ÅBO AKADEMI REGLERTEKNIK II

Transkript

1 ÅBO AKADEMI INSIUIONEN FÖR KEMIEKNIK Laboraore för reglereknk DEPARMEN OF CHEMICAL ENGINEERING Process Conrol Laboraory REGLEREKNIK II llsåndsmeoder Kur-Erk Häggblom Jar Bölng Bskopsgaan 8 FIN-5 Åbo Fnland 3

2

3 Målsänng med kursen är a ge grunderna för beskrvnng och analys av dynamska sysem med o flera nsgnaler och flera usgnaler (MIMO sysem) o både konnuerlg och dskre d o huvudsak med hjälp av llsåndsmeoder synes av MIMO reglersysem A vdare orenera om denferng esmerng realserng daorreglerng av MIMO sysem. Innehållsförecknng. Inlednng.... Grundkurserna reglereknk.... Denna kurs.... Beskrvnng och analys av dynamska sysem Dynamska modeller dskonnuerlg form Grundläggande begrepp och defnoner Uppsällnng av modeller Lnjärserng av sysem av DE:r Expermenell modellerng genom processdenferng.... Lnjära dskonnuerlga llsåndsmodeller..... Från blockschema ll llsåndsmodell..... Från llsåndsmodell ll överförngsmars Syrbarhe och observerbarhe Lnjära varabelransformaoner Sable, poler och nollsällen Realserng... 3 Samplade sysem Lnjära dsnvarana modeller Insgnal usgnalsamband Pulsöverförngsoperaorn H (q) Dfferensekvaoner Pulsöverförngsfunkonen H ( z)... 3

4 3..4 Bakåskfoperaorn q Frekvenssvar Val av samplngsnervall Alaseffeken Flrerng Sable, poler och nollsällen Sable Poler Nollsällen Syrbarhe och observerbarhe Syrbarhe Observerbarhe Algormer för samplande reglerng dsdskrea PID regulaorer dskonnuerlga former av PID regulaorer Dskreserng av konnuerlga PID regulaorer Inegraoruppvrdnng PID regulaorns nkremenform Egenskaper hos posons och nkremenformerna Dskreserng genom operaormaemak Insällnng av dsdskre PID regulaor Samplng av sysem med dödd Synes av dsdskre PID regulaor Drek synes med döddskompensaon Dahln Hghams algorm E llämpnngsexempel Rngnng Dead bea reglerng Försa ordnngens sysem Dead bea reglerng av llsåndsvekorn llsåndsåerkopplng Polplacerng Illusraon av polplacerngsmeodken När kan e sysems poler placeras godycklg? v

5 5..3 Var skall sysemes poler placeras? Polplacerng genom segsvarsspecfkaoner Några nackdelar med polplacerng Lnjärkvadrask reglerng Lnjärkvadrask reglerng konnuerlg d Lnjärkvadrask reglerng dskre d Val av vker förlusfunkonen llsåndsrekonsrukon dskonnuerlg llsåndsrekonsrukon dsdskre llsåndsrekonsrukon Reglerng av sokasska sysem Sokasska varabler Några defnoner Sokasska sörnngar Den sokasska modellen Mäsgnalvekorns kovaransmars Åerkopplng av mäsgnalvekorn llsåndsvekorns kovaransmars Usgnalvekorns kovaransmars Reglersgnalvekorns kovaransmars Mnmerng av en kvadrask förlusfunkon Lnjärkvadrask Gausssk (LQG) reglerng Problemformulerng Fullsändg llsåndsnformaon Ofullsändg llsåndsnformaon Kalmanfler Problemformulerng Predkerande Kalmanfler Flrerande Kalmanfler Kombnerad predkv och flrerande skanng Val av Kalmanfler Modellpredkv reglerng Exempel på reglerng med syrsgnalbegränsnngar Grunddén med MPC... 9 v

6 7.3 Maemask formulerng Val och desgn av reglersrukur Översk Decenralserad reglerng E llusraonsexempel Val av reglersrukur för e x sysem Val av reglersrukur genom relava försärknngar Srukurdesgn genom varabelransformaoner Frånkopplng Lnjärserng och framkopplng... A. Grundläggande marseor... 3 A. Defnoner... 3 A.. Marser och vekorer... 3 A.. Deermnan, rang och spår... 4 A..3 Specella marser... 6 A. Marsoperaoner... 7 A.. Lkhe... 7 A.. Addon och subrakon... 7 A..3 Mulplkaon... 7 A..4 Marsnvererng... 8 A..5 Derverng och negrerng... 9 A..6 Exponenalfunkonen... A.3 Egenvärden och egenvekorer... A.3. Karakersska ekvaonen... A.3. Egenvärden och deras beräknng... A.3.3 Höger och vänseregenvekorer... A.4 Räkneregler för sammansaa uryck... 4 A.4. Addon... 4 A.4. Mulplkaon... 4 A.4.3 ransponerng... 4 A.4.4 Marsnvererng... 4 A.4.5 Spåre av en mars... 4 A.4.6 Deermnaner... 4 A.4.7 Blockmarser... 5 v

7 B. Kvadrakompleerng... 6 B. Mnmum för kvadraska funkoner... 6 B. Kvadrakompleerng av marsfunkoner... 6 B.3 Mnsa kvadra lösnng för ekvaonssysem... 7 v

8

9 . Inlednng. Inlednng. Grundkurserna reglereknk har huvudsaklgen behandla sysem med en nsgnal och en usgnal (SISO sysem) (approxmav) lnjära, dsnvarana sysem dskonnuerlga sysem deermnsska sysem Sysemen har beskrvs med ordnära dfferenalekvaoner, evenuell av hög ordnng överförngsfunkoner baserade på Laplaceransformen (även överförngsoperaorer) Analys och regulaordmensonerng ( desgn ) huvudsak baserade på segsvar Laplaceransformmeoder frekvensanalys. Denna kurs behandlar sysem som kan ha flera nsgnaler och/eller flera usgnaler (MIMO sysem) både dskonnuerlga och dsdskrea ( samplade ) sysem både deermnsska och sokasska sörnngar Sysemen beskrvs med sysem av försa ordnngens dfferenalekvaoner, dvs flera kopplade DE:r llsåndsmodeller, med hjälp av marser och vekorer marser av överförngsfunkoner llsåndsbeskrvnng har många fördelar: llsånden har ofa fyskalsk beydelse (poson, hasghe, ryck, emperaur, koncenraon,...); uppsår naurlg vd fyskalsk modellbygge lämplg för smulerng och numerska beräknngar lnjära algebrans effekva analysmeoder (marsalgebra!) lkarad behandlng av dskonnuerlga och dsdskrea sysem sokasska sörnngar kan behändg behandlas med dsdskre sysembeskrvnng avancerade reglermeoder (.ex. med llsåndsesmerng, sof sensors ) avancerade regulaorsynes och dmensonerngsmeoder ( opmal reglerng ) MIMO och SISO sysem behandlas enhelg; MIMO reglerng kan behandlas på e sysemask sä

10 . Inlednng Sörnngarnas (sokasska) naur har sor beydelse på hur de lönas a reglera, vlke llusreras n nedansående fgur Någo om MIMO reglerng I prncp är de opmal a reglera med en MIMO regulaor som använder alla llgänglga mäsgnaler och reglersgnaler. I prakken är dea dock sällan ändamålsenlg efersom reglersyseme lä blr oflexbel, ohanerlg och dyr a konsruera och upprähålla; även endens ll robushesproblem. De är ofas bäre a delar upp reglersyseme mer lähanerlga delsysem. Vanlg är a dela upp syseme e anal SISO reglerkresar, s.k. mulloop SISO reglerng eller decenralserad reglerng. E vkg srukurproblem decenralserad reglerng är frågan: vlken usgnal skall regleras med vlken nsgnal? Den uppnåelga presandan med mulloop SISO reglerng kan dock vara ollräcklg för besvärlga processer då är de akuell med MIMO reglerng. E anna srukurproblem (oberoende av reglersraeg) är vale av mäsgnaler och reglersgnaler från e sor anal änkbara sgnaler.

