4. Potentiale och fält Vågekvationena fö potentialena educeas nu till [Giffiths,RMC] Fö att beäkna stålningen fån kontinueliga laddningsfödelninga och punktladdninga måste deas el- och magnetfält vaa kända. Dessa ä i de flesta fall enklast att beäkna efte att de etadeade skalä- och vektopotentialena bestämts. I det följande ta vi en nämae titt på potentialena, och beäkna fälten fö punktladdninga i godtycklig (icke-elativistisk) öelse. De senae käve en hel del mea matematik än fälten fån enkla laddningsfödelninga. som ä av utseendet 2 ϕ µ 0 ε 0 2 t ϕ ρ ε 0 (4.6) 2 A µ 0 ε 0 2 t A µ 0J (4.7) 2 ϕ ρ ε 0 (4.8) 2 A µ 0 J (4.9) dä kallas d Alembets opeato. 2 2 µ 0 ε 0 2 t (4.0) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4. Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.3 4.. Repetition av potentialena 4.2. Kontinueliga laddningsfödelninga Vi visade tidigae att vi kan definiea en magnetisk vektopotential A och en skalä potential ϕ så att Maxwells I och IV lag i vakuum bli fö dessa B A (4.) E ϕ t A (4.2) [Giffiths] Vi agumenteade tidigae oss fam till följande uttyck fö de etadeade potentialena fö kontinueliga laddningsfödelninga: A(, t) µ 0 V V dv ρ(, t ) dv J(, t ) (4.) (4.2) 2 ϕ + t A ρ ε 0 (4.3) 2 A ( A) µ 0 ε 0 t ϕ µ 0 ε 0 2 t A µ 0J (4.4) Enligt tidigae kan vi addea gadienten av en godtycklig skaläfunktion Ψ till A utan att det ända på B A. Denna egenskap hos A kallades måttinvaians. I Loentz-måttet väljs Ψ så att dä den etadeade tiden ä t t c Riktigheten i dessa uttyck kan veifieas genom att sätta in dem i vågekvationena. (4.3) A 2 Ψ µ 0 ε 0 t ϕ (4.5) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.2 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.4
Elfältet ä nu Exempel : Låt stömmen I i en oändligt lång ak ledning längs med z- axeln vaa 0 då t < 0 och I 0 då t 0. Bestäm E och B. Magnetfältet ä µ 0 ci 0 ẑ E(s, t) t A 2π (4.7) (ct) 2 s 2 Eftesom ledningen ä neutal så gälle ρ 0 och däfö ϕ 0. Vektopotentialen ä B(s, t) A s A z ψ µ 0 I 0 2π ct ψ s (4.8) (ct) 2 s 2 Check: Då t ä situationen den att en konstant stöm flyte i en lång ak ledning. Vi ska då få tillbaka det tidigae esultatet fö B. A(, t) µ 0ẑ µ 0ẑ µ 0ẑ dz I(t ) dz I(t /c) dz I(t s 2 + z 2 /c) s2 + z 2 (4.4) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.5 µ 0 ci 0 ẑ lim E(s, t) lim t t 2π (ct) 2 s 0 (4.9) 2 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.7 Endast fö tiden t t s 2 + z 2 /c 0 gälle I 0. Tidigae än detta ä stömmen noll. Detta ge så att z A(s, t) µ (ct) 0I 0 ẑ 2 s 2 (ct) 2 s 2 dz (ct) 2 s 2 (4.5) s2 + z 2 µ (ct) 0I 0 ẑ 2 s 2 dz 2π 0 s2 + z 2 µ ( 0I 0 ẑ ln( s 2 + ( (ct) 2 s 2 ) 2 + ( (ct) 2 s 2 )) 2π ) ln( s 2 + (0) 2 + 0) µ ( 0I 0 ẑ ) ln(ct + (ct) 2 s 2 ) ln(s) 2π µ 0I 0 ẑ ct + (ct)2 s 2 ln 2π s (4.6) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.6 µ 0 I 0 ct lim B(s, t) lim ψ t t 2π s (4.20) (ct) 2 s 2 µ 0 I 0 c lim ψ t 2π s (4.2) c 2 (s/t) 2 µ 0I 0 2π Ampèes lag ge 2πsB/µ 0 I 0 så att B µ 0 I 0 /(2πs), och iktningen ä ψ. OK! ψ s (4.22) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.8
