Elektronik. Kapacitanser, induktanser, transienter. Översikt. Kapacitanser och induktanser. Plattekondensator

Transkript

1 Elekronik Överik Kapaianer, indukaner, raniener Piero Andreani Iniuionen för elekro oh informaioneknik Lund univerie Kapaianer () oh indukaner (L) Srömmar oh pänningar i kapaianer oh indukaner Ömeiga indukaner (ranformaor) Energi i kapaianer oh indukaner oh L krear Tranienvar oh eadyae var Andraordningen L krear Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar Kapaianer oh indukaner Plaekondenaor Kapaianer lagrar energin i elekrika fäl Den enklae kondenaorn, plakondenaorn, ugör av vå parallella ledande plaor eparerade av e un kik iolerande maerial Indukaner lagrar energin i magneika fäl Om en röm elekroner flödar uppå i kondenaorn amla de negaiva laddningar i den nedera plaan, vilka drar poiiva laddningar ill den övera plaan (egenligen är de de negaiva laddningarna om lämnar den övera plaan). På å ä kapa en pänning över kondenaorn Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 3 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 4

2 Kondenaor Exempel I en kondenaor är den lagrade laddningen q proporionerlig mo pänningen v mellan plaorna: q v är kapaianen oh mä i farad (F, lika med oulomb per vol) En kapaian på F är enorm; en kapaian i orlekordning 5 F åerfinn ofa om parai i inerna noder på inegrerare krear Vi minn nu a römmen är idderivaan på laddningen: dq d v i d d d (om ine ändra med iden) 6 i 5A 6 d Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 5 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 6 Spänning oh energi Kapaianer i MOSproeer () () + v i d v p() i() v() v d Kapaian mellan G oh ubra, G oh S, G oh D, S oh ubra, D oh ubra, o v Kapaian mellan olika mealledningar, mellan mealledning oh ubra, o v Den energi om lagra i kapaianen blir d v () w() p() d v d v v () Den lagrade energin w åerför ill, oh använd i, en kre Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 7 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 8

3 Kapaianer i parallell oh eriekoppling Kondenaorn fyika egenkaper Parallell i ( + + 3) eq d d d d Serie eq A e d elekriiekonanen vakuum e ee e 8.85 F/m r, p oh L är mer eller mindre ounikliga paraier om följer med den ideala kapaianen Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 9 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar Vad händer med energin? Indukorer (polar) > : v < : V 6 w v 5mJ w w w + w qo q + q m o En indukor är vanligvi konruerad genom a linda en ledare run någon yp av öd i en peifik kepnad. En röm om flyer genom polen kapar e magnefäl om kopplar illbaka ill polen (öde är ofa gjor med e magneik maerial åom järn eller järnoxider, vilke ökar de magneika fäle för en given röm). Om römmen i polen förändra, förändra okå de magneika fäle, vilke kapar en pänning över polen (Faraday lag) + mf v eq o qo m 5V mf eq 6 o 5.5 w v mj 6 o 5.5 w v mj w w + w.5mj o Vad har hän ill de förvunna 5mJ.5mJ.5 mj? Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar

4 Indukorer (polar) Exempel För en ideal indukor är den här pänningen proporionell ill idderivaan av römmen. Vidare, är polarieen ho pänningen ådan a den moäer ig ändringen i römmen. Proporionaliekonanen kalla indukan, beekna vanligvi med bokaven L oh räkna i henrie (H). Indukanvärden varierar från nh (i inegrerade krear) ill ioal H. () () i() v() d + i v L d Den magneika energi om lagra i polen är w Li () () L () v() L d L 5H Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 3 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 4 Exempel Serie oh parallellkopplingar Formell, amma ekvaioner om för moånd () () + i v d i L L L + L + L eq 3 L eq + + L L L 3 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 5 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 6