11 . Inlednng Uppdelnng av MIMO sysem mndre delsysem Pyramdernas höjder anger hur krafg de olka nsgnalerna var för sg påverkar de olka usgnalerna e sysem. 3

12 . Inlednng I e reglersysem föredras därför uppdelnngen och varabelkopplngarna fguren ll vänser framom dem ll höger. 4

13 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem. Beskrvnng och analys av dynamska sysem. Dynamska modeller dskonnuerlg form För sysem med många nsgnaler och många usgnaler (MIMO sysem) blr de besvärlg a arbea med överförngsfunkoner mellan varje usgnal och nsgnal. Man önskar en kompakare och mer överskådlg modellform. En sådan modellform är en llsåndsmodell. En llsåndsmodell bygger på begreppe llsåndsvarabler och använder formalsm hämad från den lnjära algebran ( marser och vekorer ). För övrg är begreppe llsåndsvarabler e naurlg begrepp. llsåndsvarablerna är s.k. nensva sorheer, som beskrver llsånde hos e sysem. llsåndsvarablerna är ofa (men ne alld) naurlga processvarabler såsom ryck, emperaur, koncenraon, ec... Grundläggande begrepp och defnoner Anag a e sysems llsånd vd dpunken fullsändg kan beskrvas med en ändlg uppsänng sorheer x(), x(),, xn (). Dessa sorheer kallas sysemes llsåndsvarabler. För a möjlggöra en kompak sysembeskrvnng samlas llsåndsvarablerna en llsåndsvekor x () x() x() x() x() xn () xn () Vdare har v normal e anal nsgnaler u(), u(),, um(), som kan samlas en nsgnalvekor u() u() u() u() u() um() um() Yerlgare har v e anal usgnaler y(), y(),, yp (), som kan samlas en usgnalvekor y() y () y() y() y() yp () yp () För e dskonnuerlg dynamsk sysem kan sambande mellan dessa varabler skrvas som e sysem av försa ordnngens dfferenalekvaoner d x( ) x () f( x(), u()), x() x d (..) y() h( x(), u()) Med lednng av (..) kan llsåndsvarablerna defneras på följande sä: E sysems llsånd vd dpunken ges av de mnsa anale sorheer x(), x(),, xn (), som llsammans med nsgnalerna ll syseme för är nödvändga för a beskrva sysemes beeende för alla. llsåndsvarablerna och sysemes llsånd får på dea sä en revlg fyskalsk olknng: llsånde för e sysem represenerar den mnsa möjlga nformaon om sysemes förhsora som är nödvändg för a förusäga sysemes framda beeende. 5

14 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem Exempel. E lnjär dsnvaran sysem med en nsgnal och en usgnal. V skall dea exempel llusrera ekvvalensen mellan sysembeskrvnngar med överförngsfunkoner och llsåndsvarabler. Beraka e sysem med överförngsfunkonen Y() s k Gs () 3 U() s s as asa3 (..) eller 3 s as asa3 Y() s ku() s (..3) som genom nvers Laplaceransformerng ger dfferenalekvaonen y() a y() ay () a3y() ku() (..4) med begynnelsellsånde. Vd llsåndsvarabelrepresenaon använder man dfferenalekvaoner av försa ordnngen dervaor av högre ordnng får ne ngå. V defnerar därför,.ex. x () () x () () x 3 () () (..5) som nsa (..4) ger x () ax() ax() a3x3() ku() (..6) Ekvaonerna (..5) och (..6) ger då ekvaonssyseme x () ax() ax() a3x3() ku(), x() x () x() x() x 3() x() x3() (..7) y () x() 3 som är av den allmänna formen (..). Med marser och vekorer kan dea skrvas x () a a a3x() k x() x () x() u(), x() x3() x3() x3() x () y () x() x3() eller mera kompak x () Ax() bu(), x() (..8) y () cx() där marsen A kallas sysemmarsen. V kan konsaera, och de gäller allmän, a en överförngsfunkon av n:e ordnngen mosvarar n dfferenalekvaoner av försa ordnngen. Syseme beskrvs m.a.o. av n sycken llsåndsvarabler. Yerlgare bör beonas a v gjorde e godycklg val vd defnonen av llsåndsvarablerna. Allmän gäller a llsåndsvarablerna ne är unka!.. Uppsällnng av modeller Processmodeller form av llsåndsmodeller kan härledas ugående från balansekvaoner och llämplga konsuva relaoner. Exempel på balansekvaoner är maere och energbalanser, medan de konsuva relaonerna är uryck för ransporlagar, reakonsknek, o.dyl. V llusrerar modellerngsprncpen med följande exempel. 6

15 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem Exempel. Modellerng av en kemsk reakor. I en fullsändg åerblandad kemsk reakor sker vd konsan emperaur de kemska reakonerna AB r kc A k (mol/l) h (..9) BD r k c k h B Reakorn har e konnuerlg llflöde V f och e konnuerlg uflöde V e nnehållande komponenerna A, B och D upplösa väska, så a deras koncenraoner är c A, c B resp. Koncenraonerna är relav låga, vlke nnebär a v kan ana konsan väskedense. V kan uppsälla den oala maerebalansen (där denseerna förkoras bor) d V V V f e d (..) sam de parella maerebalanserna d( VcA) Vc f Af Vc e A Vr d d( VcB ) Vc f Bf Vc e B VrV r (..) d d( VcD ) Vc f Df Vc e D Vr d Uvecklng av dervaorna enlg prncpen d( Vc A) d A d V c c V A d d d sam elmnerng av d V /d med (..) och kombnerng med (..9) ger d ca V V f( caf ca) V kc A d d cb V V f( cb f cb) V kc A V kcb d d cd V V f( cd f cd) V kcb d c D. (..) (..3) x Med defnonerna ca x, cb x, 3 cd u och c A f u, c B f u, 3 c D f u, 4 V f är dessa ekvaoner (under anagande av konsan reakorvolym,.ex. pga reglerng) av formen x f ( x, x, x, u, u, u, u ) V, c, c, c f Af Bf Df eller kompakare x f( x, u) (..4) som är av den allmänna formen (..). Dea är e sysem av olnjära försa ordnngens dfferenalekvaoner. För a kunna unyja den lnjära algebrans analys och desgnmeoder behöver v dock lnjära DE:r. c c c A B D V V e, c, c, c A B D 7

16 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem..3 Lnjärserng av sysem av DE:r Såsom ovan framgck, blr en llsåndsmodell härledd från fyskalska och kemska lagar ofa olnjär. V skall här vsa hur en sådan kan lnjärseras. Beraka den olnjära llsåndsmodellen (med dm( x ) n, dm( u ) m, dm( y ) p) x () f( x(), u()) (..5) y() h( x(), u()) V kan lnjärsera den genom aylorsereuvecklng krng e saonärllsånd ( xu, ) genom a enbar beaka ermer upp ll försa ordnngens dervaor sereuvecklngen. För den :e llsåndsvarabeln ger sambande x () f ( x(), u()) då f( x(), u()) f ( x(), u()) x () f( xu, ) ( x() x) ( u() u) (..6) x() () x() x u x() x u() u u() u där paraldervaorna m.a.p. vekorerna x och u blr radvekorer (se.ex. G:s formelsamlng) så a f( xu, ) f( xu, ) f( xu, ) f( xu, ) f( xu, ) f( xu, ), (..7) x x x u u u Om ( x( ), u( )) ( x, u ) är e saonärllsånd, där x (), gäller enlg (..6) f ( xu, ) (..8) Om v vdare nför beecknngarna x() x() x, u() u() u (..9) och observerar a x () x () får v f( x( ), u( )) f ( ( ), ( )) x () () () () x u x () u (..) x För y gäller vd saonärllsånde ( xu, ) x() x u x() x u() u u() u a y h( x, u ). För y j fås, då y y y, hj( x( ), u( )) hj( ( ), ( )) yj () () () () x u x () u x u Då varje llsånd x och usgnal där x () Ax() Bu() y() Cx() Du() x() x x() x u() u u() u y j beakas, kan (..) och (..) sammansällas ll (..) (..) 8

17 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem f ( x(), u())/ x() ( ( ), ( )) f ( (), ())/ () f x u x u x x() x() x u() u fn ( x(), u())/ x() x() x u() u A h ( x(), u())/ x() ( ( ), ( )) h ( (), ())/ () hx u x u x x() x() x u() u hp ( x( ), u( ))/ x( ) x() x u() u C, f ( x( ), u( ))/ u( ) ( ( ), ( )) f ( (), ())/ () fx u x u u u() x() x u() u fn ( x(), u())/ u() x() x u() u B h ( x(), u())/ u() ( ( ), ( )) h ( (), ())/ () hx u x u u u() x() x u() u hp ( x(), u())/ u() x() x u() u D, (..3) där A har dmensonen n n, B dmensonen n m, C dmensonen p n och D dmensonen p m. Ofas är D. Övnng.. Lnjärsera den kemska reakorn, som beskrvs av ekv. (..3), krng de 3 forfarghesllsånd som ges av c Af mol l, c f c f mol l, 3m h, 3 V, 5 m. Skrv den lnjärserade modellen på llsåndsform (lösnng kompendum llåen). B D V e 9

