NUMERISK VÄRDERING AV AMERIKANSKA OPTIONER

Transkript

1 NUMERIK VÄRERING AV AMERIKANKA OTIONER Av Hera eerso poäg

2 Absrak e här är e geogåg av olka exserade uerska eoder för a värdera aerkaska opoer. Arbee ofaar edas aerkaska köp- och sälopoer där de uderlggade llgåge är e ake. Förs sker e kor geogåg av Black och choles odell. eda beskrvs de olka odellera so ag har val. lulge görs e geogåg av de uerska resulae för de olka eodera.

3 Iehållsföreckg INLENING... 4 BLACK AN CHOLE ARTIELLA IFFERENTIALEKVATION... 5 TRÄ MOELLER... 9 COX-RO-RUBINTEIN 979 C-R-R...9 RENLEMAN BARTTER 979 R-B... BREEN ACCELERATE BINOMIAL TIAN 99 TRINOMIAL MOELL... LEIEN-REIMER 996 L-R...4 BINOMIAL MOELL ME LUMMÄIG TI...7 BINOMIAL ME BLACK-CHOLE BB...8 CONTROL VARIATE TEKNIK... 9 HULL-WHITE MOELLEN 988 H-W...9 OTIONRIET OM EN FUNKTION AV UNRE OCH ÖVRE BEGRÄNNINGAR... JOHNON BROAIE-ETEMLE MOELLER VÄRET UTTRYCK OM EN OÄNLIG UMMA... GEKE JOHNON 984 G-J... BUNCH-JOHNON 99 B-J...4 ANALYTIK AROXIMATION... 4 MACMILLAN BARONE-AEI OCH WHALEY 988 B-A O W...6 FINITE IFFERENCE... 8 METHO OF LINE... LINJÄR ROGRAMERING... NUMERIK INTEGRATION OCH INTEGRAL EKVATIONER... ARKINON HUANG-UBRAHMANYAN-YU H--Y JU BUNCH OCH JOHNON...5 AROXIMATION ME OTIONER ME LUMMÄIG LÖTI... 6 CARR IMULERING... 7 LONGTAFF OCH CHWARTZ...7 VALUING AMERICAN UT OTION UING GAUIAN QUARATURE AV ULLIVAN 8 IMLEMENTERING AV METOEN...4 JÄMFÖRELE AV OLIKA METOER REFERENFÖRTECKNING... 49

4 4 NUMERIK VÄRERING AV AMERIKANKA OTIONER Iledg yfe ed de här arbee är a gå geo de olka uerska lösgseoder so fs leraure för prssäg av e aerkask opo. Jag börar korfaa ed a a upp Black och choles - forel och de aagade so görs agåede arkade. I de saahage beskrver ag också de alläa prsgräser so fs för e aerkask opo och är de ka vara lösa a uya opoe före sludage. o adra puk beskrver ag olka uerska lösgsekker för prssäg av e aerkask opo. I puk re beskrver ag ullvas arkel Valug Aerca u Opos Usg Gaussa Quadraure The Revew of Facal udes Vol. No er gåede. Avslugsvs gör ag äförelser ella de olka eodera ed avseede på sabbhe och llförllghe. Tll a böra ed ågra basfaka för koade frasällg. Köpopo: ehavare av e såda äger räghe a köpa e besä aal aker eller aa uderlggade llgåg ll e förubesä prs. Usällare av köpopoe är skyldg a säla akera eller aa uderlggade llgåg ll de förubesäda prse o ehavare av opoe vll uya räe. älopo: ger ehavare räghe a säla e besä aal aker eller aa llgåg ll e förubesä prs och usällare av sälopoe är skyldg a köpa llgåge ll de förubesäda prse o ehavare vll säla. e uderlggade llgåge ka vara vlke fasell llgåg so hels. O opoe är av europesk yp ka ehavare bara uya opoes löserä vd opoes sludag eda e aerkask opo ger ehavare räghe a uya oposräe är so hels uder opoes löpd. e exserar också adra yper av opoer ex sådaa so ger ehavare av opoe rä ll e besä belopp o ake håller sg o e förubesä kurservall uder opoes löpd. I uppsase koer ag a ugå frå a de uderlggade llgåge är e ake. Vad gäller opoer av europesk yp vsade Black och choles 97 a de fs e aalysk lösg ll värdergsproblee. För e aerkask sälopo fs däreo ge aalysk lösg. Värdergsproblee för e aerkask köpopo är beroede av o ake ger udelg eller e uder opoes löpd. O llgåge e ger ågo udelg är de aldrg opal a lösa e aerkask köpopo förd. Vlke ger a värde är desaa so för e europesk köpopo. å ake ger udelg fs vsa fall aalyska lösgar. Me Black-choles odelle exserar e uk värde för opoe fas värde e alld går a urycka e slue forel. Me de fs e aal uerska eoder för a prssäa aerkaska opoer. E aal av dessa koer a beskrvas uppsase. I uppsase aväder ag lkhesecke fas a de är e approxav relao so gäller e ag ror a de fragår av exe är de är e approxav relao respekve då lkhe råder.

5 5 BLACK AN CHOLE ARTIELLA IFFERENTIALEKVATION Jag ar här upp Black och choles odell och dess aagade beskrver är de är opal a uya e aerkask opo före sludage och ger e beskrvg av värde för e aerkask opo so e opergsproble. Aledge ll a ag beskrver Black och choles odell är a de adra uerska eodera bygger hel eller delvs på saa aagade. E av kopoeera vssa uerska eoder är värde för e europesk opo gve av Black och choles forel. Black och choles B- odell bygger på aagadea a akörera på arkade är vsaxerade arkade är frkoslös d.v.s. de exserar ga rasakoskosader ga skaer ge resrko för kora posoer och alla llgågar är delbara. Modelle förusäer också a vare veserare ror ha ka säla och köpa hur åga adelar av e llgåg ha vll ua a dea påverka prse d.v.s. copeve arkad. Vdare görs aagade a ake subscrp är de föler fölade prsprocess e så kallad geoersk/expoeell browsk rörelse GBM d d dw där W är e sadard browsk rörelse. Vdare exserar e oblgao so föler prsprocesse d r d där ge sluper fs ed så oblgaoe föler e deerssk prsprocess. Vad Black-choles vsade var a e opos värde F sasferar fölade parella dffereal ekvao E rf F rf F och löse de ed avseede på radvärdesvllkore för e europesk opo. är värde F är e fuko av akekurse vd dpuke och löpde. ludage T aas vara fx gve av oposkorake eda värdergsdpuke ka varera. å löpde ges av sludage T us värdergsdpuke där T avädes edas värdergsdpuke so daa e uderförså fs e fx sludag för korake so e urycks explc. Värde för opoe koer geogåede a uryckas på dea sä o ge aa ages. Aledge ll a e akekurses dpuk skrvs u är a de överessäer ed värdergsdpuke så subscrp har raoalseras bor. Vlke också är de valga skrvsä de här saahage. e fs ge käd aalysk lösg för e aerkask sälopo ed radvärdesvllkore -5 se Cox-Rubse 985 kap 4 eller Mero 97 E kor poso har veserare då ha har e egav expoerg av llgåg så o llgåges prs går er äar ha på posoe och de o väda o de går upp.

