yrbar me cke-oberverbar uobervable E delyem S uo om är cke-yrbar ucorollable me oberverbar E delyem S uu om är cke-yrbar och cke-oberverbar Mmal realao E llådbekrvg om är både yrbar och oberverbar äg vara e mmal realao av yeme. Ekvvale mella G och A, B, C, D Överförgmare G, om ju ager ambade mella Y och U, ugör e fullädg bekrvg av e yem om och eda om yeme är åväl yrbar om oberverbar dv yembekrvge är e mmal realao.. Ljära dkouerlga llådmodeller 3

33 ..3 Syrbarhe och oberverbarhe Te av yrbarhe Syeme, B har full rag, dv A är yrbar om och eda om yrbarhemare Γ B AB A B A B c c Γ. rag..9 Te av oberverbarhe Syeme A, C är oberverbar om och eda om oberverbarhemare CA C Γ o CA CA har full rag, dv rag Γ. o Övg.. Uderök yrbarhee och oberverbarhee för yeme eemple av Ljära dkouerlga llådmodeller 33

34 ..3 Syrbarhe och oberverbarhe Övg.. I e kaalyaor för e or deelmoor å reducera NO geom lla av NH 3. Ammoak är yvärr ockå e mljögf, och om ma äer ll för mycke NH 3 å åker de u aure. Så för effekv reduko av NO å behöv åerkopplad reglerg. Mäg av NO är yvärr e alldele ekel, och de eorer om klarar av mäg drek ua provagg å reagerar på umma av NO och NH 3. Me v är allå reerade av a vea hale av bägge, är de möjlg på bae av e mäg av umma? Aa a de kemka reakoe å reagerar 9% av kommade NH 3 med NO, förhållade :. I kaalyaor uppår deuom e dyamk om är e föra ordge yem med a lka b olka dkoa för NH 3 repekve NO.. Ljära dkouerlga llådmodeller 34

35 . Ljära llådmodeller..4 Ljära varabelraformaoer Ljär varabelraformao av llådvekor V har llådmodelle E eydg varabelraformao ger dv A Bu y C Du z T, T z z T TA TBu z TAT y CT z Du.... z TBu Tllådbekrvge A -, B - och C-marer förädra ålede av varabelraformaoe å a A, B, C, D..3 TAT, TB, CT, D..4. Bekrvg och aaly av dyamka yem 35

36 ..4 Ljära raformaoer Påverka G av e ljär varabelraformao? För de oraformerade yeme A, B, C, D är överförgfukoe G C I A B D..5 För de raformerade yembekrvge TAT, TB, CT, D eller G CT I TAT TB D..6 G CT T IA T TBD CT T I A T TB D C IA BD Hel aurlg förädra överförgmare e eferom y och u e förädra. få..7. Ljära dkouerlga llådmodeller 36

37 ..4 Ljära raformaoer Påverka yemmare egevärde av e ljär raformao? Egevärdea,,,, för yemmare A ge av lögara ll ekvaoe de I A..8 För de raformerade yemmare Amärkg Ofa aväd forme de A I de I TAT för beräkg av A: egevärde. Formulerge är hel ekvvale med..8, om aväd dea kur. TAT få de T I A T de T de T de TT de I A de T de I A de T de I A de I A de I de I A De raformerade yemmare har ålede amma egevärde om de oraformerade yemmare...9. Ljära dkouerlga llådmodeller 37

38 ..4 Ljära raformaoer. Ljära dkouerlga llådmodeller 38 Propra yem med e gal och e ugal Överförgfukoe för e :e ordge proper yem med e gal och e ugal SISO-yem ka krva d a a a a b b b b U Y G.. Dagoalform modal kaok form Om de karakerka ekvaoe röer dv ämare ollälle är reella och dka dv olka ora ka G med hjälp av paralbråkuppdelg krva d k k k k U Y G.. där k,,,, är koaer om bör beämma å a paralbråkuppdelge gäller. Ifall ämare ll G ekv.. fakorera beäm k bekväm elg lm G k..

39 ..4 Ljära raformaoer. Ljära dkouerlga llådmodeller 39 Defera.e. U k X..3 vlke a.. ger d U X X X X Y..4 Iver Laplaceraformerg av..3 och..4 ger u k,,, du y eller T du y u c b Λ..5 där Λ, k k k b, c..6

40 ..4 Ljära raformaoer Ma ka äve härleda dagoalforme drek frå e aa llådform A, B, C, D. Om är e egevärde och där T T movarade väeregevekor ll mare A å gäller T T I A eller A,,, ΛT TA..7 T T T T, Λ..8 Om T är vererbar, vlke alld gäller om egevärdea är reella och dka am va adra fall få de dagoala yemmare Λ elg Λ TAT..9 vlke movarar varabelraformaoe z T, T z.. om ger dagoalforme aalog med dgare ljära varabelraformao.. Ljära dkouerlga llådmodeller 4