18 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem..4 Expermenell modellerng genom processdenferng Ovan härleddes på eoresk väg en olnjär modell för en kemsk reakor som även lnjärserades genom aylorsereuvecklng krng e gve drfsllsånd. V kan konsaera a modellbygge ugående från enbar eoreska fyskalsk kemska samband är regel rä besvärlg, och modellen blr ofa komplcerad och får lä en sådan form (.ex. olnjär) a den ne är drek lämplg för regulaordesgn. Om processen exserar (dvs fnns drf) och om den önskade modellen skall användas för regulaordesgn, är de ofa lämplgare a besämma modellen expermenell genom processdenferng. Expermen används även för a esa eoreska modeller, och för a besämma dålg kända paramerar. För besämnng av en dynamsk modell räcker ne daa för e eller flera saonärllsånd, uan de krävs daa som beskrver ransena förlopp. Dea nnebär a processen måse söras eller exceras. Ibland kan naurlga sörnngar processen vara llräcklg. Normal måse dock avsklga sörnngar nföras. Ofa använda excaoner är Seg olka yper av pulser,.ex. mpulser De fnns en sor mängd olka eknker för modellbesämnng ugående från de expermenella resulaen. I grundkursen reglereknk har enkla grafska meoder behandlas. Vd mer krävande modellerng används numerska opmerngsmeoder för anpassnng av en modell ll expermenella daa. Alla prakska sysem är mer eller mndre olnjära, men v vll ofa ändå ha en lnjär modell.ex. för regulaordesgn. Man bör då sräva ll a excera processen alla rknngar (dvs både uppå och nedå ) krng e önska drfsllsånd för a på så sä erhålla lämplga medelvärden för den olnjära processens paramerar en lnjär modell som väl beskrver processen vd drfspunken fråga. dskonsaner kan.ex. besämmas som medelvärde av dskonsanerna vd en segförändrng uppå och nedå (se fg ur ovan). För processparamerar som krafg påverkar den uppnåelga reglerkvaleen,.ex. dödder, kan de vara förnufg a välja e mera ogynnsam värde för a på så sä ne ävenyra säkerhesmargnaler vd regulaordesgn. Vd användnng av numerska opmerngsmeoder för modellbesämnng behöver man ne begränsa sg ll enkla seg och pulser som excerngssgnaler. Man kan sälle använda sgnaler som bäre excerar processens ransena egenskaper, som bäre beskrver processens ypska beeende vd reglerng. En sådan nsgnalyp är s.k. PRBS sgnaler ( Pseudo Random Bnary Sequence, se fgur), som har den

19 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem egenskapen a nsgnalens värde växlar mellan vå olka värden så a övergången mellan dem ( prncp) sker slumpmässg. Modellen Följande vå exempel llusrerar a de knappas fnns någo som MODELLEN för e sysem. Exempel olka segsvar: Beraka sysemen med Öppen kres 4 överförngsfunkonerna 3 Gs () ( s)( s a) med a =,, a =, a =,. I övre delen av fguren ll vänser ses segsvare öppen kres. I nedre delen ses segsvare för de re sysemen sluen kres med enhesåerkopplng, dvs u = r y. I följande exempel så får v mosa beeende. Exempel lkadana segsvar: Beraka sysemen med överförngsfunkonerna ( s ) Gs () ( s)( s)( s) med =, =,5, =,3. I övre delen av fguren ll vänser ses segsvare öppen kres. I nedre delen ses segsvare för de re sysemen sluen kres med åerkopplngen u = (r y). Orsaken ll a v har olka beeende öppen och sluen kres är sysemen är a beeende vd låga frekvenser är domnerande vd segsvar, medan beeende vd överkorsnngsfrekvensen (den frekvens där kresförsärknng = ) är mera relevan sluen kres. Fgurerna nedan ger Bode dagram för dessa exempel, med försärknngarna och fasförskunngarna 8 o ndkerade Sluen kres a=-. a= a= Öppen kres Sluen kres = =.5 = Olka segsvar Lkadana segsvar a=-. a= a= = =.5 =

20 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem. Lnjära dskonnuerlga llsåndsmodeller llsåndsform E lnjär, dsnvaran, dskonnuerlg och kausal sysem kan allmän beskrvas med llsåndsmodellen x () Ax() Bu() (..) y() Cx() Du() n m p n n Där x (), u (), y (), A n m, B p n, C p m, D. x () kallas sysemes llsåndsvekor, A kallas sysemmars; bland kallas B nsgnalmars och C usgnalmars. På engelska brukar man kalla D drec feedhrough. E sysem skrve på llsåndsform kan ( ex) förkoras ( ABCD,,, )... Från blockschema ll llsåndsmodell De är lä a exrahera llsåndsmodeller från e blockschema. Man defnerar lämplga llsåndsvarabler, och säller upp ekvaoner enlg schema. Exempel: Serekopplng u b x b x s+a G s+a G Usgnalen är ofa e ändamålsenlg val av llsånd, så även här, de vå olka delsysemens usgnaler har defneras som llsånd. De vå sysemen kan nu skrvas som x ax bu respekve x ax bx. Dea kan nu skrvas marsform x a x b u x b a x Dessuom har v usgnalen y x, vlke sammanslage med ovansående är av formen (..). Mera allmän gäller om G och G är gvna llsåndsformer ( A, B, C, D ) respekve ( A, B, C, D ) så fås serekopplngens llsåndsform enlg x A x B u x BC Ax BD x y DC C DDu x Exempel: Parallellkopplng u b s+a G x y (..) b s+a G x Add Usgnalerna från de ensklda sysemen defneras gen som llsånd, varvd dfferenalekvaonerna x ax bu respekve x ax bu fås. Vlke kan skrvas marsform

21 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem x a x b u x a x b Dessuom har v a y x x, vlke kombnera med ovansående är av llsåndsformen (..). Om G och G är gvna llsåndsformer ( A, B, C, D ) respekve ( A, B, C, D ) så fås serekopplngens llsåndsform enlg x A x B u x Ax B (..3) x y C C DDu x Exempel: Åerkopplng u b x y dfferens G s+a G Igen så är de fördelakg a defnera usgnalen från överförnngsfunkonen G som llsånd (G har nga llsånd), vlke ger upphov ll följande dfferenalekvaon x ax b( u x). Vlke gen kan omformuleras på sandardform x ( ab) xbu, som kombnera med y x, är av formen (..). A fundera på relaera ll ovansående exempel:. Vad är dkonsanen och försärknngen för G?. Vad är dkonsanen och försärknngen för de åerkopplade syseme? 3. Blr syseme snabbare eller långsammare av åerkopplngen? 4. För vlka värden på a och b är G respekve de åerkopplade syseme sabla? Om G och G är gvna llsåndsformer ( A, B, C, D ) respekve ( A, B, C, D ) så behöver anngen D eller D vara. Om D så är de åerkopplade syseme x ABDC BC x B u x B C A x (..4a) x y C x Och om D så är de åerkopplade sysemes llsåndsform x A BC x B u x B C A x BD x y C DC Du x (..4b) 3

22 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem Om bägge D marserna är olk så uppsår en algebrask slnga, som leder ll a marserna blr ll serer, som sannolk konvergerar, men behöver ne göra de. Algebraska slngor är ypsk ne realsska, de kan uppkomma genom förenklande anaganden. För smulerngsändamål så kan man brya slngan genom a nföra en len exra dkonsan slngan. Smulnk under Malab så använder llsåndsmodeller för smulerngar. Om den söer på en algebrask slnga så ger den en varnng om en algebrac loop. De leder ll avsevär långsammare och evenuell ollförllg smulerng, så de lönas a brya slngan manuell... Från llsåndsmodell ll överförngsmars Laplaceransformerng av en modell på llsåndsform x () Ax() Bu() sx() s x() AX() s BU () s (..5) y() Cx() Du () Y() s CX() s DU () s (..6) Vdare ger (..5) ( s ) ( s) ( ) ( s) () s ( s ) X IA x() BU () s I A X x BU som nsa (..6) ger Y() s C( sia) x() C( sia) BU() s DU() s Om begynnelsellsånde x ( ) fås Y() s C( sia) BD U() s G() s U () s (..7) där () s ( s ) är sysemes överförngsmars, dvs en mars av överförngsfunkoner. G C IA BD (..8) Exempel: Om man har e lnjär sysem med vå nsgnaler ( u och u ) och vå usgnaler ( y och y ) så kan man beskrva den med överförngsmarsen G() s G() s G () s G() s G () s, där Gj () s är sambande mellan nsgnal j och usgnal. Dvs y() s Gu() s Gu() s. y () s G u () s G u () s..3 Syrbarhe och observerbarhe Är ( ABCD,,, ) och G () s alld ekvvalena? Exempel: x x x x u y x u x x u x x y x x Här har v en llsåndsekvaon av andra ordnngen med en nsgnal och en usgnal. Överförngsfunkonen blr u 4