Exempel 2: Som föegående exempel, men fö stömmen I gälle I 0 då t < 0 och I kt då t 0. 4.3. Punktladdninga A(, t) µ 0ẑ µ 0ẑ dz kt dz k(t /c) Fö t t t s 2 + z 2 /c 0 gälle k 0. detta ge att z (4.23) (4.24) (ct) 2 s 2 (4.25) [RMC, Giffiths] 4.3.. Liénad-Wiechet-potentialena Vi ska nu bestämma de etadeade potentialena fö en punktladdning q. Laddningana antas nu ha stoa (icke-elativistiska) hastighete, vilket komplicea poceduen att ta eda på den etadeade tiden. så Låt laddningens position vaa beskiven av kuvan w w(t), och låt obsevationspunkten dä potentialena och fälten ska bestämmas vaa (t). Den etadeade tiden t fås fån insikten att en föänding i w vid den etadeade tiden t nå obsevatöen i punkten i vid tiden t med ljusets hastighet: Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.9 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4. A(s, t) µ 0kẑ 2 µ 0kẑ 2πc µ 0kẑ 2πc (ct) 2 s 2 0 (ct) 2 s 2 0 (ct) 2 s 2 0 µ 0kẑ 2πc ( µ 0kẑ 2πc dz t s 2 + z 2 /c s2 + z 2 (4.26) dz ct s 2 + z 2 s2 + z 2 (4.27) ( ) ct dz s2 + z 2 (ct) 2 s 2 ) + µ 0kẑ ct + (ct)2 s 2 ct ln 2πc s (ct) 2 s 2 + µ 0ktẑ ct + (ct)2 s 2 ln 2π s (4.28) (4.29) (4.30) (t) w(t ) c(t t ) (4.3) Vi ha inga extena laddninga, så ρ(, t ) 0 och ϕ(s, t) 0 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.0 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.2
Detta ä i pincip samma elation som tidigae, men nu kan vi inte länge appoximea w(t ) w(t) fö att laddningana i det allmänna fallet kan öa sig godtyckligt snabbt (men så att hastighetena ä icke-elativistiska). Detta ge t t (t) w(t ) /c (4.32) En äkning ge slutsvaet dä dv dv ( v(t ) R(t, t ) c ) dv c dt R(t, t )(t t ) +... (4.38) t Skaläpotentialen ä nu R (t) (t ) (4.39) dv ρ(, t ) (t ) (4.33) R R R (4.40) dä löpe öve punktladdningen, som nu tänkes ha en liten utstäckning. Detta gö att följande behandling också ä giltig fö laddningsfödelninga som ä mycket små. Obsevea, att laddningstätheten nu beo på laddningselementens olika positione som ä funktione av olika etadeade tide. Inte ba! Vi gå nu vidae så att vi välje en fixead etadead tid t och evaluea positionena fö denna tid. Dessa bli då (t ). Poängen med detta ä att en integal öve laddningstätheten fö en och samma fixeade etadeade tid fö alla laddninga ge oss den koekta laddningen. Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.3 Man kan agumentea att dv c dt R(t t ) dv t c 2 dt d (4.4) t dä d ä den punktfomade laddningens stolek. På motsvaande sätt ska höge odningens teme fösvinna. Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.5 Laddningstätheten bli Detta ge ρ( (t ), t ) ρ( (t ), t ) (4.34) Positionena vid den nya tiden t expandea vi nu i den gamla tiden t : dv dv ( v(t ) R c ) (4.42) (t ) (t ) + v(t )(t t ) + dv dt (t t ) 2 +... (4.35) t Vi få slutligen Volymelementet dv bö nu ändas till dv. Fö detta behövs Jakobianen (funktionaldeteminanten) J(x, y, z ; x, y, z ): dv J(x, y, z ; x, y, z )dv (4.36) x x y x z x x y y y z y x z y z z z dv (4.37) ϕ(, t) dv ρ( (t ), t ) v(t ) R/c R R( v(t ) R/c) Rc v(t ) R dv ρ( (t ), t ) (4.43) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.4 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.6
Man kan visa att vektopotentialen ä Exempel : Bestäm potentialena fö en punktladdning som ö sig genom oigo då t 0. A(, t) µ 0 v(t ) Rc v(t ) R (4.44) µ 0 ε 0 v(t )ϕ(, t) (4.45) v(t ) c 2 ϕ(, t) (4.46) Nu gälle w(t) vt dä v ä en konstant. (i) Bestäm den etadeade tiden. (t) w(t ) c(t t ) (4.5) ge Sammanfattningsvis: (t) vt c(t t ) (4.52) som ge Rc v R (4.47) 2 + v 2 t 2 2 vt c 2 t 2 + c 2 t 2 2ctt (4.53) A(, t) v c2ϕ(, t) (4.48) elle R (t) w(t ) (4.49) v(t ) dw(t) dt (4.50) tt Lösningen ä (v 2 c 2 )t 2 + 2(ct v)t + 2 c 2 t 2 0 (4.54) t (c2 t v) ± (c 2 t v) 2 + (c 2 v 2 )( 2 c 2 t 2 ) c 2 v 2 (4.55) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.7 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.9 