TEORETISKT PROBLEM 3 VARFÖR ÄR STJÄRNOR SÅ STORA? Stjärnorna är klot av ht gas Flrtalt lysr ftrsom d fusionrar vät till hlium i sina ntrala dlar I dtta problm kommr vi att använda bgrpp från båd klassisk mkanik oh kvantmkanik, samt från lktrostatik oh trmodynamik för att förstå varför stjärnor måst vara tillräkligt stora för att kunna uppnå dnna fusionspross Vi kommr okså att härlda dt som bord vara dn minsta massan oh radin för att n stjärna skall kunna fusionra vät Figur 1 Vår sol, liksom flrtalt stjärnor, lysr som tt rsultat av trmonuklär fusion av vät till hlium ANVÄNDBARA KONSTANTER 11 Gravitationskonstantn = G = 67 10 m 3 kg -1 s 3 Boltzmanns konstant = k = 14 10 J K -1 34 Planks konstant = h = 66 10 m kg s -1 Protonmassan = Elktronmassan = mp m = 17 10 7 = 91 10 kg 31 kg 19 Elktriska 1 A nhtsladdningn lassial stimat = of q = th 16 tmpratur 10 C at th ntr of th stars 1 Prmittivittn i vakuum = ε 0 = 89 10 C N -1 m - 8 Solns radi = = 7 0 10 m Solns massa = RS M S = 0 10 30 kg
1 En klassisk uppskattning av tmpraturn i ntrum av stjärnorna Anta att gasn i stjärnan är rn jonisrad vätgas (lktronr oh protonr i lika antal) oh att dn uppför sig som n idal gas Från klassisk synpunkt bhövr atomkärnorna komma så nära som10 15 m för att d starka kärnkraftrna, som har kort räkvidd, skall dominra oh kärnorna fusionra För att göra dtta måst d först övrvinna dn rpulsiva Coulombkraftn Anta klassiskt att d två protonrna (btraktad som punktladdningar) rör sig i motsatt riktning, var oh n md fartn v rms, rotn ur dn kvadratiska mdlfartn (rms), i n ndimnsionll frontalkollision 1a Vilkn tmpratur, T, måst gasn ha för att dt kortast avståndt, d, 15 skall vara 10 m? Ang dtta oh alla numriska värdn i dtta problm md upp till två signifikanta siffror 15 Där du finnr att dn så bstämda tmpraturn är flaktig För att kontrollra att dn tidigar rhållna tmpraturn är rimlig måst man ha tt obrond sätt att uppskatta ntraltmpraturn i n stjärna Stjärnornas inr struktur är mykt komplirad mn vi kan få tillräklig förståls gnom att göra några antagandn Stjärnor är i jämvikt, dvs d varkn utvidgas llr drar ihop sig ftrsom gravitationskraftn balansras av dn utåtriktad trykkraftn (s figur ) För tt sfäriskt skikt gas gs dn hydrostatiska jämviktskvationn av P G M = r r r ρr, där P är gasns tryk, G gravitationskonstantn, massan radin r, oh ρr är dnsittn på gasn i skiktt M r på stjärnan innanför
Figur Stjärnorna är i hydrostatisk jämvikt, md trykskillnadn balansrad av tyngdkraftn En uppskattning av storlksordningn av ntraltmpraturn i stjärnan kan rhållas md värdn på paramtrarna i ntrum oh på ytan av stjärnan gnom följand approximationr: P P o P, där P oh P o är trykn i ntrum oh på ytan av stjärnan, rspktiv Eftrsom P >> P, kan vi anta att o P P Md samma approximation kan vi skriva r R, där R är hla radin på stjärnan oh M M M, r R = md M stjärnans hla massa Dnsittn kan approximras md värdt i ntrum, ρr ρ Du kan anta att trykt är som i n idal gas a Ang n kvation för tmpraturn, T, i stjärnans ntrum uttrykt ndast i stjärnans radi oh massa samt fysikaliska konstantr