23 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem s Gs () si s ( s ) ( s ) ( s ) dvs Gs () ros a syseme är av andra ordnngen! Förklarng: Försa llsånde har ngen kopplng ll nsgnalen, och andra llsånde har ngen kopplng ll usgnalen, och llsånden har ngen kopplng snsemellan. Vlke prakken nnebär a försa llsånde ne är syrbar, och de andra är ne observbar. Formella defnoner på begreppen kommer de som följer. Syrbarhe E llsånd x är syrbar om de fnns en syrsgnal u () som på ändlg d överför llsåndsvekorn ll orgo, dvs ll x. E sysem är syrbar om alla llsånd är syrbara. Dea begrepp är ne svår a olka, om alla llsånd är syrbara så kan man syra dem hur man vll med hjälp av nsgnalerna. Observerbarhe E llsånd x är cke observerbar om, då x() x och u (),, usgnalen y(),. Efersom dea även gäller för x(), så beyder de a man dea fall ne med säkerhe kan besämma nalllsånde på basen av usgnalen (och nsgnalen). E sysem är observerbar om de saknar cke observerbara llsånd. En olknng av observerbarhe är a förändrngar llsånd resulerar en förändrng usgnalen. Så om syseme även är syrbar så beyder a de är möjlg a nföra åerkopplng från alla llsånd även om man ne mäer dem. Men de kan vara svår a elmnera saonäravvkelse, för de är yvärr ne så a man e observerbar sysem alld kan besämma alla llsånd korrek. Om man har okända cke saonära nsgnaler ll syseme (som man prakken ofa har), eller om modellen är fel, så kommer de a sannolk a leda ll felakga llsåndsesma även om syseme är observerbar. Kalmans uppdelnngssas E lnjär sysem S på llsåndsform kan uppdelas fyra delsysem E delsysem S co som är syrbar (conrollable) och observerbar E delsysem S cu som är syrbar men cke observerbar (unobservable) E delsysem S uo som är cke syrbar (unconrollable) men observerbar E delsysem S uu som är cke syrbar och cke observerbar I föregående exempel så hörde försa llsånde ll S uo och andra llsånde ll S cu. Mnmal realsaon En llsåndsbeskrvnng som är både syrbar och observerbar sägs vara en mnmal realsaon av syseme. Ekvvalens mellan G () s och ( ABCD,,, ) Överförngsmarsen G () s, som ju anger sambande mellan Y () s och U () s, ugör en fullsändg beskrvnng av e sysem om och endas om syseme är såväl syrbar som observerbar (dvs sysembeskrvnngen är en mnmal realsaon). 5

24 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem es av syrbarhe Syseme ( AB, ) är syrbar om och endas om syrbarhesmarsen har full rang, dvs rang( Γ ) n. n Γc B AB A B A B c (..9) es av observerbarhe Syseme ( AC, ) är observerbar om och endas om observerbarhesmarsen C CA Γ o CA n CA (..) har full rang, dvs rang( Γ o) n. Övnng.. Undersök syrbarheen och observerbarheen för syseme exemple avsn..3 (lösnng kompendum llåen). Övnng.. E sä för a reducera kväveoxder ( NO x ) en (sor) deselmoor är genom selekv kaalysk redukon (SCR), varvd de behövs llsas av ammonak ( NH 3 ). Ammonak är yvärr också e mljögf, och om man säer ll för mycke NH 3 så åker de u nauren. Så för effekv redukon av NO x så behövs åerkopplad reglerng. Männg av NO x är yvärr ne alldeles enkel, och de sensorer som klarar av männg drek uan provagnng så reagerar på summan av NO x och NH 3. Men v är allså nresserade av a vea halen av bägge, är de möjlg på basen av en männg av summan? Ana a den kemska reakonen så reagerar 9% av nkommande NH 3 med NO x, förhållande :. I kaalysaorn uppsår dessuom en dynamk som är e försa ordnngens sysem med a) lka b) olka dkonsan för NH 3 respekve NO x (lösnng kompendum llåen). 6

25 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem..4 Lnjära varabelransformaoner Lnjär varabelransformaon av llsåndsvekorn V har llsåndsmodellen x AxBu (..) y CxDu En enydg varabelransformaon z x, x z (..) ger z x Ax Bu d.v.s. z A zbu (..3) y C zdu llsåndsbeskrvnngens A, B och C marser förändras således av varabelransformaonen så a ( ABCD,,, ) ( A, BC,, D ) (..4) Påverkas G () s av en lnjär varabelransformaon? För de oransformerade syseme ( ABCD,,, ) är överförngsfunkonen G() s C( sia) BD (..5) För den ransformerade sysembeskrvnngen ( A, B, C, D ) fås G() s C ( sia ) BD (..6) eller G() s C ( sia) BD C ( si A) B D (..7) C( sia) BD Hel naurlg förändras överförngsmarsen ne efersom y och u ne förändras. Påverkas sysemmarsens egenvärden av en lnjär ransformaon? Egenvärdena,,, n, för sysemmarsen A ges av lösnngarna ll ekvaonen de( IA ) (..8) För den ransformerade sysemmarsen A fås de( IA ) de ( IA) de( ) de( IA) de( ) de( ) de( ) de( IA) (..9) de( ) de( I A) de( I) de( IA) de( IA) Den ransformerade sysemmarsen har således samma egenvärden som den oransformerade sysemmarsen. Anmärknng Ofa används formen de( A I ) för beräknng av A:s egenvärden. Formulerngen är hel ekvvalen med (..8), som används denna kurs 7

26 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem Propra sysem med en nsgnal och en usgnal Överförngsfunkonen för e n:e ordnngens proper sysem med en nsgnal och en usgnal (SISO sysem) kan skrvas n n Y() s bs bs bn sbn Gs () d (..) n n n U() s s as a s a sa n Dagonalform (modal kanonsk form) Om den karakersska ekvaonens röer (dvs nämnarens nollsällen) är reella och dsnka (dvs olka sora) kan Gs () med hjälp av paralbråksuppdelnng skrvas Y() s k k kn kn Gs () d (..) U() s s s sn sn där k,,, n, är konsaner som bör besämmas så a paralbråksuppdelnngen gäller. Ifall nämnaren ll Gs () ekv (..) fakorseras besäms k bekväm enlg k lm( s ) G( s) (..) s Defnera (.ex.) k X () s U() s (..3) s vlke nsa (..) ger Y() s X() s X() s Xn () s Xn() s du() s (..4) Invers Laplaceransformerng av (..3) och (..4) ger x () x() ku (),,, n y() x () x () x () x () du() eller där n x () Λx() bu() y du () cx() () Λ, n n k k b, kn c Man kan även härleda dagonalformen drek från en annan llsåndsform ( ABCD,,, ). Om n (..5) (..6) är e egenvärde och mosvarande vänseregenvekor ll marsen A så gäller ( IA) eller A,,, n Λ A (..7) där, Λ (..8) n n 8

27 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem Om är nvererbar, vlke alld gäller om egenvärdena är reella och dsnka (sam vssa andra fall) fås den dagonala sysemmarsen Λ enlg Λ A (..9) vlke mosvarar varabelransformaonen z x, x z (..) som ger dagonalformen analog med dgare lnjära varabelransformaon. Syrbar kanonsk form E sysem beskrve med överförngsfunkonen n n Y() s bs bs bn sbn Gs () n n n U() s s as as an san d (..3) kan drek skrvas på en llsåndsform som kallas syrbar kanonsk form (efersom nsgnalmarsen B får specell enkel form): a a an an x () x() u() y () b b b b x() du () n n (..3) Observerbar kanonsk form E sysem beskrve med överförngsfunkonen n n Y() s bs bs bn sbn Gs () n n n U() s s as as an san d (..3) kan drek skrvas på en llsåndsform som kallas observerbar kanonsk form (efersom usgnalmarsen C får specell enkel form): a b a b x () x() u() (..33) an bn an b n y () x() du ()..5 Sable, poler och nollsällen Lösnng av llsåndsekvaonen Ekvaonen x () Ax() Bu() (..34) har lösnngen A A A x() e x() e e Bu ( )d (..35) vlke kan vsas genom derverng av (..35) och nsänng (..34). 9

28 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem V noerar a A där är e egenvärde och exponenalfunkonen e A e A mosvarande vänseregenvekor ll marsen A. (..36) Efersom kan beräknas enlg sereuvecklngen (fall den konvergerar) 3 3 I A A A (..37)!! 3! fås genom mulplkaon av e A från vänser med A 3 3 e A A A!! 3! 3 A A!! 3! 3 A!! 3! 3 3!! 3! 3 3 e!! 3! Mulplkaon av lösnngen x () från vänser med, och genom nsänng av (..37) fås ger därför (..38) x() e x() e e Bu ( )d (..39) eller med defnonen x,,, n, z() () z z () e () e e Bu ( )d,,, n (..4) Med defnonerna, Λ n n kan dea skrvas kompakare som, z x (..4) Λ Λ Λ z() e z() e e Bu ( )d (..4) Sable Om har posv realdel (och z () eller negralen ) för syseme ovan kommer z () a dvergera, dvs syseme är nsabl. Av dea följer a egenvärdena,,, n, avgör sableen för syseme. V får då följande sableskrerum: E dskonnuerlg sysem vars sysemmars A har egenvärdena,,, n, är sabl om och endas om samlga egenvärden har negav realdel, dvs om Re( ),,, n (..43)

