Relationen mellan avkastning och löptid hos extremt långa obligationer

Transkript

1 NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala unverse D/Examensarbee Förfaare: Mkael Larsson Handledare: Annka Alexus HT 2005 Relaonen mellan avkasnng och löpd hos exrem långa oblgaoner

2 Sammanfanng I den klassska lerauren om avkasnngskurvan anas rskpremer vara dsnvarana medan modernare jämvkseorer llåer rsken a varera över den. Suden ugår från båda eorerna när kora nveserngar långa oblgaoner från Sorbrannen analyseras. Vdare analyseras vlken effek olka löpder har på oblgaonernas överavkasnng. När v konrollerar för dreka löpdseffeker, gve konsan korränersk erhålls e drek samband som är pare med lkvdespreferenshypoesen. När korränersken llås a ha olka effeker över löpden är de uppenbar a den dokumenerade löpdspremen är en kompensaon för korränersken. Sammanfanngsvs kan de konsaeras a den kora ränan ugör en llfredsällande beskrvnng av rsk på avkasnngskurvans exrem senare del en relav enkel modell. Nyckelord: Löpdseffeker, överavkasnng, avkasnngskurvans exrem senare del, rskpremer. 2

3 Innehållsförecknng 1. Inlednng Genomgång av dgare emprska suder Teor och emprsk modell Lkvdespreferenshypoesen Tdsvarerande rsk (CIR) Empr Daa :2 Saonäre :3 Resula av modeller Analys av resulaen Analys av modell med konsan korränersk Analys av modell med dskre och konnuerlg löpd och korränersk Slusas Referenslsa

4 1. Inlednng Sambande mellan ränebärande llgångar av olka löpder benämns vanlgvs avkasnngskurvan. Avkasnngskurvan nnehåller nressan nformaon ll marknadens akörer. Informaonen kan sedan användas som underlag för olka ekonomska beslu. Genom a sudera de sambande erhålls kunskap som är vkg för såväl pennngpolska beslu som för olka nveserngssraeger (Cassola & Lus 2003). När v huvudsaklgen är nresserade av hur sambande ser u mellan avkasnngen för långa oblgaoner av olka löpder, hamnar v längre u på avkasnngskurvan. Suder av den delen av avkasnngskurvan har dgare var begränsad på grund av daaproblem. De sörsa probleme har var de begränsade anale observaoner. Genom a undersöka kora nveserngar på månadsfrekvens e anal specfka långa oblgaoner kan dessa daaproblem undvkas. Den srukuren på daa möjlggör säkrare analyser av sambande mellan avkasnngen på långa oblgaoner och löpden, jämförelse med radonella daase. De llvägagångssäe gör de möjlg a analysera avkasnngskurvans senare del där exrem långa marknadsränor besäms. Den delen av avkasnngskurvan är av specell sor nresse, framförall ur pennngpolsk synpunk, då nveserngar och konsumon främs påverkas av långa marknadsränor (Alexus 2004 och Turnovsky 1989). De fnns olka eorer som förklarar useende på avkasnngskurvan. En klasssk och välkänd eor är förvännngshypoesen, vlken fgurerar en mängd olka varaner. Den generella eorn posulerar a avkasnng på nveserngar ränebärande papper ska vara lka hög för alla löpder (Cox, Ingersoll & Ross 1985). De nnebär enlg den enklase förvännngseorn a nveserare är hel rskneurala. De ssnämnda exkluderar således exsensen av rskpremer som varerar över olka löpder. Majoreen av suder fnner a avkasnngen på långa ränebärande llgångar av olka löpder skljer sg å, vlke ne är förenlg med förvännngseorn. Överavkasnngen olkas vanlgvs som kompensaon för rsk (Fama & Blss 1987). En annan klassker är lkvdespreferenshypoesen. Den ar mosas ll förvännngshypoesen hänsyn ll nveserares rskpreferenser. Inveserare kräver rskpremer för a hålla rskfyllda llgångar och hur rskfylld en llgång är besäms allmänhe av löpden. Flerale suder fnner bevs på a sorleken på löpdspremen ökar med löpden men dock ne monoon, vlke är nkonssen med eorn. Modernare eorer såsom neremporala jämvksmodeller ar hänsyn ll dsvarerande rskpremer. Den 4

5 grundläggande modellen nom de ramverke är en-fakor modellen, vlken härleds ufrån Cox, Ingersoll och Ross (1985) jämvkseor (CIR). I modellen förklaras en llgångs överavkasnng enbar av den kora ränan. Där kora ränan represenerar rsken nveserngen. Sorleken på korränersken prssäs konnuerlg av marknaden ufrån vad som nräffar på ränemarknaden. I denna uppsas skaas vå regressonsmodeller på paneldaa, varav en av modellerna skaas vå varaner. Panelen nnehåller sju oblgaoner över e löpdsnervall på 26 år. Syfe med uppsasen är a undersöka löpdseffekerna hos avkasnngarna på sju långa oblgaoner från Sorbrannen under peroden ll De kommer även a fnnas möjlgheer a genomföra e enklare es av förvännngshypoesen. I avsn 2 preseneras resula från dgare emprska suder, där undersöknngarna baseras på de klassska hypoeserna och neremporala jämvkseorer som llåer dsvarerande rskpremer. I avsn 3 preseneras eordel med llhörande eoresk modell. Uppsasen ugår från vå olka eorer, vlke resulerar vå modellspecfkaoner. Försa eordelen baseras på lkvdespreferenshypoesen. Den eoreska modellen bygger på Ederngon s och Goh s (1999) härlednng, vlken ar avsamp ufrån den lokala förvännngshypoesen. I den modellen är överavkasnngen endas en funkon av löpden och korränersken anas ha samma effek oberoende av respekve oblgaons löpd och exkluderas därför från modellen. Den andra eoreska modellen är en vå-fakor modell som ugår från Cox, Ingersoll och Ross (1985) neremporala jämvkseor (CIR). Modellen skaas vå uföranden, en dskre löpd och den andra konnuerlg löpd. Gemensam för varanerna vå-fakor modellen är a korränersken llås a varera över den och nkluderas därför bägge varanerna. Samlga modeller kommer a skaas på månadsdaa för peroden ll I emprdelen, avsn 4, preseneras daamaerale. Tdsperoden ll besämdes huvudsak ufrån oblgaonernas löpdssrukur. I samma avsn preseneras och analyseras resulaen från modellerna. Där konsaeras a de exserar löpdspremer men dessa löpdseffeker är enbar en kompensaon för korränersken, vlke framgår ydlg då korränersk nkluderas modellen. Slusasen preseneras avsn 6. 5