5 Verkliga polar Inegrerad indukan (9nm MOSproe), p oh p är mer eller mindre ounikliga paraier om följer med den ideala indukanen Hur or är L? Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 7 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 8 Ömeig indukan (ranformaor) Ibland är flera polar lindade på amma kärna, å a de magneika flöde om produera av en pole kopplar ill de andra polarna. Dea innebär a en iarierande röm om flyer genom en pole kommer a induera pänningar i de andra polarna. Självindukanerna beekna om L oh L, medan den ömeiga indukanen beekna om M. Ömeig indukan (ranformaor) De magneika fäl om produera av en pole kan aningen förärka eller moäa ig ill de fäl om produera av den andra polen. Prikarna på poländarna inkerar huruvida fälen hjälper eller moäer ig ill varandra. Om båda römmarna går in i in egen prik, eller båda lämnar den, förärker fälen varandra, annar moäer de ig ill varandra. v L + M d d v M + L d d v L M d d v M + L d d Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 9 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar

6 Mealledningar på I Långa mealledningar uppviar, (ill ubrae oh möjligvi ill andra ledningar), L, oh möjligvi M (p g a andra långa parallella ledningar) In oh ugångar Bondrådar: L oh M (oh i vi mån ) Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar Tranienvar En kapaian urladdning En kapaian urladdning genom e moånd (bryaren koppla på när ) d + v KL: v i + i fi + fi + v d d v måe ha amma form om idderivaan: vi provar med med okända K oh v Ke v Ke fi Ke + Ke fi fi v Ke Spänningen över kapaianen kan ine ändra ögonblikligen när bryaren koppla på annar kulle ekvaionen i d kräva a blir oändlig or. i Vi kan allå kriva: + ( ) ( ) v v V i Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 3 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 4

7 En kapaian urladdning Om idkonanen d + v Vi kan nu hia K: + Vi v ( ) v Ve Ve Ke K fi i i V i i Ve i e d Ł ł De är lä a ine a värde på idkonanen hel beämmer hur nabb en kapaian (ur)ladda Om vi önkar ulranabba krear måe vi e ill a idkonanerna är ulralåga Tidkonanen: Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 5 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 6 Kommer ni ihåg? Nu kan vi vara! + mf v eq o qo m 5V mf eq > : 6 w v 5mJ w w w + w q q + q m o 6 o 5.5 w v mj 6 o 5.5 w v mj w w + w.5mj o < : Vad har hän ill de förvunna 5mJ.5mJ.5 mj? o > : i V e V V Vi anar a römbryaren movarar e (lie) moånd när den är pålagen, +, med oh, V V w i d e d V,,, 6.5 Här är den aknade energin: den förbruka i moånde! mj Förreen, er ni nå anmärkningvär i energiekvaionen ovan? Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 7 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 8

8 Eferom ffekvaionen innehåller en konan erm, provar vi med v K + Ke vilke ger Åerigen, oh d v Uppladdning v V + fi + v V d d ( ) + v V fi + K e + K V K V Uppladdning Vi använder åerigen värde på v + v () v V e Ł v V+ Ke + ( ) v V + K e V + K fi K V ł V i e v () vid : Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 9 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 3 Tranienvar oh eadyae Seadyae när alla raniener har klinga u Seadyae, var ill en Dkälla () v V Ve Tranien, förumbar efer e anal idkonaner Exponenfunkionen är oberoende av den ärkilda Dkällan i d D eadyae L d L vl Om alla källor är Dkällor, blir v oh i L å måningom konana Dea innebär a i oh v L, vilke beyder a kapaianen är e Davbro oh indukanen en Dkorluning vid D eadyae Exempel Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 3 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 3

9 L krear L krear Samma illvägagångä om med krear! i i+ L V d V L V i e e Ł ł Ł ł i K + Ke fi + L Ke + K V V K L, V L Ł v L L e Ve d ł Tidkonanen: L Eferom vl L L d, ve vi a i L ine kan ändra ögonblikligen när bryaren koppla på, oh vi kan kriva + V i( ) K + K fi K Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 33 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 34 Exempel urladdning oh L krear med allmänna källor Thevenin igen (med L, men de kunde vara ): i V V i e L V V v L L e e d () L L + i() v () fi + i v d d + i v d () () dx + x f d () () () () Allmän, kan vi kriva: drivfunkion där x() kan vara en pänning eller en röm Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 35 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 36