6 6. T T ax K T ;. ax K ;. K ; 4. ; 5. l där K är opoes löseprs värdergsdpuke är akekurse vd dpuke och T är opoes sludag. Någo for av uersk lösgsekk åse begagas för a lösa E:. För de ovasåede fe vlkore har de för akekurse agvs. ea koer e a göras geerell de edasåede exe. För e aerkask köpopo C är suaoe aorluda. O ake e ger ågo udelg uder opoes löpd är de aldrg opal för e veserare so är vsaxerade a uya löseräe före dpuke T. Vlke fragår av fölade proposo age frå Cox-Rubse 985 kap 4-. Värde av e köpopo är aldrg dre ä de sörsa av fölade al a oll b akekurse us löseprse c akekurse us uvärde av löseprse us uvärde av de axala udelgara so sker uder opoes löpd. essuo är värde aldrg sörre ä akekurse C ax K Kr. är är uvärde av de uppskaade axala udelgara uder opoes löpd. roposoe leder fra ll a prse för e aerkask köpopo är desaa so för e europesk köpopo o ake e ger ågo udelg. I de fall då udelge är käd på förhad fs de också aalyska lösgar ll de aerkaska köpopoe se Hull 99 sd Cox-Rubse 985 kap 4- bevsar också är de är opal a lösa e aerkask köpopo. a E köpopo ska aldrg uyas förrä vd opoes sludag eller us a ubealge av e udelge. b O uvärde av de axala udelgara är dre ä de ed avseede på d osvarade uvärde av räa so ka äas på löseprse vd vare dpuk fra ll sludage är de aldrg opal a uya opoe före sludage. E aerkask sälopo är svårare a värdera ä e aerkask köpopo eferso de ka vara opal a uya sälopoe är so hels uder löpde. I prcp åse vd vare ax K korolleras. I kap. 4- vsar Cox-Rubse dpuk vllkore o vlka gräser so sälopoes prs åse hålla sg o för de e ska exsera ölgheer ll arbrage. rse för e sälopo är aldrg dre ä de sörsa av ale

7 7 a oll. b löseprse us akekurse c uvärde av löseprse plus uvärde av de sa udelgara opoes löpd us akekurse Värde är aldrg sörre ä löseprse så fölade olkhe gäller K ax K Kr so bealas u uder är är uvärde av de ala uppskaade udelgara uder opoes löpd. e bevsar också: O de exserar e perod [ ' ] där ' T och uvärde av de sa udelgara so bealas u uder perode vd vare dpuk är sörre ä uvärde av räa so äas på löseprse uder perode då ska sälopoe aldrg uyas ella dpukera och '. ea resula koer a hävsas ll uppsase. Nedasåede oao koer a avädas uppsase. C är värde på e aerkask köpopo; c är värde på e europesk köpopo; är värde på e aerkask sälopo; p är värde på e europesk sälopo; är akekurse; T är opoes sludag; är dpuk för värderge av opoe; är volalee för opoe; r är de rskfra räa; är akekurse vd dpuke. Black och choles prssägsforel för e europesk köpopo är där r T c N d Ke N d d d l / K r / T T d T och N är oralfördelgsfukoe. Värde för de europeska sälopoe ges av sälköp paree p c e r T där räa är uryck so kouerlg räa. Värdergsproblee för e aerkask opo går också a beraka so e opergsproble. Lå vara ubealgsfukoe/processe för e aerkask opo X

8 8 säloposfalle är X K och är ägde av soppder so aar sa värde ervalle [ T ]. å ges värde för de aerkaska opoe av F sup T Q T X T T där Q är argaleåe T exp r s ds och r s är de rskfra räa. e uffe 99 för vlka ekska vllkor so åse vara uppfyllda för a de ska exsera e uk soppd so löser opergsproblee och a har ädlg väevärde uder åe Q. X Ovasåede forulerg av värdergsproblee leder också fra ll a R [ T] går a dela upp vå delägder löseregoe och forsägsregoe. O akekurse är löseregoe ska opoe uyas drek. I aa fall ska de e uyas. roblee är bara a de flesa falle är de väldg svår a besäa dessa regoer. Me för e aerkask sälopo skls dessa regoer å av de opala lösegräse. O ska e sälopoe uyas och o ska de uyas drek. Vdare är e växade kouerlg dffereerbar fuko för e aerkask sälopo. Åerge är problee a de prakke är svår a besäa. Neda koer ag a redovsa ågra av de förslaga approxaoera av. E väselg del av värdergsproblee är a besäa o opoe ska uyas drek eller e. Oberoede av varadra vsade Carr. fl. 99 K 99 och Jacka 99 a e aerkask sälopo går a dela upp vå olka delar dels de osvarade värde av e europesk sälopo och dels pree för ölghee a kua uya opoe a sludage. O akekurse befer sg forsägsregoe för de aerkaska sälopoe ges värde för sälopoe av T rs l s / s p rk e N ds s där r och N är oralfördelge. e ovasåede uppdelge är age frå Carr. fl. 99. roblee ed de här forel är a a e förhad fårhad ve o akekurse befer sg forsägsregoe eller e.

9 9 NUMERIKA METOER Här ar ag korfaa upp e aal arklar so beskrver uersk värderg av aerkaska opoer. Några le er gåede. Vssa av arklara beskrver bara värderg av aerkaska sälopoer eferso de e exserar ågo aalysk lösg för e aerkask sälopo. Jag har gor e egehädg klassfcerg av eodera o klasser. Io vare klass beskrver ag eodera kroologsk ordg. Me uvecklge o vare klass beror delvs på a a har aaa déer frå de adra ekkera. å blad äer ag e arkel vlke koeeras lägre fra exe. Träd Modeller Cox-Ross-Rubse 979 C-R-R Cox-Ross-Rubse odelle ka berakas på vå olka sä. Age so e dskre approxao av B- odell eller so e ege odell av e akes prsprocess och/eller e opos prsprocess. rocessera är dskrea och ella vare dpuk ka processe bara aa e av vå ölga llsåd. O är akes prs vd ka akekurse aa värde u ed saolkhee p och värde d ed saolkhee p vd dpuke. Vllkore u r d där r är räa åse vara uppfyll för a e e rval ölghe ll arbrage ska exsera. E ake ka aa e av fölade prs vd olka dpuker. Td rs d u du u d d d u du u : : : E opo föler e lkade prsprocess. Aag a C är e köpopo vars löseprs är K och a sludage är o e perod allså T. Jag skrver e u de explc här. O veserare är vsaxerade så aar opoes värde vd perodes slu e av de vå värdea C u axu K respekve C d axd K. e är ölg a kosruera e porföl besåede av de uderlggade ake och av rskfra oblgaoer. är är aale aker B är aale oblgaoer. orföles vker åse uppfylla fölade leära syse vd perodes slu. u rb d rb C u C d vlke ger fölade porfölvker

10 Cu Cd och u d ucd dcu B. u d r Vd dpuke ka e C B för o så är falle exserar de e ölghe ll arbrage. ea föler av arbragesraeg säl porföle och köp opoe. e går e a säa lkhesecke ella C och B vd dpuke oll. O B C K går de e a göra e arbragevs geo a säla opoe och köpa porföle eferso de so köper opoe koer a uya de drek. Iehavare erhåller beloppe K o ha säler ake drek och ka köpa porföle B och får dessuo pegar över. Usällare är de so skapar ölghee ll arbrage. Opoes prs vd dpuke oll är därför ax B K. O räa är posv så är K B. efera och r d q : u d C : qcu q Cd B. r O u K så är K och C C K och o K d är C qu q d K r / r r d ur u d / r ud ud K / r K / r K. å u K d är C qu K r och är är C K. Aag a r olkhee går då a skrva o ll fore ur r q K r qu r u d u r d / u d d qd då K d föler a C K så olkhee K B gäller. Uvdgg ll flera peroder sker på aalog sä geo a a ve opoes värde vd de olka llsåde på sludage. essa värde aväder a för a beräka opoes värde vd de olka llsåde vd äsa dpuk räde. ea upprepas lls dess a sardage ås. O ake ger udelg aar C-R-R a föreage föler e udelgspolcy so ger e kosa avkasg. ea edför a e uppgåg föld av e edgåg resulerar saa llsåd räde so vd e edgåg föld av e uppgåg. Uder aagade a föreage sälle delar u e kosa belopp uder opoes löpd ger allähe e e uppgåg föld av e edgåg saa llsåd räde so e edgåg föld av e uppgåg. Aale llsåd ökar vd kosa udelg och resulerar således e er beräkgsesv algor. E oposvärderge går a göra efer saa prcp so ova. Aag a och v är käda på förhad där o ake ger udelg uder perode k k v k aars är v k sa a peroder åersår för opoe. Lå V vara aale udelgar uder de äsa perodera så V uppfyller fölade relao ud