6 2. Genomgång av dgare emprska suder I dgare emprsk leraur har suder över den kora delen av avkasnngskurvan var domnerande. Suderna har främs fokusera på llgångar med löpder upp ll 12 månader. Senare suder kan däremo esa hypoeser över hela avkasnngskurvan, vlke mplcerar alla yper av ränebärande llgångar över alla löpder. I denna uppsas analyseras avkasnngskurvans exrem långa del och således är de naurlg a redovsa lknande dgare suder. Tll en början preseneras resula från suder som behandlar de klassska hypoeserna. I avsnes senare del redovsas suder som baseras på en- och vå-fakor modeller, vlka llåer dsvarerande rskpremer. Boudoukh, Rchardson, Smh och Whelaw (1999) undersöker överavkasnngen på amerkanska llgångar med löpder över 120 månader. Förfaarna erhöll söd för a förvänad avkasnng ökar monoon över löpden. De fanns således bevs för lkvdespreferenshypoesen. Lknande resula erhölls en sude av Alexus (2004). Suden är genomförd på långa svenska oblgaoner med löpder över 160 månader. Hon undersöker bland anna duraonens påverkan på en oblgaons avkasnng. Resulae yder på a avkasnngen ökar monoon med respekve oblgaons duraon, vlke är konssen med lkvdespreferenshypoesen. Hooker (1999) söker förklarngar ll varför lkvdespreferenshypoesen är glg under vssa mäperoder för a andra mäperoder förkasas. Han menar a sorleken på förvänad avkasnng hos olka ränebärande llgångar speglar konjunkurläge. En ekonom med höga ränor och bran avkasnngskurva ger med sörre sannolkhe e resula kompabel med lkvdespreferenshypoesen. Låga ränor och fla avkasnngskurva förkasar vanlgvs den monoona srukuren (se Fama 1984 och McCulloch 1987). Alexus (2004) uför es av raonella förvännngshypoesen sn sude på långa svenska oblgaoner. Ufalle yder på a förvännngseorn är glg då koeffcenerna för kora ränan ne är sgnfkan över e. E resula mosa rknng erhöll Campbell och Shller (1991) sn sude. Resulaen den suden var ne kompabla med raonella förvännngshypoesen. Undersöknngen baseras på amerkanska llgångar med löpder upp ll 120 månader. De längre ränorna svarade krafgare på förändrngar kora ränan än vad förvännngseorn posulerar. En anlednng kan enlg förfaarna vara exsensen av dsvarerande rskpremer, vlke den klassska eorn ne ar hänsyn ll. Taylor (1992) 6

7 baserar sn sude på oblgaoner med löpder upp ll 240 månader från Sorbrannen. I den undersöknngen förkasas raonella förvännngshypoesen över alla löpder då resulae yder på dsvarerande rskpremer. Enlg Taylor beror de på a långa ränor överreagerar ll nformaon som bara ska vara relevan ll kora ränor. Seeley (2004) esmerar re rskprememodeller. Två av dessa modeller llåer rskpremen a varera över den, medan den redje modellen anas rskpremen vara konsan. Den oförvänande förändrngen kora ränan represenerar rsken modellen, vlke vanlgvs benämns som korränersken. Suden baseras på långa oblgaoner från Sorbrannen. Resulae yder på a rskpremen ökar med löpden samlga modelluföranden. Sorleken av rskpremen är dock svår a jämföra mellan modellerna enlg Seeley, då modellspecfkaonerna skljer sg å. Cassola och Lus (2003) undersöker avkasnngskurvan för långa Tyska oblgaoner. Modellen de använder ugår från en-fakor modellen med korränersk. Vdare använder sg förfaarna av Fsher-hypoesen, vlke resulerar en våfakor modell. I den modellen förklaras rskpremen av nflaonsförvännngar och förvänad realräna. Resulae yder på a överavkasnngen är konsan över löpden, vlke mplcerar en konsan rskpreme. De menar förfaarna är konssen med förvännngseorn. Klemkosky och Ploe (1992) undersöker ex. ane rskpremer på amerkanska oblgaoner över alla löpder. De använder en CIR-baserad vå-fakor modell. I modellen förklaras rskpremen av volaleen och nvån på kora ränan. Ufrån resulaen konsaeras a volaleen hos kora ränan har en sgnfkan påverkan på rskpremen. Vdare konsaeras a korränersken prssäs av marknaden ufrån förändrngar nvån hos kora ränan och a rskpremen generell ökar med längden på löpden. Sammanage verkar lkvdespreferenshypoesen vara glg för de flesa suder som analyserar avkasnngskurvans senare del. De är pare med resulaen som preseneras denna uppsas. Löpdspremen är sgnfkan ökande över löpder upp ll 10 år, gve konsan korränersk. De fnns således uppenbara löpdseffeker, vlke söder lkvdespreferenshypoesen. Bevsen för förvännngshypoesen varerar mellan suderna, vlke bland anna kan bero på dsvarerande korränersk. När korränersken nkluderas uppsasens vå-fakor modell förkasas generell förvännngshypoesen. Resulae yder på a marknaden prssäer ränersken ufrån respekve oblgaons löpd. 7

8 3. Teor och emprsk modell I dea avsn preseneras vå eorer, vlke resulerar vå modeller. Den försa eoreska modellen bygger på Ederngon s och Goh s (1999) härlednng, vlken ar avsamp från den lokala förvännngshypoesen. I modellen anas korränersken vara konsan och exkluderas därför från modellen. Den andra eoreska modellen är en CIR-baserad vå-fakor modell. I denna modell llås däremo korränersken a varera över den. 3.1 Lkvdespreferenshypoesen Enlg lkvdespreferens eorn som uvecklades av Hcks (1946), ska oblgaoner med längre löpder ha högre förvänad avkasnng än mosvarande oblgaoner med korare löpder. Långa oblgaoner är enlg eorn mer rskfyllda och därmed kräver nveserare kompensaon för den exra rsken form av högre avkasnng. Enlg Baudoukh, Rchardson, Smh och Whelaw (1999) kan överavkasnng defneras enlg följande (1): P, + 1 r, + 1( ) r, + 1(1), (1) där r, + 1( ) r, + 1 represenerar överavkasnngen, dvs. dfferensen mellan avkasnngen för en oblgaon med löpden och en oblgaon som löper över en perod. Om lkvdespreferenshypoesen är glg ska följande olkheer gälla (2): E E E P ), > 1 (2) ( P k, + 1) ( P k 1, + 1) ( 1, + 1 Vdare nnebär urycke (2) a överavkasnngen ska öka monoon löpden om lkvdespreferenshypoesen är glg. Den emprska modellen som skall esmeras bygger på Ederngon s och Goh s (1999) härlednng, vlken ar avsamp från den lokala förvännngshypoesen. Den sluglga specfkaonen av modellen kommer a sklja sg från Ederngon s och Goh s (1999) specfkaon, framförall vale av förklarande varabel. Teorn ugår från en vå-perods modell av vå sycken nollkupongsoblgaoner. Den försa oblgaonen löper över en perod, och den andra oblgaonen löper över vå peroder. 8