29 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem Poler Med polerna ll e sysem menas egenvärdena,,, n, ll sysemmarsen A en mnmal llsåndsrealsaon av syseme (dvs en llsåndsbeskrvnng av mnmal ordnng som är både syrbar och observerbar). De är av nresse a kunna beräkna sysemes poler drek från en beskrvnng med överförngsfunkoner uan a gå va en mnmal realsaon. Beräknng av poler för en skalär överförngsfunkon (SISO sysem) Överförngsfunkonen för e SISO sysem, dvs e sysem med en nsgnal och en usgnal, kan (genom fakorserng) skrvas på formen m m bnms bnm s bn sbn ( sz)( sz) ( szm) Gs () b n n n nm s as as an san ( s p)( s p) ( s pn) (..44) Här är p,,, n, sysemes poler. För reella poler gäller a p /,, (, n) (..45) där är en dskonsan för syseme. Beräknng av poler för en överförngsmars (MIMO sysem) För MIMO sysem, dvs sysem med flera nsgnaler och usgnaler, är de rä besvärlg a beräkna polerna från G () s. V behöver följande defnoner: Underdeermnan: En underdeermnan ll en mars A är deermnanen av en kvadrask undermars ll A erhållen genom sryknng av en eller flera rader och/eller kolonner. En maxmal underdeermnan är en deermnan av en (under)mars av maxmal sorlek. 3 Exempel: Marsen har de 9 underdeermnanerna,, 3, 4, 5, 6, 3 4 5, och 3 3, av vlka de re ssa re är maxmala underdeermnaner. 5 6 Polpolynom: Polpolynome ps () för e MIMO sysem med överförngsmarsen G () s är den mnsa gemensamma nämnaren (MGN) ll alla underdeermnaner av G () s, nklusve deermnanen av G () s om G () s är kvadrask. 3 s s Exempel: Syseme G () s har underdeermnanerna s s s, 3 s, sam s 3 s deermnanen de G ( s). ss ss ( s) ( s) Polpolynome (mnsa gemensamma nämnaren) är således ps () ( s)( s ). Sas (Poler): Sysemes G () s poler är polpolynomes ps () nollsällen.

30 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem Exempel: Syseme G () s s (dubbelpol) och s. 3 s s s s, med polpolynome ps () ( s)( s ), har polerna Nollsällen Beräknng av nollsällen för en skalär överförngsfunkon (SISO sysem) E sysem med en nsgnal och en usgnal som har överförngsfunkonen m m bnms bnm s bn sbn ( sz)( sz) ( szm) Gs () b n n n nm (..46) s as as an san ( s p)( s p) ( s pn) har nollsällena z,,, m. För reella nollsällen gäller a de är lka med negava nversen av sysemes äljardskonsaner. Beräknng av nollsällen för en överförngsmars (MIMO sysem) Beräknng av nollsällen för en överförngsmars G () s är ännu besvärlgare än beräknng av dess poler. V behöver följande defnon: Nollsällespolynom: Nollsällespolynome för G () s är sörsa gemensamma delaren (dvs fakorn) (SGD) ll äljarna för de maxmala (under)deermnanerna ll G () s, normerade så a de har polpolynome ps () som nämnare. Anm. För e kvadrask sysem G () s, dvs e sysem med lka många nsgnaler som usgnaler, är de ( s) G den maxmala deermnanen. Sas (Nollsällen): Sysemes G () s nollsällen är nollsällespolynomes nollsällen. 3 s s s Exempel: G () s har maxmala deermnanen de G ( s), där nämnaren ( s) ( s) s s är lka med polpolynome ps () och därmed redan är normerad. Sysemes nollsälle är då äljarens nollsälle s...6 Realserng Realserng är a besämma en llsåndsbeskrvnng ugående från en sysembeskrvnng baserad på en överförngsmars, dvs a ugående från Y() s G() s U () s (..47) besämma x () Ax() Bu() (..48) y() Cx() Du() Dea är e svårare problem än a besämma G () s från en llsåndsbeskrvnng. En mnmal realsaon är en realsaon med lägsa möjlga ordnngsal. Dea beyder a den är både syrbar och observerbar. Man efersrävar mnmala realsaoner, efersom llsåndsbeskrvnngen annars får godycklga cke syrbara och cke observerbara llsånd, som ne moveras av G () s. En realsaon som ne nödvändgvs är mnmal är läare a besämma än en mnmal realsaon. Efersom även en cke mnmal realsaon har korrek nsgnal usgnalsamband, kan en sådan ros all vara accepabel (.ex. för numerska beräknngar).

31 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem En enkel realserngsmeod En realsaon som ne nödvändgvs är mnmal kan härledas på följande sä. För syseme Y() s G () s G () s G () s U () s m Y() s G() s G() s Gm () s U() s (..49) Yp() s Gp() s Gp() s Gpm() s Um() s kan varje överförngsfunkon Gj () s realseras.ex. som syrbar eller observerbar kanonsk form x j () Ajxj () bjuj () (..5) y () cx() d u () j j j j j där usgnalen y () ges av m y () y () (..5) j j Sammanslagnng av alla p m delsysem ger realsaonen x A x B c x x A x B u, c x y Du (..5) x p Ap xp Bp cp x p där x u y x, u, y (..53) x m u m y p A b d d m A, B, c c c m, D A m b m dp d pm Exempel Beraka syseme s s G() s ( s)( s) s Enlg den beskrvna realserngsproceduren fås med observerbar kanonsk form x x u x x u 3 x x u y x y x x u x y x y x vlke ger realsaonen ( ABCD,,, ) med 3

32 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem A 3, B, C, D dvs e sysem av feme ordnngen. Är realsaonen mnmal? En mnmal realsaon (Glbers algorm) I de följande beskrvs en meod, Glbers algorm, för besämnng av en mnmal realsaon för e sysem G () s med enkla poler. Dea nnebär a varje enskld överförngsfunkon Gj () s bör ha enkla poler (dvs ne flera lka sora poler). 4 4 ( s)( s) s3 ( s ) s3 Exempel: G () s G () s s s s s4 enkla poler mulpla poler Dessuom krävs a gränsvärde lm G ( s) är ändlg (en mars med ändlga elemen). s Lå,,, k, beeckna alla olka poler som ngår överförngsmarsens ensklda överförngsfunkoner. I exemple ll vänser (enkla poler) är polerna, och. Överförngsmarsen G () s kan då skrvas k G() s K D där s K lm( s ) G( s), Dlm G( s) 3 3 s Lå r vara rangen av K. Marsen s K har då r sycken lnjär oberoende kolonner. Blda en mars C av dessa kolonner sam besäm marsen B ( CC) C K (..56) En mnmal realsaon ( Λ, BCD,, ) på dagonalform ges då av Ir B Ir Λ, B B, C C C Ck (..57) kir k Bk där I r är en enhesmars av sorleken r r, vlke nnebär a egenvärde har mulplceen r. Sysemes ordnngsal n är summan av alla r,,, k. s s Exempel: Beraka syseme G () s ( s)( s) s V har och, vlke ger 4

33 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem sam K K s ( s) s s lm( s) G( s) lm ( s) lm s s s s s ( s)( s) s s s s ( s) s ( s) s s s s lm( s) G( s) lm ( s) lm s s s s ( s)( s) s s Dlm G( s) s Här har v r rang( K ) C K, B ( CC) CK I r rang( K ) B ( CC) CK vlke ger I B Λ, B I, CC C B C, Realsaonens ordnng är nrr 3 dvs ne 5 (som den cke mnmala realsaonen), ne heller, som man kunde ro på basen av den akuella överförngsmarsen G () s (med vå olka dkonsaner). Övnng..3 Vsa a realsaonen exemple ovan ger de önskade nsgnal usgnalsambande sam a den är mnmal,.ex. genom a undersöka sysemes syrbarhe och observerbarhe (lösnng kompendum llåen). 5

34 . Beskrvnng och analys av dynamska sysem Approxmaoner De går a besämma mnmala realsaoner även för sysem med mulpla poler, men förfarande är besvärlg och kommer ne a behandlas denna kurs. (Ren allmän kan man unyja nformaon om sysemes poler för a besämma en mnmal realsaon.) Om överförngsfunkonerna G () s nnehåller mulpla poler kan man sälle approxmera dessa med närlggande poler. Evenuell bör då också äljarkonsanen ändras fall man vll bbehålla sysemes försärknngar oförändrade. Exempel: G () s 4 ( s) s3 s s4 mulpla poler G () s,5 4 ( s)( s3) s3 s s4 approxmaon med enkla poler Denna approxmaon är gvevs ne bäsa möjlga, men den har den fördelen a den ne nroducerar nya poler (vlke skulle höja sysemes ordnng). Om överförngsfunkonerna nnehåller dödder bör dessa approxmeras med raonella uryck. Av flera änkbara approxmaoner väljer man med fördel en som ne onödan höjer oala anale olka poler. 6