Vi kan nu använda följand förutsägls av dnna modl som tt kritrium för hur bra modlln är: b Använd kvationn från (a) oh skriv nr dn förväntad kvotn för n stjärna, uttrykt ndast i fysikaliska konstantr oh T M / R Använd värdt på T härltt i dl (1a) oh bräkna dt numriska värdt på kvotn M / R som man kan vänta sig för n stjärna d Bräkna sdan kvotn M sol / Rsol, oh kontrollra att dtta värd är mykt störr än dt du fann i () 3 En kvantmkanisk bstämning av ntraltmpraturn i stjärnorna Dn stora skillnadn du fann i (d) antydr att dn klassiska uppskattningn av T som du fik i (1a) int är korrkt Lösningn på dnna skillnad finnr vi när vi btraktar kvantmkaniska ffktr, som sägr oss att protonrna uppför sig som vågor oh att nskilda protonr är utsmtad i tt områd av storlksordning λ, d Brogli- våglängdn Dtta mdför att om d, minsta avståndt mllan protonrna, är av storlksordningn λ, så är protonrna i kvantmkanisk mning övrlappand oh kan fusionra p p 3a λp Anta att d = är villkort som tillåtr fusion för n proton md fartn 1/ v rms, oh härld n kvation för T uttrykt i ndast fysikaliska konstantr 10 3b Bräkna numriskt värdt på T rhållt i (3a) 3 Använd värdt på T från (3b) för att bräkna tt numriskt värd på kvotn M / R som man förväntar sig för n stjärna gnom att använda formln härldd i (b) Kontrollra att dtta värd är mykt nära dn obsrvrad kvotn M sol / Rsol Dt är faktiskt så att stjärnor i dn så kallad huvudsrin (som fusionrar vät) approximativt följr dnna kvot inom tt stort massintrvall
4 Massa/radi-kvotn för stjärnorna Övrnstämmlsn ovan antydr att dn kvantmkaniska modlln för att uppskatta ntraltmpraturn i soln är korrkt 4a Använd d tidigar rsultatn för att visa, att för n stjärna som fusionrar vät är kvotn av massan gnom radin dnsamma, oh bror bara på fysikaliska konstantr Finn n kvation för kvotn M / R för stjärnor som fusionrar vät 5 Mass/radi-förhålland för små stjärnor Rsultatn från (4a) indikrar att dt kan finnas stjärnor md godtyklig massa, så läng som tt sådant villkor är uppfyllt; dtta är dok int sant Gasn i normala stjärnor som fusionrar vät uppför sig approximativt som n idal gas Dtta btydr att d, dn typiska sparationn mllan lktronr, i mdltal är störr än λ, dras typiska d Brogli-våglängd Om d vor närmar skull lktronrna bfinna sig i tt sk urartat tillstånd, oh stjärnorna skull uppföra sig annorlunda Lägg märk till skillnadn i hur vi bhandlar protonr oh lktronr i stjärnan För protonr skall dras d Brogli-våglängdr övrlappa då d kollidrar för att slås samman, mdan för lktronrna så skall dras d Brogli-våglängdr int övrlappa för att d ska förbli n idal gas Dnsittn i stjärnor ökar md minskand avstånd till ntrum Anta trots dtta i dnna storlksordnings-uppskattning att d har homogn dnsitt Du får vidar använda att m >> p m 5a Bstäm n kvation för n, dn gnomsnittliga antalstäthtn av lktronr i n stjärna 5b Bstäm n kvation för d, dn typiska sparationn mllan lktronr i stjärnan 5 λ Använd villkort d för att skriva nd n kvation för radin hos 1/ dn minsta möjliga normala stjärnan Tag tmpraturn i ntrum av stjärnan som typisk för stjärnans hla inr 15
5d Bräkna dt numriska värdt på radin för dn minsta möjliga normala stjärnan, båd i mtr oh i nhtr av solradin 5 Bräkna dt numriska värdt på massan för dn minsta möjliga normala stjärnan, båd i kg oh i nhtr av solmassan 6 Fusion av hlium i äldr stjärnor Alltftrsom stjärnor åldras, kommr d att ha fusionrat dt msta vätt i sin kärna till hlium (H), så att d tvingas börja fusionra hlium till tyngr grundämnn för att kunna fortsätta lysa En hliumkärna har två protonr oh två nutronr, så dn har dubbla laddningn oh irka fyra gångr massan för n proton Vi såg tidigar att λp d = är villkort för protonr att fusionra 1/ 6a Sätt upp motsvarand villkor för hliumkärnan oh finn v rms (H) rmsfartn hos hliumkärnan, oh T (H) dn tmpratur som krävs för hliumfusion