Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december
Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En intuitiv idé om vd begreppet betyder Huvudstsen: integrl är motstsen till derivt Beräkn integrler med primitiv funktion Integrtionstekniker: subst, prt int mm Tillämpningr (inte br re!)
Intuitiv idé om integrler I mång tillämpningr uppkommer situtionen tt mn behöver summer termer som består v ett funktionsvärde gånger längden på ett intervll. Exempel: Are = höjd x bredd Arbete = Krft x väg Mss = Densitet x storlek Om höjden, krften eller densiteten är konstnt får mn i dess exempel br två tl gånger vrndr. Men om de är vribl är situtionen mycket svårre och leder frm till integrlbegreppet.
Intuitiv idé om integrler Vi sk nu säg vd f (x) dx betyder. Först intuitivt: Grundläggnde idé: Vi ntr tt f är kontinuerlig på [, b]. Vi delr sedn in [, b] i ett ntl små delintervll och väljer en punkt i vrje delintervll. På vrje delintervll tr vi sedn funktionsvärdet i punkten vi hr vlt och multiplicerr det med delintervllets längd. Sedn summerr vi. Ungefärlig definition: Om vi genomför ovnstående idé med jättesmå delintervll så får vi integrlen f (x) dx.
Definition v begreppet Vi kommer nu till den precis definitionen v f (x) dx. Ant tt f är kontinuerlig på [, b]. Välj punkter x 0, x 1, x 2,..., x n så tt = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b En sådn mängd punkter klls för en prtition v [, b]. Låt oss döp prtitionen vi hr gjort till P. Den delr in [, b] i delintervll. Längden v det först delintervllet är då x 1 x 0, låt oss beteckn den längden med x 1. På smm sätt är längden v delintervll nummer j x j = x j x j 1. Det störst v tlen x j klls för normen v prtitionen, betecknd P. Dvs P = mx 1 j n x j
Definition v begreppet Eftersom f är kontinuerlig på [, b] så hr f ett minst och ett störst värde på vrje slutet delintervll. Ant tt för j = 1,..., n det minst värdet på delintervll j nts i punkten l j och det störst värdet i punkten u j. Bild den Lägre Riemnnsummn L(f, P) och den övre Riemnnsummn U(f, P) enligt L(f, P) = U(f, P) = n f (l j ) x j j=1 = f (l 1 ) x 1 + f (l 2 ) x 2 + + f (l n ) x n. n f (u j ) x j j=1 = f (u 1 ) x 1 + f (u 2 ) x 2 + + f (u n ) x n.
Definition v begreppet Definition. Om det finns exkt ett tl I sådnt tt vi för ll prtitioner P hr tt L(f, P) I U(f, P) så säger vi tt f är integrerbr på [, b] och tlet I är då integrlen v f över [, b], dvs I = f (x) dx.
Allmänn Riemnnsummor När vi bildde lägre och övre Riemnnsummor så vlde vi punkter i vrje delintervll så tt f blev så liten respektive så stor som möjligt. Mn kn också välj ndr punkter. Då får mn en llmänn Riemnnsumm: Givet en prtition P v [, b] väljer vi en punkt i vrje delintervll. Dvs för j = 1,..., n väljer vi en punkt c j så tt x j 1 c j x j Låt C beteckn mängden {c 1,..., c n } och bild summn R(f, P, C) = n f (c j ) x j j=1 = f (c 1 ) x 1 + f (c 2 ) x 2 + + f (c n ) x n. Dett klls för Riemnnsummn till f med vseende på prtitionen P och punktern C.
Allmänn Riemnnsummor Observtion. För en given prtition P gäller för vilket vl v C som helst tt L(f, P) R(f, P, C) U(f, P) Om f är integrerbr måste därför när n och P 0. lim R(f, P, C) = f (x) dx
Gör en egen Riemnnsumm Uppgift. Skriv upp en konkret Riemnnsumm till integrlen 1 0 x 2 dx
Ett villkor för integrerbrhet Observtion. Om mn genom vl v prtition kn få skillnden melln övre och lägre Riemnnsumm hur liten som helst, så måste f vr integrerbr. Dvs Om det för vrje ɛ > 0 finns en prtition P v [, b] sådn tt så är f integrerbr på [, b] U(f, P) L(f, P) < ɛ
Sådn funktioner är grntert integrerbr Sts. Om f är kontinuerlig på [, b] så är f integrerbr på [, b]. Sts. Vi kn utvidg integrlbegreppet till styckvis kontinuerlig funktioner och om f är styckvis kontinuerlig på [, b] så är f integrerbr på [, b].