11 V : v k k C är värde för köpopoe för peroder frå värdergsdpuke gve a V akes uvarade prs har ädras ll u d där.... Värde för opoe beräkas seda geo a a besäer oposvärdea vd sludage de olka llsåde så C ax u d V K för.... Och geerell erhålls värde för peroder a sludage av V C ax u d K r pc p C för.... Ma börar vd sludage och arbear sg llbaka ll sardpuke. Alla värde so behövs vd äsa perod får a frå föregåede föruo u d och r. C-R-R delar upp löpde sycke lka låga dsperoder =. och säer u d och r ll d u : u : exp r : r års är akes volale r års är räa uryck på års bass och r är perod räa. O paraerara väls på de här vse erhålls koverges o B- odell de asyposka falle.obs paraerara ka välas på adra sä också för a få koverges o B- odell. Är de försa ere sörre axurycke är de opal a lösa opoe drek. älopoe värderas elg saa prcp e vd sludage blr opoes värde de olka llsåde lka ed ax K u d V för.... Lkade förädrg vd de adra. Redlea Barer 979 R-B Ugefär sadg ed C-R-R ko R-B på saa ekk för a värdera opoer. Me R-B härledde s odell på e aa sä och ag aser a deras härledg är på sä och vs geerellare ä C-R-R:s odell. Fas R-B:s paraeereserg är osädgare. e förusäer också a opoe reda hadlas så a de ka köpa och säla opoe är de dyask ädrar replkergsporföle. C-R-R:s eod går a geeralsera så a de gäller för saa process so R-B odelle. e är också ekel a ädra R-B:s odelle så a de dyaska förädrge porföle görs geo a a hadlar ake sälle för

12 opoe. lusase blr a ag ycker a de är er eller dre saa odell. Jag koer ädå a beskrva R-B:s härledg. R-B aar a ake ädrar sg bara vd dskrea dpuker. Uder perode [ ] ka akes kurs aa e av vå ölga llsåd. å ake värde ökar respekve skar är avkasge respekve. Aalog gäller saa för opoer där opoes värde vd perodes slu är age V o ake går upp och V o de går er. Vad R-B såg gve aagadea o processera var a de går a skapa e rskfr porföl. e har saa värde vd de båda llsåde. Arbrageprssäges ara ger a avkasge för porföle åse vara lka ed de rskfra räa. R-B kosruerar s porföl geo a vesera e kroa ake och köper eheer av opoe ll prse väls så a Vlke ger V V V V och o har opoer usälls. Vd dpuke är porföles värde och porföles värde vd perodes slu ges av e av sdora ekvaoe ova. å porföles avkasg är lka ed de rskfra räa r edför de a r V och V r V r. r är kosade för a ska replkergsporföle vd de olka odera vlke od de är fragår e av fukoe. å e aerkask opo ka uyas vd vare dpuk ges värde för opoe av V ax K för e köpopo och V ax K för e sälopo. eda aväds saa eod so C-R-R odelle. Algore börar vd opoes sludag där värde för opoe är kä för de olka llsåde. eda arbear a sg bakå räde lls sarpuke ås. O aagade görs a de relava prsförädrge för ake är kosa uder opoes löpd föreslår R-B a och väls på fölade sä och exp N N

13 exp N N är r är akes volale och N är aale peroder. Bree Acceleraed Boal 99 Bree aväder sg av saa ekk so Geske - Johso G-J 984 beskrvs eda fas ha lläpar de på C-R-R odelle. Ha aar a ake e ger ågo udelg och a de boala odelle besår av peroder. Bree kosruerar seda e föld av oposvärde. är går edas a uya vd dpuke T har vå lösedagar vd T och T har re lösedagar T T och T och så vdare. eda aväder Bree Rchardsos exrapolao för a approxera värde för e aerkask opo. Rchardsos exrapolao är e ekk för a sabba upp kovergese av e föld o de korreka värde. Exepelvs o edas re värde frå földe aväds fås approxaoe 7. C-R-R:s boal odell kräver a sycke odvärde beräkas eda Acceleraed Boal kräver a edas 4+ värde beräkas. ea värde är age värde för löse vd ode eller de rskeurala väevärde frå föregåede perod. För e opo usälld på e ake ed udelg uder opoes löpd föreslår Bree saa ekk so G-J vd osvarade fall se eda. Ta 99 Troal odell Boyle 986 var de försa so beskrev e opos värdergsodell där de uderlggade llgåge och opoe föler e roal process beskrvs eda. Jag beskrver edas Tas vå odeller. Me de bygger på saa prcp so Boyles odelle. e so skler de å är hur parerara väls för räde. Troal odell: I e såda odell aar akekurse e av re ölga llsåd vd äsa perod o vå boal falle. Opoes löpd delas sycke ervall där vare ervall har lka lägd. Gve... aar akekurse e av fölade re värde äsa perod age upp ll u ella värde eller er ll u d u och d. d. är Modelle har sex sycke paraerar u d p p och p där p är saolkheera för de olka rörelsera räde allså p är saolkhee a äsa rörelse blr uppå räde osv. För a roal processe ska kovergera o B- odelles prsprocess gräsfalle då åse fölade vllkor vara uppfyllda

14 4 p p p p p p p dp M M exp r up u E aa aurlg vllkor är a p ud p d p M V V exp. för a ska aale oder so räde aar frå ll. Vdare föreslår Ta s försa odell också a vllkore Vlke ger a paraerara får fölade for p p p ska vara uppfyll. p p p u K K d K K M V där V K M. 4 I s adra odell föreslår ha a roal processe ska ha saa rede och färde oe so de osvarade kouerlga processe har B- odelle. e vå adra vllkore blr då och u u 4 p p 4 p p d d 4 p p M M V 4 V 6. Jag skrver e er urycke för paraerara de adra falle. För de olka esera av de båda odellera so Ta gör vsar a de adra odelle är dre exak ä de försa. Ta föreslår också s arkel a paraerara boal odell väls så a de dskrea och kouerlga processe B- odell har saa rede oe. Försa och adra oee åse vara lka för a boal processe ska kovergera o de kouerlga. e eda för pareraras explca for. Lese-Reer 996 L-R e udersöker förs kovergese o de korreka värde för re adra boala odeller. Alla bygger på C-R-R eode e förfaara har kosruera räde på olka vs. rse på e europesk köpopo elg C-R-R ges av a; p Kr a; p c