9 Inveserngen sker oblgaonen med löpd = 2 vd dpunk och nveserngshorsonen är mellan dpunk och +1. Den lokala förvännngshypoesen mplcerar följande ekvaon (3): E ( H ) = r + Θ, (3) där E H ) är förvänad avkasnng av nveserngssraegn, r är avkasnngen för ( oblgaonen som löper över en perod och Θ represenerar löpdspremen. Den raonella förvännngshypoesen mplcerar följande ekvaon (4): H = E ( ) + ε, (4) H där H är faksk avkasnng av nveserngen och ε är felermen. Felermen anas vara okorrelerad med all llgänglg nformaon vd dpunk. Kombneras ekvaonerna (3) och (4) ges följande ekvaon (5): H = + Θ + ε, (5) r där beecknngarna följer dgare defnoner. Ekvaon (5) kan även uryckas ermer av rskpremer. Subraheras vänserlede leder de ll följande ekvaon (6): r både högerlede och H - r = Θ + ε, (6) där ermen H - r är överavkasnngen och reserande varabler följer dgare defnoner. Den emprska specfkaonen som ugår från ekvaon (6) ser u som följer (7): R rf = ( β 1) rf + γ D + ε, (7) 9

10 där R rf är överavkasnngen för oblgaon vd dpunk. Varabeln rf 1 m represenerar korränersken för oblgaon vd dpunk. D T är en dummyvarabel för löpden, där varabeln anar värde e när löpden för en oblgaon nfaller e specfk nervall, annars anar varabeln värde noll. ε T är felermen. Korränersken anas vara konsan för alla löpder och exkluderas därför från modellen. Den sluglga modellspecfkaonen följer (8): R rf = γ D + ε, (8) där beecknngarna följer dgare defnoner. 3.2 Tdsvarerande rsk (CIR) Modernare eorer som förklarar varför överavkasnngen varerar över olka löpder är exempelvs Cox, Ingersoll och Ross (1985) allmänna jämvksmodell. Överavkasnngen förklaras dessa modeller av dsvarerande rskpremer. De fnns uppenbara skllnader mellan klassska eorer och allmänna jämvkseorer när de gäller a förklara avkasnngskurvans useende. Jämvkseorn kan förklara avkasnngskurvans useende ermer av olka nveserngsalernav, dspreferenser för konsumon och ndvders rskaverson (Cox, Ingersoll & Ross 1985). Sådan underbyggd eor fnns ne hos någon av de klassska hypoeserna. Jämvksmodellen ger en fullsändg beskrvnng av ekonomns srukur konnuerlg d. Den ugår från e maxmerngsproblem, där ekonomns akörer maxmerar nyan och benämns vanlgvs lerauren som en underlggande neremporal jämvksmodell. Den represenava ndvden har följande objeks funkon (9): E ' U ( C( s), Y ( s), s) ds, (9) där U är en nyofunkon, C(s) är konsumonen vd dpunk s och Y(s) represenerar llgänglg eknolog vd dpunk s. Indvdens maxmerngsproblem besår av a välja opmal konsumon och opmal nveserngsandel av sn förmögenhe. Lösnngarna ll maxmerngsprobleme sam anaganden om ndvdernas rskaverson ger fakorer som kan 10

11 förklara en oblgaons prs. Dessa fakorer är förvännngar om framden, rskaverson, nveserngsalernav och preferenser för konsumon. Ufrån dea ramverk kan sedan n- fakor modeller härleddas fram. Där n är anale varabler som represenerar Y, förändrngen produkonsmöjlgheer över den. Den enklase och vanlgase versonen är den så kallade en-fakor modellen. I den modellen är de nomnella ränan som represenerar Y, eknologn. Härlednngen ugår från a ränan, r, följer följande process (10): dr = κ ( θ r) d + σ rdz, (10) där κ ( θ r) är drfparamerar, σ är ränans sandardavvkelse och dz är en Wener process. Prse på en rskfr nollkupongsoblgaon som förfaller vd T, gve a ränan, r, vd dpunk följer ovansående process kan uryckas P(r,, T). Unyjas Io s lemma ll prsfunkonen sam a ekvaonen dvderas med prse, P, kan oblgaonens avkasnng uryckas enlg (11): 2 ( P dr + 1/ 2P ( dr) P d) rr dp / P =. (11) P r + Subsueras urycke för ekvaon (10) n ekvaon (11), erhålls ekvaon (12). 2 ( κ ( θ r) P / P + P / P + 1/ 2σ rp / P) d + σ rp Pdz dp / P =, (12) r rr r / där P, P och P är parella dervaor. r rr Inom ramverk som exempelvs CAPM kan en llgångs avkasnng uryckas ermer av rskfr räna plus en evenuell rskpreme. Den egenskapen kombnaon med anagande om a nge arbrage förekommer ekonomn, möjlggör e uryck för prse på en llgång. En prssänngsfunkon av en llgång ser u enlg följande ekvaon (13): 2 1/ 2σ rp rr + κ ( θ r) P + P λrp rp = 0, (13) r r 11