35 3 Samplade sysem 3 Samplade sysem Vad är e sampla sysem? I e dskonnuerlg sysem är alla varabler x(), y () och u () konnuerlga (funkoner) den den menngen a de är defnerade för alla. I e dsdskre sysem är sgnalerna kända endas vd dskrea dpunker,,. E sampla sysem är e sysem där en eller flera (dskonnuerlga) sgnaler mäs vd dskrea dpunker,, ( sampel = sckprov). E sampla sysem är således en dsdskre beskrvnng av e dskonnuerlg sysem. Vanlgvs är (eller anas) nsgnaler vara syckvs konsana över samplngsnervallen,. Varför samplng? Nuförden är så go som alla reglersysem mplemenerade dgal en daor. En regleralgorm en daor arbear sekvenell med ändlg många mädaa. Den avläser mädaa vd dskrea dpunker och beräknar syrsgnaler vd dskrea dpunker baserade på dessa mädaa. Nackdelar med samplande reglerng I prncp är de svårare a reglera e sysem med en samplande regulaor än med en dskonnuerlg, efersom en samplande regulaor bara förfogar över en delmängd av de sgnaler som en konnuerlg regulaor kan använda. Samplande regulaorer kan således prncp ne ge bäre reglerng än klassen av dskonnuerlga regulaorer. Om samplngsnervalle är lång, kan beydande saker ske mellan samplngsögonblcken vlke regulaorn ne får nformaon om. Insable åerkopplade sysem beror på a man lar för mycke på för gammal nformaon. Samplande regulaorer använder nformaon som kan vara upp ll e samplngsnervall gammal. Fördelar med samplande reglerng Daormplemenerng är enklare och bllgare än analog mplemenerng. Man har nga prncpella begränsnngar på karakären av reglermekansmerna komplexa och sofskerade reglerlagar kan enkel mplemeneras e program. Olnjäreer och vllkor av olka slag (.ex. varabelbegränsnngar) kan beakas enklare än vd dskonnuerlg reglerng. Sysem som nnehåller dsfördröjnngar (dödder) kan enklare behandlas med samplad reglerng än med dskonnuerlg reglerng. Vd dsfördröjnngar syns effeken av nsgnaler ne genas usgnalerna. För a vea den kommande effeken bör regulaorn mnnas vlka nsgnaler som påverka syseme; dea är enklare vd samplad reglerng, där nsgnalerna är konsana över samplngsnervalle, än vd dskonnuerlg reglerng, där nsgnalerna varerar godycklg och ne kan regsreras för alla. 7

36 3 Samplade sysem vå ypska suaoner för samplng De fnns vå ypska suaoner då man vll beskrva e dskonnuerlg sysem med hjälp av e dsdskre sysem: V har ugående från en dskonnuerlg sysembeskrvnng desgna en dskonnuerlg regulaor, som v vll mplemenera en daor med hjälp av en dsdskre regleralgorm. Den dskonnuerlga regulaorn bör således samplas. V har en dskonnuerlg beskrvnng av e sysem, som v förs samplar (dskreserar) för a därefer använda dsdskre desgneor för a drek besämma en dsdskre regulaor. V kommer a behandla båda fallen, dock mera ngående de dsdskrea desgnprobleme. 3. Lnjära dsnvarana modeller Samplng av e dskonnuerlg sysem llsåndsmodellen x () Ax() Bu() y() Cx() Du() har enlg dgare lösnngen Efersom e A A( ) () e () e ( )d (3..) x x Bu (3..) A e A I kan dea även skrvas A A e x( ) x() e Bu ( )d (3..3) För k resp. k fås då Ak e k A ( k ) () e ( )d x x Bu och Subrakon av ekvaonen ll höger från den ll vänser ger k A( k k) Ak A k k k Ak A e x( ) x() e Bu ( )d x( k ) e x( ) e e Bu ( )d (3..4) Defnonen hk k och bye av negraonsvarabel (kallas dock forfarande ) ger h Ah k k A x( ) e x( ) e Bu ( )d (3..5) Om u () är konsan ( k ) k, k, dvs u( ) u ( k ), h, fås x( k ) Fx( k) Gu ( k) (3..6) där F e Ah, u över samplngsnervalle h G e A d B (3..7) Om varje samplngsnervall har längden h, gäller k Anag a u () är kons. ( ) k k kh, k,,,. u över varje samplngsnervall, Då gäller (3..6) för godycklga helal k, och v kan skrva k k, k,,,. 8

37 3 Samplade sysem x(( k ) h) Fx( kh) Gu ( kh), k,,, (3..8) eller korare, med underförså samplngsnervall (eller den normerad så a h ), x( k) Fx( k) Gu( k) (3..9) y( k) Cx( k) Du( k) Numersk beräknas marserna F och G enklas enlg F IAS, G SB (3..) där h 3 3 S e A d I Ah A h A h h (3..)! 3! 4! Marsen F, dvs sysemmarsen för e dsdskre sysem, kallas vanlgen övergångsmarsen. Exempel: Sampla den lnjära konnuerlga llsåndsmodellen x (),() x u() y () x () med samplngsnervalle h dsenhe. V får,,,,, S e d, och F IAS,,95658,948, G SB,95658,933, dvs x( k),948 x( k),933 u( k) yk ( ) xk ( ) Fguren dgare vsar usgnalen för dea sysem med den fguren gvna segvs varerande nsgnalen; heldragen sgnal = kon. modell, punker = samplad modell. Från sampla sysem ll dskonnuerlg sysem Beraka de dsdskrea syseme x( k ) Fx( k) Gu ( k) (3..) V söker den dskonnuerlga sysembeskrvnngen x () Ax() Bu() (3..) som vd samplng med de konsana samplngsnervalle h ger den dsdskrea sysembeskrvnngen. Probleme är prncp enkel a lösa. V löser förs A ur A e h F (3..3) och därefer B ur h e d B S G G (3..4) Föruom de ren maemaska/numerska probleme a besämma A fnns vå änkbara komplkaoner: A e h A e h F kan sakna lösnng F kan ha flera lösnngar 9

38 3 Samplade sysem Exempel på ngen lösnng De dsdskrea syseme x( k) x( k) u( k) yk ( ) xk ( ) har ngen konnuerlg mosvarghe med ordnngsale efersom e ah saknar reell lösnng för a. Exempel på flera lösnngar De samplade syseme ( den harmonska oscllaorn ) cos( h) sn( h) cos( h) x( k) ( k) u( k) sn( h) cos( h) x sn( h) med samplngsnervalle h ger en konnuerlg sysembeskrvnng med A, B där k, k,,, h vlke enkel kan verferas genom samplng av de konnuerlga syseme. De fnns således oändlg många konnuerlga sysem som dea fall ger e och samma samplade sysem. Dea beror defaco på alaseffeken, som defneras avsn Syseme med k svänger med samma frekvens som de dskreea syseme, och de andra sysemen svänger med frekvenser som har samma alasfrekvens. 3. Insgnal usgnalsamband 3.. Pulsöverförngsoperaorn H (q) I analog med överförngsoperaormarsen G (p) för en konnuerlg sysembeskrvnng, där p d/d är derverngsoperaorn så a y() G(p) u (), kan v även för en dsdskre sysembeskrvnng härleda en överförngsoperaor H (q) kallad pulsöverförngsoperaorn. Defnera förskjunngsoperaorn (även kallad skfoperaorn) q enlg q f( ) f( h) q f( k) f( k ) (3..) där f ( k ) beecknar den k :e samplngen av sgnalen f (). Operaorn q förskjuer således en sgnal en samplng framå den. För syseme x( k ) Fx( k) Gu ( k), y( k) Cx( k) Du ( k), fås då q x( k) x( k) Fx( k) Gu( k) q Ix( k) x( k) (q IF) Gu( k) y Cx Du C I F G D u ( k) ( k) ( k) (q ) ( k) de vll säga y( k) H(q) u ( k) där H(q) C(q IF) GD (3..) 3

39 3 Samplade sysem 3.. Dfferensekvaoner Varje elemen H (q) marsen H (q) är pulsöverförngsoperaorn för sambande mellan en gven usgnal yk ( ) och en gven nsgnal uk ( ). Dessa elemen är raonella uryck q och kan allmän skrvas n n B(q) B(q) bq bq bn q bn H (q) där (3..3) n n A(q) A(q) q aq an q an Efersom yk ( ) H(q) uk ( ) fås A(q) y( k) B(q) u( k) (3..4) (q n q n q ) ( ) ( q n q n a an an y k b b bn q bn) u( k) som vd upprepad användnng av defnonen på q ger dfferensekvaonen y( kn) ayk ( n) ayk n ( ) buk ( n) buk ( n) buk n ( ) eller y( k) a y( k) a y( kn) bu( k) bu( k) b u( kn) (3..5) n Från dfferensekvaon ll llsåndsform Precs som för konnuerlga sysembeskrvnngar är de för dsdskrea beskrvnngar möjlg a besämma en llsåndsmodell ugående från e nsgnal usgnalsamband, dea fall en dfferensekvaon. Exempel: Överför syseme yk ( ),8 yk ( ),5 yk ( ) uk ( ) på llsåndsform. Sysemes ordnng besäms av anale dsförskjunngar av usgnalen och är lka med gradale för polynome A (q). I dea fall är syseme av andra ordnngen. V skrver syseme som yk ( ),8 yk ( ),5 yk ( ) uk ( ) och väljer (.ex.) llsåndsvarablerna x ( k) y( k ) och x ( k) y( k), vlke ger x( k) x( k), x( k) y( k), 8 x( k), 5 x( k) u( k), y( k) x( k) eller marsform x ( k) ( k) u( k), 5,8 x, yk ( ) x ( k) Exempel: En enkel dskre modell för e curlngspel för en pekskärmsdaor. Man skall ge far å curlngsenen genom a dra e fnger på en pekskärm. Posonen på fngre är våra nsgnaler u och u, och posonen för senen får bl llsånd x och x. V berakar allså rörelse vå dmensoner, längs med banan (ndex ) och sdled (ndex ). Ana a vår fnger påverkar senen med krafen ks ( u x), och a frkonskrafen är proporonell med hasgheen kf x med,. Newons lag säger då a senens accelererar enlg följande mx ks( u x) k fx. De enklase säe a dskresera dea sysem är genom a approxmera dervaorna med xk ( ) xk ( ) bakådfferens x, och andra dervaan med framådfferens (blr drek revlg h xk ( ) xk ( ) xk ( ) xk ( ) xk ( ) form om v gör jus så) x, vlke ger följande dskrea h h n 3