15 5 där a; p p p är boal fördelgsfukoe är aale peroder a exp r r p helalsdele av ale. r d u d r u l K / l d p p a där är lu l d e olka boala odellera skler sg å hur u och odeller. d väls. L-R udersöker fölade C-R-R Jarrow-Rudd Ta u exp u exp d d r v exp u r v v r v exp d r v v r r exp r v exp L-R vsar a de boala odellera oscllerar ru osvarade prs så so fassälls av B- forel är aale peroder ökar. Aledge ll de är a löseprses plas räde är oberoede av rädes useede och a saolkhesassa so är kocererad ll de olka sluodera ädras vd vare ökg av aale peroder. e udersöker ed vlke hasghe de olka odellera kovergerar o B värde. Kovergese sker ed ordg > o de exserar e kosa k > så a k Ν : e och där e : C C. e är fele för boal odelle ed peroder o B- värde C. e bevsar därefer a alla re odellera kovergerar ed ordg. L-R föreslår e eod för a förbära kovergese och beräkgspresada. I sälle för a beräka boal fördelge ed ågo av de reda föreslaga saolkheera föreslår L-R a saolkheera ska approxeras ed hälp av oralfördelge. e aväder sg av e Movre-Laplace sas so grov säger a [ a; p] N h a p där N är oral fördelgsfukoe vars varabel besäs av e usergsfuko h a p där a är aale förflygar uppå räde aale peroder och p är

16 6 argale åe. å gve fxa a och ka h berakas so e fuko av p och då exserar verse h ll h. e exserar e aal föreslaga usergsfukoer L-R udersöker fölade re verser. A Cap-aulso-vers h y x x y x y y x xy 9 9 y y ed x a y a är varabel för oralfördelge. B eer-ra-meod--vers fall: a a a 5 5 5exp h 5 5 5exp 6 C eer-ra-meod--vers fall: a a a h L-R aväder e av ovasåede fukoer h och ar so daa d och d frå B- forel för a besäa p och p. ärefer lläpar de vllkore p r d /u d so åse vara uppfyll för a ge arbrage ska exsera och defoe p u rp för a besäa u och d och får resulae p h d p h d u r p/ p och d r pu p araeer a ka välas ex ae så a löseprse lgger räde. Aväds Cap- aulso:s eod erhålls koverges av ordg e ed kosae ugefär lka ed e. e re boala odellera har kosae fyra. Kovergese för Cap-aulso:s eod sker också ooo sälle för a oscllera so falle är ed boal eodera. 6 e olka eer-ra eodera B och C är sor sä lkvärdga. Tll skllad frå de adra eodera ger sulerg resulae a kovergese ske ed ordg vå. Me deras sas för övre kovergeshasghe säger a eodera kovergerar av ordg.

17 7 Boal odell ed slupässg d I e arkel frå 998 beskrver blad aa Lesse hur a kosruerar e räd där löseprse alld lgger vd e od räde. e leder ll a kovergese o B- värde de europeska falle sker ed ooo koverges. Exrapolaosekk är då fördelakg a aväda. Me kovergese sker forfarade ed oscllao för de aerkaska opoe så ag beskrver e de räde. å ge drek förbärg erhålls förhållade ll de adra räde för de aerkaska opoe. Lesse 999 beskrver e aa räd där dsavsåde ella vå hadelsdagar odelle är slupässg. e är ekvvale ed a de olka perodera har slupässga lägder. eroderas lägd besäs av e osso process. Lå x och vara vå reella földer där x och. Lå vara oberoede expoealfördelade sokasska varabler ed väevärde N och ax. å N är e ossoprocess ed ese och är aale hädelser so har räffa ll och ed dpuk. Lå R vara e föld av oberoede lka fördelade sokasska varabler och vare R är också oberoede av N. R :s fördelg ges av N R x ~ x p p. Lese deferar seda slupds boal odelle RTBM geo N X R och exp X där är prsprocesse för ake. ärefer vsar ha o E R och Var R där och är väevärde respekve varase för de kouerlga processe B- odell så kovergerar o de. Geo de slupässga perodlägdera får odelle e exra rskfakor och odelle blr därför cke fullsädg. För e dskusso o de se Börk 998 sd 5-6. Vlke leder ll a argaleåe e är eydg besä av odelle. Lese föreslår fölade argaleå

18 8 q x där r och är varase för de uderlggade llgåge. O RTBM processe ska kovergera ll osvarade process B- odelle ka e och välas oberoede av varadra. å Lese säer x. x Värde för e aerkask sälopo där de uderlggade llgåge e ger ågo udelg beräkas på fölade vs. Lå vara värde för e aerkask sälopo beräka e peroders boal odell ed paraerara u d r q exp x exp x exp r N där q är so ova. När Lese beräkar byer ha u exp rt. Värde för e aerkask sälopo ges av T r N exp o T q T T e! där är fx. O x så kovergerar ll osvarade värde B- odelle. När Lese pleeerar odelle beräkar ha sua upp ll och ed T där är helalsdele av ale. Ha föreslår också fölade exrapolaosekk för a ska aale erer sua so behövs beräkas för a få e llförllg värde. Aale beräkgar RTBM är av ordg äför ed C-R-R där ordge är av. Me kovergese verkar ske ed ordg vå sälle för ordg e C-R-R odelle. Lese ger ge forell bevs för s påsåede ua hävsar ll sulergar. Boal ed Black-choles BB Broade och eeple 996 beskrev dea eod. e är so C-R-R eode föruo då a arbear sg bakå räde då a byer u forsägsvärde axurycke ll osvarade Black och choles värde dssege före sludpuke. Fördele ed a bya värde ycks vara a a får e sabbare koverges o de korreka värde. ea oscllerar ycke dre ä vad so häder de urspruglga odelle. Vdare föreslår de a a

19 9 aväder BB llsaas ed Rchardsos exrapolao. ea förbärar eodes exakhe och sabbhe vlke fragår av resulae uvärderge. Corol varae ekk Hull-Whe odelle 988 H-W I sabad ed Moe Carlo sulerg av oposprssäg föreslog Boyle 977 dea ekk. Vad H-W vsar är hur ekke ka avädas sabad ed räd-ekke. Corol varae ekke kräver a de fs vå sarlka opoer A och B på de uderlggade llgåge och a saa uerska ekk går a aväda för a värdera båda opoera och a ex B har e llförllg värderg va e aa ekk. ä C B C A C B A B : käda värde för B : eserade värde för A elg de uerska ekke : eserade värde för B elg de uerska ekke : sadard fele för C : sadard fele för C A B B : korrelaoe ella C och E y eserg av A:s värde ges av ˆ A C B C A CB C Vlke har sadardfele C A A B A B so är dre ä o A B. A För aerkaska opoer begagar H-W ekke på e räd av C-R-R yp. B-opoe aas vara e europesk opo och de rkga värde ges av B- forel. aa räd aväds ll a värdera de båda opoera. H-W påsår a fele för prsesergara för vå sarlka opoer har e edes a bl för hög korrelerade. e vsar också a saa ekk går a aväda för a esera de olka dervaora ed avseede på opoes paraerar. Lå vara paraeer fråga. Beräka C och C ed hälp av räde. ä A B C A C B A C A C A

20 desaa för B och där B är e llförllg eserg av B:s dervaa ed avseede på paraeer va exepelvs B- forel. E y eserg av ges av A ˆ A B A B I puke. är de ya eserge har sadardfele A där är sadardfele för C ˆ A A och är korrelaoe ella C ˆ A och Cˆ A. Oposprse so e fuko av udre och övre begräsgar Johso 98 r Ha ugår frå relaoe T p K K p Ke där pk är värde för e europesk sälopo ed löseprse K. rse beror också här på akekurse och löpde e de sabade skrvs e u explc. K är osvarade värde för e aerkaska sälopo. e ssa olkhee häar ha frå Margrabe 978 so säger a e aerkask opo vars löseprs ökar ed de rskfra räa aldrg är opal a uya a sludage så dess r värde blr desaa so e europesk sälopo ed löseprse T Ke. r ärefer urycker Johso K so e väg edel av p K och T p Ke geo K p K p Ke r T fferese K p K ella e aerkask och e europesk opo är e kosa är de uderlggade llgåge eller är värdergsdpuke ädrar sg ädras dfferese också ella opoera. ea ebär a åse vara e fuko av e eller flera varabler. För skag av fukoe aväder sg Johso av regressosekk. aa ll skage av fukoe ar ha frå abellera arkso 979 och Cox-Rubses bok 985. Frå de skaade oposprsea föreslår ha fölade fuko so är e fuko av produke av löpde T och räa r. är r T r T a r T a. l / L l K / L