41 ..4 Ljära raformaoer Syrbar kaok form E yem bekrve med överförgfukoe G Y U b a b a b a b a d..3 ka drek krva på e llådform om kalla yrbar kaok form eferom galmare B får pecell ekel form: a a a a u y b b b b du..3. Ljära dkouerlga llådmodeller 4

42 ..4 Ljära raformaoer. Ljära dkouerlga llådmodeller 4 Oberverbar kaok form E yem bekrve med överförgfukoe d a a a a b b b b U Y G..3 ka drek krva på e llådform om kalla oberverbar kaok form eferom ugalmare C får pecell ekel form: d u y u b b b b a a a a..33

43 . Ljära llådmodeller..5 Sable, poler och ollälle Lög av llådekvaoe Ekvaoe A Bu..34 har löge e A e A A e Bu d..35 vlke ka va geom derverg av..35 och äg..34. V oerar a T T A..36 där är e egevärde och T Eferom epoealfukoe kovergerar e A. Bekrvg och aaly av dyamka yem 43 movarade väeregevekor ll mare A. A e ka beräka elg ereuvecklge fall de I! A! A 3! A

44 ..5 Sable, poler och ollälle få geom mulplkao av A e frå väer med T T A T 3 3 e I A A A!! 3! T T T T 3 3 A A A!! 3! T T T T 3 A A!! 3! T T T T 3 A!! 3! T T T 3 T 3!! 3! T 3 3 T e!! 3!..38. Ljära dkouerlga llådmodeller 44

45 ..5 Sable, poler och ollälle Mulplkao av löge T frå väer med T ger därför eller med defoe z z Med defoera T T e e e Bu d..39 T,,,, e e z e Bu d,,, T T T T ka dea krva kompakare om,. Ljära dkouerlga llådmodeller 45 T..4 Λ, z T..4 Λ Λ Λ z e z e e TBu d..4

46 ..5 Sable, poler och ollälle Sable Om har pov realdel och z eller egrale för yeme ova kommer z a dvergera, dv yeme är abl. Av dea följer a egevärdea,,,, avgör ablee för yeme. V får då följade ablekrerum: E dkouerlg yem var yemmar A har egevärdea, abl om och eda om amlga egevärde har egav realdel, dv om Re,,,,,, är..43. Ljära dkouerlga llådmodeller 46

47 ..5 Sable, poler och ollälle Poler Med polera ll e yem mea egevärdea,,,, ll yemmare A e mmal llådrealao av yeme dv e llådbekrvg av mmal ordg om är både yrbar och oberverbar. De är av ree a kua beräka yeme poler drek frå e bekrvg med överförgfukoer ua a gå va e mmal realao. Beräkg av poler för e kalär överförgfuko SISO-yem Överförgfukoe för e SISO-yem, dv e yem med e gal och e ugal, ka geom fakorerg krva på forme G Här är m m a b p, b,, m m a b a b a z p z p z p. Ljära dkouerlga llådmodeller 47 b m, yeme poler. För reella poler gäller a T där T är e dkoa för yeme. m..44 p /,,,..45

48 ..5 Sable, poler och ollälle Beräkg av poler för e överförgmar MIMO-yem För MIMO-yem, dv yem med flera galer och ugaler, är de rä bevärlg a beräka polera frå G. V behöver följade defoer: Uderdeerma: E uderdeerma ll e mar A är deermae av e kvadrak udermar ll A erhålle geom rykg av e eller flera rader och/eller koloer. E mamal uderdeerma är e deerma av e udermar av mamal orlek. 3 har de 9 uderdeermaera,, 3, 4, 5 och 6 am , 6 3, 3, vlka alla är mamala uderdeermaer Eempel: Mare 4 5. Ljära dkouerlga llådmodeller 48

49 ..5 Sable, poler och ollälle Polpolyom: Polpolyome G är de ma gemeamma ämare MGN ll alla uderdeermaer av G, kluve deermae av G om G är kvadrak. Eempel: Syeme am deermae de p för e MIMO-yem med överförgmare 3 G har uderdeermaera 3 G. Polpolyome ma gemeamma ämare är ålede p., 3, Sa Poler: Syeme G poler är polpolyome p ollälle. 3 Eempel: Syeme G, med polpolyome p polera dubbelpol och., har. Ljära dkouerlga llådmodeller 49

50 ..5 Sable, poler och ollälle. Ljära dkouerlga llådmodeller 5 Nollälle Beräkg av ollälle för e kalär överförgfuko SISO-yem E yem med e gal och e ugal om har överförgfukoe m m m m m m p p p z z z b a a a a b b b b G..46 har ollällea z, m,,. För reella ollälle gäller a de är lka med egava vere av yeme äljardkoaer.