12 där prsekvaonen är beroende av ränan, r och den ll förfall, (T-). Termen 2 1/ 2σ rp + κ( θ r) rr P r är från Ios` lemma och represenerar oblgaonens förvänade prsförändrng. Dvderas ekvaonen med prse, P, kan ermen λrp r + rp P olkas som oblgaonens förvänade avkasnng. Termen för förvänad avkasnng kan sedan delas upp P re elemen. λr symbolserar kovaransen mellan ränan och nveserad förmögenhe, r P represenerar oblgaonens duraon och ssa elemene är nvån på kora ränan, r. Lösnngen ll ekvaonen (13) som preseneras ekvaon (14) är en förenklad verson av Cox, Ingersoll och Ross (1985), vlken är uvecklad av Brown och Dubvg (1986). P( r,, T ) = A(, T ) e B(, T ) r, (14) där Φ1 exp( Φ 2 ) A (, T ) =, Φ 2 (exp( Φ1 ) 1) + Φ1 exp( Φ1 ) 1 B (, T ) =. Φ 2 (exp( Φ1 ) 1) + Φ1 Där prse ekvaon (14) förklaras av ränan, den ll förfall =(T-), srukurella Φ1 Φ 2 3 paramerarna, och Φ som sn ur beror på paramerarna λ,κ, θ och σ. Enlg Brown och Dubvg (1986) kan prse på oblgaonen uryckas som en funkon av den ll log(p) förfall,. Förfaarna ovan defnerar genomsnlg avkasnng enlg: YTM=. De nnebär a prse för oblgaoner nära förfall kan uryckas: P= exp( r ). Prse för oblgaoner längre ll förfall urycks: P= exp[ ( Φ Φ Φ ] 1 2 ) 3. Från defnonen av YTM vsar förfaarna a följande approxmerng kan genomföras för oblgaoner nära förfall: YTM r. För oblgaoner med längre löpder gäller följande: r = ( Φ1 Φ 2 ) Φ 3. De nnebär a korare oblgaoner är säkrare då kora ränan brukar benämnas som den rskfra ränan. För oblgaoner med längre löpder ökar osäkerheen, då dessa blr mer oberoende av nvån på den rskfra ränan. Lknande resonemang gäller för oblgaonsprserna, vlke mplcerar sörre osäkerhe förvänad avkasnng för längre oblgaoner. 12

13 Den andra emprska modellen denna uppsas ugår från den CIR-baserade en-fakor modellen. Rskpremen modellen represeneras av korränersk. Då v är nresserade av löpdseffekerna kommer modellen a nnehålla föruom korränersk även löpdsrsk. Tvåfakor modellen llåer allså dsvarerande korränersk, vlke är den enda skllnaden från modellspecfkaonen ekvaon (8). Två-fakor modellen som skall esmeras följer (15): R rf = β rf + γ D + ε, (15) där beecknngarna följer dgare defnoner. 4. Empr I dea avsn redovsas resulaen av skanngarna från respekve modell och en korare redogörelse för problem som kan uppså för denna yp av regressonsmodell. Avsne nnehåller även en närmare presenaon av daamaerale. 4.1 Daa Daamaerale är häma ur Ecowns daabas. Månadsdaa fanns llgänglg för sju sadsoblgaoner från Sorbrannen för peroden ll Oblgaonerna har följande denesnummer: GBT6T04, GBT12H05, GBT7H06, GBT908, GBT813, GBT8T17 och GBT821. Då oblgaonssererna var urycka prser behövdes ne någon hänsyn as ll kupongubealnngarna. Månadsavkasnngarna för respekve oblgaonen beräknas enlg (16): R P P = +1, (16) P där är prse på oblgaon vd dpunk +1 och är prse på oblgaon vd dpunk P + 1 P. Den kora enmånadersränan från pennngmarknaden represenerar den rskfra enmånadersränan. Den är uryck som årsräna och måse därför ransformeras för a bl kompabel med månadsavkasnngarna. Transformerngen sker enlg (17): 13

14 r r =, (17) 12*100 där r är enmånadsränan uryck årsräna. I abell 1 preseneras deskrpv sask för respekve oblgaon och för den säkra enmånadersränan. Oblgaonerna är rangordnade efer löpd, den korase oblgaonen 6T04 ll den längsa oblgaonen 821. Exempelvs har oblgaon 821, 302 månader ll förfall vd mäperodens början och 196 månader kvar vd mäperodens slu. Oblgaon 6T04 har 108 månader ll förfall vd mäperodens början och förfaller vd mäperodens slu. Således sräcker sg löpdsnervalle från 1 år ll 26 år. Medelavkasnngen är högs för oblgaon 821 och den har högs genomsnlg sandardavvkelse av samlga oblgaoner. Oblgaon 12H05 har den mnsa genomsnlga avkasnngen, vlken dessuom är negav. Under mäperoden har den rskfra månadsränan en högre medelavkasnng än samlga oblgaoners avkasnng och har dessuom den mnsa sandardavvkelsen. Avkasnngen för respekve oblgaon över den rskfra ränan är samlga fall negav. Tabell 1: Sammansällnng Oblgaon Löpd Medelavkasnng Överavkasnng S.avvkelse Nr.obs 6T , , , H , , , H , , , , , , , ,0027 0, T , , , , , , m r 1 0, , :2 Saonäre Då paneldaa nnehåller, föruom en värsnsdmenson, även en dsdmenson, är de nödvändg a esa de ndvduella dsererna för saonäre. En varabel är saonär om den varerar krng e konsan medelvärde (Gujara 2003). Regressoner med cke saonära varabler kan under särsklda förusänngar leda ll spurösa samband (Wooldrdge 2003). För a undersöka huruvda sererna för respekve oblgaon är en saonär process används augmened Dckey-Fuller (ADF) ese. Under nollhypoesen nnehåller seren en enhesro. Resulae från ADF-ese vsas abell 2 och 3. I abell 2 uförs ADF-ese för respekve 14

15 oblgaons avkasnng. I abell 3 uförs ADF-ese för respekve oblgaons avkasnng över den rskfra ränan. För samlga serer förkasas nollhypoesen ll förmån för den alernava hypoesen dvs. samlga serer följer en saonär process. Tabell 2: Resula från ADF-es Oblgaon Specfkaon -sa. Förkaselsegräns 5% 6T ,37-1,94 12H ,04-1,94 7H ,05-1, ,75-1, ,36-1,94 8T ,67-1, ,76-1,94 Sererna represenerar respekve oblgaons 1-månads avkasnng. Tabell 3: Resula från ADF-es Oblgaon Specfkaon -sa. Förkaselsegräns 5% 6T H05 nercep H nercep nercep T17 nercep nercep Sererna represenerar respekve oblgaons 1-månads avkasnng över den rskfra ränan. I fgur 1 på sd.16 vsas hur respekve oblgaons avkasnng är relaerad ll seren för den rskfra ränan. Suderas fguren ve v sedan dgare a sererna för avkasnngarna varerar krng noll medan seren för rskfra ränan ser u a varera krng e posv konsan värde. De är därmed rmlg a ana a seren för rskfra ränan följer en saonär process, gve a sererna för avkasnngarna är saonär. 15