21 och är de opala lösegräse för opoe för värde uder ska opoe uyas drek. Vlke leder ll a e y fuko åse skaas so sker geo och K T T b T b r där är e fuko av produke av akes volale och löpde T. araerara b a a och b ar Johso fra geo regresso där ha aväder sg av daa frå arkso 979. Forel gäller bara för e ake so e ger ågo udelg. Broade-eeple odeller 996 Broade-eeple aväder sg av saa ekk so Johso 98 e på e ycke er sofskera sä. e kosruerar udre och övre begräsgar för oposprse och urycker seda oposprse so e fuko av gräsera. För e aerkask köpopo där de uderlggade llgåge aas föla prsprocesse d r d dw Tllgåge ger fölaklge e kouerlg udelg. e opala lösepolcy ges av fukoe. o udre gräs för opoes värde aväder de capped call opoer. Vlka har ubealgsfukoe ax L K där L är ake och opoe är europesk o L e åse uyas drek då år L. Värde för e såda opo beeckas C L. E: för e capped call har e aalysk lösg. å c = l C L för då L blr C L e valg europesk opo och L eferso e aerkask köpopo ka uyas är so hels och då vd olkhe C L C so gäller för alla L. e väler so udre begräsg l C : axc L C L =L föler fölade so är e dffereal opergsproble ll vlke de exserar e aal lösgseoder. l l O så är också L och då C är de axala värde över alla L föler a c C. För a besäa de övre begräsge aväder de sg av Ks 99 ekk a urycka e aerkask oposvärde so e fuko av e europesk opo plus e rskpree C c E

22 där akekurse och lösegräse är för dpuke och radvllkore ges av C K T. Me sälle för a besäa radvllkore uersk för e aal puker och seda aväda exepelvs leär erpolao approxerar de de opala lösegräse uderfrå geo a lösa ekvaoe L. L är dervaa av C L ed avseede på L uräkad då ärar sg L uderfrå. L. beeckar lösge ll ekvaoe L. B- bevsar vå saser so säger a L och C C : C l C u. e bevsar också a skllade ella udre och övre begräsgara går o oll allså C u då ågo av fölade fall räffar och de adra paraerara är fxerade vare eskl fall T eller T eller eller eller eller eller eller r. e föreslår fölade vå approxaoer av e aerkask köpopo och l C C C C C u Och kallar C för LBA Lower Boud Approxao och C för LUBA Lower ad Upper Bouds Approxao. o värde på vkera föreslår de = och = 5 eferso de sa suder aldrg har räffade på e sörre ä. Vkera ka också besäs geo regresso så so hos Johso 98. För aerkaska sälopoer hävsar de ll Mcoald och chroder so vsar fölade lkhe C K r K r Ieoe bako lkhee är a e köpopo ger räghee a växla pegar o llgåge och de osaa för sälopoe. Värde uryck so e oädlg sua Geske Johso 984 G-J e aar a e ake föler e GBM geoersk browsk rörelse och a ake ll e böra e ger ågo udelg. ärefer gör de e oädlg e uppräkerlg paro av opoes löpd där vare delervall har lägde. eda görs aagade a opoe

23 edas ka lösas vd pukera.... e aväder oposeors huvudprcp a vd värderg ska de rskeurala väevärde av frada kassaflöde dskoeras ll uvärde. Vd dpuke räffar e kassaflöde o där är akes opala lösegräs. Ma egrerar löseprse us frada akeprse över ervalle och ähee är de för. ea värde dskoeras ll dpuke. Vd geereras e kassaflöde o gve a så vd beräkas de begade väevärde av K gve a och så vdare för de övrga dpukera. Jag för beeckgara där N d R R är de - desoella ulvarava oralfördelade egrale d är de övre egraosgräsera och är korrelaosarse. är e x ars so ädrar ecke på de ssa eleee e vekor ed elee. ä d : = l / r 5 d : = d. d d : = d -. w : = där R = N d R R w rd : = N R e d. Ovasåede leder då fra ll fölade uryck för värde för e aerkask sälopo Kw För de uerska pleeerge av Kw w föreslår G-J fölade eod. e kosruerar e föld av opoer där har e lösedag vd T har vå lösedagar vd T / :s värde av eller T och w. har lösedagara vd T-/ T-/ och T osv. Exepelvs ges T / N R Ke rt Ke r d R N d N d R N d R är N d och är so föru e urycke för de har useras. e opala löseprse ges av R T / K K T / r.

24 4 Földe :s gräsvärde ska vara värde för e aerkask sälopo. G-J aväder Rchardsos exrapolao för a beräka gräsvärde. e aväder de re försa värdea földe och härleder fölade approxao av värde för opoe. 7 å ake ger udelg exserar e perod a vare udelg där de aldrg är opal a uya sälopoe. G-J föreslår då a de ssa udelge väls us så sor a opoe uder hela perode fra ll :s udelgsdag aldrg uyas. O de fakska udelge väls alla lösedpuker de ssa perode. å föreslår de fölade approxao va lär erpolao där och är värde för sälopoe då ake e har ågo udelg eller e udelg respekve udelg. e uderlggade akekurse löpde och de adra paraerara är de saa föruo udelge för fukoera. Buch-Johso 99 B-J Aväder saa prcp so G-J. Me de föreslår a Rchardsos exrapolao aväds på vå värde sälle vlke ger e äda skllade ella G-J och B-J är hur väls. e försa ölghee ll löse väls frå T /8...7 T /8så a axeras och då koer :s värde ärare gräsvärde för földe. Fördele ed eode är a a slpper beräka e rppelegral vlke är er beräkgskrävade ä opergsproblee. Aalysk approxao MacMlla 986 Ha aar a lösge ll E: för e aerkask sälopo har useede p e är p är osvarade europeska opo. Efer e resoeag o a ävks oposprse kräver kouerlga fukoer föler a e är e kouerlg fuko och e åse uppfylla B- E e re re e

25 5 ed vssa radvllkor. e radvllkor so MacMlla skrver ed osäger sg sälva. I böra av s papper skrev ha ed fölade radvllkor so e aerkask sälopo åse uppfylla. T T ax K T ;. ax K ;. K ; 4. ; 5. l är vllkor 4 är överflödg eferso är e srägare vllkor. eda ädrar ha vllkor för och säer sälle e T. Vlke leder ll T p T ax K T. ärefer skrver ha a a ska lösa ed avseede på vllkore ll 5. e är ärklg för o e ax K blr de aldrg opal a lösa uder opoes löpd för o K är p och dea llsaas ed vllkor för e ger a K. Vdare då K fs de ge kouerlg fuko so uppfyller vllkor för T och e T. ea ebär a vllkor borde vara e ax K p T. MacMlla aar seda a e har fore E g f g r T där g e. får då useede f Mf M g g g f f g f där M r /. Geo a borse frå ere ehållade g g erhålls e OE av Euler yp f Mf M g f ed de karakärsska polyoe h M M g Fukoe f har de geerella fore f a a.