40 3 Samplade sysem kh accelaraonsformel: x( k) abx( k) b x( k) au( k), med a m kh f b. Om v yerlgare defnerar x3( k) x( k ) och x4( k) x( k ), kan v skrva ner m dfferensekvaonerna som en enda llsåndsekvaon: 3 s och ab b a ab b a x( k) x( k) u( k) Anmärknngar: k f och k s är valbara paramerar, och man kan evenuell påverka k f genom a sopa på banan. För a modellera de a v släpp age om senen (eller lyf upp fngre) så skall v säa a. Roaonsrörelse för senen kan även enkel modelleras, som även nför nya krafer syseme (en roerande sen rör sg ne rak, därför a man får mera frkon på den sda som roaonsrörelsen går mo senens rörelse). För numerska beräknngar så är dfferensekvaonerna sannolk effekvare denna gång. Dfferensapproxmaonerna av dervaorna är lämplgare denna gång än anagande om a nsgnalen är konsan mellan samplngsderna (vlke den nu knappas är), som v gjorde dgare. Mera om dea kapel 4. samband med dskreserng av regulaorer. Om v skulle ha använ bakådfferens båda dervaa aproxmaonerna så skulle v få x ( k ) a bero på u ( k ), vlke skulle kräva a v llsåndsekvaonen skulle behöva nföra en D mars. I dfferensekvaonen så spelare de ngen sörre roll. Och för speles skull så spelar de knappas någon roll heller, specell om samplngsden är kor Pulsöverförngsfunkonen H ( z) Analog med Laplaceransformen för dskonnuerlga sysembeskrvnngar kan man för dsdskrea beskrvnngar använda en s.k. Z ransform, som för en dsdskre sgnal f ( k ) defneras k F( z) f( k) z (3..6) k där z är en komplex varabel. Med hjälp av Z ransformen kan nsgnal usgnalsambande för e dsdskre MIMO sysem skrvas Y( z) H( z) U ( z) (3..7) där Y ( z) och U ( z) är Z ransformerna av usgnalen y ( k) resp. nsgnalen u ( k) och H ( z) är sysemes pulsöverförngsmars (pulsöverförngsfunkon). Pulsöverförngsfunkonen kan erhållas från en llsåndsbeskrvnng för syseme enlg H( z) C( zif) GD (3..8) Av ovansående följer a pulsöverförngsfunkonen H ( z ) (eller marsen H ( z) ) enklas erhålles genom a ersäa operaorn q pulsöverförngsoperaorn H (q) (eller marsen H (q) ) med den komplexa varabeln z.

41 3 Samplade sysem Observera analogn med överförngsfunkonen Gs () och överförngsoperaorn konnuerlga sysem. Övnng 3.. G (p) för Besäm Z ransformens pulsöverförngsfunkon för syseme (lösnng här llåen) ( k) ( k) u( k), 5,8 x x, yk ( ) x ( k). q 3..4 Bakåskfoperaorn Operaorn q förskjuer en sgnal en samplng framå den. q förskjunngsoperaor som verkar bakå den enlg q f( k) f( k) Allmän gäller q n f ( k ) f ( k n ) där n är e godycklg helal. Analog kan v defnera en (3..9) (3..) 3..5 Frekvenssvar I analog med de konnuerlga falle så kan man även unyja överförngsfunkonen för e dskre sysem för a beräkna frekvenssvare för syseme. I de konnuerlga falle gjorde v de genom a ersäa s med j, där j och är frekvens. I de dskrea falle ersäer man z med j h e, eller ekvvalen ersäa q med j h e, där h är samplngsd. Man kan även drek använda en llsåndsmodell ( FGCD,,, ) för a beräkna frekvenssvar, genom a ersäa z med j h e (3..8). Frekvenssvare för dskrea sysem blr som väna bara för frekvensnervalle, / h, mera om de näsa kapel. 3.3 Val av samplngsnervall Vad påverkar vale av samplngsnervall? Den samplade sysembeskrvnngen ( k ) ( k) ( k) x Fx Gu (3..) ger den exaka lösnngen ll de konnuerlga syseme x () Ax() Bu() (3..) samplngsdpunkerna kh, k,,, fall nsgnalerna är konsana varje enskl samplngsnervall kh,( k ) h. Spelar de då någon roll hur v väljer samplngsnervalle under förusänng a krave på konsana nsgnaler alld kan uppfyllas? Svar: Ja! För a de samplade syseme skall ge rä bld av de konnuerlga sysemes egenskaper krävs a nge väsenlg hnner ske syseme mellan samplngspunkerna. Samplngsnervalle bör således vara llräcklg le, men hur le? En avvägnng av olka aspeker som borde beakas vd vale av samplngsnervall e reglersysem nbegrper 33

42 3 Samplade sysem de öppna (dvs oreglerade) sysemes egenskaper de sluna (dvs reglerade) sysemes önskade egenskaper meoder för desgn av samplande regulaorer mänoggrannhe och snabbhe I prncp vll man sampla så sällan som möjlg efersom e onödg le samplngsnervall kan ge problem med daormplemenerng, slage på sälldon sam evenuell numerska problem pga sor daamängd med redundan nformaon. Krave a uppnå önskade reglerpresanda (.ex. form av sablesmargnaler) kräver dock a man samplar llräcklg ofa (dvs llräcklg snabb). Dessa mosrdga krav kräver kompromsser och kvalava avvägnngar. vå mäeknska fakorer, som har beydelse för vale av samplngsnervall och som kan analyseras mera konkre, är den s.k. alaseffeken och behove av mävärdesflrerng Alaseffeken E problem vd samplng är a höga frekvenser kan uppräda form av falska lägre frekvenser. I llusraonen ll höger har man genom samplng (mellersa fguren) få fram e sannolk beeende (nedersa fguren) som ne alls exserar (översa fguren). Omvän kan man genom samplng med de använda samplngsnervalle ne sklja på frekvenserna översa och nedersa fguren samplngsresulae blr båda fallen de den mellersa fguren. Vad göra å alaseffeken? Orsaken ll alaseffeken är a v samplar för långsam förhållande ll en (relevan) frekvens den samplade sgnalen. V bör således sampla snabbare. Men hur snabb? Några defnoner Samplngsfrekvensen fs / h [Hz], där h är samplngsnervalle [sek] Samplngs(vnkel)frekvensen s /h [rad/sek] Nyqusfrekvensen N s / /h [rad/sek] Samplngseoreme En konnuerlg sgnal som ne nnehåller någon frekvens högre än Nyqusfrekvensen N kan exak rekonsrueras från samplade daa. Omvän gäller a ngen frekvens som är högre än Nyqusfrekvensen kan efer samplng skljas från en lägre frekvens nervalle,. Frekvenser. a N N N som samplas så uppräder den samplade sgnalen under alasfrekvensen Vale av samplngsnervall N 34