16 Fgur: _RF R_14180 R_14195 R_14325 R_14330 R_14335 R_14340 R_ :3 Resula av modeller I de här avsne av emprdelen redovsas och kommeneras resulaen från modellerna. I den försa modellen är överavkasnngen en funkon av enbar löpden, därför a de anas en konsan korränersk. Dea ger e umärk llfälle a analysera löpdseffekerna och lkvdespreferenshypoesen. Den CIR-baserade vå-fakor modellen kommer a preseneras både dskre löpd och konnuerlg löpd. I den dskrea vå-fakor modellen används dummyvarabler för löpden och den konnuerlga modellen anpassas både en lnjär och en kvadrask löpdserm. I dessa vå varaner av vå-fakor modellen undersöks vå källor ll rsk, där den ena är korränersken och den andra är löpdsrsken. Då korränan llås a varera över den kommer de fnnas möjlgheer a uföra e enklare es av förvännngshypoesen. Modellerna s grunduförande följer från ekvaon (18), (19) och (20), vlka skall esmeras med OLS under mäperoden ll R rf = γ D + ε (18) R rf = β rf + γ D + ε (19) 16

17 R rf = β rf + γ D + ϖ D + ε 2 (20) Modellerna är av ypen paneldaa regressonsmodeller. Den klassen av modeller har fördelakga egenskaper, men de fnns också mndre arakva egenskaper. Fördelen är a anale observaoner ökar markan jämförelse med exempelvs radonella dssereregressoner. De framkommer då oal 749 observaoner används vd varje modellskanng. Nackdelen fnns paneldaa som kombnerar dsseredaa och värsnsdaa. E vanlg problem vd användande av dsseredaa är förekomsen av auokorrelaon. När värsnsdaa används regressoner är de nödvändg a a hänsyn ll både korrelaon och heeroskedasce mellan ndvder en dpunk (Gujara 2003). För a esa för auokorrelaon används Ljung-Box Q-es. Laglängden på ese besäms ufrån en vanlg förekommande umregel (Gujara 2003). Den valda laglängden besäms således ll 36. Levene-es är e es för huruvda resdualerna är heeroskedasska mellan respekve oblgaoner. Ufrån Q-saskan konsaeras a v ne har problem med auokorrelaon för respekve oblgaons resdualer över d (se abell 4). Resulae från Levene-ese yder på heeroskedasska resdualer (se abell 4), vlke korrgeras med Whes cross-seconal. Whe robus kovarans esmaor är robus för heeroskedasce och evenuell korrelaon mellan oblgaonerna en dpunk. Resdualerna är normalfördelade för alla oblgaoner föruom oblgaon 12H05 modell (18) med konsan korränersk (se abell 4). Regressonerna uppvsade ecken på GARCH (1,1) effeker. E sä a undersöka vlken påverkan en GARCH-srukur kan ha på resulaen är a llåa för GARCH-effeker vd ensklda regressoner för respekve oblgaon. Resulaen från de ensklda regressonerna yder på a sandardfelen påverkas margnell och således också sgnfkansen hos punkskanngarna. Däruav kommer resulaen från modellerna med sörsa sannolkhe ne heller a påverkas. 17

18 Tabell 4:Resduales Oblgaon L-B Q(36) J-B L-B Q(36) J-B L-B Q(36) J-B 6T H * H T Levene-es F=21,99* F=24,12* F=22.73* Modell (18) försa kolumnen, modell (19) andra kolumnen och modell (20) redje kolumnen. Q(36): Under H 0 fnns ej auokorrelaon, J-B: Under H 0 är resdualerna normalfördelade, Levene-es: Under H 0 är resdualerna homoskedasska. (Värden som markeras med sjärna är sgnfkana på 5 % nvån) Löpdseffeker gve konsan korränersk I abell 5 preseneras resulaen av de skaade paramerarna från modell (18) med konsan korränersk. För a undersöka löpdseffeken skapades en dummyvarabel för respekve oblgaons löpd, där löpden är mä år. För a undvka a skaa 68 koeffcener skapades 26 nervalldummys, vlka sräcker sg från 1 år ll 26 år. En anlednng ll a krympa nervallen yerlgare är a vssa nervall ngår endas en oblgaon. Implkaonen av dea var a anale observaoner blev få vssa nervall för a andra nervall vara beydlg fler. För a skapa en jämnare fördelnng konsruerades åa nervall, och varje specfk nervall åerfnns mns vå oblgaoner och max fyra. Anale observaoner respekve nervall sräcker sg mellan 84 och 132 observaoner. Då samlga löpdsdummyvarabler över hela löpdsnervalle nkluderas modellen är de nödvändg a exkludera nercepe. De är dock nge problem då nercepe förklarar evenuella skllnader egenskaper hos oblgaonerna, dvs. oblgaonsspecfka egenskaper. Några sådana specfka egenskaper fnns ne för oblgaoner nom samma grupp av kupongubealande oblgaoner. Den rskfra ränan som används är den kora enmånadersränan. E sandard anagande är a om nveserngshorsonen är en månad beecknas nveserngar enmånadersränan som en säker placerng. Således är de korrek a använda enmånadersränan då avkasnngarna är på månadsfrekvens. Åergår v ll abell 5 vsas resulaen från modell (18), där löpden är ensam förklarande varabel ll överavkasnngen för respekve oblgaon. V har val a ana en konsan korränersk och borser därmed från evenuella effeker från korränan. Esmaen för 18

19 löpdsdummyvarablerna yder på löpdspremer, vlka generell ökar över löpden. Dock är bara koeffcenerna för löpdsvarablerna mellan 1 och 9 år sgnfkana på 5 % nvån. Löpdspremen är på årsbass genomsn 1.06 procenpunker högre för 8- och 9-årga löpder än för löpder mellan 1-3 år. Sammanage är resulae för löpder upp ll 9 år konssen med lkvdespreferenshypoesen. Tabell 5:Resula av modell (18) med konsan korränersk Löpd, år ( ) (-5.153) (-3.730) (-2.596) (-1.134) (-1.855) (-1.303) (0.294) R = Modellen (18) med konsan ränersk: R, rf = γ D + ε mäperod: månadsdaa , -värden vsas nom paranes. Varerande korränersk och dskre löpd I vå-fakor modellen (19) llås effeker från korränersken a varera och nkluderas därför modellen. Dummyvarablerna för löpden är konsruerade som dgare modell (18) och från abell 6 framgår de a samlga varabler är sgnfkana på 5 % nvån. Koeffcenen för korränan är lägs för oblgaon 12H05 och värde på koeffcenerna ökar sedan sorlek med längden på respekve oblgaon. Den längsa oblgaonen (821) har e genomsnlg värde på 8.58 och mosvarande värde för den korase oblgaonen (6T04) är Resulae för löpdsdummyvarablerna är överraskande. Skanngarna för löpdsvarablerna yder på a överavkasnngen generell mnskar monoonsk över löpden, men undanage är en opp vd löpdsnervalle år, där avkasnngen ökar margnell. Skllnaden överavkasnng mellan oblgaoner som har 1-3 år kvar ll förfall och oblgaoner som har över 21 år ll förfall är genomsn 2.4 procenpunker på månadsbass. För a undersöka huruvda effeken av löpderna skljer sg parvs å, genomfördes e Wald es. Nollhypoesen Wald 19