26 6 h har e egav ro och e posv för h M / g o r och h. MacMllas vllkor 5 ger då a a. ärefer besäs a sä a a och geo a K- åse vara agee ll vd de opala lösegräse. å vllkore p g f K och p g f leder fra ll a de opala löseprse är e fxpuk ll fölade ekvao h K p N d där N är oralfördelge och d är so B- forel för köpopoe. efera a N d g och sä N d A ga. MacMlla får således fölade aalyska approxao av sälopoes prs p A. E år seare publcerades vå sarlka odeller. Baroe-Ades och Whaley 987 aväder sg av saa ekk på e er geerell prsprocess där e av falle ger ovasåede resula. Oberg 987 bygger också prcp på saa ekk. Ha aar a de opala lösegräse föler e förubesäd fuko. Me ll slu är ha ädå vuge a aväda sg av ågo uersk fxpuksekk för a få fra e värde. Baroe-Ades och Whaley 988 B-A o W Baroe-Ades och Whaley bygger u MacMllas odell ll a ofaa falle då ake ger e käd udelg uder opoes löpd. Lå vara udelge och är dpuke då udelge räffar. å fs e perod a då de e är opal a lösa opoe. Lå vara dpuke för vlke de dessföra ka vara opal a lösa opoe ges av och Kexp r l K. r

27 7 O är de aldrg opal a lösa opoe a Iräffar löse uder opoes löpd koer de a ske uder ll T. å fs de vå peroder uder vlke löse ka vara opal uder opoes löpd perodera är ll och ll T. Förs redogörs för falle då. B-A o W aväder sg saa ekk so Johso 98. e vll säga udre och övre begräsgar och urycker oposvärde so e väg edel av begräsgara. Jag aväder saa beäckg so B-A o W för de aerkaska sälopoe ; där de uderlggade ake ger e udelg uder löpde. efera exp r och lå vara e aerkask sälopo värderad ed MacMllas ekk och där de uderlggade llgåge e ger ågo udelg och föler GBM processe för. å är e övre begräsg för ; och har e posv saolkhe a bl uyad uder hela opoes löpde. Meda opoe ; edas har lösepree uder perode ll T. e uder begräsge erhålls geo a a bor lösepree e för perode ll frå. är e p deferas geo p e p är e udre begräsge blr e. och p har sludage. Noera a då är låg förhållade ll K ökar saolkhee a ; löses drek efer. ; kovergerar således o e. Approxaoe av ; sker geo fölade forel ; w w e är w är saolkhee a löses drek efer och w w. För a få fra ; :s värde åse beräkas och då erhålls också de opala löseprse w ed vlke saolkheera och w ka beräkas geo där w N b och w N b l ' / b r 5 e adra falle är svårare bl.a. därför a de - desoella fördelgsfukoera behövs beräkas. Tll de föregåede prsforel läggs opoe ll so har sludage vd dpuke och vkera ädras så prsforel blr e w ; w ' w

28 8 där w w w w N och l ' / a : a r 5. so är saolkhee a e opo på e cke udelade ake blr lös vd och w : N a b; / w : N a b; / där N a b; är de desoella oralfördelgsfukoe och är korrelaoskoeffcee. Fe fferece Jag börar ed e korfaad beskrvg av de alläa ekke so bygger på Wlo. fl. 99 kap. 6-. eda ar ag upp deras föreslaga lösgsekk för e aerkask opo. För a seda kor koeera de dgare publcerade arklara. e geerella problee för aerkaska opoer är a a e ve fukoes lösgsdoä på förhad. Aledge är a de opala lösegräse åse besäas sadg ed lösge av prsfukoe. Tekke bygger på a a approxerar de parella dervaora ed dffereser. O exepelvs u x är e fuko av x och ges de parella dervaa ed avseede på x av u u x u x x x x x x och de approxeras seda geo u u x u x x x x x där x är le vlke kallas för bakådfferese. e fs flera olka sä a approxera de parella dervaora ex geo fraådfferese vlke ges av a u x x bys u o u x x bakådfferese. å lkade sä approxeras de högre parella dervaora. Ceraldfferese ges av u u x x u x u x x x vlke är av ordg O x x x ärefer delas fukoes doä e ä där äpukera eller odera har useede x. Aalyse av fukoe u x kocereras ll odera äe. Iför oaoe u : u x och aalog för adra fukoer.

29 9 eda as dfferesapproxaoer för de parella dervaora och soppas E:. För vare od erhålls e dfferesekvao sälle. Två vkga begrepp dea avseede är sable och koverges. ablesbegreppe har a göra ed o dfferesekvaoer är käslga för så fel daa. Ekvaoera ger upphov ll e rekursv syse och o fele försoras vd vare y beräkg säges sysee vara sabl. ysee är koverge o dfferesera kovergerar o de räa värde då x och går o oll. Wlo. fl. vsar a Black och choles ekvao ka rasforeras ll fölade kap och hävsgar där u u x där u ka age vara e säl- eller köpopo värde. e aar också a ake ger e kosa udelg. älopoe har fölade al- och radvärdesvllkor k exp k u ax exp k 4k ax exp k exp k u exp l u 4 där k r / och k r / är de kouerlga udelge. roblee går a skrva o ll så kallad lär kopleeär for vlke ger g g. där g är de rasforerade ubealgsfukoe för sälopoe ges av k 4k k k 4 ax g e e e. Fördele ed de lära kopleeära fore är a där dyker e de fra radvärdesvllkore upp urycklge ua besäs eferå av vlkore g g för. och e aväder seda fölade approxao av E:

30 x x där. å ges de explca dfferesapproxaoe x ger Crak-Ncolsos approxao och ger de plca dfferesapproxaoe. Vllkore och säs ges fölade olkhe / / / x. e rasforerade problee är defera på a oädlg ervall så är de dskrea problee ska beräkas åse ervalle rukeras så a e ädlg ervall erhålls. ä de rukerade ervalle ll. Ovasåede proble går då a skrva på fölade ars for x x N x x x N x. g b b g är och A är e kvadrask syersk och redagoal ars b N N och b sa lkade för de N N b b adra koluera. går a beräka explc vare seg och de adra koluera föreslår de beräkas geo e uvdgad for av OR uccessve Over Relaxao algor se sd 8. e föreslaga ekke är sabl för b o och för är approxaoe sabl o. Brea och chwar 977 aväder sg av explc dfferesapproxao drek på Black och choles ekvao. Me so de äer s arkel frå 978 ka approxaoe vara sabl övrg hadlar arkel o a dfferesekvaoera ka berakas so e sokassk process och dess koverges ll dffusosprocesse. Wlo. fl. har e uförlgare dskusso o de på sdora 88-9 och säger a approxaoe ka var sabl ua a kovergera. e axala dssege för sable beror edas på aale seg -led e e seglägde på dessa. Courado 98 aväder sg av Crak-Ncolsos eod. Me ha lläpar edode edas på e köpopo där de uderlggade ake e ger ågo udelg. Geske och hasr 985 udersöker fyra olka dfferesapproxaoer. Två so bygger på a B- ekvaoe rasforeras geo. e vå adra bygger på a B- ekvaoe y l