51 ..5 Sable, poler och ollälle Beräkg av ollälle för e överförgmar MIMO-yem Beräkg av ollälle för e överförgmar G är äu bevärlgare ä beräkg av de poler. V behöver följade defo: Nollällepolyom: Nollällepolyome för G är öra gemeamma delare dv fakor SGD ll äljara för de mamala uderdeermaera ll G, ormerade å a de har polpolyome p om ämare. Am. För e kvadrak yem G, dv e yem med lka måga galer om de G de mamala deermae. ugaler, är Sa Nollälle: Syeme G ollälle är ollällepolyome ollälle. Eempel: 3 G har mamala deermae deg ämare är lka med polpolyome p och därmed reda är ormerad. Syeme ollälle är då äljare ollälle., där. Ljära dkouerlga llådmodeller 5

52 . Ljära llådmodeller..6 Realerg Realerg är a beämma e llådbekrvg ugåede frå e yembekrvg baerad på e överförgmar, dv a ugåede frå Y G U..47 beämma A Bu..48 y C Du Dea är e vårare problem ä a beämma G frå e llådbekrvg. E mmal realao är e realao med läga möjlga ordgal. Dea beyder a de är både yrbar och oberverbar. Ma eferrävar mmala realaoer, eferom llådbekrvge aar får godycklga cke-yrbara och cke-oberverbara llåd, om e movera av G. E realao om e ödvädgv är mmal är läare a beämma ä e mmal realao. Eferom äve e cke-mmal realao har korrek gal-ugalambad, ka e åda ro all vara accepabel.e. för umerka beräkgar.. Bekrvg och aaly av dyamka yem 5

53 ..6 Realerg. Ljära dkouerlga llådmodeller 53 E ekel realergmeod E realao om e ödvädgv är mmal ka härleda på följade ä. För yeme U U U G G G G G G G G G Y Y Y m pm p p m m p..49 ka varje överförgfuko G j realera.e. om yrbar eller oberverbar kaok form T u d y u j j j j j j j j j j c b A..5 där ugale y ge av m j j y y..5

54 ..6 Realerg. Ljära dkouerlga llådmodeller 54 Sammalagg av alla m p delyem ger realaoe u B B B A A A p p p p, u D c c c y p p T T T..5 där m, u m u u, y p y y..53 m A A A, m b b B, T T T m c c c, pm p m d d d d D

55 ..6 Realerg Eempel Beraka yeme G Elg de bekrva realergprocedure få med oberverbar kaok form y u y u vlke ger realaoe A, B, C, D med 3 A, y B, dv e yem av feme ordge. Är realaoe mmal?. Ljära dkouerlga llådmodeller 55 3 u y C, D u

56 ..6 Realerg E mmal realao Glber algorm I de följade bekrv e meod, Glber algorm, för beämg av e mmal realao för e yem G med ekla poler. Dea ebär a varje ekld överförgfuko G j bör ha ekla poler dv e flera lka ora poler. Eempel: G 4 3 G ekla poler mulpla poler Deuom kräv a grävärde lm G är ädlg e mar med ädlga eleme. Lå,,, k, beecka alla olka poler om går överförgmare eklda överförgfukoer. I eemple ll väer ekla poler är polera, och Ljära dkouerlga llådmodeller 56

57 ..6 Realerg Överförgmare G ka då krva där K G lm G, k K D lm G Lå r vara rage av K. Mare K har då r ycke ljär oberoede koloer. Blda e mar C av dea koloer am beäm mare B, B, C, D Ir I T. Ljära dkouerlga llådmodeller 57 D T C C C K..56 E mmal realao Λ på dagoalform ge då av där I Λ r k r k I är e ehemar av orleke r mulplcee, B B B r r B k, C C C..57 C k, vlke ebär a egevärde har r,,, k. r. Syeme ordgal är umma av alla

58 ..6 Realerg Eempel Beraka yeme och V har K K am lm G lm G G, vlke ger lm lm D lm G lm lm. Ljära dkouerlga llådmodeller 58

59 ..6 Realerg Här har v r rag K r rag K vlke ger I I K C, B T T C C C K I C, B C C C K Λ, T T B B B, C C C Realaoe ordg är r r dv e 5 om de cke-mmala realaoe, e heller, om ma kude ro på bae av de akuella överförgmare G. Övg..3 Va a realaoe eemple ova ger de ökade gal-ugalambade am a de är mmal,.e. geom a uderöka yeme yrbarhe och oberverbarhe.. Ljära dkouerlga llådmodeller 59 3

60 ..6 Realerg Appromaoer De går a beämma mmala realaoer äve för yem med mulpla poler, me förfarade är bevärlg och kommer e a behadla dea kur. Re allmä ka ma uyja formao om yeme poler för a beämma e mmal realao. Om överförgfukoera G ehåller mulpla poler ka ma älle appromera dea med ärlggade poler. Eveuell bör då ockå äljarkoae ädra fall ma vll bbehålla yeme förärkgar oförädrade. Eempel: G 4 3 4, Ljära dkouerlga llådmodeller 6 G mulpla poler appromao med ekla poler Dea appromao är gvev e bäa möjlga, me de har de fördele a de e roducerar ya poler vlke kulle höja yeme ordg. Om överförgfukoera ehåller dödder bör dea appromera med raoella uryck. Av flera äkbara appromaoer väljer ma med fördel e om e oöda höjer oala aale olka poler