10 Löning Komplemenär löning () () dx ln dx d d Øx ø + x() fi fi º ß d x d () Man kan via a löningen har vå delar: + x x x p ln Ø º x () ø ß + fi x() e e Ke xp ärkild löning är en löning (vilken om hel) ill ekvaionen medan x dxp + xp f d () () uppfyller ekvaionen (homogena ekvaionen) från begynnelevillkoren komplemenär löning dx x () + d Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 37 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 38 Exempel I Exempel II + d i 4 o oh i Ao + Bin p 6 Ain + Bo + Ao + Bin 4 o i i+ id + v fi + in ( ) 4o( ) d + i 4o fi 5 + i 4 o d d 3 6 x p () liknar ofa f(); vi giar därför a i p () är i Ao + Bin p A+ B, B + A 4 6 A ma, B ma i o + in ma p o i o 45 ma p Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 39 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 4

11 Exempel III Srömploar Vi ve edan igare a i Ke, oh därför o () ( ) i o 45 + Ke ma + v ( ) i ma + i + K fi K 4m A o i o 45 4e ma Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 4 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 4 Andraordningen krear Andraordningen krear En kapaian oh en indukan i amma kre a L w L f L d dämpningkoeffiien odämpad reonanfrekven drivfunkionen L + i+ id + v v d L d i i + + d d d () d i i + + d L d L L d d i + a + w i f d d Åerigen, d xp d dxp + a + w xp d p d x d x x + x, med f oh dx + a + wx f d d x dx + a + w x d d Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 43 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 44

12 Den komplemenära löningen Om oh är komplexa al Vi äer x Ke i Ke + ake + w Ke d x dx + a + w x d d Om oh är komplexa al använder vi o av Euler formler (k +k ) oh (k k ) fungerar här om vå oberoende komplexa konaner: + a+ w fi a + a w a a w a Vi definierar nu dämpningförhållande om z w Beroende på z har vi re olika fall: egenfrekven ( a+ jw ) n a jwn + + x k k e k k e jwn jwn jwn jwn e Øk e + e + k e e a º ß ( wn ) ( wn ) ( w ) in ( w ) ø e Øk o + jk in ø a º ß e ØK o + K a º n n ß ø z > fi, reella al fi x Ke + Ke z fi a fi x K e + K e w w a a z < fi, komplexa al fi x K e o w + K e in w a n n n Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 45 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 46 Segvar Uförlig exempel I d x d dx + a + wx Au d () z < fi överdämpa z fi kriik dämpa z > fi underdämpa L + i+ v V i fi L d v + + v V d d d d oh d v L + + v V d Den ärkilda löningen är välg enkel hiad, eferom v V drivpänningen är D: man er rek a d, p Alernaiv kan man beraka a under eady ae (när alla ranienerna klinga u) måe v vara lika med V Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 47 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 48

13 Uförlig exempel II Lå o hia den homogena löningen för re olika värden på Vi börjar med 3 W; då blir de Med Kreen är allå överdämpad, med oh 4 a.5 L 4 a w erhåller vi z.5 > L w a + a w.38 4 a a w v V Ke Ke Vi ve a Uförlig exempel III + + v V Ke Ke v, oh ålede V + K + K Vidare, i L, vilke innebär, oh d Ke + Ke K + K d Nu hiar vi enkel K.78 oh K.78 oh luligen v V+ Ke + Ke Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 49 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 5 Uförlig exempel IV De andra falle är för W. Uförlig exempel V De redje falle är för W. a L 4 a z w a.5 L 4 a z.5 w Kreen är kriik dämpad, med a oh 4 v ( ) V + Ke + K e v V + K () Ke + Ke + Ke d K + K K K 5 () Kreen är underdämpad, med w w a 866 n v V + K oh a a n n n n n n d ak + w K ae Øº K o w + K in w øß + e Øº w K in w + w K o w øß n K K a a + o ( w ) + in ( w ) v V K e K e n n Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 5 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 5

14 Uförlig exempel VI Parallell L kre Med Noron: a a o( w ) in ( w ) v e e n n Jämförele mellan de re fallen: + v+ vd + i l in d L d v v n + + d d L d () d v v n + + d d L d Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 53 Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 54 Parallell L kre Om vi nu definierar a oh åerigen w, L a z w kan vi kriva d v n a w v d d d + + f vilken har exak amma form om ekvaionen för eriekreen! De finn dok en vikig killnad: dämpningkoeffiienen är a a L i parallellkreen, oh i eriekreen Elekronik Kapaianer, indukaner, ranienvar 55