31 rasforeras ll u / ak u / y. ärefer udersöker de explc och plc dfferesapproxao på de vå rasforerade problee. Mehod of les Meyer och va der Hoek 997 beskrver hur ehod of les ka avädas vd värderg av aerkaska opoer. Meode bygger på a de kouerlga dsdervaa bys u o e dffereselee sälle. å de ya problee får dskre d. Förfaara aväder s arkel försa och adra ordges bakåapproxao vlke ger a problee blr obega sabl. å edas dsdervaa approxerars erhålls sälle e syse av försa ordges dfferealekvaoer. Lösgara ll sysee häger hop geo Rcca rasforaoe. fferealekvaoera är av ype begyelse värdesproble vlka de löser ed rapeodal egrerg över e fas ä. Aledge ll a de aväder e fas ä är a då har de alla värdea för lösge äsa seg. Vd vare dsseg efer a de har lokalsera ella vlka oder so de opala lösegräse lgger approxeras de ed hälp av värdea fyra olka oder. Vlke ger a lösegräse e behöver lgga på e av de förubesäda odera. Lär prograerg epser och Huo 996 skrver o B- ekvao för e aerkask sälopo ll e lär kopleeär proble. I vlke de seda approxerar dervaora ed osvarade dffereselee. ea proble har seda e ekvvale lär progra vlke de löser ed hälp av plexeode. e sease åres uvecklg av plexalgorer gör a de är e kokurreskrafg eod. Nuersk egrao och egral ekvaoer arkso 979 arkso har föreslag e uersk eod för a värdera e aerkask sälopo där de uderlggade llgåge är e cke udelade ake och löseprse är K. Meode bygger på a opoe approxeras ed vad ha kallar seaerkaska opoer. essa är opoer so bara går a uya uder e ädlg N aal llfälle uder oposlöpde. arkso påsår a då N erhålls de rkga värde för e aerkask opo. Ha delar opoes löpd N sycke delervall N N... T. Obs dexerge är å adra hålle här förhållade ll de adra odellera. Med böra bakfrå och räka u värde för. ärefer as ax K so radvärde för äsa perod och så vdare bak ll. roblee är bara a a e ve värde för. arkso föreslår då fölade uerska eod för a beräka värde. vd dpuke

32 y arkso defera y dy där dy är seglägde... ; b e y där är Heavsde fukoe ; d T d... där d är fx och deferas eda; : y. eda föreslår ha e dskre approxao av de successva europeska opoera ed ova äda radvllkor elg fölade; ax b q y y d där q y är de logorala fördelge varvd sua är e approxao av e rd Q d obs beraka so d. Tll slu görs också e dskre approxao av q y. Geo a säa : u rdy ; a : 5u 5u ; a : 5 a ; d : a ady och e e c= e rd rd rd a a a a ; vlke ger a ax b c c c Vd pleeerge behöves e udre och övre gräs välas för och värde för dy besäas exepelvs aväder arkso dy vd sa beräkgar. Observera så so d är defera så gve e fx dy ka opoe edas värderas vd dskrea dpuker. Huag-ubrahaya-Yu H--Y 996 För a prssäa e aerkask sälopo aväder sg Huag-ubrahaya-Yu av Carrs. fl. ekk a dela upp e aerkask opo vå delar. e ea dele är de osvarade europeska opoe och de adra dele är pree för räghee ll löse uder hela opoes löpd. å de egelga problee blr a approxera lösegräse. O akekurse lgger uder lösegräse är de opal a uya opoe. ea gräs är väldeferad uk och har kouerlg realserg. H--Y härleder fölade uryck för opoes värde där de uderlggade llgåge föler e GBM och vars cos of carry är b x x x Cos of carry är exeplvs r för aker och r-r för valuaopoer där r är de adra lades rskfra räa.

33 T rs s p rke N d s s e N d Bs s ds där r b N är oralfördelge och d x y s d x y s l x / y b / s / s d s Lösegräse vd dpuke uppfyller fölade ekvao K T rke Ke r r N d K e N d e N d ds N d K där T och s. e vå försa erera osvarar värde för e europesk opo ed forwardsprse. Trede ere ger räevse av förda löse och de färde och ssa ager förluse av försäkrgsvärde. Fördele ed ovasåede forel är a då a har besä är de bara a dervera urycke för a få fra hedgeparaerara. Tll skllad o adra eoder där a behöver ädra de uderlggade llgåges gågsvärde och seda beräka värde åer ge för opoe för a kua skaa dervaora uersk. Ipleeerg av eode: förs åse lösegräse approxeras på ågo vs eferso de e har ågo aalysk lösg. Iervalle T delas N sycke delervall... T. Gve gräsvllkore N K rk / ka N T : N är e cke lär egralekvao so löses ed hälp av ågo uersk eod. Mella på dpuker och ka approxeras ed lär erpolao. H--Y föreslår e a beräkas rekursv ed hälp av N sycke gåger. Ekvaoe a aväder Rchardsos exrapolao vd beräkge av för a ska aale dpuker där lösegräse behövs approxeras. O re pukers Rchardsos exrapolao aväds fås fölade uryck 9 / där är värde på opoe där egrale har approxeras ed e sua. å sä sua ll oll. Vd approxeras fukoe egrale ed e kosa fuko och so värde på kosae as fukoes värde puke T-/. För approxeras fukoe ed hälp av e rappsegsfuko ed e seg där värdea för de olka sege ges av de urspruglga fukoes värde pukera T-/ och T-/. å ake e ger ågo udelg ges av uder förusäge a p

34 4 / / / T d N e rkt p T rt / / / / / / T d N e T d N e rkt p T rt T rt. Edas re sycke gräspuker behövs således skaas. Ju 998 Ju ugår frå Carrs. fl. 99 ekk a urycka värde för e aerkask sälopo so värde av e osvarade europeska och rskpree för räghee a uya opoe uder hela löpde. Isälle för a försöka besäa de opala lösegräse approxera ha de geo e expoealfuko så so Oberg 987. Fas Oberg aväder e s approxava lösegräs drek vd värderge av e aerkask sälopo. e ssa ege är e hel korrek. För sälvklar är e del av värdergsproblee a besäa o a ska uya opoe drek eller e. Me Oberg aväder e expoealfukoe s aalyska approxaosforel. Fördele ed a approxera lösegräse ed e expoealfuko på fore är a de då fs e prv fuko ll egrale för lösepree. B expb I de edasåede frasällge aas ake e ge ågo udelg. O ake aages ge e kouerlg udelg fs också aalyska lösgar ll värdergsproblee gve a lösegräse approxeras ed e expoealfuko. Ju börar ed a skrva o rskpree där och är vd dpuke så a T rs r ds s d N re K e K där T och r y x y x d / l B expb. ärefer delar ha ervalle sycke lka låga delervall och approxerar lösegräse vare delervall ed e expoealfuko på fore. Iegrale dvderas ed K ger då lösge e delervall T N N e N N e N e N e r b B I r r

35 5 där r b l / B och r. O lösegräse edas approxeras ed e fuko aerkask sälopo geo B e b erhålls värde för e p K e K r T KI T B b r B B e e b b. För a besäa paraerara B och b där är aale delervall och är vlke av delervalle räka frå T expoealfukoera aväder sg Ju av a fölade vå lkheer gäller vd lösegräse och K b e b T / B e b T / T / där är forel för e aerkask sälopo där lösegräse approxeras ed sycke expoealfukoer. För e dskusso o de adra vllkore se Wlo. fl Gve e fx åse a böra ed och arbea sg bakå ll. å de föregåede värdea för och där... k behövs för a besäa och. Ju föreslår B a a aväder sg av de -desoella Newo-Raphso eode för a besäa de olka B:a och b:a. o sarvärde för Newo-Raphsos eod föreslår ha a a ar MacMllas 986 approxao so B och säer b. o sarvärde vd beräkge och b ar ha och b och så vdare för de adra paraerara. O B b B MacMllas 986 approxao av är dre ä 5% av T K värde aser ha a de B e är ågo drek dé a approxera ed expoealfukoer. Ua de går lka bra a approxera ed e segvs kosa fuko. Tll ss förordar Ju a a också ska aväda Rchardsos exrapolao vd pleeerge för a ska aale delervall e ädå få e llförllg lösg. O re pukers Rchardsos exrapolao avädes beräkas värde geo B k b k där är värde för e sälopo där lösegräse har approxeras ed hälp av sycke expoealfukoer. Buch och Johso