Abetsschema: (i) Bestäm den etadeade tiden t fån givet uttyck fö w w(t). (ii) Bestäm R c(t t ). (iii) Bestäm R (t) w(t ). (iv) Bestäm Rc v(t) R. (v) Skiv ne potentialena. Vilket tecken bö vi använda? Då v 0 educeas uttycket till t c2 t ± c 4 t 2 + c 2 2 c 4 t 2 ) c 2 t ± /c (4.56) Vi vet ju fån tidigae att den etadeade tiden se ut som t t w /c, så vi måste välja minustecknet: t (c2 t v) (c 2 t v) 2 + (c 2 v 2 )( 2 c 2 t 2 ) c 2 v 2 (4.57) (ii) och (iii): Bestäm R(t ) och R(t ). R c(t t ) (4.58) R w(t ) (4.59) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.8 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.20
(iv) Bestäm Rc v(t ) R. Eftesom hastigheten ä konstant ha vi v(t ) v. Rc v R(t ) c 2 (t t ) v + v (vt ) (4.60) c 2 (t t ) v + v 2 t (4.6) c 2 t v (c 2 v 2 )t (4.62) Insättning av uttycket fö t ge nu Exempel 2: Bestäm potentialena längs med z-axeln fö en punktladdning som ö sig med likfomig vinkelhastighet i en cikel i xy-planet. Cikelns adie ä a. Låt laddningen vaa i (x, y) (a, 0) vid tiden t 0. Nu gälle w(t) xa cos(ωt) + ŷa sin(ωt) och zẑ. (i) Bestäm den etadeade tiden. (t) w(t ) c(t t ) (4.67) Rc v R(t ) (c 2 t v ) 2 + (c 2 v 2 )( 2 c 2 t 2 ) (4.63) ge oss t t a 2 + z 2 /c (4.68) (ii) Bestäm R(t ) och R(t ). R c(t t ) (4.69) R w(t ) zẑ a( x cos(ωt ) + ŷ sin(ωt )) (4.70) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.2 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.23 (v) Skiv ne potentialena. (c2 t v ) 2 + (c 2 v 2 )( 2 c 2 t 2 ) A(, t) v q c (c2 t v ) 2 + (c 2 v 2 )( 2 c 2 t 2 ) µ 0qvc (c2 t v ) 2 + (c 2 v 2 )( 2 c 2 t 2 ) (4.64) (4.65) (4.66) (iii) Bestäm Rc v(t ) R. Hastigheten ä så att v(t) dw dt aω x sin(ωt) + aωŷ cos(ωt) (4.7) Rc v(t ) R Rc a 2 ω cos(ωt ) sin(ωt ) + a 2 ω cos(ωt ) sin(ωt ) Rc c 2 (t t ) c a 2 + z 2 (4.72) (iv) Skiv ne potentialena. Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.22 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.24
c a 2 + z 2 (4.73) q a2 + z 2 (4.74) Fälten ä som bekant E(, t) ϕ(, t) t A(, t) (4.83) B(, t) A(, t) (4.84) A(, t) v c2ϕ(, t) (4.75) qaω x sin(ωt) ŷ cos(ωt) c 2 a2 + z 2 (4.76) (4.77) Check: Då a 0 skall vi få tillbaka situationen fö en statisk punktladdning i oigo. Gänsvädena ge Gadienten av skaläpotentialen ä Vi få två teme T, T 2 som käve nämae behandling. (Rc v(t ) R) (Rc v(t ) R) (4.85) 2 OK! q z (4.78) A(, t) 0 (4.79) T : c R(t, t ) c (c(t t )) c 2 t (4.86) T 2 : (v(t ) R(t, t )) (R )v + (v )R +R ( v) + v ( R) (4.87) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.25 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.27 [Giffiths] 4.3.2. El- och magnetfälten fö punktladdninga i godtycklig öelse Ända tills nu nöjde vi oss med att bestämma potentialena, och då endast fö laddninga i likfomig öelse. Vi ska nu se hu fälten bli att se ut, speciellt fö laddninga i godtycklig (icke-elativistisk) öelse. Potentialena ä ju dä Rc v(t ) R (4.80) A(, t) v(t ) c 2 ϕ(, t) (4.8) R (t) w(t ) (4.82) Detta ge fya teme t, t 2, t 3, t 4 som måste ganskas. Tem t : dä acceleationen ä Tem t 2 : (R )v (R x x + R y y + R z z )v (4.88) R x x v + R y y v + R z z v (4.89) t dv t dv t dv R x + R y + R z (4.90) x dt y dt z dt a(r t ) (4.9) a(t ) dv(t ) dt (4.92) (v )R (v )((t) (t )) (4.93) (v x x + v y y + v z z )(x x + yŷ + zẑ) (v ) (t ) (4.94) v x x + v y ŷ + v z ẑ (v ) (t ) (4.95) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.26 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.28