20 ese är γ = γ 1. Resulae yder på a olka löpder har olka effeker på överavkasnngen. Nollhypoesen förkasas för löpder mellan 4-5 år och 6-7 år då p-värde är Samma slusas gäller då ese genomförs för löpder mellan år och år. Med andra ord kan v med säkerhe fassälla förekomsen av löpdspremer, dock är ne dessa effeker pare med lkvdespreferenshypoesen. Enlg Campbell och Shller (1991) ska avkasnngen för en oblgaon ha relaonen e ll e förhållande med rskfr räna om förvännngshypoesen ska vara glg. E enkel es av förvännngshypoesen mplcerar a β - koeffcenen ej skall vara skljd från e. E Wald es med resrkonen β =1 genomfördes för samlga oblgaoner och ufalle av ese vsar a endas en β - koeffcen är cke sgnfkan på 5 % nvån, vlke gäller för oblgaon 12H05. Förvännngshypoesen förkasas således för alla oblgaoner med undanag för oblgaon 12H05. De yder på a överavkasnngen för oblgaoner med olka löpder reagerar olka på förändrngar kora ränan. Dea syrks även av den gemensamma hypoesen, β = β, vlken förkasas på 5 % nvån. Innebörden av resulae är a de exserar effeker av korränersk överavkasnngen över löpden. 20

21 Oblgaon H : β 6T [0.047] 2 (2.665) 12H [0.12] (2.200) 7H [0.045] (2.635) [0.046] (2.611) [0.024] (2.706) 8T [0.023] (2.627) [0.024] R = Tabell 6: Resula av vå-fakor modell (19) med dskre löpd β (2.566) 0 = [0.00] Löpd, år γ p( γ (-3.534) [0.35] (-3.177) [0.021] (-3.221) [0.23] (-3.270) [0.51] (-2.856) [0.011] (-2.998) [0.20] (-2.764) [0.15] (-2.519) 1 H : 0 β = β 1 = γ Två-fakor modell (19) med dskre löpd: R rf = βrf + γ D + ε, mäperod: månadsdaa , -värden vsas nom paranes och p-värden vsas nom klammer. ) Modell (19) påvsade a överavkasnngen hade avagande löpdspremer, vlke ne är konssen med lkvdespreferenshypoesen. De fenomene kan möjlgvs förklaras av a avkasnngen var lägre början av mäperoden när oblgaonerna har lång ll förfall, vlke sn ur kan bero på uvecklngen på ränemarknaden. För a vdare undersöka dea konsruerades dsdummyvarabler, en dummyvarabel för varje enskl år. I lkhe med löpdsdummyvarablerna skapades de även nervall för dsdummyvarablerna. Två nervall skapades, vlke är llräcklg för syfe. V har val a endas presenera skanngarna från löpdsdummyvarablerna och dsdummyvarablerna då bara dessa är föremål för 21

22 undersöknngen. Från abell 7 framgår de a dsdummyvarablerna är sgnfkana på 5 % nvån. Resulaen yder på a oblgaoner har högre avkasnng närmare förfall, vlke mplcerar högre överavkasnng närmare förfall. När hänsyn ags ll dsaspeken har löpdspremen mnska sorlek, och vd jämförelse av löpdspremer mellan 1-3 år och 21 år och framå har skllnaden mnska genomsn 1.65 procenpunker på månadsbass. Dock kvarsår resulaen a löpdspremen avar med oblgaonens löpd, vlke ne är konssen med eorn. Tabell 7:Resula av vå-fakor modell (19) med dsdummys ς Td,år (2.551) (3.588) Löpd, år γ (-2.999) ( ) (-3.246) (-3.280) (-3.214) (-3.452) (-3.410) (-3.172) R =0.090 Två-fakor modell (19) med dskre löpd och dsdummyvarabler: R, mäperod: månadsdaa , rf = β rf + γ D + ς D + ε -värden vsas nom paranes och p-värden vsas nom klammer. Varerande korränersk och konnuerlg löpd I vå-fakor modellen (20) används konnuerlg löpd mosas ll dgare modeller där dskre löpd använs som förklarande varabel. Tdgare suder som har analysera avkasnngskurvan har uppvsa e mxa resula. Enlg Lee (1989) kan de bero på enkla anaganden som leder ll specfkaonsfel. Lee (1989) esar därför en cke lnjär modell med dsvarerande rskpreme. Den modellen kan enlg Lee (1989) förklara exsensen av rskpremer som är llfredsällande. Alexus (2004) nkluderar en kvadrask duraonserm sn modell, vlken blr sgnfkan. I vå-fakor modellen (20) specfceras löpdens 22

23 funkonella form och den nkluderar både en lnjär löpdsrend och en kvadrask löpdsrend. Då modellen skaas med ensklda koeffcener för respekve oblgaon, blr de sammanlag 23 koeffcener. De sammanlagda anale koeffcener är nklusve dsdummyvarabler. No koeffcener blr sgnfkana, dock ngen koeffcen för löpden, vlke framgår från abell 8. Enlg Wald ese med resrkonen a β = β, γ γ = och ϖ = ϖ är de enbar den kvadraska ermen som uppvsar sgnfkan resula. Tros de skaas modellen med gemensamma koeffcener. Resulae kvarsår dock, ngen av koeffcenerna för löpden blr sgnfkana. Tabell 8: Resula av vå-fakor modell (20) med konnuerlg löpd och dsdummyvarabler β Oblgaon 6T E E-07 (2.408) (-0.861) (0.340) 12H E-06 (2.890) (-1.770) (1.418) 7H E-07 (2.638) (-0.775) (0.390) E-07 (2.622) ( ) (0.671) E E-08 (2.394) (-0.838) (0.128) 8T E E-09 (2.175) (-0.645) (0.0123) E E-07 (1.836) (-0.891) (0.459) E E-07 (2.624) ( ) (1.924) H 0 : β = β γ = γ ϖ = ϖ p-värde [0.28] [0.062] [0.02] ς γ Td,år *Td,år (-2.912) (-3.492) R =0.075 (-2.626) ( ) 2 R =0.063* Två-fakor modell (20) med konnuerlg löpd och dsdummyvarabler: 2 R rf = βrf + γ D + ϖ D + ς D + ε, mäperod: månadsdaa , -värden vsas nom paranes och p-värden vsas nom klammer, *Td, år hör ll skanngen då koeffcenerna gäller för alla ndvder, R 2 med sjärna är förklarngskoeffcenen då koeffcenerna gäller för alla. ϖ ς 23