36 6 e föreslår vå adra sä a beräka/approxera de opala lösegräse för a kua beräka egrale för lösepree uppdelge av värde för e aerkask sälopo. Förs beskrver de e aa erav ekk för a uppskaa. Tekke bygger på vllkore a de parella dervaa av ed avseede på löpde uräkad puke är lka ed oll. Vlke ger a åse uppfylla fölade ekvao där T och r / K exp g l / / / l g och g är h K / och r r h he där r /. 4 För a besäa vlke ecke so gäller g behöver a vea ollsälle för g. e fs e uk so gör a e de behövs också lösas erav. För o väls de g posva roe och de oväda för. Isälle för a beräka g erav föreslår de fölade approxao l / g. 4er / Vd pleeerge löser de de erava ekvaoe för ed safeguarded Newos eod. Iegrale för lösepree beräkar de på vå sä. I de ea falle ed saa ekk so H--Y beräkar egrale och seda aväder de sg av exrapolao över aale seg so rappsegs ergrade gör. I de adra falle beräkar de egrale av e prograpakee IML och de hävsar ll e ru pakee. / Approxao ed opoer ed slupässg löpd Carr 998 Carrs ekk bygger på a ha uyar expoealfördelges eslöshe. Ha aar a opoes sludag är slupässg och a de besäs av e ossoprocess efer e aal förbesäda hopp. ossoprocesse aas också vara oberoede av de uderlggade prsprocesse. Aag förs a opoes sludag är efer e hopp. å är löpde expoealfördelad vlke leder ll a då de förflyas gve a försa e har räffa koer opoe e ärare sludage och löseprse är därför fx så opoes lösegräs blr också dsoberoede allså kosa. ua av expoealfördelade sokasska varabler är gaafördelade. å o T är de för de :e hoppe är T / där är esee för ossoprocesse. å är

37 7 T / och VarT = /. Väls så a väevärde för T är lka ed löpde för de aerkaska opoe so a egelge vla besäa värde för fås vllkore T T / T VarT T /. När esee ökar ossoprocesse ökar aale hopp so processe gör och varase skar så fördelge kocereras er och er krg de urspruglga opoes löpd. Vd pleeerge av s eod aväder Carr sg av Rchardso exrapolao. Ha härleder fölade N pukers Rchardso exrapolao där de uderlggade llgåge e ger ågo udelg ˆ N N! N N N ˆ T.! ˆ T / är värde för e aerkask sälopo ed hopp ed de förväade perodlägde T-/ för vlke de fs e aalysk lösg. ˆ N är de approxava värde för e aerkask sälopo vd N pukers Rchardso exrapolao. e opala lösegräse besäs relav ekel de här falle ed e rekursv eod. Lösegräse får e rapplkade useede för e aerkask sälopo ed slupässg löpd. ulerg Logsaff och chwar 977 publcerade Boyle e arkel där ha beskrev hur Moe Carlo eode kude avädas för a beräka opoes värde. Me Moe Carlo eode asågs vara e effekv eod för värderg av aerkaska opoer där de ka vara opal a uya opoe före sludage. Lägs vare baa so geereras åse vd de olka dskrea dpukera beräkas o de är opal a uya opoe drek eller e. Meode blr således väldg beräkgsesv. Uder 9-ale har e aal arklar publceras so behadlar Moe Carlo eode eller sulerg. essa arklar behadlar e försa had aerkaska opoer usällda på e ake. Ua ar upp fall där de uderlggade prsprocesse drvs/besäs av fler fakorer ä e för exepelvs e aerkask opo av de axala värde av säg fe aker eller då avkasgskurva odelleras ed hälp av flera fakorer. I dessa fall blr också boal och fe dfferesekkera väldg beräkgsesva och Moe Carlo eode blr e gågbar alerav. För e geogåg av Moe Carlo eoder för llgågsprssäg se Boyle Broade och Glassera 997. Tll Logsaffs och chwar arkel so börar ed aagade a opoe edas går a uya vd sycke llfälle... T. Vd vare dpuk åse ehavare besäa o ha ska uya opoe drek eller hålla opoe vd lv. E av problee vd sulerg är a besäa de opala lösepolcy för e vsaxerade veserare och där lgger de orgella deras arkel.

38 8 Lå F vara e fullsädg saolkhesru och {F : T }är e flrerg ed avseede på prsprocesse. Q är argaleåe se Börk och de berakar edas ubealgsfukoer so lgger L. C s ; T beeckar de opala kassaflöde geera av opoe lägs baa bega av a opoe e har blv uyad före eller vd dpuke. Vd dpuke är kassaflöde kä för drek uyade av opoe e e kassaflöde för a forsäa a eha oposräe. Arbragefr värderg ger a värde vd frada kassaflödea. Vlke ges av urycke eda F =EQ exp r s ds C ; T F för de där r s är de rskfra räa. å ubealgsfukoe aogs vara e elee frå L föler a F är desaa. L är e Hlberru och har e uppräkerlg orhooral bas. å de väler förs M sycke basfukoer och approxerar F ed hälp av dessa. Approxaoe beeckas Fˆ M och de besäs geo a proekera de dskoerade värdea C s ; T för de baora so opoe är -he-oey 4 vd på bas fukoera ed sa kvadra eode. å aale baor N går o oädlghe kovergerar FˆM F M L där FM är proekoe av F på de M sycke bas fukoera. När de begade väevärde är besä/esera för dpuke de är opal a uya e opo vd. O K FˆM går de a besäa o löses opoe drek. e opala lösepolcy går a lösa rekursv för vare baa ed hälp av de eserade begade väevärdea. Värde för opoe beräkas seda geo a a börar vd dpuke och föler seda vare baa fra lls a år e opal lösedpuk. Opoes värde vd de opala lösedpuke as och dskoeras ll dpuke. lulge beräkas edelvärde av alla de sulerade baora och opoes värde aas vara lka ed edelvärde. Clée. fl. aalyserar Logsaff och chwar algor. e vsar a algore kovergerar o de korreka värde. I saa arkel aalyserar de också kovergeshasghee. e beskrver också fördelge för de asyposka oralserade fele för algore. Tsskls. fl. har e arkel föreslag a sa kvadraeodregresso för sulerge görs på e aa sä. Valug Aerca u Opos Usg Gaussa Quadraure av ullva 4 E sälopo är -he-oey då <K och de oväda för e köpopo.

39 9 ullva aväder sg av saa uderlggade odell so B- och a ake e ger ågo udelg uder löpde. Ha gör sadardaagade för uersk värderg av aerkaska opoer de vll säga a opoe edas ka uyas vd sycke llfälle... T och. rse för opoe ges av r ax K e e... där ~ N r är sadardavvkelse och T ax K T. Aledge ll forels useede är a vd dpuke ka opoe uyas och då får a beloppe K eller så väler veserare a hålla opoe vd lv och då räffar äsa ölghe ll löse vd vars värde/kassaflöde är. Värde vd dpuke av värde/kassaflöde frå dpuke e är lka ed de rskeurala väevärde dskoera ll se exepelvs Börk vlke ger urycke. Ake har fördelge. ea föler av a e vd löser E: exp r W W där W är e browsk rörelse d r s d dw där s är e kosa och. Lösge fås geo a defera exp r W W derverg ed avseede på e gåg och W vå gåger vlke ger och seda r W W så Io s forel ger se Börk sd. 8 eller Øksedal sd. 44 a d r dw d r d dw. å W W s är oralfördelad ed väevärde och sadardavvkelse s där s. å gve a är käd föler a har de påsådda fördelge. A har väevärde r / argaleåe. koer av a väevärde för akekurse ska as ed avseede på ' är so dgare de opala lösegräse so ges av