v (v ) (t ) (4.96) v i v i v xi (t ) x i (4.97) v xi t x i d (t ) dt (4.98) v (v t )v(t ) (4.99) (v(t ) R) a(r t ) + v v(v t ) (a(r t ) t (R a)) +(v(v t ) t (v v)) (4.09) v + (R a v 2 ) t (4.0) Tem t 3 : Gadienten av potentialen bli slutligen R ( v) R ijk R ijk ε ijk x i v k (4.00) x j t d ε ijk x i v k (4.0) x j dt (Rc v(t ) R) 2 ( ) c 2 t (v + (R a v 2 ) t ) (4.) v + (c2 v 2 + R a) t (Rc v(t ) R) 2 (4.2) R ( t a) (4.02) R (a t ) (4.03) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.29 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.3 Tem t 4 : t fås med följande esonemang. v ( R) v ( ) (4.04) v ( ) (4.05) v ( t v) (4.06) v (v t ) (4.07) Hä tog vi modell av vad vi gjode fö tem t 3. Tem T 2 bli nu c t R(t ) R R 2 (R R) R R (4.3) 2(R ( R) + (R )R) 2R (4.4) R (R ( R) + R v(r t )) (4.5) R (R (v t ) + R v(r t )) (4.6) R (R (R v(t )) t ) (4.7) (v(t ) R) a(r t ) + v v(v t ) så att Med BAC-CAB-egeln fås nu R (a t ) + v (v t ) (4.08) R t Rc v(t ) R (4.8) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.30 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.32
Detta ge En motsvaande äkning ge också att v (c2 v 2 + R a)r/(rc v(t ) R) (4.9) (Rc v(t ) R) 2 (Rc v(t ) R)v (c 2 v 2 + R a)r (Rc v(t ) R) 3 (4.20) Allmänna slutsatse: () Magnetfältet ä vinkelätt mot elfältet. (2) Magnetfältet ä vinkelätt mot vekton som sammanbinde laddningens etadeade position med obsevationspunkten. Vi se att fösta temen i elfältsuttycket ä invest popotionell mot kvadaten av avståndet mellan laddning och obsevationspunkt, och påminne däfö om Coulombs lag. Däfö kan denna tem kallas det genealiseade Coulomb-fältet. Eftesom denna tem inte helle beo på laddningens acceleation kallas den fö hastighetsfältet. t A(, t) (Rc v(t ) R) [(Rc v(t ) R)( v(t 3 ) + Ra/c) ] +R(c 2 v 2 + R a)v(t )/c (4.2) Anda och tedje temena ä invest popotionella mot avståndet, så att dessa dominea öve fösta temen vid stoa avstånd. Dessa teme ge i själva veket upphov till stålning, som vi ska se senae. Däfö kallas dessa teme också stålningsfältet. Eftesom endast de två sista temena innehålle acceleationen kallas denna del av fältet fö acceleationsfältet. Intoducea hjälpvekton så att vi få u Rc v(t ) (4.22) Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.33 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.35 E(, t) q R [ (R u) 3 q R [ (R u) 3 ] (c 2 v 2 )u + R (u a) ] (c 2 v 2 )u + (R a)u (R u)a (4.23) (4.24) Låt oss ännu skiva ne Loentz-kaften F q(e + v B) fö laddninga i godtycklig öelse. F(, t) qq R [ (c 2 v 2 )u + R (u a) (R u) 3 + V ( R c [(c 2 v 2 )u + R (u a)]) ] (4.29) Fö magnetfältet behövs oton av A: dä Q ä den anda laddningens stolek, V dess hastighet, och dess position. B(, t) A(, t) c 2 (v(t )ϕ(, t)) (4.25) c 2 (ϕ v(t ) v ( ϕ)) (4.26) q [ ] c (R u) 3R (c 2 v 2 )v + (R a)v + (R u)a (4.27) Genom att jämföa med tidigae kan vi omvandla detta till B(, t) R E(, t) R E(, t) (4.28) c Rc Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.34 Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.36
Abetsschema: (i) Bestäm den etadeade tiden t med hjälp av elationen c(t t ) w(t ), dä laddningens position ä w w(t). (ii) Bestäm R c(t t ). (iii) Bestäm R (t) w(t ). (iv) Bestäm u cr/r v(t ), dä v dw/dt ä laddningens hastighet vid den etadeade tiden. (v) Bestäm R u Rc v(t ) R. (vi) Bestäm a dv/dt d 2 w/dt 2. (vii) Bestäm R (u a). (viii) Skiv ne elfältet och föenkla. (ix) Bestäm magnetfältet fån E och R. Elektodynamik, vt 203, Kai Nodlund 4.37