24 5. Analys av resulaen I dea avsn analyseras resulaen som preseneras dgare avsn. Modellen (18) med konsan korränersk uppvsar e resula som är konssen med lkvdespreferenshypoesen. När korränan llås a varera vå-fakor modellerna är resulaen av skanngarna pare med lknande dgare suder (Campbell & Shller 1991, Taylor 1992, Seeley 2004). De dokumenerande löpdseffekerna ycks dock bara vara en kompensaon för korränersken, vlke framgår ydlg då korränan nkluderas. 5.1 Analys av modell med konsan korränersk I modell (18) anas de a effekerna från kora ränan har samma påverkan på respekve oblgaons överavkasnng. Resulae påvsar en löpdspreme som är generell llagande över löpden. Dea nnebär a löpdsrsken prssäs av marknaden och a sorleken på löpdspremen besäms av längden på löpden, vlke är enghe med eorn. Då löpdspremerna är monoonsk ökande upp ll löpder på 9 år är de konssen med lkvdespreferenshypoesen. De fnns flera anlednngar ll varför koeffcenerna för löpdsdummyvarablerna blev cke sgnfkana för löpder över 9 år. En anlednng kan vara krafga svängnngar prse på långa oblgaoner då prse på en oblgaon förändras med oblgaonens duraon mulplcera med förändrngen kora ränan (Luenberger 1998). Dea nnebär a prse på långa oblgaoner svänger krafgare än vad prse på korare oblgaoner gör. De mplcerar a avkasnngen på långa oblgaoner svänger krafgare. En annan anlednng ll de svaga sambande mellan överavkasnngen och längre löpder kan enlg Hooker (1999) bero på rådande konjunkurläge med fallande ränor. De ssnämnda nräffade faksk under mäperoden. 5.2 Analys av modell med dskre och konnuerlg löpd och korränersk Två fakor modell (19) med dskre löpd Löpdspremen hos överavkasnngarna vå-fakor modellen (19) med dskre löpd mnskade sorlek över löpden. Dea var e oväna resula då v dgare uppsasen dokumenera löpdspremer som llar över oblgaonens löpd. Resulaen yder på a nveserare föredrar en sabl nkoms vd exempelvs pensonsåldern och föredrar därför längre oblgaoner. Med andra ord anser nveserare a oblgaoner med längre löpder är säkrare och kräver således mndre löpdspremer. Campbell och Vcera (2001) påvsar sn sude a nveserngar långa oblgaoner kan fungera som en hedge för a erhålla en sabl 24

25 och långskg konsumon. Enlg CIR-eorn mnskar ränans varans när ränans nvå sjunker (se Klemkovsky & Ploe 1992). Om volaleen ränan mnskar kan de leda ll a prs osäkerheen längre oblgaoner mnskar och således kommer längden på löpden spela en mndre avgörande roll. De bör dock ne resulera a nveserare anser a kora löpder är mer rskfyllda än längre löpder, vlke även srder mo den härledda eorn. En annan anlednng ll resulae kan vara a avkasnngen var lägre början av mäperoden när oblgaonerna har lång ll förfall. Dea kan esas genom a nkludera dsdummyvarabler ll modellen, vlka skall kunna fånga dea fenomen. När dsdummyvarablerna nkluderas modellen mnskar löpdspremen mellan högsa och lägsa löpdsnervall. Resulae med avagande löpdspremer över löpden kvarsår dock. V kan således konsaera a den dgare dokumenerade löpdspremen är en kompensaon för korränersken. E enklare es av förvännngshypoesen genomfördes, vlke vsade a hypoesen är glg för endas oblgaon 12H05. De bör påpekas a flerale oblgaoner är margnell sgnfkana. Enlg Taylor (1992) är de resulae relav ovanlg, då flerale suder på daa från Sorbrannen ne kan förkasa förvännngshypoesen. Vdare menar Taylor a de erhållna resulae är beydlg mer vanlg då suder genomförs på amerkanska daa. Sora β -koeffcener och som ökar med löpden yder på a långa oblgaoner är mer ränekänslga än kora oblgaoner. Oblgaoner med långa löpder reagerar krafgare på räneförändrngar, vlke mplcerar a marknaden prssäer rsken ufrån förändrngar kora ränan. E samband mellan nvån på kora ränan och överavkasnngen kan möjlgvs exsera enlg Klemkovsky och Ploe (1992) och hänvsar ll e anal dgare suder. Då längre oblgaoner överreagerar på korräneförändrngar yder de dock ne på a rsken prssäs ufrån nvån på kora ränan, dvs. marknadens prssäer ne rsken proporon med förändrngen kora ränan. Resulae yder snarare på a marknaden prssäer rsken ufrån nformaon som bara ska vara relevan för a besämma nvån på kora ränan. Således fnns de vvel ll anagande om a korränersken skulle vara konsan över olka löpder. Två-fakor modell (20) med konnuerlg löpd Den andra varanen av vå-fakor modellen med konnuerlg löpd uppvsade nga ecken på löpdspremer. Den lnjära och kvadraska löpdsermen uppvsade cke sgnfkana esma och således fnns nge lnjär eller kvadrask samband mellan överavkasnng och löpd. Den gemensamma hypoesen för korränersken förkasas ne, vlke är nressan då de är mosasen ll vå-fakor modellen (19) med dskre löpd. De nnebär a korränersken är 25