43 3 Samplade sysem Av samplngseoreme följer a nformaon om frekvenser som är högre än Nyqusfrekvensen går förlorad vd samplngen. Man bör därför välja samplngsnervalle så, a frekvenser högre än Nyqusfrekvensen N / h är onressana, dvs mes brus. Om man är nresserad av frekvenser upp ll frekvensen max, dvs av frekvenser nervalle, max, bör samplngsnervalle h då väljas så, a h / max (3.3.) Märk a vale av samplngsnervall ugående från samplngseoreme är movera av nformaons /mäeknska fakorer. De kan fnnas andra fakorer,.ex. krav på reglerpresanda, som gör a man väljer e samplngsnervall h / max. Då gäller a N max, dvs dessa frekvenser är ne denska Flrerng Oberoende av enlg vlka krerer man val samplngsnervalle h gäller a man ne kan få llförllg nformaon om frekvenser högre än Nyqusfrekvensen N / h. Om frekvenser högre än Nyqusfrekvensen förekommer en samplad sgnal är dea enbar ll skada, efersom de pga av alaseffeken kommer a olkas som lägre frekvenser. Mäbrus bdrar ypsk med sådana frekvenser, men de kan också vara frågan om mera regelbundna sysemegenskaper med frekvenser N, som man av någon anlednng ne vll beaka. Pga alaseffeken bör sådana frekvenser elmneras (eller dämpas) genom flrerng före samplngen (dvs männgen). Därför skall sgnalen före samplngen flreras med e lågpassfler som elmnerar frekvenser N / h. E dylk församplngsfler kallas även analasfler. Analasflre Analasflres uppgf är således a elmnera högre frekvenser än Nyqusfrekvensen N. Dea kan åsadkommas med e lågpassfler med en bandbredd B någo sörre än N. Bandbredden B är den frekvens där flres försärknngsförhållande är /. E försa ordnngens sysem Gs är e enkel analog lågpassfler. Krave ovan nnebär a man bör välja dess () s dskonsan,3h, där h är samplngsnervalle för den eferföljande samplngen av den flrerade sgnalen. Ideal borde lågpassflre släppa genom alla frekvenser upp ll Nyqusfrekvensen. Dea är dock ne möjlg prakken, uan man måse nöja sg med en approxmaon. En skarpare separerng av frekvenser som flreras och ne flreras kan dock fås med e fler av högre ordnng,.ex. Gs (). n ( s) De fnns också mer avancerade fler såsom Besselfler, Buerworhfler, Chebysjevfler, och IAE fler, som har olka avseenden bäre egenskaper än e fler besående av flera förs ordnngens sysem sere. Observera a analasflre skall flrera en sgnal nnan den samplas. Om man använder e dgal 35

44 3 Samplade sysem analasfler bör sgnalen (dvs flres nsgnal) nlednngsvs samplas med hög frekvens så a flre approxmav beer sg som e analog fler. Därefer samplas den flrerade sgnalen på ny med e samplngsnervall som besäms enlg de normala krererna ovan. E dgal lågpassfler av försa ordnngen har formen x( k) ( a) x( k ) ay( k) (3.3.) där x( k ) är flrera värde, yk ( ) är mävärde och a är en flerkonsan sådan a e mndre värde nervalle, ger krafgare flrerng. Följande vå exempel är agna ur Åsröm och Wenmark (984). Exempel. Alasfenomene. Exempel. Förflrerng. 36

45 3 Samplade sysem 3.4 Sable, poler och nollsällen Egenvärden Om de dskonnuerlga syseme x() Ax() Bu() har egenvärdena och vänseregenvekorerna,,, n, gäller A,,, n (3.4.) För den samplade sysembeskrvnngen x( k ) Fx( k) Gu ( k) med samplngsnervalle h gäller Ah 3 3 F e I Ah A h A h!! 3! (3.4.) Mulplkaon från vänser med ger såsom dgare för exponenalfunkonen A e F e h (3.4.3) Av dea följer: Om är e egenvärde ll sysemmarsen A för e dskonnuerlg sysem så är e e egenvärde ll övergångsmarsen F för mosvarande samplade sysem med samplngsnervalle h Sable E dskonnuerlg sysem är sabl om och endas om sysemmarsens A samlga egenvärden,,, n, har negav realdel, dvs om 37

46 3 Samplade sysem j,,,, n (3.4.4) Om de dskonnuerlga syseme är sabl måse också mosvarande samplade sysem vara sabl efersom sgnalerna sammanfaller samplngspunkerna. För de samplade sysemes egenvärden e h,,, n, gäller j j e h e h h e h e h e h cos( h) jsn( h) (3.4.5) e h e h cos ( ) sn ( ) e h h h (3.4.6) Om är e h, dvs e h. Av dea följer: De samplade syseme är sabl om absolubeloppe av samlga egenvärden ll övergångsmarsen F är mndre än, dvs om e h,,, n, vlke är ekvvalen med a alla egenvärden lgger nnanför enhescrkeln de komplexa alplane Poler De konnuerlga sysemes poler är, om syseme är syrbar och observerbar, lka med A marsens egenvärden. Om även de samplade syseme är syrbar och observerbar är F marsens egenvärden lka med de samplade sysemes poler. Under anagande om syrbarhe och observerbarhe gäller då: Om de konnuerlga sysemes poler är,,, n, så är e h,,, n, mosvarande samplade sysems poler då samplngsnervalle är h. V kan konsaera a om h, så gäller a e h (dvs allmän e h ). Från dea kan man också nse a problem kan uppså om man samplar för ofa, alla poler hamnar samma sälle. Dea kan ge ren numerska problem, men framför all kan problem uppså vd expermenell besämnng av modell. Om samplngsden är mycke kor så hnner nge hända mellan samplngssegen, och således är en modell yk ( ) yk ( ) ungefär den bäsa modell man kan få. Och denna modell är uppenbarlgen oanvändbar, den säger absolu nge anna än a samplngsden är för kor. Samband mellan de konnuerlga och de samplade sysemes poler så ses nedansående fgurer. De sreckade område anger lämplg polplacerng för e reglera sysem. 38

47 3 Samplade sysem Nollsällen De är svår a beskrva sambande mellan de dskonnuerlga och de samplade sysemes nollsällen. Specell kan noeras a De samplade syseme kan ha både fler och färre nollsällen än de dskonnuerlga. De samplade syseme kan vara cke mnmumfas även om de dskonnuerlga är mnmumfas och vce versa. De samplade sysemes pulsöverförngsfunkon H ( z) kan dock analyseras på lknande sä som de konnuerlga sysemes överförngsfunkon G () s för a besämma sysemes nollsällen. Specell gäller för e sysem med en nsgnal och en usgnal a nollsällena ges av Bz ( ) då B( z) H( z) (3.4.7) Az ( ) 3.5 Syrbarhe och observerbarhe 3.5. Syrbarhe Syrbarhe nnebär såväl för samplade som konnuerlga sysem a llsånde kan från e godycklg nalllsånd syras ll orgo på ändlg d. Vd syrnng av e sampla sysem förfogar man bara över en delmängd av de nsgnaler som kan användas e dskonnuerlg sysem, nämlgen syckvs konsana sgnaler. Dea medför a: E sampla sysem kan vara syrbar endas om de konnuerlga syseme är de. Om samplngsnervalle är lla val kan de samplade syseme vara cke syrbar även om de konnuerlga syseme är syrbar. es av syrbarhe E sampla sysem är syrbar om och endas om syrbarhesmarsen har full rang (dvs rangen n ). n Γc G FG F G F G (3.5.) 3.5. Observerbarhe Observerbarhe defneras som a endas llsånde noll kan producera en usgnalsekvens som är densk noll då nsgnalen är noll. Om andra llsånd kan ge usgnalen noll är syseme ckeobserverbar. För e dskonnuerlg sysem krävs då a y() för alla, medan de för e sampla sysem räcker a y( kh), k,, Av dea följer a e sampla sysem kan vara cke observerbar ( y( kh), k,, ) ros a de konnuerlga syseme är observerbar ( y() ). es av observerbarhe De samplade syseme är observerbar om och endas om observerbarhesmarsen C CF Γ o n CF (3.5.) har full rang (dvs rangen n ). 39

48 3 Samplade sysem Övnng 3.5. Beraka deselmoorkaalysaorexemple Övnng.., där v funderade på om v kunde observera halen av NO x och NH 3 på basen av en männg som var summan av NO x och NH 3. Undersök observerbarheen om man anar a dynamken kaalysaorn sälle för en dkonsan är en dödd som är a) lka sor b) olka sor för halen av NO x och NH 3. Ana a) falle för enkelhes skull a dödden är samplngsd lång, och b) falle a dödden är respekve samplngsder lång (lösnng llåen här). 4

49 4 Algormer för samplande reglerng 4 Algormer för samplande reglerng Prncpen för samplande reglerng Blocke Samplng ar emo konnuerlga sgnaler y () och r () sam dskreserar dem ll alföljder y ( ) och r ( ),,, I prakken är dea en A/D omvandlare. Blocke Håll ar emo alföljden u ( ),,,, från regleralgormen och skckar vdare en syckvs dskonnuerlg sgnal u () u ( ),. I prakken är dea en D/A omvandlare. 4. dsdskrea PID regulaorer 4.. dskonnuerlga former av PID regulaorer Nedan ges ekvaoner för olka konnuerlga PID regulaorer, ekvaon (4..) ger en deal PID. d e ( ) u () Kce () e( )d d u d (PIDe) (4..) En deal PID regulaor som ne derverar börvärde ges ekvaon 4... d y ( ) u () Kce () e( )d d u d (PIDy) (4..) En PID regulaor som derverar flrerad usgnal ges ekvaon d x ( ) u () Kce () e( )d d u, x f () x () y () (PIDx) (4..3) d I ssa ekvaonen så kan man mycke väl ersäa y () med e (), på grund av flrerngen. Anm: u fnns med för a möjlggöra () saonärllsånd med e () och u () sam () manuell reglerng ( Kc ) med u () ; u uelämnas dock ofa från regulaorekvaonen. Blockscheman för PID regulaorer En PID regulaor kan enkel realseras,.ex. Smulnk, med hjälp av e blockschema. Nedan ges blockscheman för varanerna (PIDe) och (PIDy) PIDe PIDy 4