Tänk på integrler som summor Mn kn lltså tänk på integrler som (gränsvärden v) summor: f (x) dx n f (c j ) x j j=1 = f (c 1 ) x 1 + f (c 2 ) x 2 + + f (c n ) x n. Med hjälp v det tänket så känns mång egenskper hos integrler självklr:
Enkl egenskper (sts 3 i boken) 1. (f (x) + g(x)) dx = 2. kf (x) dx = k f (x) dx f (x) dx + g(x) dx c c 3. f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx b 4. f (x) dx g(x) dx om f g i [, b] 5. f (x) dx f (x) dx (tringelolikheten)
Dgens tentproblem 1. Bestäm en Riemnnsumm R, med fyr delintervll, som pproximerr integrlen 3 dt t. 1 Förklr vrför din Riemnnsumm ger ett närmevärde till ln 3. 2. Bestäm två Riemnnsummor R 1 och R 2 till integrlen 6 0 1 1 + x 3 dx båd med integrtionsintervllet indelt i tre lik lång delr och sådn tt R 1 är mindre och R 2 större än integrlens värde.
En ny medelvärdessts Medelvärdesstsen för integrler. Om f är kontinuerlig på [, b] så finns ett tl c melln och b sådnt tt f (x) dx = f (c)(b ). Tlet f (c) klls medelvärdet v f på [, b].
Bevis v medelvärdesstsen för integrler Bevis för medelvärdesstsen för integrler. Då f är kontinuerlig och [, b] slutet och begränst måste f nt ett störst värde M och ett minst värde m när x vrierr i [, b]. Då måste (rit figur!) m(b ) f (x) dx M(b ) 1 Om vi dividerr med b ser vi tt f (x) dx ligger b melln m och M som är båd är funktionsvärden till f. Med stsen om mellnliggnde värden får vi tt det finns ett c melln och b så tt 1 b Det är precis vd vi skulle bevis. f (x) dx = f (c).
Huvudstsen Hittills hr vi br sysslt med tt slå fst vd begreppet integrl står för och härlett någr enkl egenskper hos dett begrepp. Vi hr inte försökt räkn ut integrler. Mn kn förstås gör det genom tt t gränsvärdet v summor. Det är jobbigt. Som tur är finns enklre sätt. Det bygger på huvudstsen som säger tt derivt och integrl är motstt opertioner och tt mn därför kn räkn ut integrler genom tt nti-deriver, eller hitt primitiv funktion.
Huvudstsen Huvudstsen (the fundmentl theorem of clculus). Antg tt f är kontinuerlig på [, b] Då gäller: DEL 1. Funktionen F(x) = till f, dvs F (x) = f (x). x f (t) dt är en primitiv funktion DEL 2. Om G är någon primitiv funktion till f, så är f (t) dt = G(b) G(). Bevis finns i boken och i filmen.
Huvudstsen Beräkn dess derivtor: A. B. C. D. d dx x 0 sin t dt d u sin v dv du 0 d dx 0 x sin t dt d x sin t dt dx 0
Bestämd och obestämd integrler Observer tt om f är integrerbr på [, b] så gäller tt f (x) dx är ett reellt tl. Ovnstående klls en bestämd integrl. Vi inför en obestämd integrl också, utn gränser. Den hr en nnn betydelse: f (x) dx betyder: en godtycklig primitiv funktion till f.
Huvudstsen Beräkn dess integrler: A. B. C. D. 9 4 1 0 3/2 1/2 x dx 1 1 + x 2 dx 1 x dx 1 1 x 2 dx
Integrtionstekniker Eftersom det kn vr svårt tt på rk rm komm på primitiv funktioner, så finns ett ntl tekniker för tt gör det. De viktigste integrtionsteknikern är vribelsubstitution och prtiell integrtion. För rtionell funktioner är också prtilbråksuppdelning br tt kunn. Vribelsubstitution i integrler kommer från kedjeregeln för derivtor. Prtiell integrtion från produktregeln.
Vribelsubstitution Vribelsubstitution. f (g(x))g (x) dx = g(b) g() f (u) du. Villkor: g är deriverbr på [, b] och f är kontinuerlig på g:s värdemängd (när x vrierr i [, b]) Bevis: Kedjeregeln för derivtor
Exempel på vribelsubstitution Beräkn integrlern med vribelsubstitution: π/2 0 e 1 cos x 1 + sin x dx (ln x) 2 dx x tn x dx
Prtiell integrtion Prtiell integrtion. f (x)g(x) dx = [F(x)g(x)] b F(x)g (x) dx. Villkor: F och g hr kontinuerlig derivtor på [, b] och F = f Bevis: Produktregeln för derivtor
Exempel på prtiell integrtion Beräkn integrlern med prtiell integrtion: e 1 π/3 0 ln 3 0 x ln x dx x cos x dx xe x dx ln x dx