26 konsan över löpden dvs. marknaden juserar ne premen för ränersk över den. Tros konsan korränersk förkasas förvännngshypoesen då gemensamma koeffcenen för korränan är sgnfkan över e. Sammanfanngsvs yder resulaen på löpdpremer som ökar med längden på löpden när v endas konrollerar för dreka effeker av löpden. De är konssen med lkvdespreferenshypoesen. När korränersken nkluderas och llås a varera blr resulae de omvända. De yder på a den dokumenerade löpddspremen enbar är en kompensaon för korränersken. Generell förkasas förvännngshypoesen vå-fakor modellerna, vlke påvsar a endas nvån på kora ränan ne är llräcklg för a kunna förklara en oblgaons avkasnng, vlke är konssen med CIR-eorn. Inressan är också skllnaden mellan vå-fakor modellerna. Modellen med dskre löpd uppvsade en korränersk som varerade med längden på oblgaonen och modellen med konnuerlg löpd ndkerade på en konsan korränersk. 6. Slusas I uppsasen analyseras kora nveserngar sju långa oblgaoner från Sorbrannen. De llvägagångssäe skapar en srukur på daasee som krnggår de problem som vanlgvs radonella daase medför, och är av den anlednngen överlägse. Dea nnebär en säkrare och en mer exak analys av sambande mellan överavkasnng och löpd lång u på avkasnngskurvan, där exrem långa marknadsränor besäms. Vdare ger den srukuren på daa e umärk llfälle a analysera vlka dreka effeker olka löpder har på överavkasnngen. Ugångspunken för undersöknngen är a analysera vlken effek olka löpder har på respekve oblgaons överavkasnng. Enlg den härledda klassska eorn ska förvänad avkasnng öka med oblgaonens löpd, all anna lka. När v konrollerar för enbar dreka löpdseffeker fnner v bevs för lkvdespreferenshypoesen. Löpdspremen ökar monoonsk upp ll löpder på 9 år. Löpdspremen en nveserare kräver för a nvesera en oblgaon som löper över 9 år jämförelse med en oblgaon som löper mellan 1 år och 3 år är genomsn 1.06 procenpunker på årsbass. För löpder över 9 år exserar dock nge sgnfkan samband. 26

27 Vdare forsäer analysen med yerlggare en källa ll rsk, nämlgen korränersken. I våfakor modellerna (19, 20) nkluderades föruom löpdsrsk även dsvarerande korränersk. Då löpdspremen skljer sg krafg jämförelse med dgare dokumenerade nkluderas även dsdummyvarabler ll modellerna (19, 20). Tdsdummyvarablerna ger e sgnfkan resula men har ne den effek på löpdspremen som v föruspådde. När kora ränan nkluderades modellerna (19, 20) gavs llfälle a även uföra es av förvännngshypoesen. De generella resulae för vå-fakor modellen med dskre löpd är a olka oblgaoner reagerar olka på räneförändrngar. Förvännngshypoesen är glg för en oblgaon, för reserande oblgaoner förkasas hypoesen då β -koeffcenerna är sgnfkan över e. I våfakor modellen med konnuerlg löpd förkasas också förvännngshypoesen. Resulaen ndkerar mosas ll föregående modell (19) a korränersken är konsan över löpden. Flera nressana resula har preseneras uppsasen. De konsaeras a den dokumenerade löpdspremen, som ökade monoonsk över löpden, enbar är en kompensaon för korränersken. De blev uppenbar när korränersken nkluderades modellen och lläs a ha olka effeker. Marknaden prssäer ränersken, vlke framgår då överavkasnngen överreagerar ll förändrngar kora ränan. Vdare exserar e posv samband mellan nvån på kora ränan och överavkasnngen, men är ne pare med förvännngshypoesen. Sammanfanngsvs kan de konsaeras a den kora ränan ugör en llfredsällande beskrvnng av rsk på avkasnngskurvans exrem senare del en relav enkel modell. 27

28 Referenslsa Alexus, Annka (2004), Far ou on he yeld curve, Workng paper 2004:12, Deparmen of economcs, Uppsala Unverse. Boudoukh, Jacob, Rchardson, Smh, Tom, Whelaw, Rober F (1999), Ex Ane bond reurns and he lqudy preference hypohess, The journal of fnance, vol.lv, no.3, June 1999-sd Brown, Sephan J, Dybvg, Phlp H (1986), The emprcal mplcaons of he Cox, Ingersoll, Ross heory of he erm srucure of neres raes, The journal of fnance, vol.41, no.3, July.1986-sd Campbell, John Y, Vcera, Lus M (2001), Who should buy long-erm bonds?, The Amercan economc revew, vol. 91, no.1, Mars 2001-sd Campbell, John Y, Shller, Rober J (1991), Yeld spreads and neres rae movemens: A brd s eye vew, The revew of economc sudes, vol.58, no.3, specal ssue: The economercs of fnancal markes, May 1991-sd Cox, John C, Ingersoll, Jonahan E, Jr., Ross, Sephan A (1985), A heory of he erm srucure of neres raes, Economerca, vol.53, no.2, Mars sd Cassola, Nuno, Lus, Jorge Barros (2003), A wo-facor model of he German erm srucure of neres raes, Appled fnancal economcs, 13, 2003-sd Ederngon, Lous H, Goh, Jeremy C (1999), Is he erm premum a rsk premum, Revew of quanave fnance and accounng, 3, 1999-sd Fama, Eugene F (1984), Term premums n bond reurns, Journal of fnancal economcs, 13, June sd Norh-Holland. Fama, Eugene F, Blss, Rober R (1987), The nformaon n long-maury forward raes, The Amercan economc revew, vol.77, no.4, Sep sd

29 Gujara, Damodar N (2003), Basc Economercs, fourh edon, New York, 2003 Hcks, John R (1946), Value and capal, 2 edon, Oxford, Hooker, Mark A (1999), The maury srucure of erm prema wh me-varyng expeced reurns, The quarerly revew of economcs and fnance, no.39, 1999-sd Klemkosky, Rober C, Ploe, Eugene A (1992), Tme-varyng erm prema on US reasury blls and bonds, Journal of moneary economcs, 30, June 1992-sd Norh-Holland. Lee, Bong-Soo (1989), A nonlnear expecaons model of he erm srucure of neres raes wh me-varyng rsk prema, Journal of money, cred and bankng, vol.21, no.3, Aug sd Luenberger, Davd G (1998), Invesmen scence, Oxford, McCulloch, Huson J (1987), The monooncy of he erm premum (A closer look), Journal of fnancal economcs, 18, 1987-sd Norh-Holland. Seeley, James M (2004), Esmang me-varyng rsk prema n UK long-erm governmen bonds, Appled fnancal economcs, 14, 2004-sd Taylor, Mark P (1992), Modellng he yeld curve, The economc journal, vol.102, no.412, May 1992-sd Turnovsky, Sephan J (1989), The erm srucure of neres raes and he effecs of macroeconomc polcy, Journal of money, cred and bankng, vol.21, no.3, Aug sd Wooldrdge, Jeffrey M (2003), Inroducory Economercs, A modern approach, 2E, Oho,